Plan de Bessel (b-plane ou target plane)

Opik commenc¸a `a d´evelopper une th´eorie des rencontres proches [¨ Opik,¨ 1951, 1976] il y a pr`es de 50 ans en ayant une approche d’un probl`eme `a deux corps ”par morceaux” : l’ast´ero¨ıde (mais cela peut aussi ˆetre une com`ete ou un m´et´eoro¨ıde) a une orbite elliptique jusqu’`a ce qu’il rentre dans la sph`ere d’influence d’une plan`ete. `A cet instant, s’enclenche une dynamique de probl`eme `a deux corps o`u l’orbite plan´etocentrique de l’ast´ero¨ıde sera toujours, dans cette approximation, une orbite hyperbolique. Ensuite, les formules standards sont appliqu´ees afin de d´eterminer les conditions initiales de la nouvelle orbite elliptique apr`es cette rencontre proche.

A l’instant de la rencontre proche, il est possible de repr´esenter l’´etat de l’ast´ero¨ıde dans un` rep`ere plan´etocentrique dont les coordonn´ees sont exprim´ees dans un plan appel´e plan de Bessel (b-planeoutarget plane).

Soit un rep`ere (XYZ) centr´e sur la plan`ete tel que l’axe Y coincide avec la direction du mouvement de la plan`ete et le Soleil est dans la direction des X n´egatifs (Fig. 5.1).

Si on note d’autre partV, les composantes de la vitesse plan´etocentrique de l’ast´ero¨ıde alors les coordonn´ees dans le rep`ere (XYZ) du vecteur vitesse de la trajectoire asymptotique de l’ast´ero¨ıde seront :



 VX

VY

VZ



=





Vsinθsinφ Vcosθ Vsinθcosφ



 (5.1)

FIG. 5.1 – Rep`ere XYZ centr´ee sur la plan`ete. Le vecteurVd´etermine la vitesse plan´etocentrique de l’ast´ero¨ıde.

avec les anglesθetφ, tels que : cosθ=VY/V

sinθ=√ V_X²+V_Z²

et

cosφ=VZ/√ V_X²+V_Z² sinφ=VX/√

V_X²+V_Z²

(5.2) Le plan de Bessel [Valsecchi et al.,2003,Milani et al.,2002] est construit de telle sorte qu’il passe par le centre de la plan`ete et est perpendiculaire `a la vitesse plan´etocentriqueVde l’ast´ero¨ıde.

Un syst`eme de r´ef´erence (ξ,η,ζ) est construit tel que l’axe n´egatif desζ soit align´e dans la direc- tion oppos´e au projet´e dans le plan de Bessel de la vitesse h´eliocentrique de la Terre. L’axe positif desηest port´e par la direction de la vitesseVet l’axe positif desξ compl`ete le tri`edre. En utilisant ces d´efinitions, il est alors possbile de passer du rep`ere plan´etocentrique (XYZ) au rep`ere du b- plane (ξ,η,ζ) en effectuant une premi`ere rotation d’angle−φautour de l’axeYpuis une deuxi`eme rotation d’angle−θ autour de l’axeζ. En notation matricielle, les coordonn´ees plan´etocentriques (ξ,η,ζ) s’´ecrivent donc :



 ξ η ζ



=Rξ(−θ)RY(−φ)



 X Y Z



 (5.3)

avec

Rξ(−θ)RY(−φ) =





cosφ 0 −sinφ

sinφsinθ cosθ cosφsinθ sinφcosθ −sinθ cosφcosθ



 (5.4)

Par cons´equent, les coordonn´ees (ξ,ζ) appartiennent au plan de Bessel (fig. 5.2). Si l’ast´ero¨ıde est en avance ou en retard de∆tsur la date T0de la rencontre (arrivant alors `a la dateT1=T0+∆t), seule la coordonn´eeζ sera modifi´ee (fig. 5.3). En effet, si on consid`ere les mouvements des deux corps comme rectilignes pendant le temps∆t, alors le centre du plan de Bessel aura boug´e, vu que la Terre aura boug´e. Alors, d’apr`es la construction de l’axe desζ, un d´eplacement de la Terre (suivant l’axe n´egatif desζ) va entraˆıner un d´eplacement de la position A suivant l’axe positif des ζ.

FIG. 5.2 – Plan de Bessel. V repr´esente le vecteur vitesse g´eocentrique de l’ast´ero¨ıde,VEarth le vecteur vitesse h´eliocentrique de la Terre etArepr´esente la position de l’ast´ero¨ıde.

FIG. 5.3 – Influence du retard ou de l’avance de l’ast´ero¨ıde, lors de la recontre proche, sur les coordonn´ees (ξ,ζ). (− − −) represente la projection de la position de l’ast´ero¨ıde dans le plan de Bessel sur l’axe horizontale qui est exactement le MOID.

D’autre part, l’axe desξ est dirig´e le long du plus petit segment reliant l’orbite de la Terre et de l’ast´ero¨ıde. En effet, toujours dans l’approximation lin´eaire, on sait que ce plus petit segment est perpendiculaire aux deux orbites. Or, par construction, l’axe desξest orthogonal `a celui desηqui est parall`ele `a la vitesse g´eocentrique de l’objet. D’autre part, l’axe desξ est `a la fois orthogonal aux projections de la vitesse de la Terre sur l’axe desηetζ. Par cons´equent, la coordonn´eeξ est par d´efinition ´egale au MOID de l’ast´ero¨ıde qui reste invariant pendant un temps∆t. On aura donc pour les deux coordonn´ees :

ξ(T0+∆t) =ξ(T0) ζ(T0+∆t) =ζ(T1)

La plus petite distance∆entre l’ast´ero¨ıde et la terre est d´etermin´ee par :

∆=p

ξ²+ζ² (5.5)

Le plan de Bessel permet donc de d´ecoupler les deux param`etres impliqu´ees dans un passage

proche entre un ast´ero¨ıde et la Terre : le MOID et le temps d’arriv´ee.

Dans l’approximation `a deux corps, on peut considerer que la d´eviation de l’ast´ero¨ıde est quasi- instantan´ee. L’angle de d´eviation entre la trajectoire non perturb´ee (asymptotique) et la trajectoire d´evi´ee, not´eeγest telle que :

tanγ=G M_⊕

b v²₀ (5.6)

o`uGest la constante de gravitation universelle,M<sub>⊕</sub> la masse de la Terre,ble param`etre d’impact etv0la vitesse asymtotique de l’ast´ero¨ıde lorsqu’il rentre dans la sph`ere d’influence de la plan`ete.

La norme de la vitessev0avant et apr`es le passage proche reste inchang´ee mais sa direction n’est plus la mˆeme.