La remise en cause de l’hypothèse de rigidité du bloc Les trois manifestations de la rigidité
L’hypothèse de rigidité permet de réduire le problème à seulement six degrés de liberté. Cette hypothèse générale permet trois simplifications qui peuvent être analysées séparément.
Tout d’abord, la rigidité permet de considérer les masses comme fixes dans le repère du bloc, et par conséquent d’utiliser des coefficients d’inertie constants.
Pour la plupart des cas d’application, les ordres de grandeurs et de la raideur des matériaux, et de l’élancement et du poids de la structure permettent d’affirmer que le champ de déplacement interne dû aux efforts appliqués sur le bloc n’est pas d’une amplitude à-même de modifier significativement l’inertie globale.
La seconde problématique est liée aux déformations de contact. Au voisinage des points d’appui, les forces en présence sont potentiellement grandes, en parti- culier lors des impacts. Des déformations locales des surfaces de contact, même si l’inertie varie peu, peuvent influer sur l’intensité ou la direction des forces de réaction et modifier le mouvement de façon significative.
Enfin, la dernière problématique est celle du stockage d’énergie sous forme d’onde au sein du matériau. Lors du basculement du bloc, l’énergie est au préa- lable contenue dans le mouvement de rotation ; lors de l’impact, une partie de cette énergie peut potentiellement être transformée sous forme d’une onde de compression au sein du matériaux. Elle peut alors être soit dissipée en chaleur, soit retransmise au mouvement global de bloc, en particulier si le retour de l’onde arrive à l’endroit d’un point d’appui actuellement en contact. Il est alors possible que le retour d’onde ait une influence significative sur le mouvement global.
Les déformations de contact
Les déformations de contact dues à la force entre le bloc et le support sont de deux ordres :
— des déformations élastiques, qui ont lieu durant la durée du contact, et qui s’annulent rapidement une fois le contact perdu ;
— des déformations plastiques pouvant générer des l’endommagement et des fractures générant ainsi une usure.
La quantification des déformations élastiques ne peut être que numérique. En effet, il n’est pas simple de mesurer des déformations durant une si courte durée.
En revanche, numériquement, on peut estimer la déformation des matériaux et comparer le comportement global d’un bloc absolument rigide à celui d’un bloc très légèrement souple au voisinage des points de contact. Ce travail, nous semble-t’il, mériterait encore d’être effectué.
Les déformations plastiques, elles, peuvent dans une certaine mesure être ob- servées expérimentalement. En réalisant un très grand nombre d’essais identiques, on peut étudier l’effet de l’usure des pieds, et donc des déformations plastiques.
À notre connaissance, ce type de résultats n’existe pas encore dans la littérature.
Durant ce travail de thèse, une campagne expérimentale comprenant plus de 400 essais, dont 100 essais aussi identiques que possible, a été réalisée. Il n’a pas été observé de modification significative du comportement due à l’usure des pieds.
Les résultats de cette campagne sont détaillés dans le chapitre AA.
L’effet des ondes durant l’impact
Lipscombe et Pellegrino posent dans [15], cette question de l’effet des ondes de compression sur le mouvement global, et proposent d’appliquer le principe dégagé par Werner Goldsmith dans [20], qui pourrait être traduit par :
o. Chapitre
2
Biblio. Article:ModèleArticleComm.Fiabilité Formu-lationConclusion
Élancement Durée du contact Période fondamentale
h/b (ms) (ms)
1 180 16
2 240 35
4 520 140
8 1600 500
Table 2.1 – Durée du contact et période fondamentale des blocs de Lipscombe et Pellegrino
« L’hypothèse de corps rigide est pertinente dès que la durée de la col- lision est suffisamment longue pour permettre plusieurs réflexions des ondes provoquées par l’impact. »
Ces auteurs extraient alors de leurs résultats expérimentaux les durées de col- lision et les mettent en regard des périodes fondamentales de leurs blocs, c’est- à-dire un aller-retour de l’onde de première harmonique. L’article ne précise pas la forme du mode propre, mais compte tenu des matériau et de la géométrie, il s’agit probablement du premier mode de flexion. Le tableau 2.1montre que les durées de contact permettent pour chaque bloc au moins trois retours d’onde.
Lipscombe et Pellegrino concluent alors que l’hypothèse de rigidité est valable.
L’article ne précise pas la façon dont cette durée est mesurée.
La remise en cause du mouvement plan
La dernière hypothèse à éliminer est le mouvement plan. La plupart des com- portements explicités ci-avant restent valables en 3D. Les calculs sont souvent plus compliqués à poser, mais globalement, les difficultés présentées restent les mêmes.
En plus de celles-ci, un nouveau problème se pose : les trois rotations vont être dé- licates à appréhender. L’algorithme d’intégration du mouvement prend donc une importance supplémentaire.
Nous avons choisi d’utiliser l’algorithme de Simo décrit dans [22] qui a la par- ticularité, en l’absence de forces extérieures, de conserver exactement le moment dynamique linéaire – la quantité de mouvement – et angulaire, et de garantir que la dissipation soit toujours positive, ceci tant que les équations de comportement sont continues.
Le repérage des rotations par des quaternions unitaires
Un quaternion est un nombre hypercomplexe, défini comme une combinaison linéaire à coefficients réels de quatre quaternions unités :1,i,jetk. Nommonsqet q, deux quaternions définis par :
q = a1+b i+c j+d k
q =a1+bi+cj+dk (2.52) L’algèbre des quaternions est particulière, dans laquelle l’addition est simple- ment définie par :
q+q= (a+a)1+ (b+b)i+ (c+c)j+ (d+d)k (2.53) Elle ne pose pas de problèmes particuliers, on la notera alors simplement +.
La multiplication est elle partiellement anticommutative. Pour mettre cette par- ticularité en relief, on notera la multiplication de quaternions . Le produit des composantes unitaires est effectué de la sorte :
1 1=1 i 1= i j 1 = j k 1= k 1 i = i i i = −1 j i = −k k i = j 1 j = j i j = k j j = −1 k j = −i 1 k=k i k= −j j k= i k k= −1
(2.54)
Si on noteq0etq, les composantes entières et complexes deqtelles que : q0 = a
q = (b, c, d) (2.55)
alors l’opérationq qest commutative si et seulement siqetqsont colinéaires.
Cette particularité est intéressante puisque la composition de rotations autour d’un axe de l’espace est elle aussi commutative si et seulement si les deux axes sont colinéaires. On utilise alors la notation précédente pour simplifier la multi- plication :
q q= q0
q
q0 q =
q0q0−q,q
q0q+q0q+q ∧ q (2.56) On appelle quaternion unitaire un quaternion dont la norme est égale à 1 :
q=
a2+b2+c2+d2=
q20+q,q=1 (2.57) L’ensemble des quaternions unitaires est notéH[1].
Il existe une bijectionRq entre les rotations de l’espace et les quaternions uni- taires, permettant d’utiliser le produit de quaternions comme équivalent d’une composition de rotation. À une rotation d’angleθautour d’un axe unitaire orienté
−
→e, on associe le quaternionqtel que :
Rq: θ−→e R
3 H[1]
−−−−−−→q=
cos θ
2
sin θ
2 →−e
(2.58)
On peut démontrer que la matrice de rotationRassociée au quaternionqest telle que :
R=2
⎛
⎝ a2+b2−21 bc−ad bd+ca bc+ad a2+c2− 12 cd−ab bd−ac cd+ab a2+d2− 12
⎞
⎠ (2.59)
Repérer les rotations par des quaternions a entre autres l’avantage de résoudre le problème de « blocage de cardan » (ougimbal lock) qui peut survenir avec l’utili- sation des angles d’Euler et qui peut être délicat à gérer numériquement. En effet, il peut arriver, avec l’utilisation des angles d’Euler, que deux axes de rotation se su- perposent quasiment. Dans ce cas, le système d’équations perd un degré de liberté et le mouvement se bloque.
Fonctionnement de l’algorithme Au pas de temps n, la position du centre de gravité est représentée par un vecteur un, sa vitesse par un vecteur vn et son accélération par un vecteur An; la rotation est représentée par un quaternion unitaireqn, la vitesse de rotation instantanée par un vecteurΩn dont la norme est proportionnelle à la vitesse de rotation et dont la direction correspond à l’axe instantané de rotation (orienté), et l’accélération de rotation par un vecteur Θn. On utilise dans l’algorithme un quaternion temporaireqn.
L’algorithme explicite utilisé conserve la quantité de mouvement et la quantité de rotation quelle que soit la durée de l’incrément de tempsδT. Il peut se décom- poser en 4 étapes, comme résumé dans [23] :
Étape 0 On suppose connues les valeurs de toutes les grandeurs au pas de temps n.
Étape 1 Calcul de l’incrément du vecteur de rotation (dans le repère convectif) et de l’incrément de déplacement du centre de gravité à partir de leurs dérivées :
Δun+1=δTvn+ δT2
2 An (2.60a)
o. Chapitre
2
Biblio. Article:ModèleArticleComm.Fiabilité Formu-lationConclusion
Δrn+1=δTΩn+ δT2
2 Θn (2.60b)
Étape 2 Calcul de la nouvelle position et de la nouvelle matrice de rotation :
un+1=un+Δun+1 (2.61a)
qn+1=qn RqΔrn+1,dir
Δrn+1
(2.61b) On normalise le quaternion ainsi obtenu :
qn+1= qn+1
qn+1 (2.61c)
On peut alors déduire la matrice de rotationRn+1pour le pasn+1en appli- quant l’équation (2.59) àqn+1. À la fin de cette étape, on dispose donc de la nouvelle position de chacun des points du système.
Étape 2 bis Calcul de la force Fet du moment Mappliqués au bloc au pas n+1 selon la loi de contact choisie à partir des valeurs des variables spatiales au pas de temps n. Les vecteurs Fn+12 et M[G]n+12 représentent la force et le moment réduit au centre de gravité au demi-pas de temps, et sont calculés dans le repère fixe. La valeur des efforts au demi-pas de temps est approchée la par moyenne des efforts aux pas de temps suivant et précédent :
Fn+21= Fn+Fn+1
2 (2.62a)
Mn+12
[G] = M[G]n+M[G]n+1
2 (2.62b)
Étape 3 Calcul des nouvelles vitesses par application de la conservation des mo- ments dynamiques :
vn+1=vn+δT
m Fn+12 (2.63a)
Ωn+1=
Rn+1 ⊗ J[G] −1
Rn+1 ⊗ J[G]Ωn+δTM[G]n+12 (2.63b) Notons que la vitesse de rotation instantanéeΩet le tenseur d’inertieJ[G]sont définis dans le repère convectif (et donc, le tenseur d’inertieJ[G]est constant au cours du temps) alors que les effortsFetM[G]ainsi que la vitesse linéique vsont définis dans le repère fixe.
Étape 4 Calcul des nouvelles accélérations par application du principe fondamen- tal de la dynamique :
An+1= Fn+12
m (2.64a)
Θn+1=J[G]−1
Mn+12
[G] −Ωn+1 ∧ J[G]Ωn+1
(2.64b)
Les différentes hypothèses de comportement ont été présentées, et leurs consé- quences sur les techniques de modélisations ont été décrites. Il reste à observer le mouvement expérimental et à construire un modèle capable de reproduire ce comportement observé. C’est l’objet du chapitre suivant.