Fonctions convexes

De mˆeme, le membre de droite de (A.5) s’´ecrit

hf₃(X∧Y, u)f₄(X∨Y, v)iµn⊗µn =h1_{u=v}f₃(X∧Y, u)f₄(X∨Y, v)iµn⊗µn

+h1_{u<v}(f₃(X∧Y, u)f₄(X∨Y, v) +f₃(X∧Y, v)f₄(X∨Y, u))iµn⊗µn. On voit donc que lorsque u = v, l’in´egalit´e (A.4) donne imm´ediatement le r´esultat d´esir´e. Lorsque u < v, on pose A ^d´=^ef f1(X, u)f2(Y, v), B ^d´=^ef f1(X, v)f2(Y, u), C ^d´=^ef f3(X∧Y, u)f4(X∨Y, v) et D ^d´=^ef f₃(X∧Y, v)f₄(X∨Y, u). Il suffit alors d’observer que (A.4) implique queA≤C,B ≤C et

AB=f₁(X, u)f₂(Y, u)f₁(X, v)f₂(Y, v)≤f₃(X∧Y, u)f₄(X∨Y, u)f₃(X∧Y, v)f₄(X∨Y, v) =CD.

(A.5) sera donc ´etablie si l’on peut montrer que A+B ≤C+D. Mais ceci est ´evident puisque (C+D−A−B)/C≥1−(A+B)/C+AB/C²= (1−A/C)(1−B/C)≥0. (Observer que l’in´egalit´e d´esir´ee est trivialement satisfaite siC = 0.)

A.2 R´ esultats ´ el´ ementaires sur les fonctions convexes

Dans cette section sont regroup´es quelques r´esultats ´el´ementaires sur les fonctions convexes d’une variable r´eelle.

Th´eor`eme A.2.1. Soit I ⊆R un ouvert, et f :I →R une fonction convexe. Alors 1. Les d´eriv´ees `a droite et `a gauche, ∂⁺f(x) et ∂⁻f(x) existent en tout point x∈I. 2. ∂⁺f(x)≥∂⁻f(x), pour tout x∈I.

3. ∂⁺f et ∂⁻f sont croissantes.

4. ∂⁺f est continue `a droite, ∂<sup>−</sup>f est continue `a gauche.

5. L’ensemble {x : ∂⁺f(x)6=∂⁻f(x)} est au plus d´enombrable.

6. Si (gn)n≥1 est une suite de fonctions convexes de I → R convergeant ponctuellement vers une fonction g, alors g est ´egalement convexe. De plus, si g est d´erivable en x, limn→∞∂⁺g_n(x) = lim_n→∞∂⁻g_n(x) =g^′(x).

D´emonstration. Laiss´ee en exercice.

A.3 Un r´ esultats ´ el´ ementaire sur les doubles suites

Dans cette section, nous prouvons un r´esultat ´el´ementaire, mais souvent utile, sur les doubles suites de nombres r´eels. Nous dirons qu’une double suite (a_m,n)_m,n≥1 est croissante si

m≤m^′, n≤n^′ =⇒ a_m,n ≤a_m^′_,n^′,

et d´ecroissante si (−am,n)m,n≥1 est croissante. La double suite est dite born´ee sup´erieurement (resp.

inf´erieurement) s’il existeC <∞ telle que a_m,n ≤C (resp.a_m,n ≥ −C), pour toutm, n≥1.

Lemme A.3.1. Soit am,n une double suite croissante et born´ee sup´erieurement. Alors

m→∞lim lim

n→∞a_m,n= lim

n→∞ lim

m→∞a_m,n = lim

m,n→∞a_m,n = sup{a_m,n : m, n≥1}. Le mˆeme r´esultat est vrai lorsque la double suite est d´ecroissante est born´ee inf´erieurement.

ANNEXE A. APPENDICES TECHNIQUES

D´emonstration. a_m,n ´etant born´ee, le supremum s= sup_m,na_m,n existe. Soit ǫ > 0. Il existe m₀, n₀ tels que a_m0,n0 ≥s−ǫ. (a_m,n) ´etant croissante, on en d´eduit que

s≥a_m,n ≥s−ǫ, ∀m≥m₀, n≥n₀. Par cons´equent, limm,n→∞am,n =s.

Pour tout m≥1 fix´e, la suite (a_m,n)_n≥1 est croissante et born´ee, et donc convergente ; on note sa limites_m.

On fixe ǫ >0. Il existem1, n1 tels que

|a_m,n−s| ≤ ₂^ǫ, ∀m≥m₁, n≥n₁. Pour m fix´e, on peut ´egalement trouvern₂(m) tel que

|a_m,n−s_m| ≤ ^ǫ₂, ∀n≥n₂(m).

Par cons´equent,

|s_m−s| ≤ǫ, ∀m≥m₁, ce qui implique que lim_m→∞s_m=s. On a donc montr´e que

m→∞lim lim

n→∞a_m,n = lim

m,n→∞a_m,n = sup{a_m,n : m, n≥1}. Les autres affirmations suivent imm´ediatement.

A.4 Lemme de Fekete

Dans cette section, nous prouvons le Lemme de Fekete.

Lemme A.4.1. Soit (a_n)n≥1 une suite de r´eels positifs satisfaisant la condition suivante de sous- additivit´e :

a_n+m≤a_n+a_m, ∀m, n≥1.

Alors,

n→∞lim a_n

n = inf

n≥1

a_n n.

D´emonstration. Soitℓ= infn≥1{^a_nⁿ} ≥0. On fixe ǫ >0, et on choisitK tel que|^a_K^K −ℓ| ≤ ¹₂ǫ.

En posant R= max_an

K : n < K , et on choisissantM suffisamment grand pour queR/M ≤ ¹₂ǫ, on garantit que _{M K}^an ≤ ¹₂ǫ, pour toutn < K.

On pose N = M K, et on consid`ere un n ≥ N arbitraire. On d´ecompose n = sK +r, avec 0≤r < K. Alors

ℓ≤ a_n

n ≤ sa_K

sK+r + a_r

sK+r ≤ a_K K + a_r

M K ≤(ℓ+¹₂ǫ) +¹₂ǫ.

Par cons´equent,|^a_nⁿ −ℓ| ≤ǫ, pour tout n≥N, et l’affirmation suit.

Remarque A.4.1. Il existe de nombreuses extensions de ce r´esultat (autorisant, par exemple, `a avoir un terme suppl´ementaire dans le membre de droite de la condition de sous-additivit´e, d´ependant de m ou dem+n, pourvu qu’il ne croisse pas trop rapidement).

A.4. SOUS-ADDITIVIT ´E

Annexe B

Exercices

Dans ce chapitre sont regroup´es divers exercices compl´etant et (esp´erons-le) clarifiant les notions donn´ees au cours.

♦ ♦ ♦

Exercice 1. On consid`ere le mod`ele d’Ising en dimension 2 sur le graphe (V_N, E_N^per), o`u V_N = {1, . . . , N}². Calculez

Nlim→∞hN⁻² X

i∈VN

σ_iiN;β=0,h, et lim

N→∞hN⁻² X

i∈VN

σ_iiN;β=∞,h.

♦ ♦ ♦

Exercice 2. On consid`ere le mod`ele d’Ising en dimension 2 sur le graphe (V2, E₂^per), o`u V2 ={1,2}² Calculez explicitement

h|¹₄ X

i∈V2

σ_i|i2;β,h. Esquissez les graphe de h|¹₄P

i∈V2σ_i|i2;β,h=0 (comme fonction de β) et h|¹₄P

i∈V2σ_i|i2;β=1,h (comme fonction deh).

♦ ♦ ♦

Exercice 3. i) On consid`ere le mod`ele d’Ising sur le graphe (V_N, E_N^per), o`uV<sub>N</sub> ={1, . . . , N}<sup>d</sup>. Montrez que la propri´et´e de Markov est satisfaite, c’est-`a-dire que, pour tout s∈Ω_N,

µ_N;β(σ_i=s_i|σ_j =s_j,∀j6=i) = exp si(h+βP

j∼isj) exp h+βP

j∼is_j

+ exp −h−βP

j∼is_j. ii) Soient ∆⊆Λ⋐Z^d. V´erifier que pour toutes configurations ¯ω∈Ω etω^′ ∈Ω_Λ, on a

µ^ω_Λ;β,h^¯ (· |σ_|Λ\∆=ω^′_|Λ\∆) =µ^ω_∆;β,h^′ω¯ (·).

♦ ♦ ♦

Exercice 4. Montrer que les fonctions suivantes sont croissantes : n_i, n_A, P

i∈An_i−n_A (i ∈ Z^d, A⋐Z^d).

♦ ♦ ♦

Exercice 5. On consid`ere le mod`ele d’Ising en dimension 1, avec Hamiltonien H^per

N;β,h(ω) =− X

1≤i≤N

βσ_i(ω)σ_i+1(ω) +hσ_i(ω) , o`u σ_N+1 ≡σ₁ (condition au bord p´eriodique).

i) En introduisant lamatrice de transfert T =

e^β+h e^−β e^−β e^β−h

,

montrer que la fonction de partition peut ˆetre r´e´ecrite sous la forme Z_N;β,h^per = X

ω∈ΩN

e^{−HN;β,hper (ω)} = Tr T^N , o`u Tr(A) est la trace de la matrice A.

ii) Calculer l’´energie libre,f(β, h) = limN→∞f_N^per(β, h), o`u f_N^per(β, h) = 1

N logZ_N;β,h^per . iii) Montrer que

hσ₁i^per_N;β,h=h1 N

XN

i=1

σ_ii^per_N;β,h= ∂

∂hf_N^per(β, h).

iv) Calculer hσ1iβ,h= limN→∞hσ1i^per_N;β,h.

♦ ♦ ♦

Exercice 6. Le but de cet exercice est d’´etudier le mod`ele d’Ising sur le graphe complet. Soit Ω_n= {−1,1}ⁿ, et σ_i : Ω → {−1,1},σ_i(ω) =ω_i l’ensemble des spins associ´es. L’Hamiltonien H_n : Ω_n →R est donn´e par

H_n;β,h=− β 2n

Xn

i=1

Xn

j=1

σiσj−h Xn

i=1

σi. On consid`ere la mesure de Gibbs sur Ωn associ´ee `a cet Hamiltonien,

µ_n;β,h(ω) = 1

Z_n;β,he^{−Hn;β,h(ω)}. i) D´eterminer la distribution de l’aimantationm_n= _n¹ P_n

i=1σ_i. ii) Soient s: [−1,1]→Retf : [−1,1]→R les fonctions d´efinies par

s(x) =−1 +x

2 log1 +x

2 −1−x

2 log1−x

2 , f(x) =s(x) +βx² 2 +hx.

Faire une ´etude d´etaill´ee de la fonction f en fonction des param`etres β eth.(Le but de cette partie

´

etant d’obtenir des r´esultats qui seront n´ecessaires pour faire les parties iv) et vi), il est peut-ˆetre pr´ef´erable de faire la partie ii) en mˆeme temps que les parties iv) et vi).)

ANNEXE B. EXERCICES

iii) Utiliser la formule de Stirling : n! = √

2πnⁿ⁺¹²e⁻ⁿ(1 +O(_n¹)), pour montrer qu’il existe 0 <

c₁, c₂ <∞ telles que

c₁n^−1/2e^ns(xk)≤ n

k

≤c₂n^1/2e^ns(xk), (B.1) uniform´ement enx_k=−1 +^2k_n ∈[−1,1]. En d´eduire que

c₁n^−1/2e^nf(xk)≤ X

ω:mn(ω)=xk

e^{nβ2 mn(ω)2+nhmn(ω)}≤c₂n^1/2e^nf(xk). (B.2) iv) En utilisant les propri´et´es de f ´etablies pr´ec´edemment, montrer que

n max

x∈[−1,1]f(x)− max

0≤k≤nf(x_k)≤const.

En utilisant (B.2), en d´eduire qu’il existe 0< c₃<∞ telle que

c₃n^−1/2e^{nmaxx∈[−1,1]f(x)}≤Z_n≤(n+ 1)c₂n^1/2e^{nmaxx∈[−1,1]f(x)}. (B.3) v) Soit −1≤a < b≤1. Montrer que

1

nlogµn(mn∈[a, b])−

x∈[a,b]max f(x)− max

x^′∈[−1,1]f(x^′)

=O(logn

n ). (B.4)

vi) Soit M(β, h) l’ensemble des maxima globaux def, et soit M_ǫ =n

x∈[−1,1] : min

y∈M(β,h)|x−y| ≤ǫo . Montrer que pour toutǫ >0,

n→∞lim 1

nlogµ_n m_n6∈M_ǫ(β, h)

<0. (B.5)

En d´eduire que la loi des grands nombres pour l’aimantation est v´erifi´ee lorsqueh6= 0, et lorsque h= 0 etβ ≤1, mais qu’elle est viol´ee lorsqueh= 0 etβ >1.

vii) Esquissez le graphe de l’aimantation du syst`eme infini comme fonction de h lorsque β ≤ 1 et lorsqueβ >1.

♦ ♦ ♦

Exercice 7. Compl´eter la partie de la preuve du Th´eor`eme 3.3.1 concernant l’existence de la limite thermodynamique de l’´energie libre avec condition au bord libre le long d’une suite de boˆıtes Λ_n⇑Z^d arbitraire.

♦ ♦ ♦

Exercice 8. Soit Λ un sous-ensemble fini de Z^d, et J = (J_A)_A⊆Λ, une famille de nombres r´eels positifs. On consid`ere la mesure de probabilit´e suivante sur (Ω_Λ,F_Λ) :

ν_Λ;^J(ω) = 1 Z_Λ;J

exp{X

C⊆Λ

J_Cω_C}, o`u l’on a utilis´e la notation ω_C =Q

i∈Cω_i. Une version g´en´erale des in´egalit´es GKS est valable pour cette classe de mesures (cf.Th´eor`emeA.1.1). En particulier,

hσ_Aiν_Λ;J ≥0, hσ_Aσ_Biν_Λ;J ≥ hσ_Aiν_Λ;Jhσ_Biν_Λ;J, pour toutA, B⊆Λ.

i) En d´eduire quehσ_AiνΛ;J est croissante enJ_B, pour tout A, B⊆Λ.

ii) Montrer que la mesure de Gibbs du mod`ele d’Ising avec conditions au bord + ou libre, et param`etres β≥0 eth≥0, peut s’´ecrire sous cette forme pour des choix appropri´es deJ.

iii) Montrer que la suite de mesuresµ^∅_Λconverge lorsque Λ↑Z^d, et que la mesure limite est invariante sous les translations.

iv) Soit h≥0. Montrer quehσ_Ai⁺_β,hest une fonction croissante de la dimension du r´eseau.

v) Soit h ≥0. Montrer que hσ₀i⁺_β,h est continue `a droite comme fonction de β, et que hσ<sub>0</sub>i<sup>∅</sup><sub>β,h</sub> est continue `a gauche comme fonction de β. (Indication : utiliser le LemmeA.3.1.)

♦ ♦ ♦

Exercice 9. Adapter l’argument de Peierls au cas du mod`ele de Potts. On se contentera de v´erifier qu’il existeβ₀(q)<∞ tel que lim infn→∞P^Potts;1_Λ

n;β,q(σ₀ = 1)> ¹_q, pour toutβ > β₀(q), o`u P^Potts;1_Λ

n;β,q est la mesure du mod`ele de Potts `a q ´etats, dans la boˆıte Λ_n ={−n, . . . , n}² avec condition au bord 1, `a temp´erature inverse β. Observez que cela implique que la sym´etrie sous permutation des q ´etats est bris´ee `a basse temp´erature.

♦ ♦ ♦

Exercice 10. Etendre la repr´esentation haute temp´erature `a´ hσ_iσ_ji⁺_Λ;β,0 ethσ_iσ_ji^∅_Λ;β,0.

En d´eduire qu’il existe c=c(β)>0 tel quehσ_iσ_jiβ,0 ≤ ¹_ce^−ckj−ik2, pour touti, j ∈Z^d, pour tout β suffisamment petit.

♦ ♦ ♦

Exercice 11. V´erifier que les valeurs (complexes) du champ magn´etique h pour lesquelles l’´energie libre du mod`ele d’Ising unidimensionnel (calcul´ee dans l’Exercice5) est singuli`ere sont toutes purement imaginaires, et qu’elles tendent de 0 lorsqueβ →+∞.

♦ ♦ ♦

Exercice 12. Montrer que les mesures limites P^∅_p,q^d´= lim^ef _Λ↑Z^dP^∅_Λ;p,q etP^w_p,q ^d´= lim^ef _Λ↑Z^dP^w_Λ;p,q existent, sont ind´ependantes de la suite Λ↑Z^dchoisie, et sont invariantes sous l’action du groupe des transla- tions de Z^d.

♦ ♦ ♦

Exercice 13. Soient β∈[0,∞] etp_β ^d´= 1^ef −e^−2β. Montrer que, pour tout i, j∈Λ, hσiσji⁺_Λ;β,0 =P^w_E+

Λ;pβ,2(i↔j).

Montrer que, pour tout B ⊆Λ, hσBi⁺_Λ;β,0 =P^w_E+

Λ;pβ,2(|B∩C|est pair pour tout amas fini C).

♦ ♦ ♦

Exercice 14. D´emontrer le Corollaire6.4.1.

♦ ♦ ♦

ANNEXE B. EXERCICES

Exercice 15. Adapter la repr´esentation en courants al´eatoires au cas de la condition au bord +.

♦ ♦ ♦

Exercice 16. D´emontrer la seconde partie du Lemme 7.2.1(Switching Lemma).

♦ ♦ ♦

Exercice 17. Montrer qu’en dimension 2, pour tout β > βc, il existe K =K(β) tel que

n→∞lim µ⁺_Λn;β,0(il existe un contour de diam`etre sup´erieur `a Klogn) = 0,

o`u, Λn={−n, . . . , n}<sup>2</sup>. On admettra la validit´e de l’hypoth`ese Hpβ,q (cf.p.51) pour le mod`ele d’Ising avec β < βc. (Id´ee : passer `a la repr´esentation FK et utiliser la dualit´e ; que peut-on dire de l’´etat des arˆetes d’un contour dans la configuration FK duale associ´ee ?).

♦ ♦ ♦

Exercice 18. Donner une preuve alternative de l’unicit´e de la mesure de Gibbs du mod`ele d’Ising en volume infini lorsque h 6= 0, en utilisant la concavit´e de l’aimantation pour h ≥ 0 qui suit de l’in´egalit´e GHS. (Id´ee : la concavit´e implique la continuit´e ; on conclut en utilisant les r´esultats ´etablis au chapitre3.)

♦ ♦ ♦

Exercice 19. D´emontrer que la masse ξ_β du mod`ele d’Ising est une fonction convexe sur R^d. En d´eduire qu’il s’agit d’une norme sur R^dlorsqueβ < βc.

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