Le calcul de microstructures par éléments finis

Dans le cas où l’on considère une morphologie de phases sphériques, et que l’élasticité est isotrope on se ramène alors à :

σ_∼ⁿ=Σ_∼+2µ(1−β)(B_∼−β

∼

n), avecβ=2(4−5ν)

15(1−ν) (4.38)

f) Développements récents

Afin de se libérer de l’hypothèse des champs moyens, deux méthodes majeures ont aussi été proposées récemment. Les approches à NTFA (acronyme anglicisé pour analyse de champs de transformation non-uniforme) [Michel et Suquet, 2004] ont pu bénéficier de la puissance des traitements par l’analyse numérique. Elles sont inspirées des méthodes TFA [Dvorak et al., 1994], et permettent une homogénéisation/relocalisation des contraintes d’un composite sur une structure complète à travers l’étude préalable par éléments finis des différents "modes" de déformation d’un VER et leur traitement par transformée de Fourier rapide. La relocalisation vers le VER permet alors d’obtenir une estimation de la répartition des champs non-uniformes à l’intérieur même des phases. Enfin pour les polycristaux, les développements concernent les approches du second ordre [Ponte-Castaneda, 2002] qui utilisent non plus la contrainte et la déformation comme variables d’état, mais bien leurs représentations statistiques au second ordre, ce qui permet de tenir compte d’hétérogénéités intragranulaires.

IV.2. LES MÉTHODES D’HOMOGÉNÉISATION 97

Afin de tenir compte de la microstructure réelle, les calculs devront être faits sur des maillages des microstructures qui pourront être obtenus de deux manières. La première consiste à utiliser une microstructure réelle, comme décrit au tout début de cette partie.

Toutefois, les outils nécessaires n’étant pas toujours disponibles, ou leur utilisation n’étant pas toujours pertinente ou possible, plusieurs autres méthodes ont été développées, comme notamment la génération de microstructures synthétiques.

b) Exemples d’utilisations de microstructures réelles

Les composites : l’apport des développements récents de l’imagerie L’application de ces techniques aux composites, aux contrastes de propriétés physiques par phase relativement significatifs pour une observation par les techniques 3D, est devenu, sinon courante, au moins accessible.

Leur utilisation directe a déjà donné lieu à quelques applications. A titre d’exemple, récent et peu courant, l’application proposée dans [Kanit et al., 2006] fait le lien entre la microstructure biphasée d’une crème glacée et ses caractéristiques mécaniques et thermiques, en insistant particulièrement sur l’importance de la discrétisation et des tailles des volumes représentés. Deux microstructures biphasées de fractions volumiques identiques mais de morphologies différentes sont reproduites puis étudiées. La technique d’imagerie utilisée est la microscopie confocale 3D. Cette technique est réservée aux échantillons translucides et n’aura donc pas d’utilisation potentielle pour les matériaux métalliques. Comme vu en introduction, on se tournera plutôt dans le cas des métaux vers la microtomographie X.

Enfin, et c’est là aussi un avantage des composites, l’observation de surface classique, pour peu qu’on prenne la peine de vérifier qu’elle est valable dans différentes orientations, et que le nombre de phases en présence soit raisonnable, est souvent suffisante pour caractériser la morphologie du composite, et le représenter de manière exhaustive.

Les polycristaux Un travail portant sur la prise en compte de la morphologie de la microstructure des aciers de cuves a été réalisé dans [Sekfali, 2004]. Les microstructures étudiées sont bainitiques revenues (semblables à celles étudiées dans ce travail) ou martensitiques. La technique employée consiste à utiliser directement la cartographie EBSD d’un échantillon pour reconstruire un maillage 2D associé, et comparer la pertinence des simulations par rapport à des mesures de champs par corrélation d’images (figure IV.5). Ces travaux proposent une approche approfondie de la plasticité des aciers faiblement alliés, à travers une formulation en grandes déformations et une loi de plasticité cristalline à densité de dislocations identifiée à différentes températures et vitesses de déformation. Ils sont complétés par les travaux de thèse de Libert [Libert, 2006].

D’autres travaux tentent aussi de reproduire, en introduisant les grandes déformations et la rotation de réseau, le fractionnement des grains (apparition de joints de faibles désorientations) en cours de déformation plastique. Entre autres considérations sur des

a)

b) c)

FIG. IV.5 – Comparaison entre les cartographies de déformation dans la direction principale en cours de traction d’un acier 16MND5 proche de BQ12 : a) Expérimentale obtenue par mesure de champs pour 10% de déformation [Sekfali, 2004, Rey et al., 2006] ; b) simulée obtenue sur une seule couche 2D pour 9% de déformation, c) simulée obtenue avec un RVE sous jacent pour 7,5%

de déformation.

FIG. IV.6 – Un exemple d’étude développé grâce aux outils de synthèse de maillages. Les joints de grains d’un morceau du VER étudié sont maillés en rouge sur la première figure. Les figures suivantes représentent uniquement les joints et permettent de visualiser le développement de l’endommagement durant les 60 premières secondes d’une traction (la déformation macroscopique est de 1.2% sur la dernière image). [Diard, 2001]

IV.2. LES MÉTHODES D’HOMOGÉNÉISATION 99

calculs 3D, ils comparent avec succès l’évolution de la désorientation entre sous-volumes dans quelques grains lors de mesures EBSD in-situ avec les résultats des calculs éléments finis 2D [Erieau et Rey, 2004, Buchheit et al., 2005].

Comme nous l’évoquerons plus loin, ces approches nécessitent une certaine prudence, de par l’importance de l’effet de la troisième dimension (i.e. de la microstructure sous- jacente).

c) Méthodes de générations des microstructures synthétiques et applications

Pour ce qui est des aspects géométriques, les moyens théoriques de caractérisation des microstructures existent. On pourra se reporter à [Decker et Jeulin, 2000, Bornert et al., 2001c] pour des éléments de caractérisation et de reproduction des microstructures.

Utilisation de géométries simplifiées : Pour les matériaux polycristallins, de nombreuses approches ont été proposées pour tenir compte de la microstructure et donc de la morphologie en grains. Les premières approches prennent en compte une discrétisation des grains sous forme de motifs géométriques réguliers [Takahashi, 1988,Beaudoin et al., 1993].

Ainsi les grains sont représentés sous forme d’éléments ou d’assemblages d’éléments de formes carrées ou hexagonales, extrudées dans le cas 3D. La nécessité de fortes puissances de calcul limite dans ces travaux la taille du volume représenté. D’une manière générale, on peut considérer [Barbe, 2000] que l’utilisation du calcul de microstructures grossières est adapté pour l’approximation des lois de comportement globales des polycristaux (homogénéisation par éléments finis), mais il a été démontré leur faible pouvoir prédictif lorsque l’on considère les hétérogénéités intragranulaires. Cette faiblesse est attribuée tout d’abord à un manque de discrétisation, et au second ordre, au nombre insuffisant d’interfaces d’un grain avec ses voisins pour ces représentations simplifiées [Mika et Dawson, 1998].

Utilisation de la technique des polyèdres de Voronoï : Cette technique de génération de microstructure est exposée à l’annexe A-III.1.

L’ajout de fonctions supplémentaires [Decker et Jeulin, 2000] telle que la répulsion entre germes permet de contrôler le processus de formation de microstructures et évite certains écueils (apparitions de germes très proches donnant de très petits domaines difficiles à mailler, voire problématiques durant le calcul par manque de discrétisation).

La représentation des microstructures est aussi facilitée par la possibilité d’attribuer au sein d’un même élément différents comportements (voire différentes orientations) à chaque point d’intégration.

Les premiers travaux utilisant ces méthodes en 3D sur des volumes significatifs avec prise en compte de la plasticité cristalline sont relativement récents [Quicili et Cailletaud, 1999]. Les travaux de thèse de Barbe [Barbe, 2000] sont, pour leur part, la première tentative aboutie de systématiser et d’explorer les possibilités et limites de ces méthodes.

La plupart des calculs d’agrégats polycristallins présentés dans ces travaux suivront les recommandations de cet auteur.

Les travaux de Diard [Diard, 2001, Diard et al., 2005] ont aussi largement utilisé les calculs d’agrégats. La première utilisation concerne le comportement du matériau des gaines de combustible nucléaire. Un modèle de plasticité cristalline est calé en utilisant des simulations sur calcul d’agrégats polycristallins. Une méthode originale est ensuite proposée pour utiliser des calculs d’agrégats où les joints de grains sont explicitement maillés, afin d’étudier l’endommagement intergranulaire, en tenant compte du couplage avec les effets de l’évolution de l’environnement (corrosion sous contrainte). Les maillages présentés pour les études sur microstructures sont, par commodité, des maillages 2D, mais l’auteur n’oublie pas d’évoquer les limitations pouvant apparaître, en prenant soin d’appliquer sa méthode à des maillages 3D raisonnables à titre de comparaison (figure IV.6).

Les aspects à prendre en compte lors des calculs d’agrégats polycristallins sont donc relativement connus et l’on peut les résumer ainsi :

• L’influence du type d’éléments utilisés pour la représentation est relativement minime. Les maillages réguliers sur mailles cubiques donnent, à condition d’une discrétisation suffisante, les mêmes résultats que des maillages libres avec éléments tétraédriques dont les mailles décrivent la géométrie de la microstructure. Seuls les joints de grains sont le lieu de petites variations entre les deux représentations.

• Des variations abruptes et non négligeables de contrainte peuvent apparaître au sein d’un même élément (cet aspect sera développé plus loin), bien que le résultat en moyenne sur l’élément soit correct.

• L’influence du maillage sur la raideur d’ensemble de l’agrégat n’est significative qu’en cas de discrétisation insuffisante, l’utilisation d’éléments quadratiques étant de toute façon préférable.

• En partant sur la base d’éléments cubiques quadratiques à 27 points d’intégration, Barbe [Barbe, 2000] estime que les nombres de point d’intégrations moyens à utiliser pour la représentation du grain devront être d’environ 200, 750, et 3000 points d’intégration pour reproduire correctement, respectivement, le comportement homogénéisé de l’agrégat, le comportement moyen de chaque grain, et l’évolution intragranulaire des champs mécaniques. Pour sa part, Diard estime que 500 points d’intégrations sont suffisants pour décrire le comportement moyen des grains. Ces estimations sont basées sur des études de convergence à la taille de maillage, et sur un écart de 1% par rapport aux grandeurs de référence pour une forte discrétisation.

• Dans le cas d’un comportement macroscopique isotrope, environ 200 grains sont suffisants pour s’assurer d’une isotropie correcte du comportement global. Ce chiffre représente en fait une limite inférieure à ne pas franchir si l’on veut parler de VER.

• Lorsque l’on atteint pas vraiment la taille suffisante pour le VER, le comportement de celui-ci et les champs locaux peuvent dépendre fortement des conditions aux limites (CAL), ce qui n’est d’ailleurs pas une exclusivité des calculs de microstructure. On

IV.2. LES MÉTHODES D’HOMOGÉNÉISATION 101

trouvera à l’annexe A-III.2 les éléments expliquant les différents types de conditions aux limites et leurs effets.

Il faudra bien évidemment extraire des microstructures l’information pertinente pour la synthèse d’une microstructure représentative. Dans le cas qui nous intéresse, celui du maillage de microstructures d’agrégats polycristallins, les informations pertinentes ne sont guère éloignées des informations disponibles pour la représentation dans les modèles de transition d’échelles. Les paramètres microstructuraux retenus seront bien souvent, la taille des grains¹, leurs rapports de forme, et leurs orientations cristallographiques. Là encore, on peut sous certaines conditions se contenter d’une représentation statistique des informations (textures d’orientation, distributions de tailles de grains...). Une fois ces informations jugées comme pertinentes et suffisantes, rien n’empêche de générer des microstructures pour tester virtuellement les propriétés et faciliter la mise au point des matériaux.

Des difficultés persistantes pour la représentation de l’acier 16MND5 : Le cas des orientations cristallines dans la bainite est un cas particulier méritant d’être discuté. En effet, nous avons vu dans le premier chapitre que les orientations des paquets de lattes au sein d’un ancien grain austénitique ne sont pas quelconques, mais respectent les relations d’orientations K-S et N-W. Cet aspect peut influer les propriétés du matériau, en termes de comportement, mais surtout en termes de transmission du clivage, si les joints de grains sont considérés comme des barrières suffisantes.

Ces aspects ne sont toutefois pas pris en compte dans les présents travaux, où l’on se contentera de reproduire la texture cristallographique isotrope du matériau. Deux raisons nous poussent à ne pas améliorer la représentation plus avant. Tout d’abord les observations qualitatives du paragraphe III.2 n’ont pas démontré une importance primordiale des désorientations entre paquets voisins sur l’apparition des hétérogénéités mécaniques par les mécanismes de plasticité. D’autre part, les réflexions du chapitre V montreront que dans le cas qui nous intéresse ici, les désorientations entre paquets voisins ne sont pas considérés comme des obstacles microstructuraux à la transmission du clivage.

On pourra néanmoins se reporter aux travaux en cours d’Osipov et al. [Osipov et Cailletaud, 2006], dont le but est de donner une représentation la plus réaliste possible de la microstructure du matériau bainitique. Les auteurs commencent par générer une structure en grains relativement équiaxes représentant l’austénite formée lors de l’élaboration du matériau, puis redécoupent chacun des grains obtenus en tranches, parallèlement à un plan quelconque, et correspondant aux différents variants. L’orientation cristalline de chacune de ces tranches est alors choisie comme dépendante de celle du grain de départ par le choix d’un des 24 variants tirés des relations d’orientation K-S. On imite de cette manière le processus de formation naturel de la structure bainitique, et l’on obtient une bonne représentation de la bainite comme montré sur la figure IV.7. Cette méthode donne des résultats encourageants.

1Ou plutôt leur taille relative, si les modèles n’incluent aucun effet de taille.

d) Quelques éléments concernant la prise en compte de la troisième dimension Dans le cadre des travaux sur l’acier 16MND5 de Sekfali [Sekfali, 2004], il est montré que dans le cas de simulations avec représentation d’une seule couche de matériau, le comportement global n’est pas assez raide, et que le comportement à l’intérieur des coupes du grain est perturbé, la localisation se faisant trop tôt sur les grains bien orientés pour la déformation plastique. Pour palier ce problème, une technique est proposée afin d’essayer de prendre en compte le rôle de la microstructure autour de la couche considérée. L’idée proposée passe par l’intermédiaire d’un MHE de comportement moyen équivalent au comportement macroscopique de l’agrégat (figure IV.8). Il est démontré que cette solution s’avère peu efficace, puisqu’à l’inverse de la simulation sur une seule couche, elle diminue fortement la possibilité pour la déformation de localiser. Lorsque seule la mesure de surface est disponible pour la bainite, les auteurs préconisent donc de l’utiliser telle quelle sans MHE additionnel tout en sachant que les effets de la troisième dimension ne sont pas bien représentés, malgré leur importance (figure IV.5).

Les auteurs remarquent par ailleurs que la martensite (structure relativement proche de la bainite mais possédant une structure en paquets bien plus fins, et donc une "taille de grains" plus petite) est plus facile à modéliser en tenant compte du MHE. Ces conclusions n’ont toutefois pas valeur de généralité. La limitation des tailles représentées, les problèmes de conditions aux limites posés en traction 2D, l’effet de la couche de MHE (qui est à même de créer des incompatibilités au même titre que les joints de grains) posent de nombreuses questions, et montrent qu’une identification de lois de comportement passant par les outils de mesure de champs pose de nouveaux problèmes.

Doit-on alors se contenter de l’information de surface ? Cela se justifie pleinement dans certains cas, comme l’étude de couches polycristallines de faibles épaisseurs largement inférieures aux autres dimensions des grains (microstructure réelle “2D”). Ainsi l’étude de Parisotet al.[Parisot et al., 2000] se contente d’une observation de surface pour mailler la couche de zinc d’un acier galvanisé et en étudier les caractéristiques. La modélisation faite dans les travaux de thèse de M’Cirdi [M’Cirdi, 2000] est à ce titre aussi valide puisque la modélisation porte sur des éprouvettes d’austéno-ferritiques ne comportant qu’un grain dans l’épaisseur.

Dès lors que l’hypothèse expérimentale 2D n’est plus valable, les résultats quoiqu’acceptables se heurtent à l’absence de prise en compte de la microstructure sous- jacente. De nombreux travaux récents utilisent ainsi une démarche similaire (utilisation de la cartographie EBSD et extrusion dans la troisième direction ou utilisation 2D), et mettent en évidence le même problème [Roters, 2005,Erieau et Rey, 2004,Fu et al., 2004,Hoc et al., 2003].

Récemment encore, aucun résultat ne permettait de quantifier réellement l’erreur possible effectuée en ne prenant pas en compte la microstructure sous-jacente. Les travaux de thèse d’Asmahana Zeghadi [Zeghadi, 2005] fournissent une étude pertinente à ce sujet.

IV.2. LES MÉTHODES D’HOMOGÉNÉISATION 103

FIG. IV.7 – Un exemple de microstructure générée permettant de décrire de manière réaliste la croissance de la structure bainitique. a) Vue 3D d’une microstructure générée par le processus.

b) Vue en coupe de la microstructure d’un autre agrégat généré par subdivision d’ancien grains.

Le panel de couleurs utilisées est inspiré de la représentation IPF en EBSD. c) Distribution des désorientations comparées entre le matériau et la microstructure générée selon le processus décrit.

[Osipov et Cailletaud, 2006]

FIG. IV.8 –Maillages réalistes utilisés pour l’étude de l’influence de la prise en compte de la morphologie située au dessus et en dessous d’une coupe EBSD du matériau : a) Maillage complet obtenu par cartographies EBSD et polissages successifs. b) Tranche étudiée. c) Maillage constitué de la même tranche entourée d’un MHE. [Rey et al., 2006]

Afin de quantifier l’erreur possible, plusieurs microstructures 3D ont été générées. Celles- ci sont différentes bien qu’une des surfaces des agrégats soit identique (figure IV.9).

Ces différentes microstructures ont ensuite été chargées en traction. On observe ainsi sur ces deux surfaces l’évolution des champs mécaniques pour une microstructure apparente identique.

On observe sur la figure IV.9 deux champs de déformation plastique bien distincts, avec certaines parties de grains entrées fortement en plasticité, ou non, selon la microstructure sous-jacente. Ces calculs ont été réalisés pour 7 microstructures différentes.

Le traitement statistique des résultats obtenus montre des variations considérables pouvant aller localement jusqu’à 300% d’erreur sur l’estimation des champs de déformation pour 2%

de déformation macroscopique, que ce soit au niveau des joints ou du coeur des grains. Ce résultat remet donc pour le moins en cause l’utilisation brute des techniques de mesures de champs pour l’identification à l’échelle microscopique des paramètres matériaux, exception faite des cas simplifiés, déjà évoqués.

En ce sens, plusieurs travaux pointent d’autres difficultés, [Doumalin, 2000], ou sont en cours pour tenter de déterminer ce que l’on peut en espérer. L’effet de l’apparition du relief [Amiot et al., 2005], l’effet de la structure qui se situe sous le plan d’observation [Gelebart, 2005, Dexet et al., 2005] restent actuellement des problèmes ouverts, bien que les travaux de Zeghadi permettent de quantifier l’erreur possible.