5. IDENTIFICATION EXPERIMENTALE DU MODELE DE
5.3. Résultats d'identification du modèle de muscle
5.3.2. Modèle mécanique du muscle
Les mesures ont été effectuées sur le muscle en contraction isométrique : la longueur totale du muscle a donc été maintenue constante. L’intérêt du modèle de muscle avec masse musculaire pour la contraction isométrique du muscle a été présenté au § 4.1.1.
En contraction isométrique, les équations différentielles du modèle mécanique de muscle s’écrivent à partir de l’équation 4.53 de la façon suivante :
)
s2 (5.21)Les paramètres à identifier sont : a1, a2, b, b1, b2, p1, p2, q1, q2, r1, r2, où :
( )
( ) ( ) (
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
& & &
& & &
&& &
&& &
0
0
c m u c v 1 c s1 v 2 c s2
c m u c 1 c v 1 c s1 2 c v 2 c
s1 1 c 1 s1 1 s1
s2 2 c 2 s2 2 s2
k = sαk - s k u + s a k ε + s a k ε
F = sαF - s F u - b k - s a F ε - b k - s a F ε ε = p F - qε - rε
ε = p F - qε - rε
; ; Ls01; b = L2 s02; p =1 ; p =2
m L m L ;
01 02 2
2 1 1
1 1 2
s s
1
1 1
L L k
a = a = b = q =
L L m
A. Traitement des données Les mesures expérimentales sont
stimulation (caractérisé par l’amplitu de courant, la largeur d’impulsion et la fréquence de La longueur relative à laquelle le stimulé et le
t nécessaires à la simulation du
utement des fibres musculaires défini dans le § 4.2.1 pour obtenir le taux de recrutement et une simulation du modèle d’activation dynamique défini dans le § 4.2.2 pour générer la
; ;
0 0 1 01 2 02 2
1 1 2
2 1 2
c c s s
ks λ λ
q = r = r =
m m m
: la force générée par le muscle et le signal de de
stimulation). muscle a été
signal EMG du muscle sont également mesurés et enregistrés. À partir de ces données, nous avons préparé les données qui son
modèle telles que la commande chimique u, le taux de recrutement α. La préparation des commandes (u et α) est nécessaire pour l’identification du modèle mécanique de muscle puisque ce sont les deux seules entrées de commande du modèle. Elles sont préparées à partir et en synchronisation avec le signal de stimulation.
Pour cela, nous avons effectué une simulation du modèle de recr
commande chimique. Les valeurs des paramètres du modèle d’activation sont issues de la littérature (voir tableau 4.1 et 4.2).
e taux de recrutement résultant dépend de l’amplitude du courant
d’impulsion PW. Nous avons effectué les mesures en mode isométrique et à un taux de recrutement constant, c’est-à-dire I et PW sont constante pendant chaque mesure La commande chimique générée par le modèle d’activation dynamique est sensible à la fréquence du signal de stimulation et dépend de 4 paramètres (figure 5.18) :
L I et de la largeur
(PW et I peuvent être varie d’une mesure à une autre).
c : Concentration de calcium seuil.
τ : Retard de la commande chimique par rapport au signal de stimulation.
: Durée de la commande chimique positif (phase de contraction).
our la phase de contraction.
τ1
Um, : Valeur de la commande u p
Up : Valeur de la commande u pour la phase de relaxation.
Les valeurs numériques des paramètres de la commande chimique u sont inspirées de la littérature et des mesures expérimentales. Um , Up et c inspirés de [Bestel 2000a] et [Hatze 1978] ; τ et τ1 déduites à partir des mesure expérimentales, τ : correspond au retard qui existe entre le signal de stimulation et la force générée par le muscle, τ1 : correspond à la fréquence de contraction en tétanos. Le tableau 5.2 présente les valeurs numériques déduites et utilisés dans la simulation du modèle.
Figure 5.18. La commande chimique u synchronisé et retardé par rapport au signal de stimulation
Tableau 5.2. Paramètres du signal de la commande chimique u.
Paramètres Valeurs c [mol/l] 5.10-6
τ [sec] 5.10-3 τ1 [sec] 20.10-3 Um [1/sec] 15
Up [1/sec] 20
L’algorithme utilisé pour identifier les paramètres du modèle (5.21) est le filtre de Kalman étendu mentionné au § 5.2.2. Ce choix est justifié pour les raisons suivantes :
− Le modèle est non linéaire et s’écrit sous la forme d’un modèle d’état non linéaire.
− Certaines variables d’état ne sont pas mesurées, comme la raideur kc et les variations de longueur des éléments élastique et contractile. La seule sortie disponible en contraction isométrique est la force générée par le muscle (élément contractile).
B. Protocole d’estimation
Malgré les avantages du filtre de Kalman étendu, un des inconvénients demeure l’initialisation du filtre qui conditionne fortement la convergence de l’estimateur.
Cette difficulté nous a conduit à réduire le nombre des paramètres à identifier simultanément et à mettre en œuvre un protocole d’estimation divisé en deux étapes : une étape d’estimation pour les paramètres géométriques et une étape d’estimation
po a r
les paramètres géométriques et dynamiqu ètres avec des connaissances a priori basées sur érations physiques.
Pour réduire le nombre de paramètres, nous avons supposé que la moitié droite du modèle de muscle définie sur la fi étai ique à celle de gauche. Dans ce cas, la masse du muscle est divis x m gales et la raideur des tendons est identique ; de même pour les amortisseurs. Cette hypothèse permet de réduire le nombre des paramètres à identifi mètre , b, p, q, r où :
ur les paramètres dynamiques. On effectue lors des identifications successives su es en utilisant les param
des consid
gure 4.5 t ident ée en deu oitiés é er à 5 para s : a
; ; ; ;
0 0 0 0
s c s 1 s s
a = L L b = L p = mL q = k m r =λ m. Le modèle de muscle simplifié a la forme suivante :
( ) ( )
⎧k = s& αk - s k u + s ak ε& +ε&
( ) ( )( )
⎨F = sc 0αF - s F u - bk - s aFm u c c v c ε&s1+ε&s2
(5.22)
⎪⎪
⎪⎪
⎩
&& &
&& &
s1 c s1 s1
s2 c s2 s2
ε = pF - qε - rε ε = pF - qε - rε
l’on essaie d’identifier simultanément la raideur musculo-tendineuse k
&
c 0 m u c v c s1 s2
Si
de muscle, l’algorithme du filtre de Kalman étendu ne converge pas vers une valeur
s du modèle
réelle et acceptable. La raison en est probablement que les trajectoires ne sensibilisent par rapport aux autres. L’identification de la raideur pas suffisamment ce paramètre
nécessite en effet des manipulations spécifiques comme le montre [Constantinos 1999 et 2003]. Nous avons donc effectué des mesures force-déplacement spécifiques sur le muscle isolé (figure 5.19) après extraction du muscle du système biomécanique. On mesure la force du muscle en fonction de la variation de sa longueur en fixant le tendon à une extrémité et en tirant sur l’autre à l’aide d’un moteur (figure 5.19).
Moteur pour mesurer la force et la variation de
la longueur Muscle Gastrocnemius du lapin
Tendon
Figure 5.19. Expérience de mesure du rapport force-longueur sur le muscle « gastrocnemuis » du lapin.
Figure 5.20. Raideur musculo-tendineux.
La courbe résultante des mesures effectuées sur l’ensemble muscle-tendon est présentée sur la figure 5.20. Cette courbe présente une région de faible non linéarité pour des petites déformations puis une région linéaire avec une pente égale à 4500N/m. Elle se termine par une région de forte non linéarité avant la rupture [Zajac 1989].
La dynamique musculo-tendineuse est viscoélastique. Un fonctionnement normal du muscle pendant la contraction situe la raideur du tendon dans la région linéaire, les étirements excessifs étant prévenus par les réflexes automatiques. Pour cela, nous avons adopté un modèle linéaire pour le système muscle-tendon (§ 4.1.1) représenté par l’équation (4.4) [Zajac 1989]. En considérant un fonctionnement linéaire, nous avons estimé une valeur constante pour ks (raideur musculo-tendon) de 4500N/m qui correspond à la pente de la région linéaire.
Dans ce qui suit, on suppose que ks est une valeur identifiée constante égale à 4500N/m. Le modèle à estimer est donc le suivant :
( ) ( )
( ) ( )(
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
& & &
& & &
&& &
&& &
0
0
c m u c v c s1 s2
c m u c c v c s1
s1 c s s1 s1
s2 c s s2 s2
k = sαk - s k u + s ak ε +ε F = sαF - s F u - bk - s aF ε +ε ε = pF - qkε - rε
ε = pF - qkε - rε
)
s2 (5.23)
Où : 0 ; 0 ; ; ;
0 0
s
s
c s
L 1 1 λ
a = b = L p = q = r =
L mL m m.
Nous allons donc, com récédemment, identifier
ccessivement les paramètres géométriques (Lc0 et Ls0) et les paramètres dynamiques me nous l’avons mentionné p
su
(m et λ).
Le modèle de muscle pour identifier les paramètres géométriques est le suivant :
( ) ( )
( ) ( )( )
⎧⎪
⎪
& & &
& & &
0
0
c m u c v c s1 s2
c m u c c v c s1 s2
k = sαk - s k u + s ak ε +ε F = sαF - s F u - bk - s aF ε +ε
⎪⎪ 1 k λ (5.24)
⎨⎪
⎪⎪
⎪⎩
&& &
&& &
s
s1 c s1 s1
s
s2 c s2 s2
1
ε = F - ε - ε
bm m m
k λ
ε = F - ε - ε
bm m m
Où a = L Ls0 c0; b = Ls0. Les paramètres dynamiques m et λ sont supposés constants durant cette étape.
Le modèle de muscle avec les paramètres dynamiques à identifier est le suivant :
( ) ( )
( ) ( )
⎧⎪
⎪⎪ ⎛
& 0 0 & &
0 s
c m u c v c s1 s2
c
k = sαk - s k u + s k ε +ε L
L ⎞
⎪ ⎜ ⎟
⎪ ⎝ ⎠
⎨⎪
⎪⎪
⎪⎪⎩
& & &
&& &
&& &
0
0 0
0
0
0
s
c m u c s c v c s1 s2
c
s
s1 c s1 s1
s
s
s2 c s2 s2
s
L
F = sαF - s F u - L k - s F ε +ε L
k
ε = 1 F - ε - rε
pL p
k
ε = 1 F - ε - rε
pL p
(5.25)
Où p = m; r =λ m, les paramètres géométriques s0 et Lc0 sont supposés constantes durant cette étape.
L
C. Résultat de l’estimation
Les paramètres sont donc estimés par un filtre de Kalman étendu. La convergence est évaluée par l’évolution de la matrice de variance-covariance. Une validation croisée er la qualité du modèle estimé.
Partant de valeurs connues et réalistes a priori de m et λ, nous avons identifié uccessivement les paramètres géométriques (Ls0 et Lc0) et dyn
itérations. Après 6 itérations, l’écart relatif entre les valeurs estimées successivement est de moins de 1%. Le tableau 5.3 résume les valeurs initiales et identifiées des paramètres obtenus pour chaque itération.
Identification successive des paramètres géométriques et dynamiques.
c’est-à-dire avec des données non utilisées pour l’identification, permet d’appréci
s amiques (m et λ) en 6
Tableau 5.3.
λ [N.s/m] 6.5 m [g] 10
3.4702 Ls0 [cm]
7.8586 Lc0 [cm]
14.8555 λ [N.s/m]
35 17.08 m [g]
3.5536 [cm]
c0
Ls0
8.0843 L [cm]
15.009 λ [N.s/m]
17.138 m [g]
3.6073 Ls0[cm]
7.8013 Lc0[cm]
15.108 λ [N.s/m]
17.145 m [g]
Itération n° 1 Itération n° 2
Itération n° 3
Itération n° 4 Itération n° 5
Itération n° 6
rs moyennes des paramètres sur les essais présentés
Paramètres Valeur moyenne
Le tableau 5.4 présente les valeu dans le tableau 5.3.
Tableau 5.4. Identification croisée des paramètres géométriques et dynamiques.
Lc0 [cm] 7,926 Ls0 [cm] 3,558 m [g] 17,117 λ [N.s/m] 14,967
La figure 5.21 présente le signal d’entrée de stimulation. Il est formé de deux pulsions successives à une fréquence de 20Hz, d’une amplitude de 105µA et d’une largeur d’impulsion 300
présentent les résultats de l’algorithme d’estimation de l’itération n°5 des paramètres géométriques (Lc0 et Ls0) : états estimés (force et raideur), paramètres identifiés et variances d’erreur d’estimation. Nous identifions les paramètres a et b. Les valeurs im
µs. Les figures 5.22, 5.23, 5.24, 5.25, 5.26, 5.27, 5.28 et 5.29
des paramètres géométriques Lc0=b/a et Ls0=b sont déduites des valeurs finales de l’estimation. Les figures 5.30 et 5.31 présentent l’évolution des longueurs Lc0 et Ls0
calculées a posteriori à partir de l’évolution des paramètres a et b. La longueur totale du muscle est égale à la so Lc0 + Ls0 soit L0=11.5cm
d’estimation des itérations n°1, 2, 3 et 4 sont présentés dans l’Annexe A.
L’initialisation des matrices de variance-covariance est présentée dans le tableau 5.5.
Tableau 5.5. e des matrices P, Q et
Matrice Valeur initiale (pour les paramètres géométriques)
mme . Les résultats de
Valeur initial R.
P diag([ 103 1 103 103 105 105 40 1 ]) Q diag([ 1 10-2 1 1 1 1 10-4 25×10-4 ])
R 10-3
Matrice Valeur initiale (pour les paramètres dynamiques)
P diag([ 103 1 104 104 106 106 1 10 ]) Q diag([ 102 102 102 1 1 1 10-2 10-8 ])
R 1
Figure 5.21. Signal d’entrée de stimulation
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Temps [sec]
Force [N]
Figure 5.22. Forces mesurée et estimée par filtre de Kalman (itération n°5).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Temps [sec]
Variances de l'erreur d'estimation de la force
Figure 5.23. Variances de l’erreur d’estimation de la force musculaire (itération n°5).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0
50 100 150 200 250 300
Temps [sec]
Raideur [N/m]
Figure 5.24. Estimation de la raideur kc de l’élément contractile EC (itération n°5).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
5x 104
Temps [sec]
Variances de l'erreur d'estimation de la raideur
Figure 5.25. Variances de l’erreur d’estimation de la raideur kc (itération n°5).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Temps [sec]
Identification du paramètre a
Figure 5.26. Identification du paramètre a (itération n°5).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Temps [sec]
Variances de l'erreur d'estimation du paramètre a
Figure 5.27. Variances de l’erreur d’estimation du paramètre a (itération n°5).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Temps [sec]
Identification du paramètre b
I
Figure 5.28. dentification du paramètre b (itération n°5).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Temps [sec]
Variances de l'erreur d'estimation du paramètre b
Figure 5.29. Variances de l’erreur d’estimation du paramètre b (itération n°5).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -20
0 20 40 60 80 100
Temps [sec]
Evolution de la longueur Lc0 [cm]
Figure 5.30. Évolution de la longueur Lc0 calculé à partir de l’évolution des paramètres a et b.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -20
0 20 40 60 80 100
Temps [sec]
Evolution de la longueur Ls0 [cm]
Figure 5. l de la s0 amètres a et b.
Les figures 5.32, 5.33, 5.34, 5.35, 5.36, 5.37, 5.38 et 5.39 présentent les résultats de l’algorithme d’estimation de l’itération n°6 des paramètres dynamiques (m et λ) :
31. Evo ution longueur L calculé à partir de l’évolution des par
états estimés, paramètres identifiés et variances d’erreur d’estimation. Nous identifions les paramètres r et p. Les valeurs des paramètres dynamiques m=p et λ=rp sont calculées a posteriori à partir des valeurs finales de l’estimation.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Temps [sec]
Force [N]
Figure 5.32. Force mesurée et estimée par filtre de Kalman (itération n°6).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 1
Temps [sec]
Variances de l'erreur d'estimation de la force
Figure 5.33. Variances de l’erreur d’estimation de la force musculaire (itération n°6).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0
50 100 150 200 250 300 350 400
Temps [sec]
Raideur [N/m]
Figure 5.34. Estimation de la raideur kc de l’élément contractile EC (itération n°6).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Temps [sec]
Variances de l'erreur d'estimation de la raideur
Figure 5.35. Variances de l’erreur d’estimation de la raideur kc (itération n°6).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
Temps [sec]
Identification du paramètre p
Figure 5.36. Identification du paramètre p (itération n°6).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.2
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Temps [sec]
Variances de l'erreur d'estimation du paramètre p
Figure 5.37. Variances de l’erreur d’estimation du paramètre p (itération n°6).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 600
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Temps [sec]
Identification du paramètre r
Figure 5.38. Identification du paramètre r (itération n°6).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 2
3 4 5 6 7 8 9 10
Temps [sec]
Variances de l'erreur d'estimation du paramètre r
Figure 5.39. Variances de l’erreur d’estimation du paramètre r (itération n°6).
Les figures 5.40 et 5.41 présentent l’évolution de la masse musculaire m et du coefficient d’amortissement λ calculée à partir de l’évolution des paramètres p et r.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0
5 10 15 20 25 30
Temps [sec]
Evolution de la masse musculaire [g]
Figure 5.40. Évolution de la masse musculaire m extraite à partir de l’évolution des paramètres p et r.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
0 5 10 15 20 25 30
Temps [sec]
Evolution du coefficients d'amortissement [N.s/m]
Figure 5.41. Évolution du coefficient d’amortissement λ calculé à partir des paramètres p et r.