Relations entre A (G) et Oc(G)

1.5.1 Fonctions de partition

Consid´erons des th´eories conformes `a deux dimensions avec alg`ebre affinecsu(2). Les fonc- tions de partition d’un syst`eme avec deux lignes de d´efautsx ety – appel´ees g´en´eralis´ees [63]

– d´efinies sur le tore (de param`etre modulaire τ) s’´ecrivent : Zx|y(τ) =X

i,j

χ_i(τ)Wfxy^ij χ_j(τ), (1.51)

o`u les χi(τ) sont les caract`eres de l’alg`ebre csu(2), et les coefficients Wf^xyij sont des entiers non-n´egatifs. Le cas sans ligne de d´efauts (x=y=0) permet d’obtenir l’invariant modulaireM qui comute avec les g´en´erateursS etT du groupe modulaire (M^ij =Wf00^ij), et la fonction de partition invariante modulaire s’´ecrit :

Z(τ) = χMχ (1.52)

1.5. Relations entre A(G) et Oc(G) 23 D´efinissant les matrices (dO×dO)Veij telles que (Veij)xy =Wf^xyij, des conditions de compatibilit´e [63],[64] imposent que ces matrices doivent satisfaire l’alg`ebre carr´ee de fusion :

Ve_ij Ve_i′j^′ = X

i^′′,j^′′

Nii^i′′′ N_jj^j′′′ Ve_i′′j^′′ , (1.53)

alors que les matricesVe_i1 etVe_1j forment une repr´esentation de l’alg`ebre de fusion : Ve_i1Ve_i′1 =X

i^′′

Nii^i′′′ Ve_i′′1, Ve_1j Ve_1j′ =X

j^′′

Njj^j′′′ Ve_1j′′. (1.54)

La matrice Ve₁₁ est l’identit´e, tandis que les matricesVe₂₁ etVe₁₂correspondent respectivement aux deux matrices d’adjacence d’un graphe d’OcneanuOc(G) :

Ve₁₁= l1_dO×dO , Ve₂₁=O₁ , Ve₁₂=O₁′ . (1.55) Ainsi la donn´ee du graphe d’Ocneanu (des matrices O₁ etO₁′) permet d’obtenir les matrices Ve21 etVe12, et en utilisant (1.54) puis (1.53) d’obtenir les matricesVeij, et donc les coefficients Wf^xyij qui d´efinissent les fonctions de partition g´en´eralis´ees.

1.5.2 Oc(G) comme bi-module sur A(G) : matrices W_ij et W_xy

SoitG un graphe de typeADE (ou g´en´eralis´e) etA(G) l’alg`ebre du graphe Ande mˆeme nombre de Coxeter. On montre dans tous les cas qu’une action `a gauche et `a droite deA(G) sur Oc(G) peut ˆetre d´efinie. Nous avons :

i.x.j=X

y

Wxy^ijy (1.56)

o`u les coeficientsWxy<sup>ij</sup> sont des nombres entiers non-n´egatifs. Introduisons alors des matrices dO×dO Vij telles que (Vij)xy =W<sup>xyij</sup>. La compatibilit´e avec le produit de l’alg`ebre de fusion A(G) est mise en application par la equation

i^′·(i· x· j)·j^′ = (i^′· i)· x·(j· j^′) qu’impose aux matrices Vij la relation suivante

Vij·V_i′j^′ = X

i^′′,j^′′

Nii^i′′′ N_jj^j′′′ V_i′′j^′′ (1.57)

Propri´et´e 5 Les matrices Vij satisfont les relations suivantes : 1. V_i1 Vi^′1=X

i^′′

Nii^i′′′ Vi^′′1

V_1j V_1j′ =X

j^′′

Njj^j′′′ V_1j′′

2. OxVij =Vij Ox =X

y

(Vij)xy Oy

3. Vij =X

y

(Vij)_0y Oy

D´emonstration :La relation (1) est obtenue `a partir de (1.57) pouri=i<sup>′</sup>= 0 (j=j’=0). La relation (2) est obtenue en multipliant `a gauche et `a droite l’´equation (1.56) par z. Et enfin

(3) est une cons´equence imm´ediate de (2).

Conclusion 1 Les matrices Vij d´efinies `a partir de la structure de bi-module de Oc(G) sur A(G) co¨ıncident avec les matrices Ve<sub>ij</sub> introduites pr´ec´edemment. Les fonctions de partition g´en´eralis´ees des mod`eles csu(2) s’´ecrivent donc :

Zx|y(τ) =X

i,j

χi(τ)Wxy^ijχ_j(τ). (1.58) o`u les coefficientsWij^xy sont calcul´es en explicitant l’action (1.56) de A(G) sur Oc(G).

D´efinition 5 Nous d´efinissons les matrices toriques g´en´eralis´ees comme les matrices d_A×d_A donn´ees par la relation (W_xy)_i,j =W^xyij.

Pour y= 0 nous obtenons les matrices toriques Wx=W_x0. Il y a une matrice torique pour chaque vertex du grapheOc(G)

L’action est bien d´efinie et permet d’obtenir des formules compactes pour les expressions des fonctions de partition invariantes modulaires et g´en´eralis´ees. Nous retrouvons ainsi la classification de Cappelli-Itzykson-Zuber et donnons des formules pour les expressions des fonctions de partition `a une et deux lignes de d´efauts de tous les mod`eles csu(2).

1.5.3 Relations de compatibilit´e alg´ebrique

La dig`ebre B : r`egles de somme (quadratique et lin´eaire)

(B,◦) et (Bb,ˆ◦) sont des alg`ebres semi simples et nous pouvons donc les diagonaliser.

Matriciellement nous pouvons les ´ecrire comme une somme de blocs diagonaux : B ∼=⊕

i Lⁱ ; B ∼b=⊕

x X^x (1.59)

o`u chaque bloc a la dimension du sous espaceBi ou Bx correspondant.

(B,◦) : Les blocsLⁱ sont index´es par la longueurides triangles admissibles. Les projecteurs minimaux centraux dans chaque bloc sont labell´es par les vertex du grapheA(G). Rappelons que l’´el´ement (a, b) de la matriceFi, pouri∈ A(G), est ´egal au nombre de triangles admissibles {aib}. La dimension de chaque bloc Lⁱ est donn´ee par :

di = X

a,b∈G

(Fi)_ab (1.60)

1.5. Relations entre A(G) et Oc(G) 25 CommeB ∼=⊕ⁱLⁱ, la dimension deB est donn´ee par :

dim(B) = X

i∈A(G)

d²_i (1.61)

(Bb,ˆ◦) : Les blocs X^x sont index´es par le label x. Les projecteurs minimaux centraux de chaque bloc sont labell´es par les vertex du graphe Oc(G). En analogie avec le cas pr´ec´edent, la dimension de chaque blocX^x est donn´ee par

dx= X

a,b∈G

(Sx)ab (1.62)

o`u les matrices Sx d´eterminnent l’action de Oc(G) sur G (1.45). Comme B ∼b = ⊕xX^x, la dimension de Bbest donn´ee par :

dim(Bb) = X

x∈Oc(G)

d²_x (1.63)

R`egles de somme Les doubles triangles horizontaux (diagrammes de diffusion verticaux) forment une baseeIde l’espaceB. La base dual correspondante ˆe^I(repr´esent´es par des doubles triangles horizontaux avec un tilde) est une base de l’espace dualBb. Analoguement l’espace dual Bbest engendr´e par la base des doubles triangles verticaux E^J, et la base dual ˆEJ est une base de l’espace B. Nous avons alors :

B= gen eI =

r r

@@

@@^{a b} c d

i = gen bEJ =

\

r r

@@

@@ a

d c

x b

Bb= gen

E^J =^{@@r r}

@@ a

d c

x b

= gen

b e^I =

\

r r

@@

@@^{a b} c d

i

Nous avons l’´egalit´e suivante (r`egle de somme quadratique) : dim(B) = dim(Bb) = X

i∈A(G)

d²_l = X

x∈Oc(G)

d²_x (1.64)

Une autre relation peut aussi ˆetre v´erifi´ee dans la plupart des cas⁵, la r`egle de somme lin´eaire :

X

i∈A(G)

dl= X

x∈Oc(G)

dx (1.65)

A priori, il n’existe pas de raison d’obtenir une telle relation pour une big`ebre semi-simple.

5Dans les cas o`u cette relation n’est pas satisfaite, on sait la corriger.

Masses quantiques, garphes ADE

Pour un graphe G du systh`eme SU(2), les composantes du vecteur normalis´e de Peron- Frobenius d´efinissent les dimensions quantiques des vertex σ de G : ce sont des nombres quantiques [n]q=qdim(σ). Rappelons que le nombre quantique [n]q est d´efini par :

[n]q= qⁿ−q⁻ⁿ

q−q⁻¹ , q = exp(iπ

κ ), q^2κ = 1. (1.66)

Ces nombres s’´ecrivent explicitement :

n pair [n]q = q+q⁻¹+q³+q⁻³+q⁵+q⁻⁵+. . .+qⁿ⁻¹+q⁻⁽ⁿ⁻¹⁾

= 2 cos ^π_κ

+ 2 cos ^3π_κ

+ 2 cos ^5π_κ

+ 2 cos

(n−1)π κ

n impair [n]q = 1 +q²+q⁻²+q⁴+q⁻⁴+q⁶+q⁻⁶+. . .+qⁿ⁻¹+q⁻⁽ⁿ⁻¹⁾

= 1 + 2 cos ^2π_κ

+ 2 cos ^4π_κ

+ 2 cos ^6π_κ

+ 2 cos_(n

−1)π κ

D´efinition 6 Pour un graphe Gde type ADE `a r vertexa, samasse quantique m(G) est d´efinie par :

m(G) = X

a∈G

(qdim(a))² (1.67)

Propri´et´e 6 Soit un graphe Gun grapheADE ou de Di Francesco-Zuber, et A(G)etOc(G) ses graphes associ´es. Alors les masses quantiques deA(G) et de Oc(G) sont ´egales :

1.6 Un exemple de sym´ etries quantiques des graphes du

No documento des graphes non-simplement lacés en théorie de champs comforme. (páginas 37-41)