Le choix d’introduction d’´ecrouissages isotropes suppl´ementaires a ´et´e discut´e au paragraphe III.3. Les ´evolutions des param`etres C
∼∼
i(p) ou Ci(p) et K2(p) ou K(p) sont donn´ees par les mˆemes fonctions,
C∼
∼
i(p) = C0+ (C∞−C0)(1−e−φp) C∼
∼
i ”Aniso”
Ci(p) = C0+ (C∞−C0)(1−e−φp)
Ci ”Iso”
(III.123)
K(p) = K2(p) = Km+ (KM −Km)e−K0vp
e−Kvp (III.124)
Nous avons d´evelopp´e le mod`ele dans un cadre g´en´eral comportant `a la fois anisotropie du crit`ere et anisotropie de l’´ecrouissage puis nous l’avons particularis´e au cas de l’isotropie totale. En th´eorie, la loi de comportement ne devrait pas ˆetre modifi´ee par un choix sp´ecifique de rep`ere (objectivit´e), de conditions initiales ou aux limites, ni mˆeme d’´el´ement dans le cadre de la m´ethode ´el´ements finis. Un cas sp´ecifique ne v´erifie pas cette derni`ere condition, c’est le cas de la contrainte plane que nous allons ´etudier dans le paragraphe suivant (III.5).
On ne tient g´en´eralement pas compte de l’´equation III.126 et la compatibilit´e de la d´eformation dans la direction 3 n’est donc pas assur´ee. Le probl`eme reste purement bidimensionnel et il faut consid´erer le solide comme un pavage d’´el´ements n’interagissant pas entre eux selon la troisi`eme direction. Par cons´equent, l’hypoth`ese de contraintes planes reste strictement adapt´ee `a des structures minces pour lesquelles les incompatibilit´es dans la troisi`eme direction sont limit´ees.
La condition de contraintes planes donne,
σ13 = 0 (III.127)
σ23 = 0 (III.128)
σ33 = λεekkδ33+ 2µεe33 (III.129)
On obtient donc,
εe33 = − λ
λ+ 2µ(εe11+εe22) (III.130)
que l’on peut ´ecrire, d’apr`es les ´equations III.111, εe33 = − ν
1−ν (εe11+εe22) (III.131)
La loi d’´elasticit´e 3D classique peut donc ˆetre remplac´ee par,
σij = ˜λεkkδij + 2µεij (III.132)
avec i,j={1,2}et,
λ˜ = νE
1−ν2 (III.133)
En plasticit´e ou viscoplasticit´e, on ajoute, pour certains mat´eriaux, une condition suppl´ementaire sur l’incompressibilit´e de la d´eformation in´elastique,
Trε
∼
vp = 0 (III.134)
εvp33 = −εvp11−εvp22 (III.135)
La d´eformation totale dans la direction 3 peut donc s’´ecrire,
ε33 = − ν
1−ν (εe11+εe22)−εvp11−εvp22 (III.136) ε33 = − ν
1−ν (ε11+ε22) +1−2ν
1−ν εvp33 (III.137)
L’ajout de cette ´equation suffit `a formuler un mod`ele coh´erent en contraintes planes.
Cependant, nous verrons que l’ajout ”brutal” de cette ´equation dans la formulation algorithmique du mod`ele g´en´eral (section IV.4) ne permet pas d’obtenir une formulation robuste (section IV.5.1).
Pour cette raison, diff´erentes formulations algorithmiques sont propos´ees au paragraphe IV.5. Parmi ces formulations, l’une d’entre elles implique de reformuler les ´equations du mod`ele.
III.5.2 Formulation sp´ecifique du mod`ele (Simo et Taylor, 1986)
Dans ce chapitre, nous d´eveloppons les ´equations du mod`ele adapt´ees `a l’utilisation d’un algorithme bas´e sur l’utilisation d’une matrice de mapping (Simo et Taylor, 1986), (Simo et Hughes, 1997).
Afin de mieux comprendre l’int´erˆet et les possibilit´es d’une telle approche, nous allons reprendre les ´equations du mod`ele dans le cas de l’isotropie totale et utiliser la formulation propos´ee par Simo pour le traitement de la contrainte plane. Nous verrons ainsi en quoi le traitement de la contrainte plane peut se voir comme une particularisation du cas g´en´eral grˆace `a cette formulation.
Cet algorithme propose d’´etendre la formulation classique du mod`ele au probl`eme des contraintes planes en r´ealisant un mapping1 (et non une projection) du sous espace des contraintes planesSP vers le sous espace d´eviatoriqueSD.
Le sous espace des contraintes planesSP est donc un sous espace de dimension 3 de l’espace des contraintes S d´efinie par l’´equation III.138
SP = σ
∼ ǫ S |σ13=σ23=σ33= 0 (III.138) De la mˆeme fa¸con, le sous espace des contraintes d´eviatoriques SD est alors d´efini comme
´etant un sous espace de dimension 3 de l’espace des contraintes S d´efini par l’´equation III.139 SD =
S∼ ǫ S |S13=S23= 0,Tr S∼
= 0 (III.139)
Il est alors propos´e par Simo et Hugues (Simo et Hughes, 1997) d’utiliser une matrice de mapping du sous espace des contraintes planes vers le sous espace d´eviatorique, ce qui peut s’´ecrire sous la forme matricielle de la fa¸con suivante (cf. ´equation III.141):
σ
∼ =
σ11 σ22
σ12
, S
∼=
S11 S22
S12
(III.140)
1On ne r´ealise pas une projectionP∼
∼
au sens o`uP∼
∼ 26=P∼
∼
Soit la matrice de passage P
∼∼
telle que P
∼∼
:SP →SD et son inverse R
∼∼
d´efinie par :
P∼
∼
= 13
2 −1 0
−1 2 0
0 0 3
, R
∼∼
=
2 1 0 1 2 0 0 0 1
(III.141)
L’objectif de ce ”mapping” est de se placer dans les meilleurs conditions pour utiliser un algorithme g´en´eral de correction plastique. En effet, si l’ensemble des tenseurs (et notamment le tenseur d’´ecrouissage cin´ematique) n’est pas exprim´e dansSP, la normale ne peut plus ˆetre consid´er´ee comme constante et l’algorithme de retour radial ne devrait pas ˆetre utilis´e (Dodds, 1987). Les formulations pr´ec´edentes (Hammi, 2000), (Lestriez, 2003) violent ce principe et conduisent `a des instabilit´es num´eriques pour des conditions de chargement s´ev`eres (vitesses
´elev´ees ou endommagement). Si l’on d´ecide de ne pas r´ealiser ce mapping pour traiter les contraintes planes, il est alors n´ecessaire de r´ealiser un retour normal qui implique de recalculer la normale pour chaque incr´ement permettant le retour sur la surface de charge (cf. figure III.8). Cette m´ethode oblige donc `a r´esoudre un syst`eme de trois ´equations dont une est tensorielle (celle concernant la normale) et compliquent donc la convergence de l’algorithme de Newton Raphson. Notons que ce traitement est r´ealis´e g´en´eralement au sein du LASMIS dans le cadre du traitement de comportements anisotropes (Badreddine et Saanouni, 2007).
Figure III.8 : Sch´ema de l’algorithme de retour normal (Simo et Ortiz, 1985).
Figure III.9 : Sch´ema de l’algorithme de retour radial (Simo et Taylor, 1985).
Il est possible de s’assurer rapidement de la validit´e de ce mapping par une application alg´ebrique simple.
Calculons la contrainte ´equivalente de von Mises (sans ´ecrouissage cin´ematique) dans le cas des contraintes planes, pour la formulation avec et sans mapping. Pour la formulation sans mapping,
σeq = r3
2S
∼:S
∼ (III.142)
qui vaut donc, sous forme matricielle,
σeq= vu uu uu uu t 3 2
1
3 2
2σ11−σ22
2σ22−σ11
−σ11−σ22 3σ12
T
.
2σ11−σ22
2σ22−σ11
−σ11−σ22 3σ12
(III.143)
soit,
σeq= r1
6
h(2σ11−σ22)2+ (2σ22−σ11)2+ (σ11σ22)2+ 9σ212i
(III.144) que l’on peut ´ecrire sous la forme,
σ2eq=σ211+σ222−σ11σ22+3
2σ212 (III.145)
Pour la formulation avec mapping, la contrainte ´equivalente de von Mises s’´ecrit (cf. ´equation III.146)
σeq= r3
2σ
∼ :P
∼∼
:σ
∼ (III.146)
En calculant d’abordP
∼∼
:σ
∼sous forme matricielle, on peut bien voir que le tenseur correspond au tenseur d´eviateur de l’´equation III.143 (dont la valeur S33, bien que non nulle, n’est pas explicitement prise en compte),
P∼
∼
:σ
∼ = 1 3
2 −1 0
−1 2 0
0 0 3
.
σ11 σ22
σ12
= 1 3
2σ11−σ22 2σ22−σ11
3σ12
(III.147) puis calculer la contrainte ´equivalente proprement dit,
σeq=q
3 2σ
∼:P
∼∼
:σ
∼= vu uu ut
3 2
σ11 σ22 σ12
T
.
2 −1 0
−1 2 0
0 0 3
.
σ11 σ22 σ12
= vu uu ut
3 2
σ11 σ22 σ12
T
.13
2σ11−σ22 2σ22−σ11
3σ12
(III.148)
soit la contrainte ´equivalente, σeq =
r1
2 2σ211+ 2σ222−2σ11σ22+ 3σ212
(III.149)
que l’on peut ´ecrire sous la forme,
σ2eq=σ112 +σ222 −σ11σ22+3
2σ122 (III.150)
On voit ici par un calcul matriciel rapide, la validit´e de cette projection (cf. ´equations III.145 et III.150)
De nombreuses m´ethodes d’int´egration num´erique temporelle des ´equations d’´evolution ont ´et´e propos´ees et sont pr´esent´ees au paragraphe IV.3. L’algorithme de retour radial est donc le meilleur (Krieg et Krieg, 1977) mais pose le probl`eme de ne plus ˆetre valable dans le cas des contraintes planes. D´es lors, il est donc int´eressant de chercher `a se placer dans les bonnes conditions pour utiliser cet algorithme. C’est l’objectif de l’approche de Simo.
Dans ce qui suit, les tenseurs ayant ”subi” le mapping sont not´es ˜ et ne font donc plus r´ef´erence `a des tenseurs d´eviatoriques.
Les ´equations du mod`ele synth´etis´ees au paragraphe III.4 peuvent ˆetre r´e´ecrites sous l’hypoth`ese de mapping des quantit´es d´eviatoriques. Les ´equations, dont la mention ”CP”
suit, font r´ef´erence `a un comportement isotrope en contraintes planes tandis que les ´equations, dont la mention ”3D” suit, font r´ef´erence au comportement le plus g´en´eral d’anisotropie du crit`ere et de l’´ecrouissage.
Les relations d’´etat s’´ecrivent,
σ
∼ =
(1−D) ˜Λ
∼∼
:ε
∼
e ”CP”
(1−D)Λ
∼∼
:ε
∼
e ”3D”
(III.151) o`u,
Λ˜
∼∼
= ˜λI
∼⊗I
∼+ 2µI
∼∼
”CP”
Λ∼
∼
=λI
∼⊗I
∼+ 2µI
∼∼
”3D”
(III.152)
λ˜= 1νE−ν2 ”CP”
λ= (1+ν)(1νE−2ν) ”3D”
(III.153)
Λ˜
∼∼
= ˜KI
∼⊗I
∼+ 2GI
∼∼
d ”CP”
Λ∼
∼
=KI
∼⊗I
∼+ 2GI
∼∼
d ”3D”
(III.154)
K˜ = E(1+2ν3(1−ν2)) ”CP”
K = 3(1E−2ν) ”3D”
(III.155)
X˜
∼i =
(1−D)23Ci(p)R
∼∼
:α
∼i ”CP”
(1−D)C
∼∼
i(p) :α
∼i ”3D”
(III.156)
R = (1−D)Qr (III.157)
Y˜ =
1 2ε
∼
e : ˜Λ
∼∼
:ε
∼
e+13P
iCi(p)α
∼i :R
∼∼
:α
∼i+12Qr2 ”CP”
1 2ε
∼
e :Λ
∼∼
:ε
∼
e+12P
iα
∼i :C
∼∼
i(p) :α
∼i+12Qr2 ”3D”
(III.158)
o`u I
∼∼
dd´esigne le tenseur unit´e d’ordre 4 d´eviatorique. Dans les ´equations pr´ec´edentes, ˜X
∼i
n’est pas une quantit´e d´eviatorique `a la diff´erence deX
∼i. Par contre, la variable interneα
∼i
d´esigne partout une quantit´e d´eviatorique. L’´ecrouissage isotrope, d´ecrit par des variables scalaires, n’est donc pas affect´e par le mapping.
La fonction de charge s’´ecrit,
f =
˛
˛
˛
˛
˛
˛σ
∼−P
iX˜
∼i
˛
˛
˛
˛
˛˛−R
√1−D −σy ”CP”
||σ
∼−P
iX
∼i||−R
√1−D −σy ”3D”
(III.159)
o`u la norme d´esigne, pour l’un la norme de Hill et pour l’autre la norme de von Mises dans le cas des contraintes planes,
σ
∼−P
iX˜
∼i
=q
3 2(σ
∼−P
iX˜
∼i) :P
∼∼
: (σ
∼−P
iX˜
∼i) ”CP”
σ
∼−P
iX
∼i
=q
(σ
∼−P
iX
∼i) :H
∼∼
: (σ
∼−P
iX
∼i) ”3D”
(III.160)
Notons que, dans la norme de von Mises, le tenseur d´eviateur des contraintes peut ˆetre remplac´e par le tenseur des contraintes lui-mˆeme carP
∼∼
:σ
∼ est une quantit´e d´eviatorique.
De mani`ere g´en´erale, le potentiel des dissipations s’´ecrit comme la somme d’un potentiel viscoplastique et d’un potentiel des dissipations d’endommagement,
Φ⋆vp =
Fvp(σ
∼,X˜
∼i, R;α
∼i, r) +Fd( ˜Y;D) ”CP”
Fvp(σ
∼,X
∼i, R;α
∼i, r) +Fd(Y;D) ”3D”
(III.161)
Le potentiel viscoplastique n’est pas modifi´e explicitement et s’´ecrit pour le mod`ele de Norton (”Norton”) et celui en sinus hyperbolique (”sinh”),
Fvp =
K(p) n+1
Fp
K(p)
n+1
”Norton”
K1K2(p)cosh
Fp
K2(p)
”sinh”
(III.162)
o`u Fp est donn´e par,
Fp = f+1 2
b
Q(1−D)R2−1
2Qb(1−D)r2 +
3
4 1
(1−D)
P
i ai
Ci(p)X˜
∼i :P
∼∼
: ˜X
∼i−13(1−D)P
iCiaiα
∼i :R
∼∼
:α
∼i ”CP”
1
2 1
(1−D)
P
iaiX
∼i :C
∼∼
−1 i :X
∼i−12(1−D)P
iaiα
∼i :C
∼∼
i:α
∼i ”3D”
(III.163)
et le potentiel des dissipations d’endommagement par l’expression suivante,
Fd =
˙ p (1−D)β
D˜
Y−Y0 S
Es+1 S
s+1 ”CP”
˙ p (1−D)β
Y−Y0
S
s+1 S
s+1 ”3D”
(III.164)
Les ´equations d’´evolution qui en d´ecoulent sont,
˙ ε
∼
vp =
λ˙vp
√1−DP
∼∼
: ˜n
∼ ”CP”
λ˙vp
√1−Dn
∼ ”3D”
(III.165)
˙ α
∼i =
λ˙vp
P∼
∼
: ˜n
√ ∼
1−D −aiα
∼i
!
”CP”
λ˙vp
n
√∼
1−D −aiα
∼i
”3D”
(III.166)
˙
r = λ˙vp
1
√1−D−br
(III.167)
D˙ =
λ˙vp
(1−D)β+ 12
D˜
Y−Y0 S
Es
”CP”
λ˙vp
(1−D)β+ 12
Y−Y0
S
s
”3D” (III.168)
o`u la normale `a la surface de charge dans l’espace des contraintes est donn´ee par,
n∼ =
3 2
P∼
∼
:(σ
∼−P
i
X˜
∼i)
˛
˛
˛
˛
˛
˛σ
∼−P
iX˜
∼i
˛
˛
˛
˛
˛
˛
”CP”
H∼
∼
:(σ
∼−P
iX
∼i)
||σ
∼−P
iX
∼i|| ”3D”
(III.169)
La quantit´e ˜n
∼ n’´etant plus une quantit´e d´eviatrice, elle s’´ecrit, n˜
∼ = 3 2
σ
∼−P
iX˜
∼i
σ
∼−P
iX˜
∼i
(III.170)
ce qui donne, bien sˆur,
n∼ = P
∼∼
: ˜n
∼ (III.171)
Remarques :
La d´eformation plastique cumul´ee reste li´ee de la mˆeme fa¸con au multiplicateur viscoplastique,
˙ p =
r2 3ε˙
∼
p : ˙ε
∼
p
= λ˙vp
√1−D r2
3n˜
∼:P
∼∼
: ˜n
∼
= λ˙vp
√1−D vu uu t 2 3
3 2
2 (σ
∼−P
iX˜
∼i) :P
∼∼
: (σ
∼−P
iX˜
∼i)
σ
∼−P
iX˜
∼i
2
= λ˙vp
√1−D (III.172)
commeP
∼∼
: ˜n
∼ ǫ SD, ˜n
∼:P
∼∼
: ˜n
∼ ǫ SD. On a donc bien l’´egalit´eP
∼∼
: ˜n
∼:P
∼∼
: ˜n
∼ = ˜n
∼:P
∼∼
: ˜n
∼. L’ensemble des ´equations pr´ec´edentes a ´et´e volontairement d´evelopp´ee parall`element pour deux formulations du mˆeme mod`ele : une formulation g´en´erale comportant `a la fois, la possibilit´e de d´ecrire l’anisotropie du crit`ere mais aussi celle des ´ecrouissages de mani`ere ind´ependante, et une formulation particuli`ere de ce mod`ele g´en´eral pr´esentant le cas de l’isotropie totale. Cette particularisation du mod`ele est trait´ee dans le cas des contraintes planes par une approche de ”mapping” propos´ee par Simo. En d´eveloppant conjointement ces deux descriptions, nous cherchons `a mettre en ´evidence les similitudes des ´equations constitutives obtenues.
Les ´equations d’´etat III.151 `a III.158 et d’´evolution III.165 `a III.167 montrent clairement l’analogie entre l’op´erateur de Hill et la matrice de ”mapping”P
∼∼
ainsi que celle existant entre l’op´erateur d’anisotropie d’´ecrouissage et l’inverse de la matrice de ”mapping”R
∼∼
,
H∼
∼
= 3
2P
∼∼
(III.173) C∼
∼
i(p) = 2
3Ci(p)R
∼∼
(III.174)
On voit donc que le traitement de la contrainte plane par cette m´ethode permet d’´etendre notablement les potentialit´es d’un mod`ele isotrope au cas de l’anisotropie plastique du crit`ere et des ´ecrouissages.
La m´ethode ´etant originalement propos´ee par Simo pour r´esoudre le probl`eme du retour radial en contrainte plane, on peut raisonnablement esp´erer faire de mˆeme dans le cas de l’anisotropie et donc s’affranchir de r´ealiser la convergence sur l’´equation de la normale au sein de l’algorithme de Newton-Raphson. Cette remarque sera discut´ee dans le chapitre IV concernant les aspect num´eriques.
Comme tr`es souvent dans le traitement du comportement anisotrope, le syst`eme d’´equations se compose de trois ´equations dont les inconnues sont, le multiplicateur plastique, la normale et l’endommagement. Dans le cas des contraintes planes, une ´equation s’ajoute pour atteindre un syst`eme de quatre ´equations (dont une tensorielle) (Badreddine, 2006), (Khelifa, 2004). Moyennant certaines hypoth`eses sur l’endommagement, faites aussi bien pour un comportement isotrope (Lestriez, 2003) qu’anisotrope (Khelifa, 2004), le syst`eme peut se r´eduire `a deux ´equations dans le cas de l’anisotropie et une ´equation dans celle
de l’isotropie. En contraintes planes, une ´equation est classiquement ajout´ee. La m´ethode de ”mapping” de Simo permet `a la fois de d´ecrire un comportement anisotrope mais aussi d’inclure l’hypoth`ese de contrainte plane et de valider celle du retour radial. Ainsi, le syst`eme se r´eduit `a une ´equation scalaire et permet donc une convergence de l’algorithme de Newton- Raphson beaucoup plus ais´ee et rapide.