NP-complétude du sous-problème APS( CROSSING , PLAIN )

Nous démontrons dans cette section que le sous-problème APS(CROSSING,PLAIN) est NP-complet.

Ce résultat répond au dernier cas ouvert posé dans [57], et complète la table de complexité du problème APS en considérant les niveaux classiques de complexité, i.e.PLAIN,CHAIN,NESTEDetCROSSING(cf.

Table 5.1).

Pour ce faire, nous proposons une transformation polynomiale du problème NP-complet EXACT

3-CNF-SAT[53] vers le sous-problème APS(CROSSING, PLAIN).

EXACT3-CNF-SAT

DONNÉES: Un ensembleVⁿdenvariables et un ensemble C^qdeqclauses (chacune composée de trois littéraux) surVn.

QUESTION: Existe-il un ensemble de valeurs pourVnsatisfaisant toutes les clauses deCq?

Il est facile de vérifier que le sous-problème APS(CROSSING, PLAIN) est dans la classe NP. Le reste de cette section est consacré à prouver que ce sous-problème est également NP-dur. SoientVn = {x₁, x₂, ...xn}un ensemble fini denvariables etCq ={c₁, c₂, . . . , cq}un ensemble de qclauses. Sans perte de généralité, nous supposons que les littéraux de chaque clause sont ordonnés de gauche à droite, i.e. sic_i = (x_j ∨x_k∨x_l)alorsj < k < l. Nous commençons par définir formellement la construction des séquencesSetT:

S=S^s_x1A S_x^s₁ S_x^s₂A S_x^s₂. . . S_x^s_nA S^s_xnS_c1 S_c2. . . S_cq S^e_x1 S_x^e₂. . . S_x^e_n T =T_x^s₁ T_x^s₂. . . T_x^s_n Tc₁ Tc₂. . . Tcq T_x^e₁ T_x^e₂. . . T_x^e_n

Nous détaillons maintenant les sous-séquences composantS etT. Soientγm (resp.γm) le nombre d’occurrences du littéralx_m(resp.x_m) dansCqetk_m = max(γ_m, γm). Pour chaque variablex_m ∈ Vn, avec1≤m≤n, nous construisons les mots:

• S_x^s_m=AC^km;

• S_x^s_m=C^kmA;

• T_x^s_m =AC^kmA.

oùC^km est un mot dekmbasesC consécutives. De plus, pour chaque clauseci deCq, avec1≤i≤q, nous construisons les motsSci =U GGGAetTci =U GA. Finalement, pour chaque variablexm ∈ Vⁿ, avec1≤m≤n, nous construisons les motsS_x^e_m =U U AetT_x^e_m =U A.

Une fois les deux séquences définies, nous définissons les structures d’arcs correspondantes (cf.

Figure 5.1). Par la suite, on note S[i] la i^eme` base de la séquence S et, pour tout 1 ≤ m ≤ n, on

CHAPITRE 5 — Le problème ARC-PRESERVING SUBSEQUENCE 67

note lm = |S^s_xm|. Pour tout 1 ≤ m ≤ n, nous construisons les deux arcs suivant: (S_x^s_m[1],S_x^e_m[1]) et (S_x^s_m[l_m],S_x^e_m[2]). Pour chaque clausec_i deCq, avec 1 ≤ i ≤ q, et pour tout 1 ≤ m ≤ n, si lek^{`eme</sup> (k ∈ {1,2,3}) littéral de ci est xm (resp. xm) alors nous construisons un arc entre une base libre C quelconque deS<sub>x</sub><sup>s</sup><sub>m</sub>(resp.S<sub>x</sub><sup>s</sup><sub>m</sub>) et lak<sup>eme`} baseGdeSci(notons que ceci est rendu possible du fait de la définition deS_x^s_m,S_x^s_metS_ci).

En tout, l’instance ainsi construite est composée de3q+2narcs. Nous appelons APS-CP-construction, toute construction de ce type. Par la suite, nous distinguerons les arcs entre une baseAet une baseU, que l’on nommeraAU-arcs, des arcs entre une baseCet une baseG, que l’on nommeraCG-arcs. Une illustration d’une APS-CP-construction est donnée en Figure 5.1. Clairement, notre construction peut être effectuée en temps polynomial. De plus, le résultat d’une telle construction est bien une instance du sous-problème APS(CROSSING, PLAIN), puisqueQ =∅(aucun arc n’est ajouté à(T, Q)) et P est un ensemble d’arcs respectant le niveauCROSSING(puisqu’il n’existe pas deux arcsa1,a2deP tels quea1

précèdea₂oua₂précèdea₁).

Figure 5.1 – Exemple d’une APS-CP-construction avecCq= (x2∨x3∨x4)∧(x1∨x2∨x3)∧(x2∨x3∨x4).

Nous commençons par prouver un lemme sur la canonicité d’une APS-CP-construction que nous utiliserons pour prouver la NP-complétude du sous-problème APS(CROSSING, PLAIN).

Lemme 5.1. Soient (S, P) et(T, Q) deux séquences arc-annotées obtenues à partir d’une APS-CP- construction. Si(T, Q)peut être obtenue à partir de(S, P)en supprimant certaines des bases deSainsi que les éventuels arcs incidents à ces bases, alors pour tout1≤i≤qet1≤m≤n:

1. la séquenceTciest obtenue à partir deSci en supprimant deux de ses trois basesG;

2. la séquenceT_x^e_m est obtenue à partir deS_x^e_men supprimant une de ses deux basesU;

3. la séquence T_x^s_m est obtenue à partir deS_x^s_mAS_x^s_m en supprimant soit toutes les bases de S_x^s_m, soit toutes celles deS_x^s_m.

Preuve. Soient(S, P)et(T, Q)deux séquences arc-annotées obtenues à partir d’une APS-CP-construct- ion.

(1) Par construction, la première baseU apparaissant dansS (resp.T) estS_c1[1](resp.T_c1[1]). Par conséquent, la baseTc1[1]ne peut être obtenue qu’à partir de la baseSc1[1]ou d’une baseUdeSsituée aprèsSc₁[1]. De plus, le nombre de basesAapparaissant après la baseSc₁[1]dansSest égal au nombre de basesAapparaissant après la base T_c1[1]dansT. Par conséquent, lai^{`eme</sup>baseAapparaissant après Sc<sub>1</sub>[1] dans S doit être appariée à la i<sup>eme`} base A apparaissant après Tc₁[1]: ∀1 ≤ i ≤ q, Tci[3] est appariée àSci[5].

68 CHAPITRE 5 — Le problème ARC-PRESERVINGSUBSEQUENCE

De ce fait, la baseTcq[3]est appariée à la baseScq[5]. Étant donné qu’il y a autant de basesU entre les basesS_c1[1]etS_cq[5]qu’il y en a entre les basesT_c1[1]etT_cq[3], pour tout1≤i≤q, la baseT_ci[1]

doit être appariée à la baseSci[1]. On en conclut donc que pour tout1 ≤ i ≤ q, la séquence Tci est obtenue en supprimant deux des trois basesGdeSci.

(2) En reprenant l’argument, développé dans (1), concernant les bases A apparaissant après les basesS_c1[1]etT_c1[1], on en conclut que si(T, Q)peut être obtenue à partir de(S, P), alors pour tout 1 ≤ m ≤ n la baseT_x^e_m[2] est appariée à la baseS_x^e_m[3]. Par conséquent, pour tout 1 ≤ m ≤ n, la séquenceT_x^e_mest obtenue à partir deS_x^e_m, et plus précisémentT_x^e_m[1]est appariée àS^e_xm[1]ou àS_x^e_m[2].

(3) Par définition, étant donné queQ=∅, pour tout arc deP, au moins une base marquée doit être supprimée. Nous venons de préciser que pour tout1≤m≤n,T_x^e_m[1]est appariée àS_x^e_m[1]ou àS_x^e_m[2].

Donc, étant donné que, par construction, il y a un arc entreS^e_xm[1]etS_x^s_m[1](resp.S_x^e_m[2]etS_x^s_m[lm]), pour tout1≤m≤n, soitS^s_xm[1], soitS_x^s_m[lm]doit être supprimée. Notons que tous ces arcs connectent une baseAapparaissant avant la baseSc₁[1]à une baseU apparaissant après la baseScq[5].

Par conséquent, pour tout 1 ≤ m ≤ nune base A apparaissant avant la base Sc1[1] dans S est supprimée. Au départ, il y avait3nbasesAapparaissant avant la baseSc₁[1]dansSet2napparaissant avant la baseTc₁[1]dansT. Donc, le nombre de basesAnon supprimées dansSet apparaissant avant la baseSc1[1]est égal au nombre de basesAapparaissant avant la baseTc1[1]dansT. Étant donné que, pour tout1≤m≤n, une baseAdeS_x^s_mou deS_x^s_m est supprimée, on en conclut que pour tout1≤m≤n, la séquenceT_x^s_mest obtenue à partir deS_x^s_mAS_x^s_m, soit en supprimantS_x^s_m, soit en supprimantS^s_xm.

Il nous reste à prouver que notre construction est une transformation polynomiale du problème EXACT3-CNF-SATvers le sous-problème APS(CROSSING, PLAIN).

Lemme 5.2. Soient I une instance du problème EXACT 3-CNF-SAT avecn variables et q clauses, etI⁰ = ((S, P); (T, Q))une instance du problème APS(CROSSING,PLAIN) obtenue à la suite d’une APS-CP-construction à partir deI. Il existe un ensemble de valeurs pour lesnvariables satisfaisant les q clauses deI si et seulement si(T, Q) est une sous-séquence commune arc-préservante de(S, P) et (T, Q).

Preuve. (⇒)Supposons que nous avons un ensembleVde valeurs pour lesnvariables satisfaisant lesq clauses deI. Par définition, pour chaque clause il existe au moins un littéral la satisfaisant. Par la suite, ji représentera, pour tout 1 ≤ i ≤ q, le plus petit indice des littéraux de ci (i.e. 1, 2 ou 3) qui, par leurs valeurs, satisfontci. Soient(S, P)et(T, Q)deux séquences arc-annotées obtenues à la suite d’une APS-CP-construction à partir deI. Nous recherchons un ensemble Bde bases à supprimer de S afin d’obtenirT. Pour chaque variablexm ∈ Vavec1≤m≤n, nous définissonsBcomme suit:

• sixm=V raialorsBcontient chaque base de la séquenceS_x^s_m et la baseS_x^e_m[1];

• sixm=F auxalorsBcontient chaque base de la séquenceS_x^s_m et la baseS_x^e_m[2];

• sij_i = 1alorsBcontient les basesS_ci[3]etS_ci[4];

• siji = 2alorsBcontient les basesSci[2]etSci[4];

• siji = 3alorsBcontient les basesSci[2]etSci[3].

Étant donné qu’une variable ne peut avoir qu’une unique valeur (V rai ou F aux), pour tout 1 ≤ m≤nsoit chaque base deS_x^s_met la baseS_x^e_m[1], soit chaque base deS_x^s_met la baseS_x^e_m[2]appartient àB. Par conséquent, Bcontient au moins une base de chaqueAU-arc deP.

Pour tout 1 ≤ i ≤ q, deux des trois bases Gde Sci sont dans B. Donc,B contient au moins une base de deux tiers desCG-arcs de P. De plus,Sci[ji+ 1] est la base Gn’appartenant pas àB. Nous

CHAPITRE 5 — Le problème ARC-PRESERVING SUBSEQUENCE 69

supposons, par la suite, que lej_i^`emelittéral de la clauseciestxm, avec1 ≤m ≤n. Par construction, il existe un arc entre une baseCdeS_x^s_m et la baseS_ci[j_i+ 1]dansP.

Par définition, siV est un ensemble de valeurs pour lesnvariables satisfaisant lesq clauses deI,V satisfait ci et doncxm = V rai. Nous avons précisé, dans la définition deBque sixm = V rai alors chaque base de S_x^s_m est dans B. Donc, la baseC de S_x^s_m marquée avecS_ci[j_i + 1]par un CG-arc de P appartient à B. Un résultat similaire peut être obtenu si lej_i^`eme littéral de la clause ci est xm. Par conséquent,Bcontient au moins une base de chaqueCG-arc deP.

SiS⁰est la séquence obtenue à partir deSen supprimant toutes les bases deBainsi que les éventuels arcs incidents à ces bases alors il n’y a pas d’arc dansS⁰(i.e. pas deAU-arcs, ni deCG-arcs). D’après la définition deB, la séquenceS⁰est donc obtenue à partir deSen supprimant, pour tout1≤i≤qet pour tout1 ≤m≤n, toutes les bases deS_x^s_m ou deS_x^s_m, deux basesGdeSciet la base S_x^e_m[1]ouS_x^e_m[2].

On peut vérifier que la séquenceS⁰obtenue est similaire àT.

(⇐)Soit I une instance du problème EXACT 3-CNF-SAT avecnvariables etqclauses. SoitI⁰ = ((S, P); (T, Q)) une instance du problème APS(CROSSING,PLAIN) obtenue à partir d’une APS-CP- construction deI telle que(T, Q)est une sous-séquence commune arc-préservante de(S, P)et(T, Q).

NotonsBl’ensemble des bases deSà supprimer pour obtenirT. Par le Lemme 5.1, pour tout1≤m≤n, soit toutes les bases deS_x^s_m, soit toutes les bases deS_x^s_mappartiennent àB. Pour tout1≤m≤n, nous définissons l’ensembleVde valeurs pour lesnvariables comme suit:

• si toutes les bases deS^s_xmappartiennent àBalorsxm =V rai;

• si toutes les bases deS^s_xmappartiennent àBalorsxm =F aux.

Maintenant, nous allons prouver que pour tout 1 ≤ i ≤ q la clause c_i est satisfaite parV. Par le Lemme 5.1, pour tout1 ≤i ≤qil existe une base Gde Sci (disons laji+ 1^{eme`</sup> ) qui n’appartient pas àB. Par construction, il existe unCG-arc deP entreSci[ji+ 1]et une baseCdeS<sub>x</sub><sup>s</sup><sub>m</sub> (resp.S<sub>x</sub><sup>s</sup><sub>m</sub>) si le j<sub>i</sub><sup>`eme}littéral dec_iestx_m(resp.x_m).

Supposons, sans perte de généralité, que le j_i^`eme littéral de ci est xm. Étant donné que Q = ∅, au moins une base marquée par tout arc de P appartient àB. Donc, la base C de S_x^s_m marquée avec S_ci[j_i + 1] par un CG-arc de P appartient àB (étant donné que par hypothèseS_ci[j_i + 1] 6∈ B). Par conséquent, d’après le Lemme 5.1, toutes les bases deS_x^s

m appartiennent àB. D’après la définition de l’ensembleV,xm=V raiet doncciest satisfaite. Une conclusion similaire peut être obtenue si lej_i^`eme littéral deciestxm. La preuve du lemme en découle.

Nous venons donc de prouver le théorème suivant.

Théorème 5.1. Le sous-problème APS(CROSSING,PLAIN) est NP-complet.