Découpage du réseau

Nous allons découper le réseau réflecteur en cellules carrées de côté d. Chaque cellule est située à une distance rij du centre du réseau (voir figure 3).

Figure A2.3: découpage du réseau réflecteur

Par commodité, le nombre de cellules N sera toujours impair (quitte à agrandir d'une ligne et d'une colonne le réseau réflecteur par rapport à sa dimension initiale a). Le nombre de cellules N est égal à Ea

d1 où E désigne la partie entière. Compte tenu du problème, nous avons:

E_ij=E_0ti , j u_x pour touti , j et



r_ij=i du_xjdu_y (A2.2) 2.2. Champ rayonné

Le champ rayonné à grande distance s'exprime cellule par cellule en fonction de la transformée de Fourier du champ tangentiel:

E_rayij=je^−jkr

r u∧ E_0tij,∧ u_z (A2..3) avec

d

3.1. Calcul du champ électrique rayonné par cellule ^E_rayij Tout d'abord, intéressons nous au terme ^e

−jkr

r . Dans la théorie des ouvertures, r désigne le rayon par rapport au centre du repère O. Ici, r=R0 dans la notation de la figure 4.

Figure A2. 4 : définition de Rij

nous nous intéressons ensuite à E_0tij,

D'après ce que nous avons dit plus haut, ^E0tij,=1

²

∬

^{Eijejkxydx dy ux .}

en tenant compte de l'expression de Eij, nous avons:

E_0tij,=a_ij

²

∬

i−1 2d ,j−1

2d

i1 2d ,j1

2d

e^{jkxy}dx dy u_x

que nous pouvons calculer directement:

∬

i−1 2d ,j−1

2d

i1 2d ,j1

2d

e^{jkxy}dx dy=[e^{jk i}

1 2d

−e

jki−1 2d

jk ][e

jkj1 2d

−e

jkj−1 2d

jk ]

soit [e^{jk i}

1 2d

−e^jki−

1 2d

jk ][e^jkj

1 2d

−e^jkj−

1 2d

jk ]=d² e^{jkidjd}sin_cd

 sin_c d

  d'où

E_0tij,=a_ijd²

²e^{jkidjd}sin_cd

 sin_c d

  u_x (A2.9)

nous voyons que le terme _e^{jkidjd} représente le décalage de la TF au centre de la cellule (i,j) par rapport à la cellule centrale.

En considérant le repérage du centre de la cellule, nous remarquons que:

 u_x

 u_y

 u_z

M O

θ

a

R₀ R_ij

 r_ij

e^{jkidjd}=e^{−j2ku.rij} d'où

E_0tij,=a_ijd²

²e^{−j2ku.rij}sin_c d

 sin_c d

  u_x (A2.10)

nous nous intéressons finalement à u∧ E_0tij,∧ u_z

nous pouvons écrire u∧ E_0tij,∧ u_z=E_0tij, u∧ u_x∧ u_z . Comme E0tij(α,β) est déjà calculé, nous nous intéressons à u∧ u_x∧ u_z=u∧ u_y

en utilisant les produits vectoriels connus:



u∧ u_x=sin u_coscos u_



u∧ u_y=−cos u_cossin u_

u∧ u_z=−sin u_ nous en déduisons



u∧ E_0tij,∧ u_z=E_0tij,−cos u_cossin u_ (A2.11)

champ rayonné par cellule (i,j) ^E_rayij

en remplaçant par les résultats précédemment trouvés, nous obtenons le champ rayonné par cellule:

E_rayij,=ja_ije^{−jku.rij}e^{−jk R0} R₀

d²

²sin_cd

 sin_cd

 −cos u_cossin u_ que nous pouvons écrire:

E_rayij,=je^{−jk R0} R₀

d²

²sin_cd

 sin_cd

 −cos u_cossina_iju_a_ije^{−jku.rij} ( A2.12)

nous pouvons séparer l'expression de ^E_rayij en trois termes:

- je^{−jk R0} R₀

d²

² qui est un terme constant, - sin_c d

 sin_c d

 −cos u_cossin u_ qui ne dépend que de θ et ϕ, - a_ije^{−j2ku.rij} qui dépend de θ, ϕ et de (i,j).

3.2. Calcul du champ électrique total E_ray dans la direction θ, ϕ Le champ total est la somme des champs rayonnés par les cellules:

E_ray=

∑

^{i , j Erayij}

soit en développant et en séparant suivant les composantes Eθ et Eϕ, E_=E_cos

E_=−E_cossin avec E_=je^{−jk R0}

R₀ d²

²sin_c d

 sin_c d

 

∑

i , j

a_ije^{j2kidsincosjdsinsin} (A2.13)

En supposant que le diagramme de rayonnement possède une symétrie en ϕ autour de l'axe Oz, dans le cas où le réseau focalise selon cet axe, il suffit de calculer la densité de puissance dans un de ces plans, par exemple ϕ=90° , de l'intégrer selon θ puis de multiplier le résultat par 2π (symétrie en ϕ). Nous supposons de plus que le champ dans l'ouverture est uniforme: E_0t=E₀ u_x

5.1. Calcul de la puissance rayonnée par le théorème de Parseval Si le champ est uniforme alors chaque cellule est soumise à ^aij=E₀ , soit

P_ray=N²d²∣E₀ ∣²

2 (A2.17)

5.2. Diagramme dans le plan ϕ=90°

si ϕ=90° alors

=0

=sin

 u_=− u_x

d'où

- sinc d

 =1

- −cos u_cossin u_=−cos u_x - e^{−j2ku.rij}=e^j2ksinjd

Le champ total rayonné dans la direction θ est donné par:

E_=0

E_=−E_cos et E_=je^{−jk R0} R₀

d²

²1∗sincsind

  u_x

∑

^{i , jaijejksinjd}

avec

i , j

∑

=0,0

N−1,N−1

e^jksinjd=N e^jkNdsin

sinkN d 2sin

sink d 2sin

d'où

E_ray0, sin=jE₀e^{−jk R0} R₀

d²

²1∗sincsind

 cos u_xN e^jkNdsin

sinkN d 2sin

sink d 2sin

(A2.18

)

La densité de puissance dans une direction θ donnée est:

dP_ray dS = 1

2 ∗E₀² 1 R₀²

d⁴

⁴ sinc²sind

 cos² N²

sin²kN d 2sin

sin²kd 2sin

(A2.19)

La densité de puissance maximale est obtenue pour θ=0:

dP_ray

dS max= 1

2 ∗E₀² 1 R₀²

d⁴

⁴ N⁴ (A2.20) En appliquant la définition de la directivité:

D_max= dP_ray

dS max P_ray 4 R₀²

,

en remplaçant, nous obtenons:

D_max=

 1

2 ∗E₀² 1 R₀²

d⁴

⁴N⁴ E₀E₀'Nd²

2 4 R₀² soit le résultat:

D_max=4 dN²

² (A2.21) En remarquant que dN≃a , nous obtenons

D_max=4 S

² où S est la surface du réflecteur

ce qui correspond au résultat classique pour une ouverture rayonnant majoritairement au voisinage de Oz.

5.3. Diagramme dans le plan ϕ=0°

si ϕ=90° alors

=sin

=0

 u_= u_y

d'où - sinc d

 =1

- −cos u_cossin u_=− u_ - e^{−j2ku.rij}=e^j2ksinid

E_rayij0, sin=jE₀e^{−jk R0} R₀

d²

²1∗sincsind

  u_ye^iksinjd Le champ total rayonné dans la direction θ est donné par:

E_ray0, sin=jE₀e^{−jk R0} R₀

d²

²1∗sincsind

  u_yN e^jkNdsin

sinkN d 2sin

sink d 2sin

(A2.22)

La densité de puissance dans une direction θ donnée est:

dP_ray dS = 1

2 ∗E₀² 1 R₀²

d⁴

⁴sinc²sind

 N²

sin²kN d 2sin

sin²kd 2sin

(A2.23)

La densité de puissance maximale est obtenue pour θ=0:

dP_ray

dS max= 1

2 ∗E₀² 1 R0

2

d⁴

⁴ N⁴

En appliquant la définition de la directivité:

D_max= dP_ray

dS max P_ray 4 R₀²

,

en remplaçant, nous obtenons:

D_max=

 1

2 ∗E₀² 1 R₀²

d⁴

⁴N⁴ E₀E₀'Nd²

2 4 R₀² soit le résultat:

D_max=4 dN²

² (A2.24)

Nous retrouvons le résultat du plan ϕ = 90° équation (A2.21) ce qui est normal car dans les deux cas θ = 0°.

5.4. Diagramme dans un plan ϕ0 quelconque

dans ce cas α et β sont donnés par (A2.4): ^_^{0 =sincos0}

0 =sinsin0

(i) les valeurs de sinc doivent être calculées au centre de chaque cellule en fonction de α0 et β0

- −cos₀ u_cossin₀ u_ , - e^{−j2ku.rij}=e^{j2ksincos0 idsinsin0 jd} ,

- (A2.23) nous montre que le champ rayonné possède deux composantes Eθ et Eϕ , qui seront calculées séparément:

E_=E_

0cos₀

E_=−E_0cossin₀

avec E_

0=je^{−jk R0} R₀

d²

²sin_c 0 d

 sin_c 0 d

 

∑

i , j

a_ije^{j2kidsincos0jdsinsin0}

pour plus de commodité nous appelons dim4=

∑

i , j

e^{j2ksincos0} idsinsin0 jd

La densité de puissance dans une direction θ donnée est:

dPray

dS = 1

2 ∗E₀² 1 R₀²

d⁴

⁴sinc²0 d

 sinc²0 d

 dim4dim4'[cos0

2 cos² sin0 2]

(A2.25) La densité de puissance maximale est obtenue pour θ = 0 soit α =0 et β = 0:

en effet _[cos0

2 cos² sin0

2]=cos0

2 sin0 2=1

dP_ray

dS max= 1

2 ∗E₀² 1 R₀²

d⁴

⁴ N⁴ (A2.26)

En appliquant la définition de la directivité:

D_max= dP_ray

dS max P_ray 4 R₀²

,

en remplaçant, nous obtenons:

D_max=

 1

2 ∗E₀² 1 R₀²

d⁴

⁴N⁴ E₀E₀'Nd²

2 4 R₀² soit le résultat:

D_max=4 dN²

² (A2.27) Nous retrouvons les résultats précédents.

No documento Développement d’antennes millimétriques en bande W (páginas 187-200)