Convergence et stabilit´ e des inter-corr´ elations

Convergence, dur´ees de bruit corr´el´e et choix des gammes de fr´equence Pour ´etudier les variations temporelles des corr´elations, Hadziioannou et al. (2009) ont montr´e qu’il n’est pas n´ecessaire de reconstruire la fonction de Green exacte ; la seule condition n´ecessaire est celle de la stabilit´e du bruit ambiant dans le temps, qui assure la stabilit´e de la fonction de corr´elation reconstruite. Afin de d´eterminer la dur´ee de bruit ambiant n´ecessaire `a la stabilit´e des corr´elations, ce paragraphe reprend la m´ethode utilis´ee dans la section 5.1 pour analyser la convergence des corr´elations aux fr´equences de 1.5 Hz et de 2 `a 10 Hz, par pas de 1 Hz.

Pour chaque fr´equence, une fonction de r´ef´erence est calcul´ee `a partir de la somme des corr´elations du mois d’aoˆut 2008, filtr´ee sur une bande de fr´equence de ±30% autour de la fr´equence centrale. Par ailleurs, pour des dur´ees croissantes de X heures (X=70, 140, 210 ..., 630), X corr´elations d’1 h s´electionn´ees au hasard sont somm´ees pour former une corr´elation partielle. Pour chaque dur´ee, 20 tirages au sort sont r´ealis´es. Pour chacun de ces tirages, on calcule alors le coefficient de corr´elation entre corr´elation de r´ef´erence et corr´elation partielle, toutes deux normalis´ees par leur maximum et pour des temps d’arriv´ees τ entre 1 et 10s. Ce calcul est r´ealis´e s´epar´ement sur les parties causale et acausale des corr´elations, et le calcul du coefficient de corr´elation entre ces deux parties permet d’estimer la sym´etrie des corr´elations.

La Figure 5.13 pr´esente les r´esultats obtenus pour les fr´equences de 2 et 8 Hz. Sur ces figures, chaque tirage est repr´esent´e par un point positionn´e en fonction la dur´ee de bruit corr´el´e et du coefficient de corr´elation avec la r´ef´erence, et est color´e en fonction

176 5. Le glissement de terrain d’Avignonet de la sym´etrie de la corr´elation partielle (coefficient de corr´elation entre parties causale et acausale). Comme d´ej`a observ´e sur les r´esultats du r´eseau IHR, la convergence est plus rapide et les corr´elations sont plus sym´etriques `a 2 Hz qu’`a 8 Hz. Pour chacune des fr´equences, nous avons de plus estim´e un temps de convergence, correspondant au premier temps auquel tous les tirages ont montr´e un coefficient de corr´elation avec la r´ef´erence sup´erieur `a 0.99. Le tableau 5.3 rassemble les valeurs de temps ainsi relev´ees. En dessous de 3 Hz, la convergence est rapide (moins de 100 h ou 4 jours) ; entre 3 et 5 Hz, elle est relativement rapide dans le sens AVP - AVM (moins de 200 heures ou 8 jours), et plus lente dans le sens AVM - AVP (moins de 400 heures ou 16 jours). Au dessus de 5 Hz, la convergence est obtenue dans les deux sens apr`es plus de 250 h ou 10 jours.

Ces temps de convergence plus courts pour les basses fr´equences, sont essentiellement li´es `a l’agrandissement de la zone de coh´erence (ensemble des azimuts qui participent `a la reconstruction de la fonction de Green) avec l’allongement de la longueur d’onde, comme d´emontr´e par (Larose, 2006) (voir section 1.2.2). Cet effet est par ailleurs renforc´e d’une part par la diff´erence d’excitation du milieu aux diff´erentes fr´equences, plus permanente

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a basse fr´equence (voir section 5.3), d’autre part par l’absorption dans le milieu, plus importante `a haute fr´equence.

Fig. 5.13 – Convergence of the correlation functions around (a) 2 and (b) 8 Hz. Positive (resp. negative) times correspond to AVP to AVM (resp. AVM to AVP) propagation. The color scale indicates the correlation coefficient between causal and acausal parts of the cross-correlations, i.e. is an indicator of their symmetry.

Tab.5.3 –Length of ambiant noise needed for all draws to present a correlation coefficient with reference higher than 0.99

Frequency (Hz) 1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Time AVP → AVM (hour) 67 67 67 135 200 270 340 410 410 410 Time AVM → AVP (hour) 67 67 200 340 410 410 410 480 480 410

Le glissement affectant le terrain jusqu’`a environ 50 m de profondeur pour des vitesses de phase des ondes de surface de l’ordre de 500 m/s, les fr´equences susceptibles d’ˆetre les

5.2. Suivi temporel du glissement de terrain 177 plus sensibles `a des variations li´ees au glissement sont sup´erieures `a 3Hz. Pour analyser le compromis entre convergence des corr´elations et fr´equences susceptibles d’observer un changement, nous pr´esentons les r´esultats pour trois gammes diff´erentes : (1) fr´equences de 1.3 `a 3.5 Hz, qui convergent rapidement mais dont la propagation est affect´ee aussi par le milieu en dessous du glissement, (2) fr´equences de 2 `a 5 Hz, qui convergent relativement rapidement et sont sensibles au glissement de terrain et `a la formation argileuse saine sous-jacente et (3) fr´equences de 5 `a 10 Hz, qui ´echantillonnent la surface (entre 5 et 30 m de profondeur), mais qui ne convergent qu’apr`es plus de 16 jours. Cette longue dur´ee pose probl`eme d’une part parce que les donn´ees `a Avignonet ne couvrent que peu de p´eriodes continues de plus de 16 jours, d’autre part parce que la r´esolution temporelle de la m´ethode se trouve diminu´ee.

Stabilit´e des corr´elations et longueur de coda

Pour les trois gammes de fr´equences choisies, la Figure 5.14 pr´esente d’une part l’´evo- lution des inter-corr´elations calcul´ees `a partir de 1 jour de bruit ambiant (colonne de gauche), d’autre part la comparaison de corr´elations calcul´ees `a partir de 12 p´eriodes dis- tinctes de 12 jours de bruit (colonne de droite). Dans les gammes de fr´equences 1.3-3.5 Hz et 2-5 Hz, les corr´elations paraissent tr`es stables, avec des arriv´ees coh´erentes jusqu’`a 10 s dans la coda (visibles sur les graphes b), d) et e)). L’amplitude de l’onde directe semble stable de AVP vers AVM (partie de droite), alors qu’elle varie de AVM vers AVP (partie de gauche). De plus, les corr´elations `a basse fr´equence ne sont pas sym´etriques, t´emoignant d’une asym´etrie du champ d’onde `a ces fr´equences comme d´ej`a observ´e dans la section 5.1.6. En accord avec l’´etude sur la convergence, le rapport signal sur bruit est moins bon aux fr´equences entre 5 et 10 Hz, les formes d’ondes reconstruites sont moins sym´etriques, et seules les arriv´ees directes (`a 1 s) semblent ˆetre coh´erentes d’une corr´elation `a l’autre.

Il semble donc possible d’´etudier les variations de vitesse au moins dans les deux gammes de fr´equences les plus basses.

Emergence et dur´´ ee de la coda reconstruite

Pour estimer la dur´ee de coda utile au calcul des variations de vitesse, les enveloppes des corr´elations ont ´et´e calcul´ees afin d’identifier la partie de la coda dont le rapport signal sur bruit est suffisant. Dans leur ´etude en laboratoire, Hadziioannou et al. (2009) ont montr´e que la technique des doublets ´etait capable d’identifier des variations temporelles de l’ordre de 1/1000 pour des rapports signal/bruit sup´erieurs `a 10, tandis que la m´ethode du stretching permet de les identifier jusqu’`a un rapport signal sur bruit ´egal `a 1. Dans cette ´etude cependant, les sources de bruit ´etaient parfaitement maˆıtris´ees, et l’on s’attend

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a de moins bons r´esultats en milieu naturel.

Sur l’ensemble des donn´ees disponibles, les corr´elations sont calcul´ees pour des fenˆetres glissantes de dur´ee T = 6 h, 1, 2, 4, 8 et 12 jours de bruit ambiant - fenˆetres distinctes pour les dur´ees de 6 h et 1 jour, et d´ecal´ees de 1 jour pour les autres dur´ees. Ces corr´elations sont ensuite filtr´ees dans chacune des 3 gammes de fr´equence ´etudi´ees, et leurs enveloppes (module de la transform´ee de Hilbert) sont normalis´ees par leur maximum puis moyenn´ees.

Les r´esultats sont pr´esent´es Figure 5.15. On distingue sur ces figures 3 parties diff´erentes :

178 5. Le glissement de terrain d’Avignonet

Fig. 5.14 – Stability of the correlation functions in the a) and b) 1.3-3.5 Hz, c) and d) 2-5 Hz, e) and f) 5-10 Hz frequency bands. Left : Temporal evolution of the 1 day cross- correlation functions. Dashed lines indicate a gap in the date axis. Right : comparison of twelve 12-day-long correlations functions.

le maximum de l’enveloppe (vers 1 s) est associ´e `a l’arriv´ee directe de l’onde de Rayleigh ; la p´eriode de d´ecroissance (surlign´ee par la courbe noire) correspond `a la partie reconstruite de la coda de la corr´elation (qui n’est pas n´ecessairement ´egale `a celle de la fonction de Green) ; enfin, la partie o`u l’amplitude ne varie pas traduit le niveau de bruit, ou niveau de fluctuations.

5.2. Suivi temporel du glissement de terrain 179

Fig.5.15 –Envelopes of the correlations functions for the (a) 1.3-3.5 Hz, (b) 2- 5 Hz, and (c) 5-10 Hz frequency bands.

The different curves correspond to cor- relations computed from 6 hours, 1, 2, 4, 8 and 12 days.

Ce niveau de bruit est plus important `a haute fr´equence (rapport bruit/signal autour de 0.015) qu’`a basse fr´equence (rapport bruit/signal autour de 0.01). Par ailleurs, `a haute fr´equence (Figure 5.15 c), le rapport signal/bruit ´evolue encore entre 8 et 12 jours de bruit : les corr´elations entre 5 et 10 Hz n’ont pas encore converg´e apr`es 12 jours. Enfin, on peut identifier les temps pour lesquels la coda a une amplitude au moins 2 fois sup´erieure

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a celle du bruit pour les corr´elations de 12 jours de bruit ambiant : jusqu’`a 15 s pour la gamme de fr´equences 1.3-3.5 Hz, jusqu’`a 10 s pour la gamme 2-5 Hz, et jusqu’`a 8 s pour la gamme 5-10 Hz.

Dans le paragraphe pr´ec´edent, nous avons estim´e la part de la coda reconstruite pour chaque dur´ee de bruit corr´el´e (T = 6h, 1, 2, 4, 8 et 12 jours) en comparant l’amplitude de la corr´elation `a tous les temps τ, `a l’amplitude de la corr´elation aux temps τ longs. Une autre mani`ere de visualiser la part de coda reconstruite consiste `a comparer, pour chaque tempsτ, l’amplitude de la corr´elation `a celle de la corr´elation limite, correspondant `a une dur´ee de bruit corr´el´e T infinie. Celle-ci est calcul´ee, pour chaque temps τ, `a partir de la d´ecroissance en 1/√

T de l’´ecart type Std des corr´elations (dans une fenˆetre centr´ee sur τ) vers l’´ecart type de la corr´elation limite (Sabra et al., 2005; Weaver and Lobkis, 2005;

Larose et al., 2008, voir section 1.2.2). Cette d´ecroissance suit la loi de l’´equation 5.2 : Std= a

√T +b, (5.2)

o`u Std est l’´ecart type, T est la dur´ee de bruit corr´el´e et a et b sont les param`etres de la r´egression (voir section 1.2.2).

Nous calculons donc dans un premier temps l’´ecart type Std des corr´elations norma-

180 5. Le glissement de terrain d’Avignonet

a) b)

c) d)

Fig. 5.16 – a) Standard deviation computed for all correlations (black points) and law of evolution of the mean standard deviation (red line) with increasing correlated time T for the time window centered at τ=38 s in the 2-5 Hz frequency band. b) to d) Average of the standard deviation in 2 s length moving windows, for correlations of 6h, 1, 2, 4, 8 and 12 day (colors), and limit of the energy of the correlation at infinite correlated times (circles) in the b) 1.3-3.5 Hz, c) 2-5 Hz and d) 5-10 Hz frequency bands.

lis´ees par leur maximum, dans des fenˆetres glissantes de 2 s. Ce calcul est effectu´e pour toutes les corr´elations disponibles correspondant `a des dur´ees de bruit corr´el´e T de 6 heures, 1, 2, 4, 8 et 12 jours. Les points noirs sur la Figure 5.16 (a) repr´esentent ces ´ecarts types pour la fenˆetre `aτ=38 s dans la gamme de fr´equence 2-5 Hz. Les courbes en traits pleins sur les Figures 5.16 (b `a d) correspondent `a la moyenne de ces ´ecarts types sur toutes les corr´elations disponibles pour les diff´erentes fenˆetres glissantes et chaque dur´ee de bruit corr´el´e T.

Nous effectuons ensuite une r´egression pour trouver, pour chaque temps τ et chaque gamme de fr´equence, les param`etres a et b. Le param`etre b est l’´ecart type de la corr´elation limite (`a T infinie), et est repr´esent´e sur les Figures 5.16 (b `a d) par des ronds noirs. Ces figures indiquent que pour les trois gammes de fr´equence, les corr´elations de 12 jours de bruit ont des amplitudes comparables `a celle de la corr´elation `a T infinie jusqu’`a τ=10 s environ.

Ce paragraphe a pr´esent´e la stabilit´e et la convergence des corr´elations dans les trois gammes de fr´equences choisies pour leurs diff´erents taux de convergence et leurs diff´erentes

5.2. Suivi temporel du glissement de terrain 181 profondeurs de sensibilit´e. Visuellement, les corr´elations semblent stables au moins pour les deux gammes de fr´equences les plus basses, avec des arriv´ees jusqu’`a 1`a s environ que l’on retrouve tout au long de la p´eriode d’enregistrement. L’´etude des enveloppes des corr´elations et de l’´evolution du rapport signal/bruit avec la dur´ee de temps corr´el´e nous a de plus montr´e que la coda des corr´elations de 12 jours de bruit a les mˆemes amplitudes que la corr´elation limite (qui correspondrait `a une dur´ee de bruit infinie) jusqu’`a environ 10 s.

Dans la partie suivante, nous analysons les variations de vitesse des corr´elations dans la coda jusqu’`a 10 s, pour les gammes de fr´equences de 1.3 `a 3.5 Hz, 2 `a 5 Hz, et 5 `a 10 Hz.