3.3 Invariance et transformations de l'image 35
deuxieme approche pour obtenir une caracterisation invariante au groupe des deplacements consiste a utiliser le principe des ltres ajustables. Dans ce deuxieme cas, les derivees sont ajustees dans la direction du gradient et ainsi invariantes a une rotation image.
Invariantsdierentiels
A partir du jet local deni a la section 3.1, Koenderink ainsi que Romeny proposent de calculer des invariants pour le groupe des deplacementsSO(2). Pour ce faire ils ont repris des resultats mathematiques, formules entre autres par Hilbert [Hil 93]. Ils soulignent egalement la necessite d'implementer le calcul des derivees de maniere stable pour pouvoir calculer ces invariants a un ordre eleve.
Nous utilisons l'ensemble d'invariants dierentiels jusqu'au troisieme ordre. Ces inva- riants sont regroupes dans un vecteur note~V. La premiere partie de ce vecteur est consti- tuee d'un ensemble complet et irreductible d'invariants dierentiels jusqu'au deuxieme ordre:
~
V[0::4] =
2
6
6
6
6
6
4 L
L
i L
i
L
i L
ij L
j
L
ii
L
ij L
ji 3
7
7
7
7
7
5
=
2
6
6
6
6
6
4
L
L
x L
x+LyLy
L
xx L
x L
x+ 2LxyLxLy+Ly yLyLy
L
xx+Ly y
L
xx L
xx+ 2LxyLxy+Ly yLy y
3
7
7
7
7
7
5
(3.2) LesLisont les elements du jet local deni par la denition 3.1.Lrepresente par exemple la fonction de luminance convoluee avec une gaussienne. La formulation de cette premiere partie du vecteur est donnee en notation d'Einstein et en coordonnees cartesiennes. En notation cartesienne, les indices x ety representent respectivement la derivation par rap- port aux variables x et y, par exemple Lxy = @x@y@2 L. En notation d'Einstein, un indice i signie la sommation des derivations par rapport a l'ensemble des variables :
L
i =X
i L
i=Lx+Ly etLij =X
i X
j L
ij =Lxx+Lxy+Ly x+Ly y:
On peut constater que la deuxieme composante de ce vecteur est la magnitude du gra- dient et la quatrieme le Laplacien. Il est possible de calculer les invariants pour dierentes tailles de la gaussienne, car ils sont denis a partir desLi.
La deuxieme partie du vecteur est constitue d'un ensemble complet d'invariants du troisieme ordre. Ces invariants en notation d'Einstein sont:
~
V[5::8] =
2
6
6
6
4
"
ij(Ljk lLiLkLl,Ljk kLiLlLl)
L
iij L
j L
k L
k ,L
ijk L
i L
j L
k
,"
ij L
jk l L
i L
k L
l
L
ijk L
i L
j L
k
3
7
7
7
5
(3.3) ou "ij represente le tenseur canonique anti-symetrique: "12=,"21= 1 et"11="22= 0.
En notation cartesienne nous obtenons donc :
~
Vi[5::8]=
2
6
4
LxxxLyLyLy+3Lxy yLxLxLy,3LxxyLxLyLy,Ly y yLxLxLx
LxxxLxLyLy+Lxxy(,2LxLxLy+LyLyLy)+Lxy y(,2LxLyLy+LxLxLx)+Ly y yLxLxLy
Lxxy(,LxLxLx+2LxLyLy)+Lxy y(,2LxLxLy+LyLyLy),Ly y yLxLyLy+LxxxLxLxLy
L
xxx L
x L
x L
x +3L
xxy L
x L
x L
y +3L
xy y L
x L
y L
y +L
y y y L
y L
y L
y
3
7
5 (3.4)
3.3 Invariance et transformations de l'image
37 Jet ajustable
A partir du jet local deni a la section 3.1, il est possible de calculer les derivees dans une direction donnee. Pour ^etre invariant a la rotation, cette direction est par exemple la direction du gradient. Nous donnons par la suite, les formules pour calculer jusqu'a l'ordre 3, les derivees dans une direction donnee (cf. [Fre 91]). Les Lx;Ly;:::sont les elements du jet local.
L
0() = Lxcos() +Lysin()
L
00() = Lxxcos2() + 2Lxysin()cos() +Ly ysin2()
L
000() = Lxxxcos3() + 3Lxxycos2()sin() + 3Lxy ysin2()cos() +Ly y ysin3() Dans ces formules, la derivee d'ordre n dans une direction donnee depend des n+ 1 derivees d'ordre n. Pour representer de facon complete l'ensemble des derivees a un ordre donne n, il faut utiliser n+ 1 derivees directionelles correspondant a n+ 1 directions
n;i
i= 0:::n. Pour des raisons de stabilite, lesn+ 1 directions n;i utilisees doivent ^etre espacees regulierement. An d'obtenir des derivees independantes de la rotation existante entre deux images, la direction n;0doit de plus ^etre rapportee a l'image. Si cette direction correspond a la direction du gradient, les orientations sont alors: n;i = i=(n+ 1) +g ou g = arctan(Ly=Lx). Le calcul de cette direction g est une source d'instabilite des methodes utilisant les jets ajustables.
Normalisation en taille de l'image
Pour obtenir eectivement des derivees invariantes en rotation, la forme des pixels doit
^etre carree. Sinon la rectangularite des pixels introduit une anisotropie qui fausse le calcul des derivees. Il faut donc normaliser l'image. Ceci est fait par interpolation lineaire sur les colonnes de l'image en utilisant un facteur de reduction egal au facteur \v/u". Ce facteur de normalisation \v=u" represente le ratio entre la largeur et la longueur d'un pixel. Dierentes experimentations ont montre que ce facteur est stable et peu dependant du calibrage.
3.3.2 Changement d'echelle
Un changement d'echelle peut ^etre d^u soit a un changement de la distance entre la camera et l'objet soit a un changement de la longueur focale de l'objectif (dans le cas d'un zoom). Nous noterons dans la suite un changement d'echelle par de maniere a le distinguer de la taille de la gaussienne utilisee pour eectuer les calculs de derivation.
Dans cette section des invariants theoriques a un changement d'echelle sont d'abord presentes. Il est ensuite montre que de tels invariants ne sont pas valable dans le contexte du jet local ou les derivees sont calculees sur un support. De ce fait, il est necessaire d'utiliser une approche multi-echelle.
Invariants a un changement d'echelle
Etant donnee une fonctionf, un changement d'echelle peut ^etre decrit par un chan- gement de variable : f(x) = g(u) ou g(u) =g(u(x)) = g(x). De cette relation decoulent les relations suivantes entref etg:
38
Chapitre3:Caracterisationlo calef
(n)(x) =ng(n)(u)
ouf(n)(x) represente la derivee n-ieme def: (3.5) L'equation 3.5 montre que les deriveesn-iemes de f et de g sont egales a un facteur multiplicatifnpres. A partir du quotient de deux derivees il est donc possible d'eliminer ce facteurn. Des invariants theoriques a un changement d'echelle sont donnes par l'equation
suivante: h
f
(n)(x)ikn
f (k )(x)
Cependant, des resultats experimentaux en prenant des images de tableaux de ma^tre a dierentes echelles ont montre que de tels invariants sont peu stables a un changement d'echelle superieur a 20%. Les resultats presentes a la section 4.3.3 du chapitre suivant ont montre que les invariants a la rotation etaient eux aussi robustes a un changement d'echelle de 20%. Cette robustesse est coherente avec les observations faites par Fleet dans [Fle 91]
dans le contexte des ltres de Gabor.
En fait, les invariants a l'echelle n'apportent pas de stabilite supplementaire. Ceci est d^u au fait que le calcul numerique est eectue sur un support. En eet, dans le cas ou les derivees sont calculees par convolution avec les derivees de la gaussienne, l'equation 3.5 precedente se reecrit de la maniere suivante :
+1
Z
,1 I
1(~x)Gi1:::in(~x;)d~x=n
+1
Z
,1 I
2(~u)Gi1:::i2(~u;)d~u (3.6) ou les Gi1:::i2 representent les derivees de la fonction gaussienne denie par l'equation 2.2.
Cette equation montre l'importance du support ( a gauche et a droite) sur lequel sont eectues les calculs. Ce support doit ^etre adapte au changement d'echelle pour calculer eectivement un invariant. Ceci est a l'origine des methodes multi-echelle telle que celle que nous allons presenter a la section suivante.
Approche multi-echelle
Dans la litterature il existe de nombreuses approches multi-echelle. Parmi les pre- mieres approches, il faut citer les pyramides qui ont ete proposees par Burt [Bur 81] et Crowley [Cro 81, Cro 84]. Toutefois ces approches eectuent un sous-echantillonnage de l'image et ne sont donc pas adaptees a notre probleme. En eet, notre approche est basee sur la notion d'espace d'echelle ou un parametre continu denit l'echelle. Cette notion a ete introduite par Witkin [Wit 83] et Koenderink [Koe 84]. Plus tard, Lindeberg [Lin 94]
a etendu et resume leur approche.
L'espace d'echelle permet de calculer les invariants a une echelle donnee. Il est cepen- dant impossible de calculer les invariants a toutes les echelles. La discretisation de l'espace d'echelle est donc necessaire. De nombreux auteurs ont propose une discretisation par oc- tave ou par demi-octave. Avec un tel pas de discretisation la caracterisation obtenue s'est revelee imprecise et instable. Puisque notre caracterisation est robuste a un changement d'echelle jusqu'a 20% (cf. section 4.3.3), nous avons choisi un pas de discretisation qui ga- rantit qu'entre deux echelles consecutives, le changement est inferieur a 20%. De maniere a ^etre resistant a un changement d'echelle jusqu'a un facteur 2, les dierentes echelles
3.3 Invariance et transformations de l'image
39
retenues ont pour valeur: 0.48, 0.58, 0.69, 0.83, 1, 1.2, 1.44, 1.73, 2.07. Nous eectuons donc les calculs pour des dierentes echelles, c'est-a-dire pour dierentes tailles de la gaussienne. Ceci nous permet de realiser une approche multi-echelle.
L'integration des invariants dierentiels presentes a la section 3.3.1 dans un cadre multi-echelle permet d'obtenir une caracterisation robuste au groupe des similitudes.
3.3.3 Changement de luminosite
La caracterisation doit egalement ^etre robuste a un changement de luminosite. Il existe plusieurs possibilites pour modeliser un changement de luminosite. Par la suite trois mo- deles de transformations de niveaux de gris sont presentes: une translation, une transfor- mation ane et une transformation monotone. Pour chacun de ces modeles on denit les invariants correspondants.
Translation des niveaux de gris
Une translation des niveaux de gris se modelise par:
~
I(x;y) =I(x;y)+b
Il est facile de voir que par simple derivation, le facteur b s'elimine et par consequent les invariants dierentiels, a part la moyenne des intensites lumineuses sont invariants a un tel changement. Le vecteurV~ sans la composanteV~[0] est un invariant. Il est dans la suite reference parV~T.
Transformation ane des niveaux de gris
Une transformation ane des niveaux de gris se modelise par:
~
I(x;y) =aI(x;y)+b
Une telle transformation modie les derivees du signal de la maniere suivante : ~I(n)(x;y) =
aI
(n)(x;y). N'importe quel quotient de deux derivees est donc invariant a une transfor- mation ane de la luminance. Il y a dierentes manieres de rendre le vecteurV~ invariant a une transformation ane. Nous avons choisi de diviser par la puissance adequate de la magnitude du gradient :
~
V
A[0::2] =
2
6
6
4 L
i L
ij L
j
(LiLi) 3=2
L
ii
(L
i L
i )
1=2
LijLj i
L
i L
i 3
7
7
5 etV~A[3::6] = 1(LiLi)2
2
6
6
6
4
"
ij(Ljk lLiLkLl,Ljk kLiLlLl)
L
iij L
j L
k L
k ,L
ijk L
i L
j L
k
,"
ij L
jk l L
i L
k L
l
L
ijk L
i L
j L
k
3
7
7
7
5
(3.7)
Transformation monotone de la luminosite
Un changement de luminosite peut egalement ^etre modelise par une fonction monotone et donc inversible. L'inversibilite de la fonction (ou sa stricte monotonie) est necessaire
pour eviter une perte d'information par rapport a celle contenue dans l'image de niveaux de gris.
Florack [Flo 94] montre que le jet local permet egalement de calculer des invariants par rapport a n'importe quelle transformation inversible de la luminosite. Il fait remarquer que les isophotes ne sont pas modies sous l'action d'une transformation inversible de luminosite. Jusqu'au deuxieme ordre il existe deux invariants independants, notamment la courbure des isophotes et la courbure des lignes de plus grande pente :
= "ij(L"mklLLimL)jk3=L2l = 2LxLyLxy,L2xLyy,L2yLyy,L2yLxx
L 2x+L2y
= "(LijmLLjLmk)L3=ik2 = Lxy(LyLy,LxLx) +LxLy(Lxx,Lyy)
L 2x+L2y
Berthod et al. [Ber 94] presente une famille d'invariants a une transformation monotone de la luminosite. Ces invariants sont bases sur les orientations du gradient et ses derivees partielles.
3.3.4 Autres transformations image
Il est possible de calculer des invariants dierentiels pour d'autres types de transfor- mation image, par exemple pour le groupe des transformations anes.
Dans ce cas, une possibilite est d'utiliser une transformation ane pour transformer la conique denie par une equation de la forme ~xTLij~x = Cste en cercle et d'eectuer les calculs dans ce repere normalise. Ceci est equivalent a calculer des invariants a partir de l'inverse de la matrice Lij. On obtient alors l'ensemble suivant d'invariants jusqu'au troisieme ordre:
~
V
AFFINE[0::5] =
2
6
6
6
6
6
6
6
4
L
LiLj(L,1)ij
LijlLlLmLn(L,1)il(L,1)jm(L(,1))kn
LijkLl(L,1)ij(L,1)kl
LijkLlmn(L,1)ij(L,1)kl(L,1)mn
LijkLlmn(L,1)il(L,1)jm(L,1)kn
3
7
7
7
7
7
7
7
5
Toutefois, comme dans le cas d'un changement d'echelle, pour calculer de tels inva- riants, il est necessaire de tenir compte du support de calcul. Etendre directement l'ap- proche multi-echelle est possible, mais extr^emement co^uteux: il faut calculer les invariants pour dierents supports, chacun correspondant a un jeu de parametres donnes, sachant qu'il y a trois parametres a prendre en compte. Apres evaluation, nous n'avons pas retenu ces invariants dans notre approche a cause de la diculte de leur mise en uvre.
3.3.5 Changement de point de vue
Les invariants a une rotation image sont calcules dans un cadre multi-echelle. On obtient donc une caracterisation invariante au groupe des similitudes dans l'image. Bin- ford [Bin 93] a montre que de tels invariants sont des quasi-invariants a une transformation perspective, c'est-a-dire qu'ils sont localement invariants a une telle transformation. Notre caracterisation est donc robuste a des transformations perspectives. Ceci est conrme au chapitre suivant qui evaluent notre caracterisation (cf. section 4.3.5).