Chapitre 2
Description du comportement mécanique de l’élastomère fluoré étudié par le modèle
d’Hyperélasto-Visco-Hystérésis
On distingue généralement trois grandes méthodes de formulation des lois de comportement des matériaux [Lemaitre and Chaboche, 2001] :
– une approche microscopique : elle vise à réaliser un passage du microscopique au macrosco- pique à partir d’une modélisation des mécanismes de déformation et de rupture, observées aux échelles atomique et moléculaire. Le comportement macroscopique est déduit d’une in- tégration ou d’une moyenne des variables microscopiques à l’échelle de l’élément de volume de la mécanique.
– une approche thermodynamique de nature phénoménologique et inductive : elle introduit un milieu continu équivalent au milieu réel et représente les phénomènes physiques microsco- piques par des variables internes macroscopiques.
– une approche fonctionnelle (héréditaire) : elle conduit à des lois de type intégral faisant inter- venir des fonctions caractéristiques du matériau, exprimées elles aussi en terme de variables macroscopiques. Ces lois sont dites héréditaires car elles introduisent le fait que la réponse ne dépend pas seulement de la sollicitation actuelle, mais aussi de toute son histoire antérieure.
Aucune de ces trois approches ne permet des identifications directes : les variables microsco- piques (densité de dislocation, densité de cavités, texture,...) sont difficilement mesurables, et dif- ficilement utilisables dans des calculs pratiques. Les potentiels thermodynamiques sont pratique- ment inaccessibles aux mesures. Les variables internes, par définition, ne sont pas directement mesurables. Les fonctions héréditaires nécessitent la connaissance de toute l’histoire des variables observables ce qui pose des problèmes tant d’ordre théorique que expérimental.
La méthode phénoménologique globale consiste à étudier l’élément de volume de matière au travers des relations de cause à effet qui existent entre les variables physiquement accessibles.
Elle constitue les entrées et les sorties des processus étudiés. On détermine ainsi les réponses du matériau à des entrées spécifiques. Les lois de comportement phénoménologique sont largement étudiées car elles permettent d’obtenir des outils efficients pour des pièces industrielles. C’est ce type d’approche qui sera utilisée pour tenter de prédire le comportement mécanique de notre matériau.
Dans ce chapitre, nous présenterons le modèle de comportement phénoménologique Hyperélasto-Visco-Hystérétique utilisé pour reproduire le comportement du matériau analysé.
Dans un premier temps, nous aborderons la description de la décomposition de la contrainte appli- quée en se basant sur la littérature pour en dégager les trois contributions constituant notre modèle.
Chacune des contributions est par la suite développée en s’appuyant sur la littérature et les es- sais expérimentaux qui nous permettront de les mettre en évidence afin d’identifier les paramètres matériau de notre modèle.
2.1 Revue succincte des modèles phénoménologiques pour la représentation mécanique du comportement des élasto- mères
Le comportement mécanique des élastomères montre un certain nombre de caractéristiques complexes, répertoriées dans la littérature et que nous avons déjà citées dans le chapitre 1.
Pour de faibles déformations, les élastomères se comportent comme un matériau élastique li- néaire. Pour les grandes déformations, ils présentent un comportement élastique non linéaire ([Cantournet et al., 2009]). L’effet de la dépendance à la vitesse de déformation est révélé par les essais de fluage et de relaxation ainsi que par les essais de chargement cyclique. Dans le cas de chargement cyclique, des boucles d’hystérésis se forment lors du déchargement. Un phénomène d’équilibre hystérétique a été mis en évidence par Lion [Lion, 1996a] à l’aide d’essais de char- gement interrompu par des périodes de relaxation. De plus, les élastomères chargés présentent un adoucissement de la contrainte dès le premier cycle de chargement, appelés effet Mullins [Mullins, 1947, Dorfmann and Ogden, 2004, Diani et al., 2006a, Cantournet et al., 2009]. Nous al- lons, par la suite, tenter de tenir compte de ces différents phénomènes pour reproduire le comporte- ment de l’élastomère-fluoré étudié. Dans cette étude, nous nous interressons seulement au premier cycle de chargement. De ce fait, nous intègrons l’effet Mullins dans le comportement simulé en n’ayant pas de vocation pour simuler les autres cycles.
Dans la littérature, les auteurs s’appuient essentiellement sur ces données expérimentales pour dégager un modèle permettant de prendre en compte les différents phénomènes observés. Classi- quement, pour traiter le comportement des élastomères par une loi de type phénoménologique, plusieurs auteurs utilisent une décomposition du gradient de déformation ou de la déforma- tion. Pour les modèles viscoélastiques, il est souvent considéré une décomposition multiplica- tive du gradient de déformation en une partie élastique et une partie inélastique initialement proposée par Green et Tobolsky [Green and Tobolsky, 1946]. Elle fut approfondie par Sidoroff [Sidoroff, 1975a, Sidoroff, 1975b] et Lubliner [Lubliner, 1985]. L’énergie libre de ce système est séparée en une partie équilibrée et l’autre non équilibrée donnée par la contrainte d’équilibre élas- tique et la viscosité induisant de l’overstress [Huber and Tsakmakis, 2000].
Motivé par les observations expérimentales, Lion [Lion, 1996a] propose un modèle constitutif où la contrainte totaleσest composée de la somme de la contrainte d’équilibreσeqet de l’overstress σov(contrainte dépendante de la vitesse de déformation) :
σ=σeq+σov (2.1)
L’idée physique derrière cette décomposition est de relier les propriétés matériau dé-
pendantes de la vitesse de déformation, c’est-à-dire l’overstress, et les propriétés in- dépendantes de la vitesse de déformation qui sont la contrainte d’équilibre. Cette dé- marche a été appliquée en suivant plus ou moins cette formulation, par plusieurs au- teurs [Lion, 1997, Reese and Govindjee, 1998, Haupt and Sedlan, 2001, Krempl and Khan, 2003, Laiarinandrasana et al., 2003, Amin et al., 2006] et bien d’autres non cités.
Mais de plus en plus d’auteurs suivent une nouvelle approche basée sur la dé- composition de la contrainte globale en plusieurs contributions afin de considérer un certain nombre de phénomènes. On peut citer pour les polymères et les élasto- mères [Miehe and Keck, 2000, Lin and Schomburg, 2003, Besdo and Ihlemann, 2003, Hasanpour and Ziaei-Rad, 2008, Hasanpour et al., 2009, Gracia et al., 2010].
Nous décrivons les différentes contributions considérées pas plusieurs auteurs [Lion, 1996a, Miehe and Keck, 2000, Gracia et al., 2010] les amenant à considérer :
– le cas où il y a absence de dépendance à la vitesse de déformation et pas d’hystérésis sta- tique ; la contrainte est alors dépendante de la loi élastique pour caractériser des déformations élastiques importantes,
– le cas où il y a présence de la dépendance à la vitesse de déformation tel que les phénomènes de relaxation et fluage, mais absence de l’équilibre d’hystérésis ; la contrainte est une fonc- tion dépendante de la vitesse de déformation, mais la contrainte équilibrée est donnée par la relation élastique soit l’overstress viscoélastique,
– le cas où il y a absence de dépendance à la vitesse de déformation, où de manière équivalente la vitesse de déformation tend vers 0, la contrainte est déterminée par une fonction indépendante de la vitesse de déformation, de l’histoire des déformations, associée à l’état d’équilibre en relaxation, soit le comportement élastoplastique,
– dans la plupart des cas, la contrainte totale correspond à une fonction dépendante de la vitesse de déformation incluant une dépendance non linéaire à la vitesse de déformation ainsi que l’équilibre d’hystérésis, soit un comportement viscoplastique.
Afin de modéliser l’effet Mullins certains auteurs [Lion, 1996a, Miehe and Keck, 2000, Marckmann et al., 2002, Laiarinandrasana et al., 2003, Lin and Schomburg, 2003, Diani et al., 2006a] ajoutent, de plus, un modèle d’endommagement basé, par exemple, sur le modèle de Bueche [Bueche, 1961] pour prendre en compte ce phénomène dans la représenta- tion du comportement du matériau.
Nous présentons, dans ce qui va suivre, le principe de la décomposition des contraintes que nous avons appliqué pour notre modèle.