Nous illustrons les théories fonctionnelles EDF en utilisant la force Skyrme à portée nulle. Une simple modification de la régulation permet de retrouver le cadre du fonctionnel de l'état projeté.
Les différentes corrélations dans les systèmes nucléaires
L’interaction nucléaire
En parallèle, un certain nombre d'approches plus phénoménologiques ont été développées, comme le modèle de couches ou la méthode des fonctions de densité (EDF en physique nucléaire). La théorie fonctionnelle de la densité, décrite plus en détail dans ce chapitre, utilise le plus souvent la notion d'interaction effective ou de potentiel effectif.
Les corrélations
Cette étape est essentielle pour décrire correctement l'état intrinsèque du noyau et notamment les corrélations collectives associées aux changements de phase se manifestant dans le signal intrinsèque. Le contexte théorique dans lequel nous travaillerons, notamment la théorie de la fonctionnelle de densité, est précisé.
Théorie de la fonctionnelle en densité ou la méthode SR-EDF
Système à N-corps, généralités
- Matrices densité et réduction de l’information
- L’approximation de particules indépendantes
- Inclure des corrélations avec la brisure de symétrie
On dit que toute information est contenue dans les degrés de liberté d'un corps (réduction de l'information). Dans la méthode HF, toutes les informations sont contenues dans la densité d'un corps ρ ˆ1 tandis que les matrices de corrélation à 2, · · ·, N corps sont égales à zéro.
Les corrélations d’appariement
- Quasi-particule et vide de quasi-particules
- La théorie Hartree-Fock-Bogoliubov
- Motivation expérimentale de l’utilisation d’une théorie incluant l’appariement 20
- Notions sur les théories fonctionnelles en densité
- Construction du SR-EDF, avec le potentiel effectif de Skyrme
- Pouvoir prédictif des théories fonctionnelles : le cas SR-EDF
Enfin, nous pouvons écrire l’énergie du système comme une fonctionnelle de la densité locale d’un seul corps. La version originale de la méthode de Hohenberg, Kohn (HK) et Kohn, Sham (KS) conduit à remplacer le problème à N corps par un problème à un corps efficace avec le schéma suivant (KS).
Le mélange de configurations et la restauration de symétrie : la méthode MR-EDF
Généralités
La rupture de symétrie associée à la conservation du nombre de particules est plus abstraite et correspond à un état localisé dans l'espace de jauge. La figure 2.5 ne donne qu'une vision partielle de la notion de rupture de symétrie.
Multi-reference energy density functional (MR-EDF)
- Méthode des coordonnées génératrices (cas Hamiltonien)
- Mélange de configurations pour restaurer les bons nombres quantiques . 38
ΨN,L, (2.82) où la notation δE = 0 correspond à l'application d'un principe variationnel soit aux degrés de liberté de l'état intrinsèque Ψ(q), soit à ceux associés à la coordonnée génératrice q. Par exemple, la figure 2.8 illustre les courbes d'énergie potentielle du 18O tracées à l'aide de la méthode MR-EDF combinée au GCM.
Conclusion
- Présentation des difficultés dans le cas de la projection sur le bon nombre de par-
- Solution minimale au problème de divergence et de saut
- Recombinaison Hamiltonienne et discussion
- Le cas Hamiltonien
- Le cas MR-EDF
L'apparition de divergences et de sauts dans les énergies MR-EDF a récemment attiré l'attention de la communauté. Une modification de la correction est proposée pour pouvoir identifier l'énergie MR-EDF uniquement à une fonctionnelle de l'état projeté.
Vers une théorie fonctionnelle combinant simultanément la brisure et la restauration de
Règles de construction d’une théorie SC-EDF guidée par le cas Hamiltonien
Application de la théorie SC-EDF restaurant le nombre quantique de particule à
Interprétation fonctionnelle de la régularisation MR-EDF dans le cas de restauration de numéros. L’équation (3.46) montre que dans le cas d’une fonctionnelle bilinéaire avec interactions indépendantes de la densité, l’énergie MR-EDF peut être interprétée comme une fonctionnelle des densités de l’état projeté ΨN et de l’état non projeté Ψ(0). Un petit changement dans la régularisation permet d’interpréter pleinement l’énergie obtenue comme une fonctionnalité de l’état projeté.
Considérons maintenant le cas où l'énergie SR-EDF contient des interactions efficaces dépendant de la densité, c'est-à-dire ¯ρρ[ρ]env ¯κκ[ρ].
Conclusion
Motivation
Comme nous l'avons vu au chapitre 2, le principe du PAV consiste à obtenir un état de référence qui respecte le principe de variation dans l'espace des états des quasi-particules. Ensuite, l'énergie de conception est calculée à partir de l'équation (3.1) en corrigeant à l'aide de l'ajustement (voir section 3.1.2). FIG.4.1 : L'énergie de corrélation EHF −E normalisée par l'espace d'énergie moyenne à un corps ∆ε obtenue dans le cas du couplage schématique hamiltonien est présentée en fonction de la constante de couplage tg /Δε pour 4 particules dans différents BCS, PAV , VAP et théories exactes.
Il existe de nombreux travaux[97] sur ce sujet, notamment sur l'application du VAP dans le cadre de la théorie MR-EDF[69,70, 98].
Point de départ de la théorie VAP appliquée au formalisme SC-EDF
Dans ce travail, nous avons appliqué VAP aux cœurs en utilisant l'approche SC-EDF. Cette méthode est a priori numériquement complexe à mettre en œuvre et dans le cas de la théorie MR-EDF il n'a pas été possible de l'appliquer jusqu'à présent en raison des problèmes de divergence rencontrés lors de la combinaison de la théorie fonctionnelle SR-EDF et d'un mélange de configurations. De plus, dans ce chapitre, nous montrons des applications avec des fonctionnelles qui contiennent des dépendances de puissance non entières sur la densité qui ne peuvent pas être régularisées dans le cadre de la théorie MR-EDF.
Nous détaillons de manière exhaustive les étapes pratiques d’application de la méthode SC-EDF à des fonctions réalistes.
Application du principe variationnel
Propriétés des états projetés
En effet, nous exprimerons l’énergie et la densité de l’état projeté ΨN à partir des taux d’états ainsi construits. D’après l’équation (3.33), l’état PBCS est écrit dans la base canonique de ρ ˆ[N] qui est identique à celle de l’état BCS original. Il est possible que ces chevauchements soient nets selon les nombres d’occupation de l’état projeté, que nous désignons désormais par Ni (= ˆ ρ[Nii ]) et desx2i.
Cela nous permet de déterminer numériquement l'état PBCS, ses densités, ses énergies en fonction des probabilités d'occupation v2i (x2i) de l'état BCS de référence.
Equations d’Euler-Lagrange du problème
Enfin, il est possible de trouver la limite de l'approximation du champ moyen et de la théorie BCS. À partir de l’équation ci-dessus, nous pouvons très facilement exprimer les dérivées des éléments des matrices de densité à un et deux corps impliquées dans l’énergie. Par commodité, nous choisissons de faire cette dérivation par rapport aux probabilités d'occupation de l'état de référence BCSvi2 = ρ1ii, notation que nous utiliserons ensuite de la même manière que nNi = ρ1 [Nii] pour les probabilités d'occupation projetées.
En identifiant l'expression obtenue ci-dessus pour le paramètre de Lagrange ε ˜k, on peut écrire l'état d'énergie minimum en relation avec les variations des indices d'occupation de l'état de référence BCS.
Résolution numérique
Contrairement à la théorie BCS, il n’est pas possible de donner une forme analytique au minimum de l’état PBCS et nous devons résoudre les équations (4.35) et (4.41) numériquement. La résolution du VAP a lieu après la convergence finale de ev8, de préférence optimisée par la méthode Lipkin-Nogami qui permet d'obtenir une résolution approximative du VAP. Cette méthode numérique est une généralisation de la méthode sécante (ou méthode de Newton-Raphson), qui consiste à remplacer le problème par la recherche d'un point fixe d'une série −→.
De plus, la convergence de la séquence est assurée par la relation de récurrence spécifique de la méthode sécante.
Résultats
Les résultats obtenus dans le cadre de la théorie BCS (ligne pointillée verte) et la solution approximative VAP (ligne continue bleue) sont comparés. Cela nous permet de tester que la méthode numérique utilisée dans la figure 4.3 pour résoudre l'Eq. Dans la Figure 4.4 nous montrons que la fonction SR-EDF que nous proposons d'utiliser permet de corriger les effets de seuil de la théorie BCS.
FIG.4.5 : Énergies un corps obtenues lorsque l'approximation (Eq. 4.46) est vérifiée (lignes bleues), multipliées par leur probabilité d'occupation et comparées à celles de la théorie BCS (lignes vertes).
Conclusion
De la DFT vers la DMFT
Ensuite, en plus de l'énergie, seule la partie locale de la densité d'un corps peut être reproduite exactement en minimisant une fonctionnalité de cette densité locale. Il s’agit de la méthode initialement proposée par Gilbert[10], appelée théorie fonctionnelle de la matrice densité, et où la grandeur principale est la matrice densité à un corps ρ ˆ1(r, r0). La figure 5.1 illustre l'application du DMFT dans le cadre du modèle de gaz d'électrons homogène avec en particulier les fonctionnalités évoquées ci-dessus.
Sur cette figure, on voit que les fonctionnelles DMFT proposées dans la matière condensée permettent une reproduction satisfaisante de l'énergie de corrélation ab-initio, soit dans une plage donnée, soit pour toutes les valeurs de la densité du gaz électronique.
Construction de fonctionnelles DMFT au-delà de la théorie BCS
- La fonctionnelle BCS
- Historique de l’utilisation de la DMFT en physique nucléaire
- Théorie basée sur la transformée de Legendre
- Les méthodes approchées pour restaurer la symétrie
FIG.5.2 : Comparaison entre l'énergie de corrélation, normalisée par ∆ε, exactement (trait plein rouge), (à gauche) la fonctionnelle associée à la distribution ¬ de ni (trait pointillé bleu), et (à droite) associée à la distribution ® ( diamants verts), en fonction de la force d'appariement normalisée g/∆ε. Par exemple, dans le cas de la symétrie de jauge, nous réécrivons l'énergie projetée en fonction des fluctuations∆N = ˆ N − hΨ|N ˆ|Ψi. Grâce à la méthode Kamlah, il est possible d'obtenir une nouvelle fonctionnelle de l'état intrinsèque correspondant à l'énergie projetée ci-dessus dont le développement est tronqué à un ordre K donné par.
Ceci est illustré sur la figure 5.3, qui présente les méthodes de Kamlah et LN dans le cas de l'hamiltonien de Richardson pour le spectre énergétique d'un seul corps avec un espacement constant ∆ε en fonction de la force de paire g/∆ ε.
Proposition d’une nouvelle fonctionnelle pour décrire l’appariement
Dans le cas de la condition PBCS, l’inversion est plus difficile à partir de la négation de l’expression. En utilisant l'expression des probabilités d'occupation nNi en fonction deαN(i), on peut écrire la fonctionnelle suivante pour décrire l'énergie du modèle de Richardson. Cette fonctionnalité présente des limitations que nous aimerions voir incluses dans la description du lien.
FIG.5.8 : Evolution de nNi (1−nNi) en fonction des énergies d'un corps εi normalisées par leur distance moyenne ∆ε pour la solution exacte (trait rouge continu), la solution BCS projetée (triangles verts) et la fonctionnelle ( cercles pleins bleus) pour 16 particules et une force correspondante de g/∆ε = 0,16 (à gauche) et 0,56 (à droite).
Conclusion
Modèle de l’Hamiltonien de pairing
- Discussion sur l’approximation linéaire qui conduit à la fonctionnelle DMFT
- Vérification systématique de la matrice densité à un corps
- Dévoloppement limité de la fonctionnelle pour une forme simplifiée
Sur la figure 6.1, nous présentons l'énergie de corrélation EHF −E, normalisée par la distance énergétique moyenne ∆ε entre un corps, en fonction de la force de couplage g/∆ε pour 16 particules (en haut) et 8 particules (en bas). Tests de la nouvelle fonctionnalité dans un cas idéal 131. à gauche), ou en fonction des énergies normalisées d'un seul corps εi/∆ε(à droite). FIG.6.3 : Evolution de l'entropie d'un corps pour différentes théories en fonction de la constante d'appariement g/∆ε pour 16 particules.
L'évolution de l'énergie de corrélation EHF -E obtenue à partir de la solution exacte (ligne rouge continue) et de la théorie BCS (ligne verte en pointillés) sont présentées à titre de référence.
Applications
- Les systèmes impairs vs pairs
- Limite d’un grand nombre de particules
- Spectres d’énergies à un corps quelconques
Sur la figure 6.5, l'évolution de l'écart moyen normalisé par le nombre de particules et l'espacement énergétique moyen sur un corps ∆ε est tracée en fonction du nombre total de particules A, dans le cas de la solution exacte (ligne continue rouge), Théorie BCS (ligne pointillée verte) et fonctionnelle (cercles pleins bleus). Dans la figure 6.7 nous illustrons les évolutions de l'énergie moyennée sur l'ensemble des spectres générés et ses fluctuations statistiques en fonction du couple normalisé constanteg/∆ε. On voit que la fonctionnelle fonctionne très bien avec les spectres d'énergie de n'importe quel corps et on retrouve la tendance de la solution exacte (ligne rouge) tracée ici comme référence et obtenue dans le cas d'un spectre d'énergie équivalent.
Les énergies BCS (ligne pointillée verte) et celles obtenues à partir des fonctionnelles pour l'appariement (cercles bleus, pleins) sont comparées à l'énergie exacte (ligne rouge, pleine) tracée dans le cas d'un espacement unitaire constant, utilisée comme référence.
Conclusion
Dans ce travail, nous avons essayé d'aborder la correspondance ainsi que le problème de la restauration de la conservation du nombre de particules dans les théories fonctionnelles de la densité d'énergie (EDF) utilisées en physique nucléaire. Deuxièmement, nous avons proposé d’écrire l’énergie uniquement comme une fonctionnelle de la matrice de densité à un corps (DMFT) de l’état projeté. La deuxième voie suggère de développer une fonctionnelle dépendant des composantes de la matrice de densité à un corps de l'état de référence.
Dans ce cas on se place dans le cadre de la théorie fonctionnelle de la matrice densité.
Identification des équations du minimum
Les diérentes corrélations dans les systèmes nucléaires
- L'interaction nucléaire
- Matrices densité et réduction de l'information
- L'approximation de particules indépendantes
Les corrélations d'appariement
- Motivation expérimentale de l'utilisation d'une théorie incluant
Théorie fonctionnelle de la densité
- Construction du SR-EDF, avec le potentiel eectif de Skyrme
- Mélange de congurations pour restaurer les bons nombres quan-
- Mélange de congurations dans la théorie EDF
