Les ondes d’Alfv´ en

2.1.1 D´efinitions

Un plasma baign´e par un champ magn´etique est susceptible d’ˆetre parcouru d’ondes ma- gn´etohydrodynamiques (MHD). Les lignes de champ magn´etiques dans le plasma peuvent ˆetre compar´ees `a des ´elastiques tendus, ou des cordes d’instrument (la force de Laplace joue un rˆole de force de rappel analogue `a celui de la tension appliqu´ee `a une corde). Si elles sont d´eplac´ees (`a cause d’une perturbation ; on peut prendre l’image mentale d’une corde ”pinc´ee”), elles tendent `a revenir `a leur position, en se mettant `a osciller. Ces oscillations se propagent `a lavitesse d’Alfv´en (vitesse de phase) :

V_A= B

√µ0ρ = ω

k (2.1)

La vitesse d’Alfv´en d´epend donc `a la fois de l’intensit´e du champ magn´etique B et de la masse volumique du plasma ;µ0 est la perm´eabilit´e du vide,ωest la pulsation de l’onde, etkle nombre d’onde.

Le comportement qu’on vient de d´ecrire correspond `a l’un des modes MHD (dit mode d’Alf- v´en) : une oscillation `a la fois de la perturbationB₁ du champ magn´etique principalB et d’une composante de vitesse ξ du plasma, puisque champ et plasma ´evoluent de concert (”Th´eor`eme du gel”))<sup>1</sup>. Ces deux champs vectoriels oscillent selon des axes orthogonaux `a la ligne de champ principal (on parle aussi de cisaillement transverse).

Les modes MHD sont en fait au nombre de trois, caract´eris´es par des vitesses de phase dif- f´erentes (e.g. Priest, 1984; Roberts, 2004) : lent, rapide², et ”Alfv´en” (modes plans). Du point de vue des oscillations de tubes de flux magn´etique sous l’influence de ces ondes (modes cylin- driques), on parlera de mode ”sausage”, ”kink”, et ”mode de torsion” (Alfv´en).

Les modes lents et rapides poss`edent une composante acoustique en plus de la composante magn´etique (on parle aussi de modes magn´etosonores).

La propagation des ondes d’Alfv´en se fait sans amortissement dans le cas classique d’un fluide parfaitement conducteur ; des effet de dissipation peuvent ˆetre introduits par exemple par la r´esistivit´e du plasma. Selon les conditions physiques r´egnant, ou du fait de la configuration des structures magn´etiques (le rˆole des interfaces est tr`es important), les diff´erents modes peuvent voir leur propri´et´es de propagation, de dispersion et d’amortissement modifi´ees (Erdelyi et al., 1998; Roberts, 2000, 2004). Ainsi, les modes lents sont r´eput´es ne pouvoir traverser la r´egion de transition. En outre, toujours selon les conditions physiques, la vitesse de groupe (qui caract´erise la propagation de l’´energie, et non la phase des oscillations), ne suit pas obligatoirement les lignes de champ.

1On peut aussi associer un champ ´electrique `a cette onde, mais elle peut ˆetre caract´eris´ee compl`etement par B¹etξ.

2slow andfast modes.

2.1. Les ondes d’Alfv´en 47 2.1.2 G´en´erer des ondes d’Alfv´en

Les ondes d’Alfv´en peuvent ˆetre excit´ees soit par les mouvements de convection photosph´e- riques (les lignes de champ sont ”ancr´ees” `a ce niveau), soit par des ´ev´enements de reconnection (flares : e.g. Terradas et al. (2005) ; voir aussi les r´ef´erences p. 34 : ”Activit´e solaire et ondes MHD”).

2.1.3 Conservation du flux : variation de l’amplitude d’une onde d’Alfv´en avec la densit´e

En l’absence d’amortissement³, le flux d’´energie d’une onde d’Alfv´en doit se conserver au long du tube de flux dans lequel elle se propage. Or `a mesure que l’altitude augmente dans la couronne, la densit´e d´ecroˆıt (atmosph`ere stratifi´ee). La quantit´e d’´energie par particule doit donc augmenter, ce qui a pour effet d’augmenter l’amplitude de la fluctuation de vitesseξ associ´ee `a l’onde d’Alfv´en.

En effet, la densit´e de flux d’´energie est donn´ee par ρ ξ²V_A. Si on remplace V_A par son expression dans l’´equation 2.1, que l’on multiplie la densit´e de flux par l’aire de la section du tubeA, on obtient le flux total :

Γ_t= 1

√µ₀

√ρ ξ²BA (2.2)

Or, si l’intensit´e du champ magn´etique ´evolue en suivant la g´eom´etrie du tube (y compris dans le cas de l’expansion super-radiale), le produit BA est constant lorsque l’altitude augmente.

Comme le montre Moran (2001), l’amplitudeξ de l’onde suivra alors la relation :

ξ∝ρ^−1/4. (2.3)

2.1.4 Turbulence d’onde et cascade

La th´eorie de la turbulence fluide a ´et´e ´enonc´ee par Kolmogorov (1941) : l’´energie est inject´ee dans le syst`eme au niveau des grandes ´echelles, redistribu´ee progressivement vers les plus petites

´echelles (cascade, due `a des effets non-lin´eaires), o`u elles sont finalement dissip´ees (par viscosit´e, par exemple). La r´epartition de l’´energie se fait selon une loi d’´echelle (loi de puissance⁴ de l’´energie en fonction du nombre d’onde ; cf. Fig. 2.1).

Ce principe peut ˆetre appliqu´e `a la turbulence d’ondes alfv´eniques (e.g. Tu et al., 1984) : l’effet de couplages entre des ondes de fr´equences diff´erentes, dont une partie se propage dans le sens oppos´e (avec, en g´en´erale, une amplitude plus faible), am`ene `a la redistribution de l’´energie depuis les faibles fr´equences vers les fr´equences les plus ´elev´ees (dans certaines conditions, la cascade peut se produire des petites vers les grandes fr´equences, on parle alors decascade inverse).

Le mode se propageant dans le sens oppos´e peut provenir de sources locales, d’instabilit´es caus´ees par des vitesses de cisaillement (Dobrowolny, 1972), ou du fait de la r´eflection du mode

”sortant” sur une structure statique (inhomog´en´eit´e de densit´e, par exemple ; dans le cas du vent solaire, elle se d´eplacera avec le vent).

Selon les hypoth`eses utilis´ees, on utilise la th´eorie de Kolmogorov (turbulence purement hydrodynamique), de Kraichnan (turbulence MHD dite isotrope)⁵, ou la turbulence MHD ani-

3damping, en anglais.

4power law, en anglais.

5On trouvera les r´ef´erences aux articles originaux de Kolmogorov et Kraichnan dans Hu et al. (1999), par exemple.

48 Chapitre 2. Turbulence alfv´enique et r´esonance cyclotronique ionique

Fig. 2.1: Sch´ema de la loi d’´echelle associ´ee au ph´enom`ene de cascade turbulente : r´epar- tition de l’´energie E en fonction du nombre d’onde k (le principe est le mˆeme avec Log f,f ´etant la fr´equence des ondes, `a la place de Log k). L’´energie est inject´ee aux grandes

´echelles (petits nombres d’onde, ou basses fr´equences), et se dissipe aux petites ´echelles (ou aux hautes fr´equences). Entre les deux, sur le domaine d’inertie qui couvre plusieurs gammes d’´echelles, l’´energie est continuement transf´er´ee depuis les plus grandes ´echelles vers les petites, en maintenant une loi de puissance de la r´epartition d’´energie en fonction dek.

sotrope (e.g. Galtier et al. (2002), et r´ef´erences cit´ees `a l’int´erieur). Ces diff´erentes th´eories conduisent `a des indices de loi de puissance diff´erents.

2.1.5 Observations d’ondes d’Alfv´en et de turbulence

Des ondes d’Alfv´en sont observ´ees dans des structures ferm´ees telles que les protub´erances ou les boucles coronales (avec des fr´equences de l’ordre de 10⁻³−10⁻² Hz ; voir aussi p. 34).

Leur mise en ´evidence directe dans le reste de la couronne (c’est-`a-dire hors des structures particuli`erement brillantes), est plus difficile ; elle est souvent d´eduite de l’´elargissement des raies d’´emission, cf. Chap. 4. On en observe aussi dans le vent solaire (par corr´elations entre les fluctuations de vitesse et de champ magn´etique, e.g. Bavassano et al. (1982)). Cranmer (2004), par exemple, passe en revue les observations dans la couronne et le vent solaire. Cranmer and van Ballegooijen (2005) d´eterminent l’amplitude des ondes d’Alfv´en de diff´erentes fr´equences depuis la photosph`ere jusqu’`a plus d’1 UA, et effectuent des comparaisons avec les observations.

Des spectres en loi de puissance des ondes d’Alfv´en dans le vent solaire sont observ´es entre 0.3 et 1 UA (Bavassano et al., 1982). On trouvera dans Horbury (1999) une revue de la turbulence