comparaison similaire a ete menee par Kim [Kim 94] entre les moments de Zernike et ceux de Hu. Les resultats de cette comparaison conrment la superiorite des moments de Zernike pour dierencier deux modeles.
Parmi les travaux plus recents, Van Gool [Goo 96] a presente un ensemble de mo- ments jusqu'au deuxieme ordre qui sont a la fois invariants aux changement anes et aux changements d'intensite.
3.1.4 Autres caracterisations
Il existe d'autres methodes de caracterisation d'un signal que celles presentees pre- cedemment. Par exemple, Bigun [Big 95, Big 94] propose l'utilisation d'un systeme non lineaire de coordonnees. Son systeme de base doit satisfaire l'equation de Laplace et il doit ^etre conjugue. Puis il cherche a tourner son systeme de coordonnees de telle maniere que les isophotes dans ce nouveau repere soient les plus paralleles possible. Il utilise ces coordonnees pour caracteriser des textures et pour reconna^tre des objets.
Weiss [Wei 92] quant a lui propose une methode pour calculer localement des invariants anes et projectifs. Pour ce faire, il utilise une representation implicite de la courbe des contours. Pour un point donne il denit un voisinage puis il approxime localement la courbe passant par ce point. Toutefois il est dicile de calculer une representation implicite a des ordres eleves. Il utilise un systeme de coordonnees canonique qui est localement deni par les proprietes de la forme. Un exemple simple est l'utilisation de la tangente et de la normale dans le cas des transformations rigides. Dans le cas general il utilise des courbes osculatrices pour obtenir l'invariance aux transformations.
Parmi les caracterisations possibles, il faut aussi citer une methode simple, mais re- pandue : un point est decrit par les valeurs des pixels voisins. On stocke donc les niveaux de gris directement dans un vecteur. La comparaison entre des vecteurs de niveaux de gris denit une mesure de ressemblance entre des points. La maniere dont est eectuee cette comparaison denit dierentes variantes. La plus simple est la \SSD" (Sum of Squared Dierences) qui prend la somme des carres des dierences entre les vecteurs. Une mesure plus elaboree est la \ZNCC" (Zero-Mean Cross-Correlation) qui normalise les vecteurs de niveaux de gris par rapport a la moyenne et a la variance avant d'eectuer une correlation.
3.2 Intro duction auxinvariants
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Dans la cadre de la vision par ordinateur, trois types de transformations particu- lieres nous interessent: les transformations de la scene tridimensionnelle vers l'image, les transformations de l'image et les transformations qui operent sur le signal de l'image (les changements de luminosite). Le probleme est de calculer des invariants pour ces dierentes transformations.
3.2.2 Calcul des invariants
Il existe deux types de methodes pour calculer les invariants d'un probleme donne: les methodes innitesimales et les methodes par generalisation et contrainte.
Methodes innitesimales
Le calcul d'invariants par les methodes innitesimales reposent sur les groupes de Lie.
Denition 3.3
Un groupe de Lie est un ensemble qui est a la fois une sous-variete deIR
n ou de ICn et un groupe tel que la multiplication et l'inversion sont continues.
Les groupes de Lie sont des ensembles de fonctions parametrees dont les parametres de- nissent une structure de groupe. Dans le cadre de la denition 3.2 precedente, ces fonctions vont de E dans E et l'ensemble des transformations est un groupe noteG.
Pour un elementedeE donne, on denit son orbiteO(e) comme l'ensemble des images de epar toutes les transformations du groupe G:
Denition 3.4
O(e) =fe02Ej9g2Ge0=g(e)g est l'orbite de e selon G.
En fait, la relationR(e;e0)ssi9g2Gje0=g(e) est une relation d'equivalence puisque
G a une structure de groupe. L'orbite O(e) est donc la classe d'equivalence de l'element
e. L'ensemble des orbites des elements deE forme une partition de E.
L'utilisation de groupes de Lie permet de calculer theoriquement des invariants par resolution d'equations dierentielles. En eet, les invariants sont des fonctions analytiques
f
i constantes sur les orbites, mais qui peuvent distinguer ces dierentes orbites. Comme ces fonctions fi sont constantes sur chaque orbite, leur gradient est donc orthogonal aux espaces tangents aux orbites. Soitfj une fonction invariante dont le gradient est noterf~ j, et soitVi(e) une base de l'espace tangent a l'orbite de e. On a alors:
8j 8i8e
~
rf
j :V
i(e) = 0
La resolution de cette equation dierentielle permet d'obtenir des invariants.
34
Chapitre3:Caracterisationlo caleMethode par generalisation et contrainte
La resolution de l'equation dierentielle presentee a la section precedente s'avere parfois delicate. Gros [Gro 92] a donc propose d'utiliser une methode classique pour calculer des invariants: pour chercher des invariants associes a un probleme donne, on generalise le probleme a resoudre. Ensuite on calcule les invariants pour le probleme generalise et on exprime le fait que le probleme de depart en est un cas particulier. Le probleme de cette methode est de trouver une generalisation du probleme de depart pour laquelle on sache calculer des invariants.
Mirbach [Sch 95] a propose une methode de generalisation qui exprime les solutions de l'equation dierentielle sous la forme d'une integrale calculee sur toute l'image. Pour une transformation donnee, il propose en fait de calculer la moyenne des valeurs sur une orbite associee a cette fonction.
3.2.3 Denombrement des invariants
Dans le cadre des groupes de Lie, le theoreme suivant permet de conna^tre le nombre d'invariants independants pour un probleme donne. Avant de donner ce theoreme, il est necessaire de denir la notion d'invariants independants. Soit I un invariant pour une conguration x, alors pour toute fonction f, f(I(x)) est un invariant pour x. A partir d'un invariant, il est donc possible de generer une innite d'invariants. Cependant, les derivees partielles de tous ces invariants sont lineairement dependantes. D'ou la denition d'invariants independants:
Denition 3.5
Des invariants sont dits independants si leurs derivees partielles sont lineairement independantes.SoitE un espace vectoriel, et soit Gun groupe de Lie operant sur cet espace, alors le nombre nd'invariants independants est:
n=dimE,(dimG,min
e2E
(dimGe)) ou Ge est le groupe d'isotropie ou groupe stabilisateur de e:
Ge=fg2Gjg(e) =eg
3.2.4 Theoreme de Burns
Dans le cas de la vision par ordinateur, les ensembles E etF peuvent ^etre dierents.
L'ensemble des transformations ne forme alors plus un groupe. Dans ce cas, les orbites ne forment plus une partition: elles peuvent se croiser et la relation R(e;e0) n'est plus une relation d'equivalence. Dans ce cas, il n'existe pas d'invariant. Ceci a ete enonce par Burns [Bur 90], puis egalement par Moses [Mos 92] et Clemens [Cle 90]:
Theoreme 3.1
Dans le cas des congurations de n points et des projections perspectives, anes ou orthogonales, quel que soit l'entier n, les orbites se croisent de telle maniere que toute fonction constante sur les orbites est constante sur tout l'ensemble d'arrivee. Il n'y a donc pas d'invariants pour ce probleme exception faite des fonctions constantes.3.3 Invariance et transformations de l'image 35