2.2 Le mélange de configurations et la restauration de symétrie : la méthode MR-EDF
2.2.1 Généralités
la brisure de symétrie.
• L’appariement: L’extension des méthodes SR-EDF avec l’utilisation de vide de quasi-particules permet de décrire les effets pair-impair dans les noyaux. Cependant, le désavantage d’utiliser ces états est de devoir briser l’invariance de jaugeU
(1)
qui correspond à la conservation du nombre de particules. La brisure de symétrie associée à la conservation du nombre de particules est plus abstraite, et correspond à un état localisé dans l’espace de jauge. La restauration de cette symétrie sera discutée par la suite.(a) Un noyau sphérique. (b) Brisure de symétrie sphérique : déformation quadrupolaire.
(c) Brisure de symétrie de parité : déformation octupolaire.
FIG. 2.6: Quelques exemples de déformations possibles pour un noyau. De gauche à droite, la mul- tipolarité de la déformation augmente : un noyau sphérique (2.6a), un noyau dont la déformation est quadrupolaire (2.6b) et un noyau octupolaire (en forme de ”poire”), brisant la symétrie de parité (2.6c).
D’autres symétries peuvent être brisées en physique nucléaire, par exemple l’invariance par renver- sement du temps pour décrire les noyaux dont le nombre de particules est impair[60] ou la symétrie d’isospin[61] pour décrire les noyaux riches en neutrons ou protons. Ce sont des sujets d’actualité, en particulier pour la symétrie d’isospin car certaines données expérimentales tendent à montrer son importance[62].
2.2 Le mélange de configurations et la restauration de symétrie : la mé-
2.2. Le mélange de configurations et la restauration de symétrie : la méthode MR-EDF 35
étudiée en introduisant un paramètre d’ordre
q
. Une symétrie est brisée lorsqu’il existe un minimum dans la courbe d’énergie potentielle àq
6= 0
, là oùq = 0
correspond au cas où la symétrie est respectée.FIG. 2.7: Le potentiel dit ”chapeau mexicain” est une illustration de la brisure spontanée de symé- trie dans le cas d’un espace de jauge à une dimen- sion. L’énergie du système est tracée en fonction d’un paramètre d’ordre
q
dans un espace de jauge où la dégénérescence est repérée par l’angleϕ
. Par analogie, la figure2.5correspond ici à un plan définit parϕ = ϕ
0. Le cercle (rouge) au fond du puits de potentiel représente les états qui lorsqu’ils sont superposés, forment un ensemble respectant la symétrie de jauge. Les carrés (jaunes) indiquent les excitations de basse énergie qui apparaissent lors de la brisure de symétrie.La figure 2.5, ne donne qu’une vision partielle de la notion de brisure de symétrie. Lorsqu’une symé- trie est brisée, le plus souvent cela conduit à un en- semble d’états {|
Ψ(ϕ)
i}, oùϕ
(de façon plus gé- nérale le vecteurϕ ~
) correspond à (aux) l’angle(s) de jauge permettant de repérer ces états. Ces états sont tous dégénérés de même énergie et même pa- ramètre d’ordreq
, par exemple dans le cas de la brisure de symétrie sphérique, comme le cas de la déformation quadrupolaire, à chaque orientation du repère intrinsèque correspond un état qui a la même énergie et la même déformation que toutes les autres orientations. Ceci est généralement illus- tré dans un espace de jauge à deux dimensions re- présenté schématiquement dans la figure2.7. Dans ce cas, il existe une infinité d’états dégénérés.L’existence de dégénérescence est à la base de la notion de restauration de symétrie. Dans la mesure où l’Hamiltonien nucléaire possède certaines symé- tries, l’état propre de ce dernier doit également les respecter. Ainsi, l’utilisation d’états brisant les symé- tries pour décrire le noyau n’est pas satisfaisante.
Cette difficulté peut être levée en restaurant les sy-
métries initialement brisées, en pratique la restauration de symétrie se fait en moyennant sur l’ensemble des états dégénérés
Ψ(ϕ)
et en prenant en compte les interférences correspondant au bon nombre quantique que l’on cherche à restaurer.Le théorème de Noether relie une symétrie à la loi de conservation d’une observable. En fait, c’est cette loi qui est testée expérimentalement et les valeurs propres des observables associées définissent les nombres quantiques qui doivent être utilisés pour décrire le noyau. Dans le cas nucléaire, il existe un ensemble d’observables qui vérifient chacune une loi de conservation. Cela concerne
• la quantité de mouvement (
p ˆ
) associée à l’invariance par translations dansR3.• le moment angulaire (
L ˆ
) associé à l’invariance par rotationsR3.• la charge (
τ
ˆ) associée à l’invariance par rotations dans l’espace de l’isospin.• la parité (
π ˆ
) associée à l’invariance par rapport aux axes du repère du centre de masse.• le nombre de particules (
N ˆ
) associé à l’invariance par rotation dansU(1)
.La symétrie impose qu’à tout ordre, les fluctuations associées à l’observable conservée doivent être nulles, ainsi pour la conservation du nombre quantique de particule on doit avoir h
(∆N )
ki= 0
pour toutk
. Alors, la restauration d’une symétrie est généralement formulée en utilisant la notion de projection par rapport à l’observable qui lui est associée (cf. le théorème précèdent). Par exemple, on définit un projecteur sur le nombre quantique de moment orbital totalJ
parP
J ce qui donne le schéma suivantP
J|Ψ
i −→ |Ψ
Ji,
(2.68)Un exemple d’intérêt pour ce travail, est la projection associée à l’opérateur nombre de particules. On peut générer un ensemble d’états dégénérés ne respectant pas la symétrie de jaugeU
(1)
associée à ce nombre quantique par l’opération|
Ψ (ϕ + δϕ)
i= e
iδϕNˆ|Ψ (ϕ)
i.
(2.69) L’opérateure
iδϕNˆ tourne l’état dans l’espace de jauge, il correspond à la solution de l’équation d’évolution−i∂∂ϕ|Ψi
= ˆ N
|Ψidont la solution statique nous assure que les fluctuations deN ˆ
sont nulles. On peut alors utiliser cette dernière pour rendre explicites les opérations de restauration de symétrie. Par exemple, pour la symétrie de jauge associée àN ˆ
, partant d’un étatΨ
brisant le nombre de particules (un vide de quasi-particules par exemple), on peut construire un étatΨ
N ayant le bon nombre de particules avecΨ
N= 1
2π
∫ 2π
0
dϕ e
iϕ( ˆN−N)|Ψ
i,
(2.70)où
e
iϕN apparaît alors comme un poids qui définit les interférences entre les états sous-jacents per- mettant ainsi de restaurer le nombre de particules. Ainsi, à partir d’une théorie utilisant des états ne possédant pas les bonnes symétries, il est possible de reconstruire l’état associé avec les symétries appropriées pour décrire la fonction d’onde nucléaire. La figure2.7représente le fameux chapeau mexi- cain qui illustre parfaitement le concept de brisure et de restauration de symétrie. Sur cette figure, on a représenté l’énergie (axe vertical) dans l’espace de jauge (plan horizontal). Le cercle (rouge) est la ligne représentant l’ensemble des états d’énergie minimum, ces états étant tous dégénérés. Lorsque la sy- métrie est brisée la fonction d’onde se localise en un point du cercle. Les carrés jaunes représentent un type d’excitation caractéristique de la brisure de symétrie. Ils ont été proposés par J. Goldstone[63]. Ce sont des excitations bosoniques, de basses énergies. Ces excitations peuvent être prises en compte en traitant les fluctuations quantiques associées au paramètre d’ordre dans le repère intrinsèque, et donc,2.2. Le mélange de configurations et la restauration de symétrie : la méthode MR-EDF 37
en pratique, en construisant une distribution sur l’axe radial de cette figure. Par exemple, les fluctuations quadrupolaires et octupolaires sont nécessaires pour décrire les noyaux le long de la carte nucléaire.
Ces quantités sont observées expérimentalement ou influencent les résultats expérimentaux.
Ainsi une théorie nucléaire prédictive doit respecter les symétries microscopiques, inclure les fluctuations des observables collectives et décrire le repère intrinsèque qui peut être observé expérimentalement (par exemple fig.2.4). Un cadre formel pour arriver à une telle théorie est de considérer dans un premier temps, une méthode brisant les symétries pour inclure l’appariement, les déformations... puis dans un second temps, de considérer la restauration de ces symétries.