Une application de la dualit´e - Le modèle d’Ising Yvan Velenik

Dans cette section, nous donnons une application de la dualité associée à la représentation FK.

Notre hypoth`ese de base sera

H_p,q: ∃c=c(p, q)>0 telle que,∀n≥0, P^w_E

n;p,q(0↔E_n^c)≤e^−cn, o`u E_n≡E_Λ

n avec Λ_n={−n, . . . , n}².

Remarque 6.6.1. L’hypothèse H_p,q est conjecturée être satisfaite pour tout q ≥ 1 et tout p < pc(q).

Cette conjecture a été démontrée, en toute dimension, pourq = 1 (suit immédiatement de [3]), q= 2 (suit de [4] et de l’inégalité GHS, cf.Théorème7.3.3), et pourq suffisamment grand [35].

Nous allons montrer que sous H_p,qou sous H_p^⋆_,q, la mesure FK en volume fini est exponentiellement bien approximée par la mesure en volume infini. Pour cela, nous aurons besoin d’un peu de terminologie, analogue à celle introduite pour le modèle d’Ising. Nous dirons qu’un événement A⊆ Ω^FK est local s’il existe E⋐E^d tel que Aest déterminé par l’état des arêtes de E; nous noterons supp(A) le plus petit ensemble E avec cette propriété.

Théorème 6.6.1. Si l’une des hypothèses H_p,q ou H_p^⋆_,q est vérifiée, alors il existe c^′ =c^′(p, q) >0 telle que

0≤P^w_E

n;p,q(A)−P^w_p,q(A)≤ n₀

c^′ e^−c^′⁽ⁿ⁻ⁿ⁰⁾, ∀n≥n₀, pour tout ´ev´enement local croissant A tel que supp(A)⊆Λn0.

Ce résultat reste vrai pour l’événement croissant, mais non local, D={|B∩C|est pair pour tout amas finiC}, avec B ⊆Λ0.

Démonstration. La borne inférieure suit immédiatement de FKG. Nous démontrons la borne supérieure. On commence par montrer le résultat pourAlocal croissant, sous l’hypothèseH_p,q. L’idée est que dans ce cas, avec grande probabilité, la condition au bord ne se propage pas loin à l’intérieur de la boˆıteE_n.

Soit G ={Λ_n₀ ↔Λ^c_n}. On a bien sˆur

P^w_E_n_;p,q(A)≤P^w_E_n_;p,q(G) +P^w_E_n_;p,q(A|G^c).

Il suit de l’hypothèse H_p,q et des inégalités FKG que P^w_E

n;p,q(G)≤ X

i∈∂Λn0

P^w_E

n;p,q(i↔Λ^c_n)≤(8n0+ 4)P^w_E

n−n0;p,q(0↔Λ^c_n−n₀)≤(8n0+ 4)e^−c(n−n⁰⁾.

6.6. UNE APPLICATION DE LA DUALIT ´E

Λn Λn0

∆

Fig. 6.2 – Illustration correspondant au cas où l’événementG n’a pas lieu. Le système est alors contenu dans une boˆıte aléatoire ∆ avec condition au bord libre (les arêtes, fermées, de ∂e∆ sont indiquées en rouge).

D’autre part, lorsque G n’a pas lieu, il existe Λ_n₀ ⊆ ∆ ⊆ Λ_n tel que toutes les arêtes de ∂e∆ ^d´=êf e={i, j} ∈E² : i∈∆, j6∈∆ soient fermées, cf. Fig. 6.2; l’événement “G n’a pas lieu et ∆ est le plus grand (pour l’inclusion) ensemble ayant les propriétés précédentes” est notéG^c

∆. Il suit alors des in´egalit´es FKG que

P^w_E

n;p,q(A|G^c) = X

Λn0⊆∆⊆Λ∆: n

P^w_E

n;p,q(A|G_∆^c)P^w_E

n;p,q(G_E^c|G^c) = X

Λn0⊆∆⊆Λ∆: n

P^∅_E

∆;p,q(A)P^w_E

n;p,q(G_∆^c|G^c)

≤P^∅_p,q(A) X

Λn0⊆∆⊆Λ∆: n

P^w_E

n;p,q(G_∆^c|G^c) =P^∅_p,q(A)≤P^w_p,q(A), (6.10) et la conclusion suit. Le cas de D = {|B ∩ C|est pair pour tout amas finiC}, avec B ⋐ Z^d est identique, le caractère non-local ne posant aucun problème, car D est tout de même déterminé par l’état des arêtes de ∆ lorsqueG n’a pas lieu.

Supposons à présent que Hp^⋆,q soit vérifiée. On considère tout d’abord un événement A local et croissant. L’idée est que sous H_p^⋆_,q il y a percolation pour les paramètres p, q, et donc, avec grande probabilité sous P^w_p,q, un chemin ouvert va séparer Λ_n₀ de Λ^c_n (cf. Fig. 6.3). Notons Gel’événement correspondant. On a

P^w_p,q(A)≥P^w_p,q(A|Ge)P^w_p,q(Ge).

D’une part,

P^w_p,q(Ge) = 1−P^w_p,q(Ge^c),

et lorsqueGe^ca lieu, il doit y avoir un chemin ouvert dans la configuration duale reliant Λ^⋆_n₀ à l’extérieur de Λ^⋆_n. Par conséquent, il suit de l’hypothèse H_p^⋆_,q et des inégalités FKG que

P^w_p,q(Ge^c)≤ X

i∈∂Λ^⋆_n₀

P^∅_p⋆,q(i↔(Λ^⋆_n)^c)≤(8n₀+ 8)n₀e^−c(n−n⁰⁾.

D’autre part, lorsque Geest réalisé, il existe Λ_n₀ ⊆∆⊆Λ_n et tel que toutes les arêtes de ∂e∆ soient ouvertes. Par conséquent, en raisonnant comme dans (6.10) (l’inégalité allant dans l’autre sens cette fois, car la condition au bord est wired), on en déduit que

P^w_p,q(A|Ge)≥P^w_E

n;p,q(A), et la conclusion suit.

CHAPITRE 6. LA FK-PERCOLATION

Fig. 6.3 – Idée de la preuve sous l’hypothèse Hp^⋆,q. Gauche : cas de l’événement localA; avec grande probabilité sousP^w_p,q, il y aura un circuit d’arêtes ouvertes séparant Λn0 et l’extérieur de Λn (sinon il devrait y avoir un long chemin d’arêtes ouvertes dans le dual reliant ces deux ensembles). Droite : la variante pour l’événement D; dans ce cas on exige que le circuit sépare Λn/2 de l’extérieur de Λn et qu’il appartienne à l’amas infini (cela arrive avec grande probabilité sousP^w_p,q, sinon il faut soit un grand chemin d’arêtes ouvertes dans le modèle dual empêchant la présence du circuit, soit un grand circuit d’arêtes ouvertes dans le modèle dual entourant ce dernier afin de l’empêcher de se connecter à l’amas infini).

Il reste à considérer le cas d’un événement D = {|B ∩C|est pair pour tout amas fini C}, avec B ⊆ Λ_n₀, sous H_p^⋆_,q. L’argument précédent ne suffit pas, car il est alors nécessaire de savoir si le circuit d’arêtes ouvertes appartient à l’amas infini, D n’étant déterminé par l’état des arêtes de ∆ que lorsqu’on possède cette information. Il n’est pas difficile de remédier à cette difficulté : on va simplement imposer au circuit entourant Λ_n₀ d’être suffisamment grand ; de cette fa¸con, la probabilité qu’il ne fasse pas partie de l’amas infini sera très petite (cf. Fig.6.3). Plus précisément, on introduit l’événement “Λ_n/2 est séparé de Λ^c_n par un circuit appartenant à l’amas infini”, que l’on notera Gb. L’argument est alors identique au précédent, en observant simplement que si l’événementGbn’est pas réalisé, alors soit il y a un chemin composé d’arêtes ouvertes reliant Λ^⋆_n/2 à l’extérieur de la boˆıte dans la configuration duale (ce qui empêche la présence du circuit d’arêtes ouvertes), soit il y a un circuit d’arêtes ouvertes dans la configuration duale entourant Λ^⋆_n/2 (et empêchant ainsi de relier le circuit à l’amas infini). Les deux contributions sont exponentiellement petites ennet la conclusion suit.

Corollaire 6.6.1. Soit Λ_n={−n, . . . , n}². Pour toutβ 6=βc, il existe c^′′=c^′′(β) telle que

|hfi⁺_Λ_n_;β,0− hfi⁺_β,0| ≤ n₀

c^′′kfk^∞e^−c^′′⁽ⁿ⁻ⁿ⁰⁾, ∀n≥n₀, pour toute fonction locale f telle que supp(f)⊆Λn0.

Démonstration. Par le Lemme2.3.1, il suffit de démontrer le résultat pour la fonctionσ_B, avec B ⊆ supp(f). Or hσ_Bi⁺_Λ;β,0 = P^w(|B ∩C|est pair pour tout amas fini C), par le Lemme 6.3.1. On peut donc conclure à l’aide de théorème précédent, la validité de l’hypothèse H_p_β_,q étant garantie dans le modèle d’Ising, lorsque β < βc (cf.Remarque6.6.1).

6.6. UNE APPLICATION DE LA DUALIT ´E

Chapitre 7

Repr´esentation en courants al´eatoires

Dans ce chapitre, nous introduisons une autre représentation graphique, extrèmement puissante, du modèle d’Ising : la représentation en courants aléatoires (dorénavant : représentation RC), introduite par Aizenman dans [2]. Celle-ci donne accès à des informations très fines sur ce modèle, et a permis de démontrer un certain nombre de résultats fondamentaux sur le modèle d’Ising, qui n’ont pas encore pu être étendus à d’autres modèles.

7.1 La repr´ esentation

7.1.1 Champ magn´etique nul

Nous commen¸cons par dériver la représentation RC pour la fonction de partition en champ magnétique nul et condition au bord libre. Soit Λ⋐Z^d. On a

Z^∅_Λ;β,0= X

ω∈Ω_Λ

{i,j}∈E_Λ

e^βωⁱ^ω^j

= X

ω∈Ω_Λ

{i,j}∈E_Λ

n≥0

βⁿ

n!(ω_iω_j)ⁿ

= X

ω∈ΩΛ

e={i,j}∈E_Λ

βⁿ^e

n_e!(ω_iω_j)ⁿ^e

=e^β|^E^Λ^| X

ω∈ΩΛ

e∈E_Λ

e^−ββⁿ^e n_e!

i∈Λ

ω_i^#(ⁿ^,i),

où la somme dans les deux dernières lignes est sur les familles decourants¹ n= (n_e)_e∈E_Λ, avecn_e∈N, et on a introduit #(n, i)^d´=êfP

e∈E_Λ,e∋ine, pour chaquei∈Λ.

En procédant de fa¸con similaire à ce que l’on a fait pour la représentation haute température, on calcule explicitement à présent la somme sur les configurationsω :

ω∈Ω_Λ

i∈Λ

ω_i^#(ⁿ^,i) =Y

i∈Λ

ω∈{−1,1}

ω^#(ⁿ^,i)= 2^|Λ|1_{#(n,i) est pair,∀i∈Λ}.

Par conséquent, en notant∂n^d´=êf{i∈Λ : #(n, i) est impair}, on obtient Z^∅_Λ;β,0 = 2^|Λ|e^β|Ê^Λ^|P_Λ;β,0(∂n=∅),

1Faites attention au fait que si chaque arˆete porte un certain courant, ce dernier n’a pas de direction, uniquement une intensit´e.

7.1. LA REPR ´ESENTATION

Fig. 7.1 – Gauche : une configuration de courantsn. La couleur associée à une arêteeindiquent la valeur de ne : ne = 1 pour le bleu, ne = 2 pour le rouge, ne = 3 pour le vert. Droite : Une décomposition possible en “boucles” (certaines arêtes ont été légèrement décalées afin d’améliorer la lisibilité).

où l’on a réinterprétén= (ne)e∈E_Λ comme une collection de variables aléatoires i.i.d. suivant chacune une loi de Poisson de paramètre β : P_Λ;β,0(n_e = k) = e^−ββ^k/k!. Il peut être utile de visualiser une configuration de courants n telle que ∂n = ∅ comme résultant de la superposition de boucles de courants (c’est-à-dire de circuits fermés le long desquels le courant est égal à 1), cf. Fig. 7.1. Bien entendu, une telle décomposition en boucles n’est pas unique en général.

La même procédure permet de dériver une représentation analogue pour les fonctions de corrélationshσAi^∅_Λ;β,0,A⊆Λ. En effet, si l’on développe le numérateur dehσAi^∅_Λ;β,0 de la même fa¸con que ci-dessus, la seule différence provient de l’évaluation de la somme sur les configurations ω : la présence du terme supplémentaire ω_A conduit à

ω∈Ω_Λ

ω_A Y

i∈Λ

ω^#(_i ⁿ^,i)=Y

i∈Λ

ω∈{−1,1}

ω^#(ⁿ^,i)+¹^{i∈A} = 2^|Λ|1_{∂n=A}.

En d’autres termes, on a à présent des sources de courants aux sommets deA (le courant n’étant pas

“conservé” en ces sommets),cf. Fig.7.2. En résumé, on obtient l’élégante formule hσ_Ai^∅_Λ;β,0= P_Λ;β,0(∂n=A)

P_Λ;β,0(∂n=∅). Observez que l’on a bien hσ_Ai^∅_Λ;β,0 = 0 lorsque |A| est impair, car P

i∈Λ#(n, i) est toujours pair et il est donc impossible de trouver une configuration de courants telle qu’il y ait un nombre impair de sommets o`u #(n, i) est impair.

7.1.2 Champ magn´etique h >0

Nous allons à présent voir comment étendre la représentation RC au cash >0. La même procédure permet de remplacer également la condition au bord libre par la condition au bord +, et est laissée en exercice.

L’idée est d’introduire unspin fantôme(ghost spin en anglais) permettant de réinterpréter le terme de l’Hamiltonien faisant intervenir le champ magnétique comme provenant d’une condition au bord appropriée. On introduit tout d’abord un nouveau sommet g. On remplace ensuite le graphe (Λ,E_Λ) par le graphe (Λ^g,E¯_Λ), où Λ^g ^d´= Λêf ∪ {g} et ¯E_Λ ^d´=êf E_Λ∪E^g

Λ, avec E^g

Λ = {{i,g} : i∈Λ}, cf. Fig. 7.3.

Au sommet g, on place un spin ¯ω_g dont la valeur est fixée à +1 ; ce spin fantôme joue donc le rôle

CHAPITRE 7. REPR ´ESENTATION EN COURANTS AL ´EATOIRES

i i

Fig. 7.2 – Gauche : une configuration de courants contribuant `a la fonction `a 2-pointhσiσji^Λ;β,0; observez que

#(n, i) et #(n, j) sont impairs. Les codes de couleur sont les mêmes que sur la Fig.7.1. Droite : Une décomposition possible en “boucles”. Observez la présence d’un chemin ouvert reliant les deux pointsietj.

i g

Fig. 7.3 – Chaque sommeti∈Λ est lié par une arête au sommetg; ce dernier est représenté, pour des raisons de lisibilité, par chacun des sommets en rouge. Un spin fantôme, dont la valeur est fixée à 1, est placé au sommetg.

7.1. LA REPR ´ESENTATION

i i

Fig. 7.4 – Une configuration de courants contribuant à la fonction à 1-pointhσii^∅Λ;β,h; les arêtes en diagonale mênent à g. Il y a une source eng(un nombre impair d’arêtes étant incidentes en ce sommet).

de “condition au bord”. L’énergie associée à une configuration ω ∈ Ω_Λ peut alors être écrite sous la forme

−β X

{i,j}∈E_Λ

ω_iω_j−hX

i∈Λ

ω_iω¯_g.

On peut à présent répéter les dérivations effectuées précédemment pour le cash= 0. Le développement est formellement identique, les configurations de courants étant à présent définies sur le graphe étendu, n= (n_e)_e∈E¯_Λ. La seule différence a à nouveau lieu lorsque l’on évalue la somme sur les configurations de spins. Dans le cas de la fonction de partition, cette dernière devient

ω∈Ω_Λ

i∈Λ

ω_i^#(ⁿ^,i) =Y

i∈Λ

ω∈{−1,1}

ω^#(ⁿ^,i)= 2^|Λ|1_{#(n,i) est pair,∀i∈Λ}.

Observez qu’il n’y a pas de contraintes de parité explicite sur #(n,g), puisqu’on ne somme que sur les valeurs des spins dans Λ (le spin fantôme a sa valeur fixée à +1). On définit la notion de bord d’une configuration de courants par la même formule qu’avant, ∂n ^d´=êf {i∈Λ : #(n, i) est impair}. Similairement au cash= 0, on réinterprèten= (n_e)_e∈E¯_Λ comme une collection de variables aléatoires indépendantes telles que n_e suit une loi de Poisson de paramètre β si e ∈ E_Λ et de paramètre h si e∈E^g

Λ; on noteP^∅_Λ;β,hla loi de n. On peut donc ´ecrire

Z^∅_Λ;β,h= 2^|Λ|e^β|^E^Λ^|+h|^E^Λ^g^|P_Λ;β,h(∂n=∅).

Similairement, on obtient pour les fonctions de corr´elation : hσ_Ai^∅_Λ;β,h= P_Λ;β,h(∂n=A)

P_Λ;β,h(∂n=∅).

La possibilité d’avoir une source présente en g a pour conséquence que les fonctions de corrélation hσ_Ai^∅Λ;β,h ne sont plus nécessairement nulles lorsque|A|est impair eth6= 0,cf. Fig.7.4.

7.1.3 Un peu de terminologie

Comme c’était le cas pour la représentation FK, la donnée d’une réalisation denpermet de définir une notion de connectivité. Nous dirons que deux sommets distincts i, j ∈ Λ sont connectés dans la configurationn, ce que l’on noterai!ⁿ j, s’il existe un chemin dansE_Λconnectantiàjle long duquel

CHAPITRE 7. REPR ´ESENTATION EN COURANTS AL ´EATOIRES

nne prend que des valeurs strictement positives. Nous appelleronsamas dei∈Λ dans la configuration n l’ensemble Cn(i) d´efini par

Cn(i)^d´=^ef{i} ∪n

j∈Λ : i!ⁿ jo . Nous appellerons g-amas l’ensemble

C_n^g^d´=^ef [

n_{i,g}i∈Λ>0

Cn(i)

de tous les sommets connectés au spin fantôme via un courant strictement positif. Nous écrirons

également i −→ⁿ g lorsque i ∈ Cn^g. Nous dirons que i et j sont g-connectés dans n, noté i ←→ⁿ j, si i!ⁿ j ou sii, j∈Cn^g.

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