2.4 Mod´elisation pour la commande en tension
2.4.2 Construction du mod`ele de commande
Consid´erons la dynamique lin´eaire (2.49) d’un syst`eme ´electrique et rap- pelons que cette repr´esentation est obtenue en lin´earisant ce syst`eme autour d’un point de fonctionnement et en ´eliminant ces variables alg´ebriques. Si un vecteur ude variables d’entr´ees ainsi qu’un vecteur y de variables de sorties sont consid´er´es, nous obtenons une repr´esentation d’´etat du syst`eme lin´eaire entr´ee/sortie ainsi d´efini :
x˙ =Ax+Bu
y=Cx+Du . (2.64)
Ces calculs peuvent ˆetre r´ealis´es pour un tr`es grand syst`eme ´electrique utilisant des logiciels d´edi´es comme, par exemple, [33].
Soit
y(s) =H(s)u(s). (2.65)
En th´eorie des syst`emes, il est connu que les ´el´ements de la matrice de transfert du syst`eme multi entr´ees/multi sorties (2.65) peuvent s’´ecrire sous la forme
Hij(s) = XN k=1
[ rijk
s−λk + r¯ijk s−λ¯k
], i= 1, ..., p , j= 1, ..., m , p6=m (2.66)
o`u rkij est le r´esidu du mode pk de la fonction transfertHij,N le nombre total de modes du syst`eme.
Ces r´esidus peuvent ˆetre calcul´es `a partir des matrice A, B et C d’une forme d’´etat (2.64)
rjji =CjviwiTBj (2.67)
o`uvi(respectivementwi) est le vecteur propre `a droite (respectivement `a gauche) de la valeur propre i(voir Section 3.5).
Mod`ele de commande
Un mod`ele de commande est un mod`ele dynamique d’ordre r´eduit construit
`a partir d’un mod`ele complet du syst`eme ´electrique pour lequel une commande doit ˆetre r´ealis´ee (Figure 2.14). Le mod`ele de commande doit pr´eserver uni- quement certaines caract´eristiques du mod`ele complet (quelques variables et quelques modes oscillatoires) qui sont importantes du point de vue des ob- jectifs de la commande. En g´en´eral, les modes oscillatoires pr´eserv´es dans le mod`ele de commande sont les modes mal amortis pour lesquels une action de commande est n´ecessaire. En effet, le mod`ele de commande doit reproduire le comportement transitoire du mod`ele complet dans la plage des fr´equences de l’ensemble des modes oscillatoires mal amortis qui est sp´ecifi´e par une liste explicite Λ={λ1, ..., λn} de modes dans le cahier de charges de la r´egulation (voir chapitre 5).
Suivant (2.66), la matrice de transfert du syst`eme entr´ee/sortie complet peut ˆetre ´ecrite comme suit :
Fig. 2.14.Mod`ele de commande
Hij(s) = Xn k=1
[ rijk s−λk
+ rijk s−λk
| {z }
A(s)ij B(s)ij
] + XN k=n+1
[ rijk s−λk
+ rijk s−λk
| {z }
C(s)ij D(s)ij
] (2.68)
o`u ABij(s)
ij(s) repr´esente la contribution des modes de l’ensemble Λ et C(s)D(s)ij
ij
repr´esente la contribution des autres modes du mod`ele complet du syst`eme.
Un premier mod`ele de commande peut ˆetre obtenu directement `a partir de l’approximation ABij(s)
ij(s) de la fonction de transfert (2.68). La Figure 2.15 repr´e- sente la comparaison entre les r´eponses d’amplitude et de phase de la fonction de transfertVref 7→ω du mod`ele complet (en traits bleus) et celles de ce mo- d`ele de commande (en traits noires) d’une machine espagnole (ALMARAZ) d’une mod´elisation du syst`eme ´electrique Europ´een interconnect´e o`uVref est la r´ef´erence de la r´egulation de tension et ω est la vitesse de la machine. La diff´erence entre les r´eponses des deux mod`eles est li´ee `a la dynamique C(s)D(s)ijij supprim´ee dans ce mod`ele de commande.
Pour r´eduire l’´ecart entre le mod`ele complet et le mod`ele de commande dans la plage de fr´equence mentionn´ee ci-dessus, ce dernier peut ˆetre obtenu
`a partir de l’approximation ABij(s)
ij(s) de la fonction de transfert (2.68) `a laquelle on ajoute une correction.
Fig. 2.15. Repr´esentation fr´equentielle deH(s)ii,i=ALM ARAZ: Comparaison du mod`ele complet (traits bleus ’+’) et du mod`ele de commande (traits noires)
Nous proposons comme fonction de transfert du mod`ele de commande l’approximation suivante deHij(s) :
H˜ij(s) = Xn k=1
[ rijk s−λk
+ r¯kij s−¯λk
] +P(s)ij
Q(s)ij
(2.69)
o`urkij, ¯rkij,k= 1, ..., nsont connus `a partir de (2.68) et les polynˆomesP(s) et Q(s) sont calcul´es de telle mani`ere que les r´eponses dans le domaine fr´e- quentiel (module et phase) des ˜Hij(s) s’approchent de celles deH(s)ij, pour la bande de fr´equence de travail mentionn´ee ci-dessus. En effet, les polynˆomes P etQpour chaque transfert ˜Hij(s) dans (2.69) sont calcul´es comme suit :
– leurs degr´es sont choisis de telle mani`ere que ˜Hij soit strictement propre et un des polynˆomes soit monique (afin d’avoir une structure identi- fiable) :
Q(s) =sv+qv−1sv−1+...+q0
P(s) =pv−1sv−1+...+p0 (2.70)
– pour obtenir le mod`ele de commande d’ordre n+v, 2v param`etres doivent ˆetre identifi´es comme coefficients dePetQ:{q0, ..., qv−1, p0, ..., pv−1}. Dans [33] il a ´et´e montr´e comment la repr´esentation fr´equentielle (ou re- pr´esentation de Bode dans notre cas) peut ˆetre facilement obtenue mˆeme pour les syst`emes ´electriques de tr`es grande taille pour lesquels on dispose d’un mo- d`ele de simulation tel que d´ecrit en Section 2.2.
La Figure 2.16 contient, en traits pleins, les r´eponses d’amplitude et de phase de la fonction de transfert Vref 7→ ω d’une machine espagnole d’une mod´elisation du syst`eme ´electrique Europ´een interconnect´e o`u Vref est la r´ef´erence de la r´egulation de tension etω est la vitesse de la machine. Ces re- pr´esentations contiennent les informations sur le transitoire du syst`eme pour une large bande de fr´equences du mod`ele complet du simulation (dans ce cas, par exemple, 8000 modes).
Cependant, le mod`ele de commande que nous proposons concerne unique- ment une bande de fr´equence donn´ee [ω−Λ ω+Λ] et qui concerne l’ensemble des modes Λqui nous int´eressent. En effet, le mod`ele de commande doit avoir la mˆeme repr´esentation fr´equentielle que celle du mod`ele complet de simulation dans la bande de fr´equence [ω−Λ ωΛ+] seulement.
Pour ce faire, les coefficients pi, qi dans (2.70) pour chaque fonction de transfert ˜Hij(s) dans (2.69) sont, en fait, calcul´es comme solution d’un pro- bl`eme d’optimisation (moindre carr´es) dont la fonction objectif est :
Jident=P
ω−Λ≤ωk≤ωΛ+[αk(Ak− |H˜ij(iωk)|)2+ βk(ϕk−arctg(Im{Re{HH˜˜ij(iωk)
ij(iωk)))2] (2.71) ou Ak et ϕk sont les valeurs du module, respectivement de la phase de Hij(iωk) eti2=−1. (Ak, ωk) et (ϕk, ωk) sont des points des courbes de Bode du syst`eme complet et qui repr´esentent des donn´ees d’entr´ee pour le probl`eme de l’identification fr´equentielle
{pi, qi}i∈{0,...,ν−1}=argmin{Jident}. (2.72)
Fig. 2.16. Repr´esentation fr´equentielle deH(s)ii,i=P GR: Comparaison du mo- d`ele complet (traits bleues ’-’) et du mod`ele de commande (traits rouges ’.’)
Les pond´erations αk, βk sont utilis´ees pour g´erer le compromis entre la minimisation de l’´ecart en module et respectivement en phase et, ´eventuel- lement, ajuster d’une mani`ere prioritaire les coefficients pi,qi afin de mieux s’approcher de la r´eponse du mod`ele complet pour des fr´equences sp´ecifiques.
La stabilit´e du mod`ele de commande ˜Hij est li´ee `a l’appartenance des ra- cines du polynˆome Q au demi-plan complexe gauche. Ceci peut ˆetre assur´e d’une mani`ere syst`ematique en int´egrant explicitement cette contrainte au probl`eme d’optimisation (2.72). Cette option n’a pas ´et´e prise en consid´era- tion car, d’une part, ceci alourdi significativement les calculs et, d’autre part, le b´en´efice est souvent nul. En effet, ceci est souvent redondant du moment o`u un r´esidu faible obtenu pour (2.72) est synonyme de stabilit´e pour le mod`ele de commande car le mod`ele completHij est stable.
La proc´edure d’identification est r´ep´et´ee, comme une proc´edure d’essais et erreurs, en augmentant les degr´es des polynˆomes P et Qjusqu’`a l’obtention d’un ajustement acceptable des r´eponses fr´equentielles dans la bande de tra- vail [ω−Λ ωΛ+] .
Fig. 2.17.Repr´esentation fr´equentielle deH(s)ij,i=Cof rentesetj=Almaraz:
Comparaison du mod`ele complet (traits bleues ’-’) et du mod`ele de commande (traits rouges ’.’)
Nous avons remarqu´e que pour une fonction de transfert de la diagonale de H(s),i.e., concernant une seule machine, les r´eponses du mod`ele complet, repr´esent´ees par des traits continus en Figure 2.16 et du mod`ele r´eduit (traits interrompus) sont quasiment identiques dans la bande de travail et pour un calcul avec deg(P) = 1 et deg(Q) = 2. En revanche, pour une fonction de transfert extra-diagonale de la matriceH, l’ajustement est beaucoup plus dif- ficile du moment o`u les interactions entre plusieurs g´en´erateurs doivent ˆetre capt´ees dans le mod`ele de commande. La Figure 2.17 montre le r´esultat obtenu avec les mˆemes degr´es pour les polynˆomes P et Q(υ= 2) pour un transfert impliquant deux machines espagnoles distinctes. Si n´ecessaire, l’identification donnera des meilleurs r´esultats si υest augment´e, mais le choix de l’ordre du mod`ele de commande d´epend ´egalement des objectifs vis´es par ce dernier et de son utilisation.
Notons que le probl`eme d’optimisation est trait´e ici dans le cas g´en´eral, i.e., sans investiger ces particularit´es, Il serait int´eressant de voir la possibilit´e de le rendre convexe (ou quasi-convexe) en le mod´elisant, par exemple, sous forme de probl`eme sous contraintes LMI (Linear Matrix Inequality).