Le probl`eme aux potentiels, ` a la Grisvard

Lorsque ω est convexe, Φ_{D , N} est inclus dans H²(ω). Mais cette inclusion n’est plus v´erifi´ee lorsqu’il existe un coin rentrant. On introduit alors le sous-espace r´egularis´e de Φ_{D , N}, not´e Φ^R_{D , N} tel que : Φ^R_{D , N} = Φ_{D , N}∩H²(ω).

Th´eor`eme 2.7 Lorsque ω n’est pas convexe,Φ<sup>R</sup><sub>D , N</sub> est ferm´e et strictement inclus dans Φ<sub>D , N</sub>. D´emonstration. Soit φ∈Φ<sup>R</sup><sub>D , N</sub>. Comme dans Φ<sub>D , N</sub>, la norme du graphe est ´equivalente `a la semi-norme, on a :

||φ||H¹ ≤ C||∆φ||0. Or, on a :

|φ|H² = |gradφ|H¹ = ||grad : gradφ||0≡ ||∆φ||0.

Ainsi, sur Φ^R_{D , N}, ||∆.||0 ≡ |.|2. Comme H²(ω) est complet pour sa norme canonique, Φ^R_{D , N} est ferm´e dans Φ_{D , N}.

Proposition 2.8 L’op´erateur ∆d´efinit un isomorphisme de Φ_N dans L²₀(ω) et deΦ_D dansL²(ω).

ΦD et ΦN ´etant munis de la norme L² du Laplacien, et L²₀(ω) ´etant muni de la norme L², ces isomorphismes pr´eservent l’orthogonalit´e.

D´emonstration. Pour le probl`eme de Neuman, voir [9] (lem. 2.1, p. 361).

Ainsi ∆Φ^R_D (resp. ∆Φ^R_N) est un sous-espace ferm´e deL²(ω) (resp. L²₀(ω)).

Soit SD , N, l’espace orthogonal `a ∆Φ<sup>R</sup><sub>D , N</sub> dans L<sup>2</sup><sub>(0)</sub>(ω). On en d´eduit la d´ecomposition directe orthogonale suivante :L<sup>2</sup>(ω) = ∆Φ<sup>R</sup><sub>D</sub> ⊕<sup>⊥</sup> SD (resp. L<sup>2</sup><sub>0</sub>(ω) = ∆Φ<sup>R</sup><sub>N</sub> ⊕<sup>⊥</sup> SN). Ce r´esultat nous permet de caract´eriser les fonctions singuli`eres de Φ_{D , N} : on obtient la d´ecomposition directe orthogonale suivante entre parties r´eguli`ere et singuli`ere : Φ_{D , N} = Φ^R_{D , N} ⊕^⊥ Φ^S_{D , N} o`u Φ^S_{D , N} = ∆⁻¹S_{D , N}.

Les espaces Φ^S_{D , N} sont appel´esespace des singularit´es primales du Laplacienet les espace S_{D , N} sont appel´esespace des singularit´es duales du Laplacien.

Proposition 2.9 Les espaces des singularit´es duales SD et SN sont engendr´es par les fonctions qui satisfont les probl`emes de Dirichlet et de Neumann non standards suivants :

s_D ∈L²(ω), s_D ∈S_D ⇐⇒

( ∆s_D = 0dans ω,

s_D|Ak = 0∀k ∈ {1, ...,K} dans H₀₀^−1/2(A_k), (2.18) s_N ∈L²(ω), s_N ∈S_N ⇐⇒

( ∆s_N = 0 dans ω,

∂νs_N|Ak = 0∀k∈ {1, ...,K} dans H₀₀^−3/2(A_k). (2.19) D´emonstration. Soit s_N ∈S_N. Alors ∀φ∈Φ^R_N,

Z

ω

∆φ s_Ndω = 0. On en d´eduit que ∆s_N = 0 au sens des distributions. On obtient la condition limite au bord en utilisant une formule de Green [67] (thm. 1.5.3, p. 26) et le fait que ∀k, ∂_νφ_|Ak = 0, et ∀k, φ_|Ak ∈ H₀₀^3/2(A_k) . La preuve est similaire pours_D.

Les fonctions de S_{D , N} sont H¹-r´eguli`eres en dehors d’un voisinage de chaque coin rentrant. S<sub>D , N</sub> est de dimension ´egale au nombre de singularit´es g´eom´etriques, c’est-`a-dire le nombre de coins rentrants : dim(S_{D , N}) = N_cr, et S_D = vect(s_{D , i}) (resp.S_N = vect(s_{N , i})) o`u s<sub>D , i</sub> (resp. s<sub>N , i</sub>) satisfait (2.18) (resp. (2.19)). Qui plus est, s<sub>D , i</sub> et s<sub>N , i</sub> se d´ecomposent en une partie r´eguli`ere e

s_{D , i}, es_{N , i} ∈H¹(ω) et une partie principale s^P_{D , i} = r_i^−αi sin (α_iθ_i), s^P_{N , i} = r^−α_i ⁱ cos (α_iθ_i) qui n’est pas dansH¹(ω) [66] (2.3.6, p. 51,) :

s_{D , i} = es_{D , i} + s^P_{D , i} et s_{N , i} = es_{N , i} + s^P_{N , i}.

s^P_{D , i} et s^P_{N , i} sont harmoniques et r´eguli`eres en dehors d’un voisinage du coin rentrantO<sub>i</sub>. Proposition 2.10 es<sub>D , i</sub> satisfait le probl`eme de Dirichlet suivant :

Trouver es_{D , i} ∈ H¹(ω) tel que :

( ∆es_{D , i} = 0 dans ω, e

s_{D , i|Ak} = −s^P_{D , i|A}

k ∀k ∈ {1, ..., K}, dans H^1/2(∂ω). (2.20) D´emonstration. Montrons qu’on a : es_{D , i|γi} = 0 dansH^1/2(γ_i). On fait la preuve par contra- diction. Supposons quees_{D , i|γi} 6= 0 dansH^1/2(γ_i). CommeH^1/2(γ_i)⊂L²(γ_i), cela implique que e

s_{D , i|γi} 6= 0 dansL²(γ_i), c’est-`a-dire quees_{D , i|A}0

i 6= 0 dansL²(A⁰_i), oues_{D , i|A}Θ

i 6= 0 dans L²(A^Θ_i ).

Retenons la premi`ere possibilit´e : es_{D , i|A}⁰

i 6= 0 dans L²(A⁰_i). Comme L²(A⁰_i) ⊂ H₀₀^−1/2(A⁰_i), on a donc :es_{D , i|A}0

i 6= 0 dansH₀₀^−1/2(A⁰_i). Or, par d´efinition, on a :se_{D , i|A}0

i = (s_{D , i}−r^−α_i ⁱ sin (α_iθ_i) )_|A0 i, dans H₀₀^−1/2(A⁰_i ). Comme s_{D , i} ∈ S_D, et que (r_i^−αi sin (α_iθ_i) )_|A0

i s’annule (car θ_i = 0), on en conclut quese_{D , i|A}⁰

i = 0 dans H₀₀^−1/2(A⁰_i), ce qui contredit le pr´ec´edent r´esultat. Par ailleurs, sur les autres arˆetes, on a :s^(P_{D , i}⁾_|∂ω\γ

i ∈ C^∞(∂ω\γ_i). Les traces des^(P_{D , i}⁾_|∂ω\γ

i et (1−η_i(r_i))s^(P_{D , i}⁾ se raccordent aux extr´emit´es des arˆetes. On en d´eduit que es_{D , i} et (1−η_i(r_i))es_{D , i} ont mˆeme trace sur∂ω.

Proposition 2.11 esN , i satisfait le probl`eme de Neumann suivant :

Trouver es_{N , i} ∈ H¹(ω) tel que :

∆es_{N , i} = 0 dans ω,

∂νes_{N , i|Ak} = −∂νs^P_{N , i|A}

k ∀k ∈ {1, ..., K}, dans L²(∂ω). (2.21)

2.2. Champ ´electrique 2D : d´ecomposition de Helmholtz 55 D´emonstration. Montrons, par contradiction, qu’on a :∂νes_{N , i|γi} = 0 dansL²(γi). Supposons que ∂_νes_{N , i|γi} 6= 0 dans L²(γ_i), c’est-`a-dire ∂_νse_{N , i|A}0

i 6= 0 dans L²(A⁰_i), ou ∂_νse_{N , i|A}Θ

i 6= 0 dans L²(A^Θ_i ). Retenons la premi`ere possibilit´e. CommeL²(A⁰_i)⊂H₀₀^−3/2(A⁰_i), on a donc :∂νes_{N , i|A}⁰

i 6= 0 dansH₀₀^−3/2(A⁰_i).

Or, on remarque que : grads^P_{N , i}(r_i, θ_i) = −α_ir_i^−αi−1

cos(α_iθ_i) sin(α_iθ_i)

, exprim´e en coordonn´ees polaires par rapport au coin rentrant. Ainsi, sur les arˆetes du coin rentrant :

∂_νs^P_{N , i|A}0

i = (∂_νs_{N , i} − grads^P_{N , i}).ν_|A0

i = (∂_νs_{N , i} − α_ir^−α_i ⁱ⁻¹sin(α_iθ_i) ), dans H₀₀^−3/2(A⁰_i ).

Comme ∂_νs_{N , i} ∈ S_N, et que (r_i^−αi−1 sin (α_iθ_i) )_|A0

i s’annule (car θ = 0), on en conclut que

∂_νes_{N , i|A}0

i = 0 dansH₀₀^−3/2(A⁰_i), ce qui contredit le pr´ec´edent r´esultat.

Sur les autres arˆetes,∂_νs^(P_{N , i}⁾ _|∂ω\γ

i ∈ C^∞(∂ω\γ_i). Les traces de∂_νs^(P_{N , i}⁾ _|∂ω\γ

i et (1−η_i(r_i))∂_νs^(P_{N , i}⁾ se raccordent aux extr´emit´es des arˆetes. On en d´eduit que∂_νes_{N , i} et ( 1−η_i(r_i) )∂_νes_{N , i} ont mˆeme trace sur∂ω.

Th´eor`eme 2.12 On peut ´etablir les estimations suivantes [67] (thm. 1.2.18, p. 7) :

∀ > 0 s ∈ S_{D , N} appartient `a H<sup>1−α−</sup>(ω) et n’appartient pas `a H^1−α(ω).

D’apr`es la proposition 2.8,∀i ∈ {1, ..., N<sub>cr</sub>}il correspond `as_{D , i} ∈ S_D (resp. s_{N , i} ∈ S_N) un uniqueϕ_{D , i} (resp. ϕ_{N , i}) deH¹(ω) tels que :

−∆ϕ_{D , i} = s_{D , i} dansω , ϕ_{D , i|∂ω} = 0 sur∂ω , et

−∆ϕ_{N , i} = s_{N , i} dansω ,

∂_νϕ_{N , i|∂ω} = 0 sur ∂ω . (2.22)

Ainsi, les espaces des singularit´es primales Φ^S_D et Φ^S_N sont de dimension finie ´egale `a N_cr, et on a : Φ^S_D = vect(ϕ_{D , i}) et Φ^S_N = vect(ϕ_{N , i}). (2.23)

∀j ∈ {1, ..., Ncr}, on pose :ϕ^P_{D , j} = r^α_j^j sin (αjθj), et ϕ^P_{N , j} = r^α_j^j cos (αjθj).

Lesϕ^P_{D , j}etϕ^P_{N , j},j∈ {1, ...,Ncr}formeront lesparties principalesdesϕD , ietϕN , i,i∈ {1, ...,Ncr}. Proposition 2.13 ϕD , i etϕN , ise d´ecomposent en une partieH²-r´eguli`ere et une partie singuli`ere de la fa¸con suivante :

ϕ_{D , i} = ϕe_{D , i} +

Ncr

X

j=1

β_D^{i , j}ϕ^P_{D , j} avec ϕe_{D , i}∈H²(ω) et ϕ^P_{D , j} 6∈H²(ω) (2.24)

ϕ_{N , i} = ϕe_{N , i} +

Ncr

X

j=1

β_N^{i , j}ϕ^P_{N , j} avec ϕe_{N , i}∈H²(ω) etϕ^P_{N , j} 6∈H²(ω), (2.25) o`u β_D^{i , j} = (s_{D , i}, s_{D , j})₀/π etβ_N^{i , j} = (s_{N , i}, s_{N , j})₀/π.

Les ϕ^P_{D , i} et ϕ^P_{N , i} sont harmoniques et r´eguli`eres en dehors du voisinage des coins rentrants. Le calcul desβ_{D , N}^{i , i} est d´etaill´e en dans la section 14.1 de la partie IV.

Th´eor`eme 2.14 On peut ´etablir les estimations suivantes [67] :

∀ >0, u∈Φ^S_{D , N} appartient `a H<sup>1+α−</sup>(ω) et n’appartient pas `a H^1+α(ω); Φ^R_{D , N} ⊂H²(ω).

Proposition 2.15 ϕeD , i satisfait le probl`eme de Dirichlet suivant : Trouver ϕe_{D , i}∈H¹(ω) tel que :











−∆ϕe_{D , i} = s_{D , i} dans ω, e

ϕ_{D , i|Ak} = −

Ncr

X

j=1

β_D^{i , j}ϕ^P_{D , j|Ak} ∀k ∈ {1, ..., K} au sens H^1/2(∂ω).

(2.26)

D´emonstration. En proc´edant comme pour la d´emonstration de 2.10, on montre que sur les arˆetes du coin rentrantO_i :

-ϕ^P_{D , i|A}0

i = α_ir_i^αisin(α_iθ_i)_θi=0 = 0, dans H^1/2(A⁰_i), -ϕ^P_{D , i|A}Θ

i = α r_i^αisin(αiθi)_θi=π/αi = 0, dansH^1/2(A^Θ_i ).

Sur les autres arˆetes, on a : ϕ^P_{D , i|∂ω\γ}

i ∈ C^∞(∂ω\γ_i). Par ailleurs, les traces de ϕ^(P_{D , i}⁾ se rac- cordent aux extr´emit´es des arˆetes. On en d´eduit queϕe_{D , i} et (1−η_i(r_i))ϕe_{D , i} ont mˆeme trace sur

∂ω.

Proposition 2.16 ϕe_{N , i} satisfait le probl`eme de Neumann suivant : Trouver ϕe_{N , i}∈H¹(ω) tel que :











−∆ϕe_{N , i} = s_{N , i} dans ω,

∂_νϕe_{N , i|Ak} = − XNcr j=1

β_N^{i , j}∂_νϕ^P_{N , j|Ak} ∀k∈ {1, ..., K}, au sensL²(∂ω).

(2.27)

D´emonstration. Notons d’abord que : gradϕ^P_{N , i}(ri, θi) = αir^α_iⁱ⁻¹

cos(α_iθ_i)

−sin(α_iθ_i)

, ex- prim´e en coordonn´ees polaires par rapport au coin rentrant O_i. En proc´edant comme pour la d´emonstration de 2.11, on montre que sur les arˆetes du coin rentrantO_i :

-∂νϕ^P_{N , i|A}0

i = αir_i^αi−1sin(αiθi)_θi=0 = 0, dans L²(A⁰_i), -∂_νϕ^P

N , i|A^Θ_i = −α r^α_iⁱ⁻¹sin(α_iθ_i)_θi=π/αi = 0, dansL²(A^Θ_i ).

Sur les autres arˆetes, on a : ∂_νϕ^P_N|∂ω\γ

i ∈ C^∞(∂ω\γ_i). Par ailleurs, les traces de ∂_νϕ^(P_{N , i}⁾ se raccordent aux extr´emit´es des arˆetes. On en d´eduit que∂_νϕe_{N , i} et ( 1−η_i(r_i) )∂_νϕe_{N , i} ont mˆeme trace sur∂ω.

Nous allons maintenant ´etudier φ⁰_D ∈ Φ_D, et φ⁰_N ∈ Φ_N, les solutions des probl`emes (2.15) et (2.16). Les coefficients d´efinis ci-dessous (d´efinition 2.17) vont apparaˆıtre naturellement dans l’expression de φ<sup>0</sup><sub>D</sub> et φ<sup>0</sup><sub>N</sub> sous forme de somme entre un partie r´eguli`ere et une partie singuli`ere, d´ecompos´ee sur les parties principales.

2.2. Champ ´electrique 2D : d´ecomposition de Helmholtz 57 D´efinition 2.17 Pour toutj ∈ {1, ...,Ncr}, on pose :

λ^j_D := (g⁰, sD , j)0/π et λ^j_N := (f⁰, sN , j)0/π . Proposition 2.18 φ⁰_D ∈ΦD, la solution du probl`eme (2.15) s’´ecrit ainsi :

φ⁰_D = φe_D +

Ncr

X

j=1

λ^j_Dϕ^P_{D , j}, o`u φe_D ∈H²(ω). (2.28)

Cette d´ecomposition a ´et´e `a l’origine introduite pour le cas d’un unique coin rentrant par M.

Moussaoui dans [83].

D´emonstration. φ⁰_D se d´ecompose dans Φ_D en une partie r´eguli`ere φb<sub>D</sub> ∈ Φ<sup>R</sup><sub>D</sub> et une partie singuli`ere, d´ecompos´ee sur les vecteurs de base de Φ^S_D ainsi :

φ⁰_D = φb_D +

Ncr

X

i=1

cⁱ_Dϕ_{D , i}, o`u : ∀i , cⁱ_D ∈R, ce qui se r´e´ecrit sous la forme :

φ⁰_D = φe_D +

Ncr

X

j=1 Ncr

X

i=1

c^j_Dβ^{i , j}_D

!

ϕ^P_{D , j}, o`u : φe_D = φb_D +

Ncr

X

i=1

cⁱ_Dϕe_{D , i} ∈ H²(ω).

D’apr`es la section 14.2 de la partie IV, on a :

Ncr

X

i=1

cⁱ_Dβ_D^{i , j} = (g⁰, s_{D , j})₀/π :=λ^j_D. (2.29)

Proposition 2.19 φ⁰_N ∈Φ_N, la solution du probl`eme (2.16) s’´ecrit ainsi :

φ⁰_N = φe_N +

Ncr

X

j=1

λ^j_Nϕ^P_{N , j}, o`u φe_N ∈H²(ω). (2.30)

D´emonstration. Changer les indices D parN dans la d´emonstration de la proposition 2.18.

Th´eor`eme 2.20 Supposons que pour > 0 tel que 2α−1− > 0, f, g ∈ H^2α−1−(ω) et e ∈ H^2α−1/2−(∂ω). Alorsφe_{D , N} ∈H^2α+1−(ω).

D´emonstration. D’apr`es les hypoth`eses sur les donn´ees,eest la trace d’un vecteuredeH^2α−(ω), et donc dive ∈ H^2α−1−(ω), d’o`u : g<sup>0</sup> = g−dive ∈ H<sup>2α−1−</sup>(ω). D’apr`es [67] (p. 82), lorsque g⁰ ∈H^s(ω),s≥ −1, on peut d´ecomposer φ⁰_D sous la forme :

φ⁰_D = φ^R_D +

Ncr

X

j=1



 X

0<m αj<s+1

c_j,mr^{m α}_j ^j sin (m α_jθ_j)



 , avec φ^R_D ∈ H^s+2(ω), c_j,m ∈ R.

Le calcul des c_j,m est donn´e dans [86]. On a c_j,1 = λ^j_D. Afin d’obtenir la d´ecomposition de la proposition 2.18, c’est-`a-direφ<sup>R</sup><sub>D</sub> = φe<sub>D</sub>, il faut limiter la somme surm`a m= 1 pour tout j, ce que est possible si et seulement si :

∀j ∈ {1, ..., N_cr}, s + 1 < 2α_j ⇐⇒ s < s_max avec s_max = 2α − 1. (2.31) Ainsi, s = 2α−1− convient, et dans ce cas, φ^R_D = φe_D, comme annonc´e. Le mˆeme r´esultat est obtenu pour le probl`eme de Neumann. Pour conclure, notons qu’on peut obtenir une partie r´eguli`ere de plus en plus r´eguli`ere sous r´eserve de la r´egularit´e des donn´ees.

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