Partie II Ondes gravito-capillaires
II.4 Résultats complémentaires
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II.4 - Résultats complémentaires
75 Figure II-35 : a) Bicohérence 𝐵𝜔3. La ligne rouge représente la solution minimum 𝜔3𝑚𝑖𝑛correspondant aux solutions colinéaires. b) Tricohérence 𝐵𝜔4 pour 𝜔2/2𝜋 = 20𝐻𝑧.
II.4.2 Décrochements aux parois
Les expériences présentées précédemment sont soumises à des injections d’énergie parasite aux abords des parois de la cuve. Celles-ci sont généralement provoquées par des irrégularités de la paroi qui permettent l’accrochage du ménisque. Cette irrégularité perturbe la surface lorsque l’amplitude des ondes dépasse les capacités d’accroche du ménisque. La surface libre passe alors brusquement d’une condition statique d’accroche à une condition de glissement libre en générant un train d’ondes dispersif.
Dans l’idée d’observer plus en détail le phénomène, une simple expérience d’un unique lâché de ménisque est réalisée. La Figure II-36 montre le diagramme spatio-temporel 𝜂(𝑥, 𝑡) des premières secondes après le lâcher.
Figure II-36 : a) Diagramme spatio-temporel d’une coupe de la surface libre 𝜂(𝑥, 𝑡). La ligne verticale noire représente le temps d’injection. La seconde ligne pointillée marque la vitesse de phase d’une onde située sur l’avant du front. b) Spectre de puissance 𝐸𝜂(𝑘) en fonction du temps. Deux régions sont successivement excitées en 𝑘/2𝜋~80𝑚−1 puis en 𝑘/2𝜋~120𝑚−1.
a)
3/2 (Hz)
2/2 (Hz)
0 10 20 30 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40
b)
4/2 (Hz)
3/2 (Hz)
0 10 20 30 40 50
0 10 20 30 40 50
0.5 1 1.5
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
Temps (s)
x (m)
a)
1.50 2 2.5
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x 10-4
(m) b)
k/2 (m-1)
Temps (s)
1.6 1.8 2 2.2 2.4
20 40 60 80 100 120 140
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 E(k)
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A première vue, on observe simplement la dispersion classique d’un train d’ondes. Mais lorsqu’on regarde précisément la vitesse de phase des ondes rapides (front), on remarque que le prolongement de cette dernière (ligne pointillée oblique) ne coïncide pas avec le lâcher de ménisque (ligne verticale).
Ces ondes ne sont donc pas issues de la perturbation mais ont été générées par des interactions non- linéaires. La figure b) montre l’évolution temporelle du spectre de puissance 𝐸𝜂(𝑘, 𝑡). L’injection, qui se déroule aux alentours de 1.6𝑠 génère un spectre avec des ondes allant jusqu’à environ 𝑘/2𝜋 = 60 𝑚−1, ce qui représente des fréquences jusqu’à environ 𝜔/2𝜋 ~ 𝜔𝑔𝑐/2𝜋 ~ 14𝐻𝑧. Une seconde poche très marquée apparait environ 0.1𝑠 plus tard avec un maximum à 𝑘/2𝜋 = 80 𝑚−1 (𝜔/
2𝜋 ~20𝐻𝑧) . De nouveau 0.1𝑠 plus tard, une troisième poche apparait aux environs de 𝑘/2𝜋 = 118 𝑚−1(𝜔/2𝜋 ~30𝐻𝑧) . On note immédiatement le lien avec la fréquence particulière des ondes de Wilton 𝜔𝑊𝑖𝑙𝑡 𝑛/2𝜋 = 9.8𝐻𝑧. Le train d’ondes généré au départ possède des ondes ayant une fréquence supérieure à la fréquence seuil de 𝜔𝑊𝑖𝑙𝑡 𝑛 . Ces dernières vont donc pouvoir interagir localement au travers d’interactions à 3-ondes pour former la première poche de résonance aux alentours de 20𝐻𝑧. On assiste ensuite à une seconde interaction entre cette poche et le train d’ondes initial pour former la seconde poche vers 30𝐻𝑧.
Une question naturelle est de se demander l’influence de ces lâchers sur les résultats présentés précédemment. En faisant l’hypothèse que cette expérience est représentative de tous les lâchers présents dans l’ensemble des expériences, pour les faibles intensités de forçage les exposants des cascades sont certainement biaisés jusqu’à environ 14hz du fait de cette injection d’énergie parasite.
Pour les forçages plus forts, on peut cependant espérer que cet effet devient négligeable. Le reste de la cascade ne doit pas être directement affecté si ce n’est par l’ajout d’énergie par interaction résonante. Il est alors probable que l’intermittence observée à haute fréquence en Figure II-14 provient de l’intermittence même de ces décrochements. On peut alors se demander si les interactions que l’on observe dans les corrélations ne sont pas uniquement issues de ces décrochements. La réponse est donnée dans la section suivante avec la réalisation d’une expérience spécifique.
II.4.3 Air comprimé
Comme expliqué précédemment, la moindre irrégularité de la paroi peut entrainer un accrochage du ménisque qui génère un train d’ondes parasites. La réalisation d’une expérience où l’on peut s’affranchir de ces décrochements est essentielle pour quantifier leurs actions. Malheureusement, la réalisation d’une expérience avec des parois de qualité optique est complexe à réaliser. De plus, on observe systématiquement après quelques minutes de mesure un dépôt de particules de dioxyde de titane sur les parois. Celui-ci interagit ensuite avec le ménisque et génère des trains d’ondes parasites.
Un contournement du problème est possible en piégeant le ménisque sur une arête le long de la cuve.
Dans cette configuration, on obtient un ménisque qui reste accroché pour une gamme de quelques millimètres d’amplitudes, fixant ainsi l’amplitude maximale des ondes. Le forçage doit alors être modifié afin d’éviter le décrochement du ménisque par les modes basses fréquences de grandes amplitudes. Pour cela un jet turbulent d’air comprimé soufflant perpendiculairement à la surface libre a été utilisé. La Figure II-37 montre le spectre de puissance spatio-temporel correspondant à cette expérience.
II.4 - Résultats complémentaires
77 Figure II-37 : a) Spectre de puissance spatio-temporel intégré de la vitesse verticale des vagues : 𝐸𝑤(𝑘, 𝜔). b) Coupes du spectre de puissance 𝐸𝑤(𝒌, 𝜔) pour 𝜔/2𝜋 = 5, 10, 20 et 30𝐻𝑧. La relation de dispersion linéaire est tracée en noire. Les taches autour de 𝒌 = (0,0) correspondent à du bruit de mesure.
La pente typique des ondes 𝜎𝜖 = 0.03 est comparable au forçage faible présenté précédemment.
Similairement aux autres expériences, on observe une concentration de l’énergie sur la relation de dispersion linéaire. Une seconde branche à faible 𝑘 est également visible. Elle correspond certainement à des structures directement générées par la turbulence hydrodynamique du jet (𝜔~𝑘). L’utilisation d’un jet turbulent ne permet pas de connaitre la gamme de fréquences directement affectées par le forçage. Il est donc impossible de comparer l’exposant du spectre aux solutions de Zakharov. En revanche, en faisant l’hypothèse que la turbulence du jet est décolérée, l’investigation des corrélations reste valide. La Figure II-38 montre la bicohérence 𝐵𝜔3 et la tricohérence 𝐵𝜔4.
Figure II-38 : a) Bicohérence 𝐵𝜔3 pour un forçage par jet (𝜎𝜖 = 0.03). La ligne noire représente la solution minimum 𝜔3𝑚𝑖𝑛correspondant aux solutions colinéaires. b) Tricohérence 𝐵𝜔4 avec 𝜔2/2𝜋 = 20𝐻𝑧.
a)
/2 (Hz) k/2 (m-1 )
0 10 20 30 40
0 20 40 60 80 100 120 140
-5 -4 -3 -2 -1 0
ky / 2 (m-1 )
-20 0 20 -20
0 20
-50 0 50 -50 0 50
kx / 2 (m-1) -100 0 100
-100 0 100
-100 0 100 -100 0 100 b)
5Hz
30Hz 10Hz
20Hz
2/2 (Hz)
3/2 (Hz)
a)
0 10 20 30 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40
3/2 (Hz)
4/2 (Hz)
b)
0 10 20 30 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.5 1 1.5
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
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Similairement aux expériences précédentes, la bicocherence d’ordre 3 𝐵𝜔3confirme nettement la présence d’interactions à 3-ondes. Ces dernières semblent également majoritairement colinéaires. En revanche, aucun signal à 4-ondes n’est visible. On peut alors conclure que malgré la présence de décrochements parasites dans les expériences principales, les interactions résonantes à 3-ondes sont bien présentes au cœur du système étudié. L’absence d’interaction à 4-ondes soulève la question d’un lien possible entre le forçage et l’instabilité de Benjamin-Feir.