Recherche d’une énergie libre conduisant à la loi de Hooke

Le coefficientEest lemodule d’Young(en Pa) et le coefficientνest lecoefficient de Poisson(adimension- nel).

Ces nouveaux coefficients sont souvent préférés car ils sont facilement interprétables dans un essai de traction isotherme:

– le module d’YoungE est le coefficient de proportionnalité entre la contrainte normale dans la direction de traction (eee₁) et l’allongement relatif dans cette même direction (σ₁₁=Eε11) ;

– Le coefficient de Poisson est l’opposé du rapport entre l’allongement relatif transversal et l’allongement relatif longitudinal (ε₂₂=ε33=−ν ε₁₁). On a toujours−1<ν<0.5.

Avec ces nouveaux coefficients, la loi isotherme de Hooke s’écrit : σσσ= E

1+ν

εε ε+ ν

1−2νTrεεεGGG

⇔ εεε=1+ν E σσσ−ν

ETrσσσGGG

Quand on veut faire intervenir partiellement des effets thermiques (dilatation thermique isotrope, mais les coefficientsE,ν,µetλrestent constants en fonction de la température), on ajoute un terme de dilatation sphérique à la déformation :

ε

εε=1+ν E σσσ−ν

ETrσσσGGG+α(T−T₀)GGG

| {z }

dilat. therm.

⇔ σσσ= E 1+ν

ε ε ε+ ν

1−2νTrεεεGGG

− E

1−2να(T−T₀)GGG oùαest un coefficient constant de dilatation linéique (en K⁻¹).

On peut aussi bien écrire cette loi avec les coefficients de Lamé : εεε= 1

2µ

σσ σ− λ

2µ+3λTrσσσGGG

+α(T−T₀)GGG

| {z }

dilat. therm.

⇔ σσσ=2µεεε+λTrεεεGGG−(3λ+2µ)α(T−T₀)GGG (4.1)

4.3 Recherche d’une énergie libre conduisant à la loi de Hooke

Dans cette section, on cherche à reconstruire la loi de Hooke à partir du comportement élastique isotrope qui a été établi dans le chapitre 2 sans restrictions sur le mouvement ni sur les déformations, c’est-à-dire sans restriction surkgrad_Luuuk. Si la loi de Hooke est une loi élastique, elle doit être le résultat de l’application de l’hypothèsekgrad_Luuuk 1 sur la loi de comportement élastique sans restrictions écrite avec le tenseur de déformationEEE.

La loi de comportement élastique isotrope en utilisant le tenseur de déformation lagrangienEEE s’écrit (voir (2.16) page 16) :

√1+2E_I+4E_II+8E_III ρ0

σσσ=

∂E_If_ψ^E+E_I∂E_IIf_ψ^E+ (E_II+2E_III)∂E_IIIf_ψ^E GGG+

2∂EIf_ψ^E+ (2E_I−1)∂EIIf_ψ^E−E_I∂EIIIf_ψ^E E EE +

−2∂EIIf_ψ^E+∂EIIIf_ψ^E EEE² où :

– √

1+2E_I+4E_II+8E_III=K_vest la dilatation volumique actuelle ;

– σσσ=RRR^T·σσσ·RRRest le tenseur des contraintes tourné parRRR^T,RRRétant le champ de tenseurs orthogonaux issu de la décomposition polaire du gradient lagrangien des positions actuelles :FFF=RRR·UUU=VVV·RRR.

Si on néglige le produitgrad^T_Luuu·grad_Luuu il vient⁷ :EEE'εεε. La loi de comportement élastique en petites déformations avec un mouvement restreint à une quasi translation doit donc être :

√1+2ε_I+4ε_II+8ε_III ρ0

σσσ=

∂_εIf_ψ^ε+ε_I∂_εIIf_ψ^ε+ (ε_II+2ε_III)∂_εIIIf_ψ^ε GGG+

2∂ε_If_ψ^ε+ (2ε_I−1)∂ε_IIf_ψ^ε−ε_I∂ε_IIIf_ψ^ε ε εε+

−2∂ε_IIf_ψ^ε+∂ε_IIIf_ψ^ε

εεε² (4.2)

7. Voir la remarque 3 page 44.

Puisquekgrad_Luuuk 1 ⇒ kεεεk 1, la dilatation volumiqueK_v, au second ordre près, s’écrit : K_v=p

1+2E_I+4E_II+8E_III'p

1+2εI'1+εI

Par ailleurs, puisque le mouvement est restreint à une quasi translation, le champ tensoriel orthogonalRRRest un champ de petites rotations que l’on peut écrire sous la forme⁸:

RRR'GGG+AAA

oùAAAest un tenseur antisymétrique tel quekAAAk 1 (kAAAkinfiniment petit du premier ordre). On a donc : σσσ'(GGG−AAA)·σσσ·(GGG+AAA) =σσσ−AAA·σσσ+σσσ·AAA−AAA²'σσσ−AAA·σσσ+σσσ·AAA=σσσ+2sym(σσσ·AAA)

Compte tenu de la condition cinématiquekAAAk 1, la loi de comportement élastique isotrope donnée en 4.2 page 45 se réduit à :

1+ε_I ρ0

(σσσ+2sym(σσσ·AAA)) =

∂εIf_ψ^ε+εI∂εIIf_ψ^ε+ (ε_II+2ε_III)∂εIIIf_ψ^ε GGG+

2∂_εIf_ψ^ε+ (2ε_I−1)∂_εIIf_ψ^ε−ε_I∂_εIIIf_ψ^ε ε ε ε+

−2∂_εIIf_ψ^ε+∂_εIIIf_ψ^ε ε εε²

soit encore, toujours au second ordre près (le produitεIAAAest un infiniment petit du second ordre) : 1+ε_I

ρ0

σσσ+ 2 ρ0

sym(σσσ·AAA) =

∂_εIf_ψ^ε+ε_I∂_εIIf_ψ^ε+ (ε_II+2ε_III)∂_εIIIf_ψ^ε G G G+

2∂_εIf_ψ^ε+ (2ε_I−1)∂_εIIf_ψ^ε−ε_I∂_εIIIf_ψ^ε ε ε ε+

−2∂_εIIf_ψ^ε+∂_εIIIf_ψ^ε ε εε²

Comme on peut le constater, la condition cinématiquekAAAk 1 (« petite rotation ») n’est pas suffisante pour que le tenseur des contraintes de Cauchy puisse être évalué sans tenir compte de la petite rotationGGG+AAA.

RAPPEL: La présence deσσσà la place deσσσest inhérente à l’utilisation d’un tenseur de déformation lagrangien dans la loi de comportement (voir section 2.3.5 page 14).

HYPOTHÈSE CINÉMATIQUE SUPPLÉMENTAIRE: Le mouvement du milieu continu est tel quekAAAkest un infiniment petit dusecond ordre(ce qu’on écrira :kAAAk≪1).

Par conséquent, on peut écrire :RRR'GGG+AAA'GGG.

Sous cette hypothèse cinématique supplémentaire sur le mouvement, on peut alors confondreσσσetσσσet la loi de comportement élastique isotrope en petites déformations et en « très petites rotations » s’écrit :

σσσ= ρ0

1+ε_I

∂ε_If_ψ^ε+ε_I∂ε_IIf_ψ^ε+ (ε_II+2ε_III)∂_εIIIf_ψ^ε

GGG+ ρ0

1+ε_I

2∂ε_If_ψ^ε+ (2εI−1)∂_εIIf_ψ^ε−εI∂ε_IIIf_ψ^ε

ε ε ε+ ρ0

1+ε_I

−2∂ε_IIf_ψ^ε+∂_εIIIf_ψ^ε

ε εε²

que l’on peut encore écrire, toujours au second ordre près : σσσ=ρ0(1−ε_I)

∂εIf_ψ^ε+ε_I∂εIIf_ψ^ε+ (ε_II+2ε_III)∂_εIIIf_ψ^ε G GG+

ρ₀(1−ε_I)

2∂_εIf_ψ^ε+ (2ε_I−1)∂_εIIf_ψ^ε−ε_I∂_εIIIf_ψ^ε ε ε

ε+ρ₀(1−ε_I)

−2∂_εIIf_ψ^ε+∂_εIIIf_ψ^ε ε εε²

8. Voir le cours Algèbre et analyse tensorielle pour l’étude des milieux continus, du même auteur, section 1.6.10.

4.3. Recherche d’une énergie libre conduisant à la loi de Hooke

Pour obtenir la loi de Hooke linéaire donnée en (4.1) page 45, la fonction d’état énergie libre de Helmholtz doit donc satisfaire le système d’équations différentielles suivant :

0=−2∂εIIf_ψ^ε+∂_εIIIf_ψ^ε (coeff. deεεε²) (4.3) 2µ=ρ0(1−ε_I)

2∂ε_If_ψ^ε+ (2εI−1)∂ε_IIf_ψ^ε−εI∂ε_IIIf_ψ^ε

(coeff. deεεε) (4.4) λ εI−(3λ+2µ)α(T−T₀) =ρ0(1−ε_I)

∂ε_If_ψ^ε+ε_I∂ε_IIf_ψ^ε+ (ε_II+2ε_III)∂_εIIIf_ψ^ε

(coeff. deGGG) (4.5) Il n’existe pas de solution réelle en f_ψ^εà ce système différentiel !

PREUVE: La solution générale du système ci-dessus est⁹: f_ψ^ε=f(T)−α(T−T0)λ(3λ+2µ)lnKv

ρ0(1−εI) + λ εIlnKv

ρ0(1−εI)−µ lnKv+ (1−εI)ln(−1+εI) ρ0(1−εI)

où dans le dernier terme, ln(−1+εI)est complexe pour de petites déformations, et oùK_v=√

1+2ε_I+4εII+8εIII' 1+εI. Pour le cas isotherme, il suffit de poserT=T₀, ce qui ne change rien à la conclusion.

On peut donc affirmer que, même au prix de sévères restrictions sur le mouvement pour pouvoir confondre σσσetσσσ,la loi de Hooke n’est pas une loi de comportement de solide élastique isotropecar il n’existe pas de fonction d’état énergie libre massique de Helmholtz qui garantisse la nullité de la dissipation intrinsèque¹⁰. UNE APPROXIMATION SUPPLÉMENTAIRE COURANTE MAIS INCOHÉRENTE: Pour tenter de conférer malgré tout un caractère pseudo élastique à la loi de Hooke, on propose souvent l’approximation supplémentaire suivante :

ρ'ρ0 ⇔ (1+εI)'1 ⇔ (1−εI)'1

Cette approximation est « argumentée » par le fait que les déformations sont petites. Cette approximation est mathéma- tiquement incompatible avec les approximations faites précédemment : on ne peut pas dire à la fois que la déformation est un infiniment petit du premier ordre (petites déformations) et un infiniment petit du second ordre (ε_Inégligé devant 1). Autrement dit, on ne peut pas affirmer dans un même calcul que la dilatation volumique vaut 1 et néanmoins affir- mer ultérieurement que sa valeur est 1+εI. L’incohérence mathématique soulignée ici a une interprétation physique : affirmer à la fois queρ=ρ0et qu’il existe néanmoins une dilatation volumique est une violation du principe de la conservation de masse. Les calculs qui suivent vont donc nécessairement refléter cette incohérence.

Si, en dépit de cette incohérence, on continue les calculs, le système différentiel (4.3) (4.4) (4.5) se simplifie et devient : 0=−2∂_εIIf_ψ^ε+∂_εIIIf_ψ^ε (coeff. deεεε²)

2µ=ρ0

2∂_εIf_ψ^ε+ (2εI−1)∂_εIIf_ψ^ε−εI∂_εIIIf_ψ^ε

(coeff. deεεε) λ εI−(3λ+2µ)α(T−T0) =ρ0

∂εIf_ψ^ε+εI∂εIIf_ψ^ε+ (εII+2εIII)∂εIIIf_ψ^ε

(coeff. deGGG)

dont la solution générale est¹¹: f_ψ^ε= f(T) + µ

2ρ0

(1+2εI−2 lnKv) + λ ρ0

εIlnKv−λ(3λ+2µ) ρ0

α(T−T0)lnKv (4.6) oùKv=√

1+2ε_I+4ε_II+8ε_III'1+εI, et oùf(T)est une fonction quelconque définissant l’énergie libre massique de Helmholtz d’un solide non déformé à la températureT. En linéarisant à nouveau, lnKv'εI=Trεεε.

On arrive donc, sous l’hypothèse incohérenteρ'ρ0jointe aux sévères restrictions sur le mouvement évoquées précé- demment, à trouver une énergie libre massique de Helmholtz, mais celle-ci n’est valable, en toute rigueur, que quand la dilatation volumiqueKv'1+εIvaut 1au second ordre près, c’est-à-dire pour des milieux élastiques quasi incom- pressibles. Quand on négligeεIdevant 1, l’énergie libre massique de Helmhotz se réduit à f(T) +₂^µ

ρ0 (indépendante de la déformation !).

9. Le détail des calculs est donné en annexe F page 128 dans une feuille calcul exécutable dans MATHEMATICA^rdans sa version 5.2.

10. En fait, il était sans espoir de chercher à établir une relation linéaire entre un tenseur objectifσσσet un tenseur non objectifεεε.

11. Le détail des calculs est donné en annexe F page 131 dans une feuille calcul exécutable dans MATHEMATICA^rdans sa version 5.2.

No documento Comportement élastique (páginas 50-53)