Comportement élastique

De plus, contrairement aux cours d'élasticité classique élémentaire (élasticité de Hooke), les déformations envisagées dans ce cours ne sont a priori soumises à aucune limitation. Dans la mesure du possible, les conventions typographiques suivantes doivent être respectées : – les nombres réels sont indiqués en minuscules et en italique (par exemple : a, µ).

Rappels

Il représente le volume de puissance calorifique produit ou consommé par les processus internes liés à l'évolution des variables d'état. Ces processus internes liés à l'évolution des variables d'état dépendent du modèle de milieu continu considéré.

Solide déformable

DÉFINITION : Un solide déformable est un milieu continu dont les variables d'état contiennent au moins la température et un tenseur de déformation. REMARQUE : La présence d'un tenseur de déformation par rapport à une forme propre dans la liste des variables d'état est ce qui caractérise les modèles de comportement des solides déformables.

Solide déformable élastique

Les variables tensorielles indépendantes de l'état du milieu continu élastique isotrope sont donc le couple (T,XXX), où T est la température et XXX est le tenseur de déformation objectif. Les variables d'état scalaire réduit sont, par exemple2, un quad de réels (T,XI,XII,XIII), où XI=TrXXX,XII=1.

Exploitation du second principe de la thermodynamique

Conséquences de la non négativité de la dissipation thermique
Conséquences de la nullité de la dissipation intrinsèque
Relation de Helmholtz
Loi de comportement mécanique avec tenseur de déformation B B B

La nullité de la dissipation intrinsèque pour un milieu continu élastique isotrope s'écrit donc : 0=ρ(Ts˙m−e˙m) +σσσ:DDD. Enfin, la nullité de la dissipation intrinsèque dans toute évolution d'un milieu élastique isotrope est écrite.

Lois de comportement avec d’autres tenseurs de déformation

Utilisation du tenseur de déformation V V V
Loi de comportement mécanique avec tenseur de déformation M M M
Loi de comportement mécanique avec le tenseur de déformation ε ε ε v
Conclusion et remarques
Utilisation de tenseurs de déformation non objectifs

La loi de comportement d'un solide élastique isotrope utilisant le tenseur de déformation VVV est établie en (2.9) page 11. Par exemple, on dérive la loi de comportement avec le tenseur de déformation CCC à partir de la loi de comportement mécanique avec BBB donnée en (2.6) page 10.

Quelques modèles couramment rencontrés dans les codes

Le modèle de Piola-Kirchhoff
Le modèle « néo-Hookien »
Le modèle d’Ogden
Le modèle de Mooney-Rivlin
Conclusion

Il utilise le tenseur de contraintes lagrangien CCC et ses invariants (CI, CIII) comme variables d'état (la température est ignorée). REMARQUE : Pour l'entier αknon, l'expression de fψ en fonction des invariants d'un tenseur de contraintes est très compliquée22.

Critères de limite élastique

Considérations microscopiques
Point de vue macroscopique
Limitation de la distorsion angulaire maximale
Limitation de la distorsion stérique maximale
Limitation de l’énergie interne de distorsion
Conclusion

Le critère de limitation de la déformation angulaire présenté ici est donc l'application du « critère de Tresca » au tenseur de déformation MMM. En séparant la pièce due à la déformation isovolumique de l'énergie interne de la manière suivante.

Loi incrémentale (« loi tangente »)

La forme générale de la loi sur le comportement mécanique d'un solide élastique isotrope utilisant le tenseur de déformation VVV avec quatre variables d'état indépendantes (T,VI,VII,VIII) a été donnée en (2.9) page 11. D'après la condition cinématiquekAAAk 1, la loi de comportement élastique isotrope, donnée en 4.2 page 45, se réduit à. RAPPEL : La présence de σσσ au lieu de σσσ est inhérente à l'utilisation du tenseur de déformation lagrangien dans la loi de comportement (voir section 2.3.5 page 14).

Limitation de la distorsion stérique maximale sans référence à la direction de l'anisotropie (pour éviter les réarrangements des liaisons interatomiques, comme en élasticité isotrope).

En bref

Choix des variables d’état

Dans le modèle d'élasticité isotrope, les variables d'état du tenseur sont la température T et le tenseur de déformation. Les variables d'état réduites sont donc la température a priori T et le triplet d'invariants scalaires associé au tenseur de déformation VVV.

Forme générale des fonctions d’état

Forme générale de l’énergie interne massique
Forme générale de l’entropie massique
Forme générale de l’énergie libre massique de Helmholtz
Loi de comportement mécanique

0 (Kv,δ) est la variation de l'entropie de masse dans une déformation isovolumique à température constante T0 dont l'expansion volumique à courant constant est Kv (T =T0, ˙T=0 et ˙Kv=0).

Analyse des trois évolutions élémentaires

Analyse de l’évolution C (1)
Synthèse

Le bilan énergétique interne global entre les états E0 et E1 s'écrit (dans l'évolution C(1) le travail reçu est nul car la déformation est bloquée). Il est donc inutile de mesurer la quantité de chaleur reçue sur le trajet C(2), la conservation de l'énergie signifie qu'elle s'exprime en fonction de la mesure de contrainte moyenne σ(2)exp.

Hypothèse supplémentaire facultative

Expériences réelles

Mouvement isovolume isotherme sans dilatation sphérique préalable ( C (4) )
Traction/compression sphérique isotherme ( C (2) )
Dilatation thermique libre ( C (5) )
Essai de traction simple isotherme ( C (6) )

C'est pourquoi cette mesure est souvent appelée mesure de compressibilité isotherme, que l'on peut potentiellement extrapoler aux efforts de traction sphériques. Si la fonction σ(2)exp a été préalablement identifiée par une expérience de traction/compression sphérique isotherme, la relation (3.17) montre qu'on peut beaucoup plus facilement remplacer la mesure expérimentalement difficile de Q(1)exp(T) par la mesure sous la forme Q (5)exp(T).

Quelques idéalisations possibles

Comme pour l'élasticité isotrope, nous dérivons la loi de comportement mécanique isotrope transversale à partir du caractère nul de la dissipation intrinsèque (voir (1.4) page 4). Limitation de la distorsion angulaire maximale de deux directions initialement perpendiculaires du matériau dont l'une est la direction d'anisotropie (délaminage des fibres ou des lamelles par cisaillement). Limitation de la distorsion angulaire maximale de deux directions du matériau initialement perpendiculaires à la direction d'anisotropie (distorsion angulaire dans le plan des lamelles).

En élasticité il s'agit de la recherche d'une solution statique (donc toutes les dérivées temporelles sont nulles).

En bref

Loi de Hooke historique

La loi de Hooke est souvent présentée sous une forme différente avec les modifications suivantes apportées aux coefficients. Ici, nous négligeons les termes du second ordre de engradLuuude avant les termes du premier ordre de engradLuuu, ce qui est mathématiquement douteux.

Recherche d’une énergie libre conduisant à la loi de Hooke

Sous cette hypothèse cinématique supplémentaire sur le mouvement on peut alors confondre σσσ et σσσ et la loi de comportement élastique isotrope s'écrit en petites déformations et "très petites rotations". Par conséquent, pour obtenir la loi linéaire de Hooke donnée dans (4.1) page 45, la fonction d'état d'énergie libre de Helmholtz doit satisfaire le système d'équations différentielles suivant.

Une nouvelle « loi de Hooke » en déformations finies

Une loi élastique isotrope en petites déformations sans restriction sur le mouvement

Limiter la distorsion stérique de trois directions matérielles initialement orthogonales, dont l'une est la direction d'anisotropie. Limitation de l'expansion superficielle des facettes du matériau normalement (séparation des fibres en milieu fibreux). NOTES : L'intégrande de la première intégrale de l'équation (6.8) peut être réécrite comme suit : σσ.

De plus, il n’est pas habituel de tenter d’interpréter les termes (6.8) dérivés de l’équation de la chaleur.

En bref

Loi de comportement mécanique en élasticité isotrope transverse

Relation de Helmholtz
Loi élastique isotrope transverse avec le tenseur B B B
Loi élastique isotrope transverse avec le tenseur V V V
Loi élastique isotrope transverse avec le tenseur ε ε ε v

Si l'énergie libre de Helmholtz n'est pas fonction des invariants croisés I1BetI2B, on retrouve la loi de comportement élastique isotrope donnée en (2.6) page 10. Cette loi de comportement (sans contraintes cinématiques) semble encore moins adaptée à l'utilisation que celle avec la déformation tenseur VVV.

Loi de comportement thermique en élasticité isotrope transverse

Critères de limite élastique

L'équation du mouvement et l'équation de la chaleur montrent que les aspects dynamiques et thermiques sont couplés. Les contraintes à la frontière n'apparaissent ni dans l'équation du mouvement ni dans l'équation de la chaleur. Nous recherchons maintenant un maximum de distorsion stérique de trois directions matérielles initialement orthogonales, dont l'une est la direction anisotrope.

L'expression γ en fonction de la variable d'état δ (on peut toujours choisir e1 tel que γ>0.

En bref

Modélisation des sollicitations extérieures

Ces contraintes thermiques externes lointaines sont représentées par un champ de puissance calorique volumétrique4rv(W.m−3), qui apparaît dans l'équation de la chaleur5 (dans de nombreuses applications, ce terme est nul). De même, il est interdit d'imposer à la fois une température et un flux thermique sur un même point N de la frontière.

Les équations du problème

En élasticité, les quatre principes fondamentaux se réduisent ainsi à deux équations différentielles : une équation différentielle vectorielle, l'équation du mouvement (6.1), et une équation différentielle scalaire, l'équation de la chaleur (6.2). Après les substitutions dues aux lois de comportement mécanique et thermique, celles dues à la conservation de masse et celles dues aux définitions cinématiques, ces deux équations différentielles s'expriment en fonction de deux champs matériels inconnus : les positions actuellesxxxt(P , t ) )(ou le déplacement actuelsuuu(P,t)) et la température actuelleT(P,t).

Approche numérique des solutions

Incertitudes sur le résultat

La combinaison de ces sources d'incertitude peut parfois conduire à des erreurs catastrophiques ou à des résultats erronés, sans qu'il soit possible de juger par la simple observation de l'avancement du calcul ou du résultat. Pour des problèmes non pathologiques (mais on sait rarement à l’avance s’ils le sont ou non !), ces résultats entachés d’ambiguïtés inconnues sont néanmoins précieux car nous n’en avons pas d’autres.

Aperçu sur la méthode des éléments finis

Cette équation doit être vraie quels que soient les champs arbitraires introduits, ce que nous noterons ∀χχχL. L'approximation de la méthode des éléments finis vient de la recherche de la description de Lagrange des champs inconnus dans l'espace des champs polynomiaux Fpol construits lors du maillage, au lieu de la chercher dans l'espace de tous les champs fixés à D0.

Recommandations finales

Comportement élastique isotrope

NOTE : Cette linéarisation autour de la température de référence T0 n'est raisonnable que si les variations de température sont modérées, ce qui sera vérifié a posteriori dans les illustrations numériques qui suivent. La fonction σ(1)exp(T) est la contrainte sphérique résultant du trajet C(1)(variation de température avec déformation fermée).

Comportement thermique

Enfin, la fonction τ(3)exp1 (contrainte tangentielle dans un déplacement cinématique) est idéalisée de la manière suivante (proportionnelle à γ). 2 3−1 Kv où µ0 est le module de cisaillement, également considéré comme invariant avec la température.

Formulation intégrale

Choix d’un logiciel de résolution

Cependant, il est encore possible de « guider » la convergence d'un problème stationnaire en résolvant un problème pseudo-transitoire (temps fictif) avec des conditions aux limites évoluant vers les conditions aux limites finales.

Traction d’une éprouvette cylindrique

Caractéristiques du matériau
Conditions aux limites mécaniques
Conditions aux limites thermiques
Analyse de la solution numérique

Il y a une chute de température de 0,59 C et une courbe quasi-linéaire σzz(εvzz) (toute loi de comportement est quasiment linéaire pour les petites déformations) et le module d'Young apparent (SF. Chute de température au coeur de l'échantillon à t =2,25 s (fin du mouvement) elle est de 0,59 C (pratiquement comme dans le cas adiabatique).

Forte flexion isotherme d’un barreau élastique isotrope

Description du problème

Caractéristiques du matériau

Analyse de la solution numérique

Forte traction/compression isotherme d’un barreau élastique isotrope

Essai de cisaillement

UUt=UUUt (DDD−WWW) + (DDD+WWW) UUUt−2(UUUt:DDD)UUUt (A.2) La dérivée de particule ˙UUUt n'est pas un tenseur uniaxial et n'est pas un tenseur objectif. Que l'on représente ou non une direction matérielle réelle, il s'avère que la dérivée de ses particules (non objectives) est déterminée par le mouvement.

Dérivée particulaire des invariants croisés

Utilisation du tenseur de déformation B B B

Utilisation du tenseur de déformation V V V

Nous donnons dans cette annexe les formules2 les plus utiles pour transformer ces intégrales de volume de produits scalaires en d'autres intégrales de volume complétées par des intégrales de frontière, à savoir. sur la frontière ∂D. REMARQUE : Ces formules peuvent être considérées comme une généralisation de l'intégration d'une partie d'intégrales simples de produits de réels, dans le cas d'intégrales volumiques de produits scalaires.

Intégrale d’un produit f ∆g

Intégrale d’un produit scalaire vvv · rotw w w

Intégrale d’un produit scalaire vvv · divT T T

L’une des deux directions est la direction d’anisotropie

La déformation angulaire maximale sous ces paires de directions matérielles est obtenue lorsque le vecteur arbitraire aaa(µ) est tel que : ∂µδa(nnn,uuu(µ)) =0. L'annulation d'un des facteurs conduit à un vecteur aaa (µ) qui donne une distorsion angulaire égale à 1 (c'est donc un minimum de la distorsion angulaire).

Définition du tenseur des contraintes : (exécution retardée (:=) car la valeur de B n'est pas encore définie). Vérification : le taux de dilatation volumique est une trace du tenseur de la vitesse de déformation.