Une cascade d'énergie constituée d'ondes faiblement non linéaires est observée, cohérente avec la phénoménologie de faible turbulence. Ce point souligne l’importance de cette théorie pour la modélisation de la surface de l’eau.
Théorie
Outils théoriques
- Théorie linéaire des ondes
- Turbulence faible
C’est la traduction de l’intensité des non-linéarités qui augmente avec 𝑘 pour les ondes de gravité. Cette dernière n’est pas respectée dans le cas des ondes gravito-capillaires et rend impossible la dérivation directe de l’équation cinétique.
Etat de l’art
- Interaction résonante d’un train d’ondes
- Turbulence faible
- Dissipation des ondes
La présence de ce dernier ajoute une forte dissipation sur une large gamme de fréquences, invalidant l'hypothèse de conservation du flux d'énergie pour les solutions de Zakharov. Dans le cas des ondes de surface aux basses fréquences, la majeure partie de la dissipation est provoquée par les ondes de Marangoni.
Motivations
Relation de dispersion des ondes de surface (ligne bleue) et relation de dispersion des ondes de Marangoni (ligne rouge). Les expériences sur les ondes gravitationnelles sont généralement en contradiction avec la théorie de la faible turbulence.
Ondes gravito-capillaires
Méthode expérimentale
- Dispositif général
- Profilométrie par transformée de Fourier
- Propreté de l’eau
La profilométrie avec transformation de Fourier est une technique de mesure optique qui permet de reconstruire la surface à partir de la déformation de l'échantillon. La figure II-3 montre l'évolution du contraste mesuré par la caméra en fonction de la concentration en pigment.
Analyse
- Analyse spatiale
- Analyse spectrale
La figure II-6 montre une reconstruction de la surface pour un forçage faible (à gauche) et un forçage fort (à droite). La figure II-7 permet de visualiser la répartition des surfaces libres pour ces deux régimes.
Résonances
- Théorie et outils statistiques
- Résultats
Comme déjà expliqué sur la figure II-10, le spectre de puissance a une largeur 𝛿𝑘 autour de la relation de dispersion. Pour évaluer leur importance, la figure b) montre une carte de la distance Δ𝑘 entre les deux relations de dispersion tracées en a) et pour le cas 1D. La courbe rouge suit 𝛿𝑘/2𝜋 = 6𝑚−1. La figure b) nous permet de visualiser la carte de la distance Δ𝑘 entre les rapports de dispersion lorsque 𝜔𝑖 >.
Les deux images 𝐶𝜔3(𝜔1, 10𝐻𝑧, 𝜔3) (Figure II-22) diffèrent par l’organisation des corrélations le long de la ligne de résonance. Le caractère 1D des interactions à 3 ondes peut être confirmé en utilisant la bicohérence dans l’espace 𝐵𝑘3. Le niveau de bruit provenant de n’importe quel point en dehors de la ligne de résonance est tracé en noir.
Pour les deux forçages, nous observons une augmentation de l’aire et de l’intensité des corrélations à mesure que l’onde 𝜔2 augmente dans le régime capillaire. Semblable aux interactions à 3 ondes, nous pouvons directement confirmer la nature doublement résonante des interactions que nous observons en utilisant la tricohérence 𝐵𝑘𝜔4.
Résultats complémentaires
- Forçage monochromatique
- Décrochements aux parois
- Air comprimé
Les expériences présentées précédemment sont soumises à des injections d'énergie parasites à proximité des parois du réservoir. Celles-ci sont généralement dues à des irrégularités de la paroi qui permettent au ménisque de s'attacher. La surface libre passe alors soudainement d’un état d’adhésion statique à un état de glissement libre, créant un train d’ondes dispersif.
La deuxième ligne pointillée marque la vitesse de phase d'une onde en avant du front. Ces ondes ne proviennent donc pas de la perturbation, mais sont générées par des interactions non linéaires. Ces dernières pourront donc interagir localement via des interactions 3 ondes pour former la première poche de résonance vers 20 heures. On assiste alors à une seconde interaction entre cette poche et le train d’ondes initial pour former la seconde poche vers 30𝐻𝑧. Une question naturelle est de se demander quel est l’impact de ces publications sur les résultats présentés précédemment.
Comme expliqué précédemment, la moindre irrégularité de la paroi peut provoquer un grippage du ménisque, générant un train d'ondes parasites. Réaliser une expérimentation permettant de surmonter ces découplages est essentiel pour quantifier leurs actions.
Conclusion
On peut alors conclure que malgré la présence de déplacements parasites dans les principales expériences, des interactions résonantes à 3 ondes sont bien présentes au cœur du système étudié. L’absence d’interaction à 4 vagues pose la question d’un lien possible entre le forçage et la volatilité de Benjamin-Feir. La théorie des cascades dynamiques proposée par Kartashova échoue également pour ce régime particulier (voir Figure II-13).
Bien que l’on observe la présence de l’instabilité modulante de Benjamin-Feir, qui est au cœur de cette théorie, elle ne domine pas les interactions à 3 ondes et montre un niveau de corrélation égal aux interactions à 3 ondes. Cette dernière provient essentiellement d'un film viscoélastique en surface et tend à rigidifier les spectres comme le démontre clairement d'autres systèmes [101,102] . La deuxième raison réside dans la non-localité des interactions à 3 ondes ainsi que dans la forte présence de quasi-résonances.
Cependant, la proximité des deux relations de dispersion pour des ondes de l’ordre de 1𝐻𝑧 (voir carte Δ𝑘 Figure II-19 b)) indique la possibilité de couplages à 3 ondes pour de très faibles intensités de non-linéarités. C'est dans l'idée de vérifier cette hypothèse qu'une seconde expérience a été réalisée sur des ondes de gravité pure dans le bassin de Coriolis.
Ondes de gravité
Méthodes expérimentales
- Dispositif expérimental
- Méthode de mesure
Un système de filtration est alors mis en place pour nettoyer la surface libre. Il définit la projection d'un objet, de l'espace physique (𝑥, 𝑧), dans le repère connecté au capteur de la caméra. Le centre de la zone de corrélation au temps 𝑡 (ou caméra 1 en stéréo) est situé en (0,0).
Chaque point correspond à un décalage d'un pixel par rapport à la zone de corrélation dans la fenêtre de recherche. Il est également utile de connaître le comportement de la méthode dans un système plus complexe. Nous observons un bon accord de mesure jusqu’à environ 3𝐻𝑧 où la résolution spatiale commence à filtrer.
Le test de surface de repos permet une estimation de l'erreur dans une situation idéale. Ceci peut s'expliquer par la position de la caméra 3 qui est perpendiculaire à la surface.
Analyse
- Analyse spatiale
- Spectres spatio-temporels
Avec tous les composants disponibles, il est possible d’examiner l’importance du terme non linéaire en fonction de la fréquence. 111 Les deux photos de la surface des figures a) et b) permettent d'observer qualitativement le phénomène. La figure III-32 permet une comparaison entre le spectre de puissance obtenu avec les sondes et celui du stéréo-PIV.
La répartition de l'énergie autour de la relation de dispersion permet une estimation de l'intensité des non-linéarités. Jusqu'à une fréquence d'environ 𝜔/2𝜋 = 2𝐻𝑧, l'écart type de la gaussienne σk de la relation de dispersion linéaire est limité par la résolution de la mesure. Une fois le spectre complet connu, il est désormais possible de regarder l’exposant 𝛽 de la cascade en 𝑘.
Il montre tout de même que la zone de mesure faiblement affectée par la contamination (𝜔/2𝜋 < 3𝐻𝑧) de la surface semble proche de l'exposant théorique prédit par Zakharov. La figure III-39 retrace l'évolution locale et spectrale de 𝜂(𝑡) au début de la mise en marche des batteurs.
Interactions résonantes
- Solutions théoriques
- Corrélations
La figure III-44 montre cette dernière pour la hauteur 𝜂 et la vitesse verticale 𝑤 en fixant 𝜔2/2𝜋 = 2,2 𝐻𝑧. Avec la Figure III-45 vous pouvez vous convaincre de la robustesse statistique en suivant l'évolution de la corrélation sur la ligne de résonance (lignes rouges) et pour chaque point (lignes noires). La figure a) montre les corrélations dans 𝜂, tandis que la figure b) montre les corrélations dans la vitesse verticale 𝑤.
Ceci est illustré à la figure III-48 pour les mêmes configurations présentées précédemment. La figure III-50 montre ce dernier pour mesurer la hauteur 𝜂 et la vitesse verticale 𝑤. La seule différence entre les deux courbes est la présence d'une normalisation pour la figure III-50.
La figure III-52 montre les quatre fréquences en jeu qui correspondent à la ligne bleue de la figure III-51. La figure III-53 montre la tricohérence 𝐵𝜔4(𝜔2, 𝜔3, 𝜔4) pour une vue plus globale des corrélations de fréquence.
Conclusion
Reconstruction de la surface 𝑧 = 𝜂 (à droite) avec corrélations des intensités de surface (à gauche) pour deux pas de temps (en haut et en bas). La fonction de distribution de probabilité de l’interface 𝜂 (Figure c)) est très bien approximée par la loi gaussienne. La fonction de probabilité de la distribution de vitesse verticale 𝑤 est représentée sur la figure b).
Cette dernière s'écarte de la relation de distribution linéaire représentée en rouge sur les figures a). Cela vient de la nature de la stratification de l'interface qui n'est pas infiniment fine comme en théorie. La ligne rouge représente le mode lent de la relation de dispersion linéaire des ondes d'interface.
La ligne rouge représente le mode de couplage lent de la distribution linéaire des ondes de gravité internes. Semblable aux ondes de surface, la forme de la relation de dispersion linéaire interdit les interactions à 3 ondes entre les composantes linéaires. Les différentes expériences sont réparties en fonction de la fréquence ainsi que de l'intensité des non-linéarités de la force 𝜖𝑝.
La figure 4 montre l'arborescence des interactions en fonction de la fréquence et de l'intensité générale des non-linéarités.
Mesures in situ et ondes internes
Données in situ
- Spectres de puissance
- Corrélations
- Conclusion
Ondes internes de gravité
- Relation de dispersion linéaire des ondes internes de gravité
- Dispositif expérimental
- Résultats
- Conclusion
Cependant, le gradient restant assez important au centre de l’interface, l’épaisseur de la couche de particules n’est que peu modifiée. Cette dernière est probablement liée à la mesure PIV, incertaine en raison de l’épaisseur de la couche de particules. La figure IV-20 et la figure IV-21 montrent les spectres de puissance spatio-temporels pour la position de l'interface 𝐸𝜂(𝐤, 𝜔) et la vitesse verticale 𝐸𝑤(𝐤, 𝜔), respectivement.
En effet, la forme particulière de la relation de distribution observée précédemment (figure IV-21) ne change rien à cette conclusion. Ces observations sont donc également incompatibles avec la théorie de la turbulence faible dominée par les interactions à 4 ondes. Pour être plus juste, il faut regarder la largeur du spectre de puissance qui donne accès à la variation de l'intensité des non-linéarités en fonction de la fréquence.
Ce n’est malheureusement pas évident en raison de la diffusion des ondes de Marangoni qui est très difficile à éliminer sur de grandes surfaces. Il serait également intéressant d’essayer d’observer les interactions à 4 ondes au sein de la branche linéaire comme le prédit la théorie.
