Partie II Modélisation numérique
Chapitre 6. Modélisation numérique par la méthode des éléments discrets
6.2. Méthode des éléments discrets
Les méthodes des éléments discrets permettent de déterminer le comportement d’un ensemble de particules à partir des forces de contact exercées sur chacune d’elles. Elles
prennent en compte explicitement le caractère granulaire du matériau, et non le comportement du milieu dans son ensemble, comme c’est le cas avec la méthode des éléments finis.
Plusieurs approches existent dont celles basées sur le principe de la dynamique moléculaire.
Cet outil permet de modéliser le mouvement et les interactions entre particules rigides, à partir de lois de contact inter-particulaire.
Dans le logiciel PFC2D les particules élémentaires sont des disques qui peuvent être associés entre eux pour générer des éléments de formes complexes. De telles formes sont nécessaires pour rendre compte, par exemple, du comportement fortement frottant des sables ou des matériaux grossiers (des particules sphériques engendrent des rotations excessives qui ne permettent pas d’atteindre des niveaux de résistance élevés).
L’algorithme général de calcul est illustré dans la Figure 6-1. Il consiste en l’alternance successive des lois du mouvement appliquées à chaque particule et des lois force – déplacement appliquées à chaque contact. Les contacts, qui peuvent exister entre deux disques ou entre un disque et la paroi, sont établis ou supprimés au gré du calcul. Au début de chaque pas de temps, l’ensemble des contacts est mis à jour en fonction de la position relative des particules entre elles ou avec les parois. La loi de contact est appliquée à chaque contact ce qui permet de déduire et de mettre à jour les forces du contact. La loi de mouvement est ensuite appliquée à chaque particule pour réinitialiser sa vitesse et sa position. Le processus itératif est reconduit jusqu’à l’obtention de la solution recherchée.
Figure 6-1 : Algorithme de calcul du logiciel PFC2D 6.2.1. Loi de mouvement
Le mouvement d'une particule rigide simple est régi par les vecteurs forces et moments résultants qui lui sont appliqués. Ce mouvement peut être décomposé en un mouvement de translation du centre de masse et de rotation de la particule. Le mouvement de translation est décrit par la position,xi, la vitesse,x&i, et l'accélérationx&&idu centre de masse de la particule, le mouvement de rotation est décrit par la vitesse angulaire,ωi et l’accélération angulaireω&ide la particule.
L'équation fondamentale de la dynamique relative au mouvement de translation s’écrit :
) ( i i
i m x g
F = && − (6-1)
avec :
- Fi :la composante dans la direction i des forces extérieures agissant sur la particule, - m : la masse de la particule considérée,
- gi : la composante dans la direction i de la gravité.
L’équation relative au mouvement de rotation peut être exprimée sous la forme :
i i
i I
M = ×ω& (6-2)
avec :
- Mi : la composante dans la direction i du moment résultant agissant sur la particule,
- ω&i: la composante dans la direction i de l’accélération angulaire,
- Ii : la composante dans la direction i du moment d’inertie de la particule.
Pour éviter qu’un assemblage de particules peu dissipatif n’oscille indéfiniment autour de sa position d’équilibre il est nécessaire d’introduire de l’amortissement. Dans le logiciel PFC2D, l’une des solutions proposées pour introduire de la dissipation réside dans l’utilisation d’un coefficient α, dit coefficient d’amortissement local, qui intervient dans l’équation du mouvement sous la forme d’une force résistive Fid.
( )
( i i)d i
i F m x g
F + = && − (6-3)
avec :
) ( i
i d
i F sign
F =−α × ν (6-4)
⎩⎨
⎧ =
=
3
2 , 1 ,
νi ωx&i i (6-5)
et : sign(νi) égal à 1 quand νi est positif, -1 quand νi est négatif et 0 quand νi est nul.
La force résistive s’oppose au déplacement des particules et contribue à sa stabilisation. Par défaut, une valeur du coefficient d’amortissement local de 0,7 est proposée par le logiciel PFC
d
Fi 2D.
6.2.2. Loi de contact des particules
Les lois de contact relient les déplacements relatifs (normaux ou tangentiels) et les efforts d’interaction agissant entre les particules en contact (deux particules entre elles ou bien entre une particule et une paroi). Pour optimiser les temps de calcul liés à la détection des contacts, les particules considérées sont le plus souvent constituées de disques en deux dimensions ou de sphères en trois dimensions. Les particules sont supposées indéformables mais peuvent s’interpénétrer légèrement pour traduire une certaine élasticité du contact. Les déformations locales des grains au niveau du contact sont supposées petites en comparaison de leur taille. A noter qu’une modélisation réaliste des déformations des particules serait bien trop compliquée à mettre en œuvre, il est donc supposé que l’interaction inter particulaire se fait sous la forme de l’interpénétration des deux particules en contact.
Dans le logiciel PFC2D, plusieurs lois de contact prédéfinies peuvent être utilisées dans le but d’obtenir une large gamme de comportements et de modéliser ainsi au mieux les phénomènes physiques. Nous présentons ci après la loi de base que nous avons utilisée dans un premier temps pour nos simulations numériques. Celle-ci sera adaptée et modifiée par la suite pour mieux rendre compte du comportement en traction et en compression des sols cohésifs comme les argiles étudiées dans ce travail.
Dans le modèle de base, deux particules sont supposées en contact si la distance entre les centres des deux disques en contact est inférieure à la somme des deux rayons (Figure 6-2). Le vecteur force au contact entre ces particules, Fi peut être décomposé en une composante normale Fin et une composante tangentielle Fis :
s i n i
i F F
F = + (6-6)
La relation entre la composante normale Fn (exprimée en N) et l’interpénétration normale Un (m) est élastique linéaire :
n n
n K U
F = (6-7)
Sur un pas de temps donné Δt, l’incrément de la force de cisaillement ΔFs (exprimé en N) est relié à l’incrément de déplacement tangentiel par la relation :
s s
s K U
F =− Δ
Δ (6-8)
avec:
- Kn : la raideur normale du contact, - Ks : la raideur tangentielle du contact,
- Un : le recouvrement au point de contact dans la direction normale, - ΔUs : l’incrément de déplacement tangentiel au contact.
Figure 6-2 : Paramètres d’interaction entre deux particules
Entre deux particules, la raideur normale et la raideur tangentielle du contact sont définies par :
) 2 ( ) 1 (
) 2 ( ) 1 ( .
n n
n n n
k k
k K k
= + (6-9)
) 2 ( ) 1 (
) 2 ( ) 1 ( .
s s
s s s
k k
k K k
= + (6-10)
avec kn(i) et ks(i) les raideurs normale et tangentielle caractéristiques du disque (i) en (N/m).
Deux critères de rupture sont pris en considération dans la loi de contact de base : un critère de rupture en traction et l’autre en cisaillement.
Quand un contact est sollicité en traction, on admet qu’il y a rupture du contact, et donc séparation des particules lorsque la force normale au contact Fn tend à dépasser une valeur seuil notée Cn (exprimée en N). Dans ce cas, plus aucune force d’interaction normale ou tangentielle, n’est prise en considération au niveau du contact (Fn = Fs = 0).
La force tangentielle au contact Fs est bornée (équation (6-11) par la plus grande des deux valeurs: Cs (exprimée en N) et Fn.µ (µ étant le coefficient de frottement microscopique au contact). Lorsque la valeur limite Fs(max) est atteinte, le lien cohésif (lié à Cs) est rompu même si le contact frottant persiste. Dans ce cas la constante Cs est supposée égale à zéro.
{
C F µ}
Max
Fs < s; n. (6-11)
Les valeurs de Cn et Cs au point de contact entre deux disques de rayon R1 et R2 sont définies par :
R a
Cn = n× (6-12)
R a
Cs = s× (6-13)
où : R est le plus petit rayon des disques en contact (R = min[R1, R2)]), an l’adhérence normale (N/m) et as l’adhérence tangentielle du contact (N/m).
Les paramètres d’interaction pour la loi de base sont donc au nombre de cinq : kn(i) et ks(i) les raideurs normale et tangentielle des particules, an, as et µ, respectivement l’adhérence normale, l’adhérence tangentielle et le coefficient de frottement microscopique du contact.
6.3. Procédures numériques spécifiques à la MED