Chapitre II Simulation du comportement énergétique des bâtiments basse
3.2 Description du modèle développé
3.2.3 Evaluation du flux conductif par la méthode des facteurs de réponse
Le sous-problème conductif à résoudre est présenté en figure III.19.
Tsp
Tsse
q’sp
y
z Échangeur air-sol
q’sse
Figure III.19 : Structure 2D pour les calculs de facteurs de réponse (conduction seule)
Un facteur de réponse représente le flux (ici en W/m) répondant à une sollicitation en température triangulaire de hauteur unitaire (telle que présentée à la figure III.21) sur l’une des frontière tout en laissant les autres frontières à température nulle.
0 Température 1
de surface du sol imposée
Température de surface
du tube
imposée 0
1
Admittance X Transmittance Y Admittance Z
Air extérieur
sol Flux calculé
(W/m)
0 1
0 1
Air extérieur
sol
Air extérieur
sol
0 1 0 1 t
Ts Ts Ts
Ts Ts Ts
t t
t t t
Figure III.20 : Sollicitations et réponses à considérer pour les calculs de facteurs de réponse Dans notre cas, deux frontières sont considérées (la surface du sol et la surface intérieure de l’échangeur air-sol). Pour la configuration donnée ici, les facteurs de réponse à calculer sont au nombre de trois (voir figure III.20) :
L’admittance X qui représente le flux en surface du sol pénétrant dans le sol et répondant à une sollicitation en surface du sol (figure III.21)
Tsse
t Tsp=0
Δtx
Δtx
1°C
Figure III.21 : Sollicitation élémentaire en surface du sol
L’admittance Z qui représente le flux gagné par l’échangeur air-sol et répondant à une sollicitation triangulaire au même endroit
La transmittance Y peut, quant à elle, être calculée de deux manières. On peut soit imposer une variation triangulaire de température en surface du sol et recueillir le flux en surface intérieure du tube (c’est comme cela que le calcul est présenté à la figure III.20), soit imposer une variation triangulaire de température en surface intérieure du tube et recueillir le flux à la surface du sol. La réciprocité des transferts de chaleur nous enseigne que ces deux résultats seront identiques.
3 Modélisation d’un échangeur air-sol (puits canadien) par la méthode convolutive des facteurs de réponse 3.2 Description du modèle développé
Pour ce calcul, on peut choisir un pas de temps de sollicitation différent de celui de chaque admittance.
Sur la base de la structure 2D définie sur la figure III.19, on utilisera un logiciel de calcul de conduction dynamique aux éléments finis1 pour calculer les facteurs de réponse du système.
Les résultats obtenus avec ce logiciel sur un exemple sont présentés à la figure III.22.
Figure III.22 : Exemple de facteurs de réponse (admittance Z) calculés avec COMSOL A partir de la courbe d’évolution du flux en fonction du temps, on peut déduire le facteur de réponse associé en relevant les points correspondant au flux à chaque multiple de l’intervalle de temps de la sollicitation (Z[0] correspond à la réponse au pas de temps 1800, Z[1] correspond à la réponse au pas de temps 3600 etc.)
On obtient donc sur cet exemple :
Z[0] Z[1] Z[2] Z[3] Z[4] Z[5] Z[6] Z[7] Z[8] …
51,00 -25,99 -4,66 -2,41 -1,55 -1,11 -0,84 -0,67 -0,55 …
Tableau III.1 : Exemples de coefficients de l’admittance Z
Pour pouvoir utiliser les résultats des facteurs de réponse, il faut décomposer les sollicitations (température de surface du tube et du sol) en sollicitations élémentaires triangulaires imbriquées (voir figure III.23). En effet, la partie AA’ de la sollicitation réelle peut être approximée par le segment de droite AA’ qui résulte de la somme des segments AO’ et OA’.
1 COMSOL Multiphysics 3.4
Ts
Δt t
A’
A
O’
O t-Δt t t-2Δt
t-3Δt
Figure III.23 : Décomposition des sollicitations en sollicitations triangulaires élémentaires On peut alors recomposer les signaux de sortie par superposition :
0 0
sp sse y sp z
i i
q ( t ) Y [ i ] T ( t i t ) Z [ i ] T ( t i t )
(III.38)0 0
sse sse x sp y
i i
q ( t ) X [ i ] T ( t i t ) Y [ i ] T ( t i t )
(III.39)Ces relations correspondent en fait à l’une des meilleures approximations de l’intégrale de convolution qui apparaît lors de l’application du théorème de Duhamel qui permet de calculer la réponse à une sollicitation quelconque connaissant la réponse indicielle d’un système.
Les sommes infinies apparaissant dans les relations précédentes sont impraticables au niveau numérique. Pour contourner le problème tout en gardant une bonne précision nous voudrions utiliser une première propriété des facteurs de réponse : à partir d’un certain rang, ils forment une progression géométrique (Peavy 1978). La raison de cette progression est appelée le « common-ratio » qui se calcule à partir de la formule (III.40) :
max
cr exp t
(III.40)
τmax étant la constante de temps principale du système étudié qui, malheureusement, dans notre cas, est très élevée en raison de l’inertie thermique relative au sol et le common-ratio a donc une valeur très proche de 1. Il est donc inexploitable pour construire les séries adjointes de « conduction transfer functions » (CTF) nécessaire à la théorie de Peavy (1978).
3 Modélisation d’un échangeur air-sol (puits canadien) par la méthode convolutive des facteurs de réponse 3.2 Description du modèle développé
Pour réduire les sommes infinies, nous allons utiliser une seconde propriété des facteurs de réponse qui se déduit du résultat du problème de conduction en régime permanent :
0 0
sp,RP sse sp
i i
q T Y [ i ] T Z [ i ]
(III.41)0 0
sse,RP sse sp
i i
q T X [ i ] T Z [ i ]
(III.42)Les deux flux précédents sont égaux en régime permanent et peuvent être calculés par :
sse,RP sp,RP sse sp
q q K T T (III.43)
où K est la conductance du système entre la surface du sol et le tube. Par identification, on obtient donc :
0 0 0
i i i
X [ i ] Y [ i ] Z [ i ] K
(III.44)On peut grâce à la formule (III.44) connaître la somme des termes des admittances ou de la transmittance pour un rang supérieur à nz :
1 0
Z
Z
n
i n i
Z [ i ] K Z [ i ]
Idem pour X et Y
(III.45)
La somme des termes de 0 à nX, nY ou nZ peut être calculée directement et une fois pour toute. Pour déterminer la valeur de K, on utilise le même maillage que celui qui a permis de déterminer l’admittance et la conductance en utilisant un calcul en régime permanent pour lequel on impose une température de surface du sol égale à 1°C et du tube égale à 0°C. Le flux calculé est alors égal à K.
Les séries qui interviennent dans les relations (III.38) et (III.39) peuvent maintenant être écrites de la façon suivante:
0 0 1
z
z
n
sp z sp z sp z
i i i n
Z [ i ] T ( t i t ) Z [ i ] T ( t i t ) Z [ i ] T ( t i t )
Idem pour X et Y
(III.46)
Il faut ensuite faire l’hypothèse que, pour un rang supérieur à nz (nz restant à définir), on peut considérer que l’effet des températures peut être moyenné :
1
1 1
Z Z
sp sp
i n i n
Z [ i ] T ( t i t )# T Z [ i ]
Idem pour X et Y
(III.47)
On fait intervenir dans cette équation la moyenne des températures de surface, mais il faut choisir sur quel intervalle de temps cette moyenne doit être considérée.
La réécriture de l’équation (III.38) nous donne alors l’expression (III.48) du flux arrivant en surface du tube :
0 0
0 0
Y Y
Z Z
n n
sp sse y sse
i i
n n
sp z sp
i i
q ( t ) Y [ i ] T ( t i t ) T K Y [ i ]
Z [ i ] T ( t i t ) T K Z [ i ]
(III.48)
De même, la réécriture de l’équation (III.39) nous donne l’expression du flux entrant en surface du sol :
0 0
0 0
X X
Y Y
n n
sse sse x sse
i i
n n
sp y sp
i i
q ( t ) X [ i ] T ( t i t ) T K X [ i ]
Y [ i ] T ( t i t ) T K Y [ i ]
(III.49)