Dans cette thèse, on a introduit deux méthodes que l’on envisage d’appliquer par la suite à d’autres systèmes : Schrödinger, Korteweg de Vries, Navier-Stokes.
1.4.1 Méthode “du noyau asymptotique”
Cette méthode a été utilisée pour étudier l’équation de Burgers avec un seul contrôle interne u(t) et obtenir une obstruction à la contrôlabilité locale en temps petit. De manière plus générale, elle est destinée à étudier la contrôlabilité locale en temps petit lorsque seul un contrôle scalaire est utilisé et que le système linéarisé n’est pas contrôlable.
En un certain sens, cette méthode a déjà été utilisée par Coron dans [54] puis par Beauchard et Morancey dans [14] pour étudier une équation de Schrödinger. Par rapport à cette situation, le cas de Burgers est beaucoup plus complexe. En effet, on démontre que la méthode est applicable même lorsque : la coercivité de l’opérateur n’est pas évidente et doit être établie en passant par l’étude de l’opérateur limite, la norme dans laquelle s’exprime la coercivité par rapport au contrôle est extrêmement faible, les résidus doivent être estimés avec précision. De plus, dans notre cas, la coercivité obtenue ne correspond pas à la présence d’un crochet de Lie bloquant connu, mais à un phénomène quadratique nouveau.
On note formellement ˙y=F(y, u). Formulée de manière systématique, la méthode se déroule ainsi : 1. Considérer le linéarisé au voisinage de zéro ˙a=∂yF|0,0·a+u(t)∂uF|0,0.
2. Calculer l’espace contrôlable pour le système linéarisé.
3. Décomposer l’étaty sous la forme ηa+η2b; oùaest contrôlable etb libre à l’ordre linéaire, etη est un petit paramètre représentant la taille du contrôle.
4. Développer l’équation deb au second ordre de sorte à écrire ˙b=∂yF|0,0b+Q(a, a).
5. Choisir une projection de b et l’exprimer au temps final petit T = ε comme un opérateur in- tégral, dépendant de ε, appliqué au contrôle mis à l’échelle en temps sur [0,1] : hb(T,·);ρi = R1
0
R1
0 Kε(t, s)u(t)u(s)dtds.
6. Prendre formellement la limite du noyauKεlorsque le temps imparti temps vers zéro et calculer le noyau asymptotiqueK0.
7. Étudier la coercivité de ce noyau. S’il est coercif, on espère démontrer un résultat négatif. S’il n’a pas de signe, on espère un résultat de contrôle positif. Si besoin, restreindre l’étude du noyau aux seuls contrôlesuqui sont dans l’espace de la méthode du retour pour la partie principale donnée para. En effet, un contrôle complet doit à la fois contrôler l’ordre linéaire et l’ordre quadratique.
Déterminer la norme correspondante.
8. Vérifier que le noyauKεse comporte commeK0pourεassez petit, en estimant la taille des noyaux résiduels, par exemple grâce à des méthodes de type opérateurs intégraux faiblement singuliers.
9. Conclure pour l’approximation quadratique du système.
10. Revenir si possible au système non linéaire initial en contrôlant les restes. Ici, la limite η → 0 (contrôlabilité locale) peut aider à justifier le développement.
1.4.2 Méthode “de la dissipation préparée”
En substance, c’est la méthode qu’on a initiée pour étudier la couche limite de l’équation de Burgers et améliorée pour l’équation de Navier-Stokes dans cette thèse.
Cette méthode semble entièrement nouvelle et très efficace pour obtenir des résultats de contrôlabilité globale en temps petit dans des systèmes de mécanique des fluides pour lesquels on n’a pas accès à l’ensemble du bord. On considère un domaine Ω dans lequel évolue un fluide et une partie Γ de∂Ω sur laquelle s’exerce le contrôle. Des couches limites vont apparaître près des parois non contrôlées∂Ω\Γ. À l’intérieur du domaine, le fluide obéit à une équation visqueuse issue de la mécanique des fluides. Formulée de manière systématique, la méthode se déroule ainsi :
1. Fixer la donnée initiale à contrôlery0et un temps imparti 2T pour revenir à l’état d’équilibre.
2. Si nécessaire, consacrer une partie de l’intervalle de temps à régulariser la donnée initiale.
3. Réserver l’intervalle de temps final [T,2T] au contrôle local de l’équation. Déterminer la taille du voisinage δ qu’il faut atteindre à l’instant T pour pouvoir conclure. La contrôlabilité locale s’obtient généralement par des estimations de type Carleman et repose souvent sur l’utilisation de la partie visqueuse de l’équation.
4. S’attacher à démontrer la contrôlabilité globale approchée vers zéro depuis des états initiaux grands mais réguliers en tempsT (à appliquer sur l’intervalle [0, T]).
5. Introduire une deuxième échelle de tempsε1 (même si T est déjà moralement petit).
6. Faire le changement d’échelle standard en mécanique des fluides en posant yε(t, x) := εy(εt, x).
La nouvelle inconnue est définie sur [0, T /ε] et a une donnée initiale asymptotiquement petiteεy0. Elle obéit à une équation avec une viscosité évanescenteε.
7. Décomposer yε en profils : y0+εy1+vε+R, oùy0 est un profil de référence de taille O(1), y1 contient la donnée initiale et satisfait une équation linéaire autour de la référencey0et vεest un profil de couche limite.
8. Choisir poury0 une trajectoire particulière, de type méthode du retour, permettant de contrôler y1 à 0 sur l’intervalle [0, T] (en variable redimensionnée, c’est-à-dire sur [0, εT] dans le domaine temporel initial). Cette trajectoire est construite à partir de l’équation non visqueuse limite cor- respondant au casε= 0. Attention au changement de nature des conditions aux limites.
9. À partir de l’instantT (soitεT),y0ety1sont nuls. Seuls la couche limite et le reste sont non nuls.
La couche limite va entrer dans une phase de dissipation autonome. Conduire les estimations liées à cette phase.
10. Utiliser le contrôle pour préparer la dissipation de la couche limite. Il n’est vraisemblablement pas possible d’obtenir vε(T,·) = 0. En revanche, il est possible de préparer cet état pour assurer sa dissipation. On note que la dissipation s’effectue sur un temps long T /ε. Elle doit cependant être suffisante pour compenser le retour à l’échelle initiale.
11. Estimer la taille du reste sur ce temps long [0, T /ε].