Application des méthodes de projection à l’étude du schéma allongé

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Application des méthodes de projection à l’étude du schéma allongé

J. Raynal

To cite this version:

J. Raynal. Application des méthodes de projection à l’étude du schéma allongé. Journal de Physique,

1970, 31 (2-3), pp.135-148. �10.1051/jphys:01970003102-3013500�. �jpa-00206886�

APPLICATION DES MÉTHODES DE PROJECTION

A L’ÉTUDE DU SCHÉMA ALLONGÉ

J. RAYNAL

Service de

Physique Théorique,

Centre d’Etudes Nucléaires de

Saclay,

BP n°

2, 91, Gif-sur-Yvette,

^France

(reçu

^{le 26 août}

1969)

Résumé. ²⁰¹⁴ Le schéma

allongé,

^introduit par Danos ^et Gillet _pour un système ^de neutrons et de protons, ^{donne un} spectre rotationnel pour presque

n’importe quelle

interaction résiduelle. On obtient des formules

simples

pour l’énergie ^{si on}

n’antisymétrise

pas complètement. ^{La méthode de}

projection

par les rotations finies, décrite dans ^un article précédent, permet d’obtenir le spectre ^en tenant compte ^de

l’antisymétrisation.

^{Les résultats sont les} mêmes que ^ceux des formules _appro- chées si la couche est assez large ^{et moins}

qu’à

^moitié remplie. ^{Cette méthode} permet ^{aussi de} comparer les états ayant des déformations

intrinsèques

^de

signe opposé.

^{Avec la} méthode de _pro-

jection

par les rotations

infinitésimales,

^nous étudions des

systèmes

^dans

lesquels

^{un excès de neu-}

trons est

couplé

^en

paires

^{de moment} angulaire ^nul. L’énergie ^du fondamental

dépend

essentielle- ment du nombre de quartets (deux neutrons, deux protons

couplés

dans le schéma

allongé).

Abstract. ²⁰¹⁴ The stretch scheme introduced by ^Danos and Gillet for a system ^{of neutrons and} protons, gives ^a rotational spectrum for almost any residual interaction.

Simple

^{formulae are}

obtained for the

energies

^if

antisymmetrization

^{is not taken}

completely

^{into account. The}

projec-

tion method with finite

rotations,

^as described in a former article, ^{enables us to} obtain the spectrum with

complete antisymmetrization.

^{The results are the same as the} approximate ^{ones when the shell} is

large

and less than half-filled. This method can also be used to compare

energies

^{for states with}

positive

^and

negative

intrinsic deformations.

Using

the method of infinitesimal rotation operators,

we consider systems where ^{an excess} of neutrons are

coupled

in the stretch scheme or into

pairs

^of

zero angular ^{momentum. The} ground ^state energies ^are

mainly

^a function of the number of

« quartets »

(two

^{neutrons and two} protons

coupled

in the stretch

scheme).

1. Introduction. ^- Le schéma

allongé

^{de Danos et}

Gillet

[1, 2]

^{donne une}

description simple

^{de la struc-}

ture des états rotationnels des _noyaux ayant ^des couches ouvertes en neutrons et en

protons. L’énergie s’exprime simplement

^en fonction des éléments de matrice de l’interaction résiduelle

[3, 4, 5].

^Son expres- sion contient ^un coefficient de Racah dont _{les pro-}

priétés asymptotiques correspondent

^{à un}

spectre purement

rotationnel.

Cependant,

^{ce caractère rota-}

tionnel est meilleur _pour un

système

^{contenant à la}

fois des neutrons et des protons que pour ^une seule sorte de

particule [6].

^{Mais ces}

résultats,

déduits d’une formule

simple

pour les

énergies,

^{ont été obtenus en}

n’antisymétrisant

pas

complètement

^le

système.

Le but

principal

^{de ce travail est} d’éliminer ce défaut

d’antisymétrisation

pour la fonction d’onde du schéma

allongé

^{et d’étudier}

jusqu’à quel point

^les

résultats obtenus avec cette

hypothèse simplificatrice

demeurent valables dans le calcul exact. On y

parvient

en utilisant les méthodes de

projection

^{du moment}

angulaire qui

^{ont été} décrites dans un autre article

[7].

Nous avons utilisé la méthode de

projection

^{par les}

rotations finies et la méthode des

opérateurs

^{de rota-}

tions infinitésimales. La

première

^{est la mieux}

adaptée

à ^ce

problème. Cependant,

la seconde permet ^de

géné-

raliser la

comparaison

^{du schéma}

allongé

^{au schéma}

de seniorité

[5]

^en

projetant

des fonctions d’onde intrin-

sèques

^{du schéma}

allongé auxquelles

^{on a}

ajouté

^des

paires

^de neutrons et de

protons couplées

^{à un moment}

angulaire

^nul

[8].

^On

peut

étudier de cette

façon

^toute

une série de

couplages

intermédiaires entre le schéma

allongé

^{et le schéma} de seniorité. Les résultats sont essentiellement les mêmes _que ceux

qui

^{ont été obte-}

nus dans la

comparaison

des deux schémas eux-mêmes.

En

particulier

^la composante ^{T = 0} de l’interaction résiduelle favorise le

couplage

dans le schéma

allongé

de neutrons

excédentaires,

^alors que l’idée de

départ

de ^ce schéma ne

l’implique

pas.

2.

Rappels

^sur le schéma

allongé.

^- Considérons 2 N neutrons dans une

couche j

^{et 2 Z} protons ^dans

une couche k. La fonction d’onde du schéma

allongé

est formée de deux

chaînes,

^{contenant chacune N neu-}

trons et Z protons

« alignés »

^au

plus grand

^moment

angulaire

^C

permis

par le

principe

^{de Pauli. Les deux}

chaînes sont

couplées

^{au moment}

angulaire

^{I = 0}

PHYSIQUE 31, 1970,

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01970003102-3013500

pour former le fondamental du schéma

allongés Q,

I ⁼ 0 > ^ou à des moments

angulaires

^{I =}

2, 4, 6, ...

pour former les états excités.

2. 1 LA FONCTION D’ONDE

INTRINSÈQUE

^{ET L’HYPO-} THÈSE FONDAMENTALE DU SCHÉMA ALLONGÉ. ^- Une chaîne orientée de telle

façon

que ^son nombre _quan-

tique magnétique

^{soit maximum est décrite} par ^un seul déterminant de Slater. En seconde

quantifica- tion,

^c’est

où ai

^{est un}

opérateur

de création _pour un neutron de la

couche j

^{avec nombre}

quantique magnétique

m,

bm

un

opérateur

de création de

proton

^{dans la couche k}

et ~

0 > est le vide. La somme des nombres

quantiques magnétiques

^est

C’est un entier si N + Z est

pair,

^un demi-entier si N + Z est

impair.

La fonction d’onde

intrinsèques Q

> du schéma

allongé

^est formée des deux chaînes orientées dans des directions

opposées.

^{C’est le}

produit

de deux déter- minants de Slater du schéma

aligné [9],

^un pour les neutrons et un pour les

protons,

^avec des déforma- tions

intrinsèques négatives.

^On

peut l’exprimer

^comme

la somme de ses

composantes

^sur le fondamental

1 Q,

0 > du schéma

allongé

^{et sur} les états excités

1 Q, 1 > :

^.

Si on tient

compte

correctement du

principe

^de

Pauli,

la somme sur I est limitée aux valeurs

paires jusqu’à

et on

peut

obtenir les _{al par}

projection.

^{En seconde}

quantification,

^on

peut

^inverser

l’équation (2.3)

pour obtenir la

première

définition des états du schéma

allongé [1, 2] :

où les

NI

^{sont des} constantes de normalisation.

L’hypothèse

fondamentale du schéma

allongé

^intro-

duite _par Danos et

Gillet,

^est de considérer les chaînes

comme deux

particules

indiscernables

(des

^bosons

si C est

entier,

des fermions si C est

demi-entier).

^Avec

cette

hypothèse NI

^est

égal

^{à 1}

quel

que soit I. Il

n’y

^a

pas

antisymétrisation

^entre

particules appartenant

^à des chaînes

différentes,

mais les éléments de matrice de l’interaction résiduelle sont

antisymétrisés

^cor-

rectement. En seconde

quantification,

^cette

approxi-

mation revient à

négliger

^les contractions

qui

^{ne res-}

pectent

pas l’individualité des deux chaînes. On obtient

ainsi des formules très

simples

^pour

l’énergie

^{en fonc-}

tion de l’interaction résiduelle et pour les éléments de matrice réduits

d’opérateurs

tensoriels irréductibles.

Avec cette

hypothèse

^{la somme sur I} de la formule

(2.5)

^{est limitée aux valeurs}

paires

inférieures à 2 C.

Il y ^a donc

quelques

^{valeurs de I}

supérieures

^à

l max ;

en seconde

quantification

^{la norme de la somme du}

second membre de

l’équation (2.5)

^{est nulle} pour ^ces valeurs de I. Pour estimer les erreurs dues à ce défaut

d’antisymétrisation,

calculons les normes

Nr

pour N ⁼ Z ⁼ 1. On obtient :

avec C

= j

^{+ k. Cette norme s’annule} pour I ⁼ 2

C, qui

^est

l’unique

^valeur

supplémentaire

introduite _par le défaut

d’antisymétrisation.

^La différence avec

l’unité est faible si I n’est _pas

trop

^{voisin de 2}

C,

^sur-

tout

si j

^{et k sont}

grands.

^{Pour le}

fondamental,

^la

norme est

et la différence avec l’unité décroît de

0,40

^x

10-3 pour j

^{= k =}

5/2

^à

0,64

^x

10-8 pour j

^{= k =}

15/2.

Si N ⁼ 1 et Z ⁼ 0 le calcul direct de la norme donne 1 alors _que la formule

(2.6)

^{donne 2 à cause du recou-}

plage

^{avec des}

protons absents ;

les formules

simpli-

fiées du schéma

allongé

^{seront en accord avec cette}

dernière

valeur, c’est-à-dire,

^les

énergies

^{seront deux}

fois

trop grandes.

Des calculs

analogues

pour N = Z = 2 et N = Z = 3 ont été faits _par

Kluge [10] ;

^{en seconde}

quantifica- tion,

les résultats sont

qualitativement

les mêmes.

Pour les

énergies,

^{avec N = Z =}

1,

abstraction faite de la

normalisation,

^{le défaut}

d’antisymétrisa-

tion n’introduit aucune erreur pour l’interaction rési- duelle entre

particules identiques,

ni pour l’interac- tion

proton-neutron

^{si ces deux}

particules

^{ne sont pas}

couplées

^{au moment}

angulaire maximum ;

pour l’in- teraction du

proton

^{et du neutron} d’une même

chaîne,

il _y a une correction

analogue

^à

(2.6)

^{mais avec un}

facteur 2 devant le coefficient 9 -

j. Ainsi,

^{en tenant}

compte

^{de la}

normalisation,

^les erreurs sur les éner-

gies

d’interaction à l’intérieur des chaînes et entre les chaînes se

compensent

^en

partie.

2.2 UN DÉVELOPPEMENT

ADÉQUAT

^DE L’INTERACTION RÉSIDUELLE. ^- Le calcul des

énergies

^a

déjà

^été

décrit

[3].

^{Il est basé sur un}

développement

^{de l’in-}

teraction résiduelle à deux corps pour

lequel quelques explications supplémentaires peuvent

être utiles. Ce

développement

^{est :}

où les

T’

sont des

opérateurs

tensoriels irréductibles d’élément de matrice réduit unité entre deux fonctions d’onde à une

particule.

^{En seconde}

quantification

^et

si

7i ~ j;,

^{ce sont des}

opérateurs

de création d’états

particule-trou :

Par

conséquent, ~1~1.72

^{est, à une}

phase près,

^un

élément de matrice

particule-trou :

Cette

phase

^est due à la transformation du

premier opérateur

de création d’état

particule-trou

^{en un}

opé-

rateur d’annihilation.

Dans

l’application

^{au schéma}

allongé,

^la

particule

et le trou sont dans la même couche. L’élément de matrice

(2. 10)

^{est une} certaine combinaison linéaire des éléments de matrice

particule-particule :

qui

s’introduit dans les calculs pour

lesquels

^l’orien-

tation relative des deux nucléons en interaction est essentielle.

Si j, = j2 ou 7i

⁼

j2

les conditions de nor-

malisation _pour deux nucléons

identiques

^{dans les}

éléments de matrice

particule-particule

^{doivent être}

utilisées aussi _pour

Vf1j2j’d;.

^La

séparation (2.9)

^n’est

pas nécessaire ^{car on} utilise seulement les

propriétés géométriques

^du

développement (2.8) :

les formules obtenues sont donc valables

pour jl

⁼

j’2-

2.3 ENERGIE ET ÉLÉMENTS DE MATRICES RÉDUITS. ^-

L’énergie

d’un état du schéma

allongé

^{est la somme}

de deux termes. Pour le

premier,

^{les deux}

opérateurs

d’annihilation

agissent

^{sur la même}

chaîne,

pour le

second,

^{un sur}

chaque

^{chaîne. Les}

opérateurs

^{de créa-}

tion doivent rétablir le nombre de neutrons et de _pro- tons de

chaque

^chaîne.

L’énergie

^{est :}

où

avec

Ces formules

peuvent

^se

généraliser

^{à des chaînes non}

identiques,

^{ou à} des bras construits autrement que les kets. On

peut

^ainsi

diagonaliser

l’interaction rési- duelle entre des états de même I formés avec des chaînes construites dans des couches différentes. La seule condition est de

pouvoir négliger l’antisymétri-

sation nucléon à nucléon entre les deux chaînes.

Les éléments de matrice réduits d’un

opérateur

^ten-

soriel irréductible à un corps ^sont obtenus de la même manière :

où 7 ! ! ~ ! ! 7 > et ~ ! 7~ ~

> ^sont les éléments de matrice réduits à ^un _corps. La

quantité

^{entre cro-}

chets est la valeur _moyenne de

l’opérateur 7~

^dans

l’état

intrinsèque.

^La différence avec le modèle rota- tionnel est la

présence

d’un coefficient

6 j

^{au lieu d’un}

coefficient 3

j. Cependant,

les valeurs relatives des BE 2 sont les mêmes dans les deux modèles si

IIC

^{est très}

petit.

2.4 ORIGINE DU SPECTRE ROTATIONNEL. ^- Danos et Gillet

[1, 2]

^ont

présenté des justifications classiques

pour la

présence

^d’un

spectre

rotationnel dans le schéma

allongé.

^{Ils ont} aussi donné des

arguments

quan-

tiques

^{basés sur les}

propriétés asymptotiques

^{de la}

géométrie. Cependant,

^{la nature} de l’interaction

joue

un certain rôle et il est nécessaire de discuter

plus

^en

détail les relations entre les

caractéristiques

^{de la}

force

(alignement

^ou

appariement, portée finie)

^et

ceux du

spectre

^{du schéma}

allongé.

L’énergie (2.12)

^{est la somme de deux} termes venant

respectivement

de l’interaction des nucléons à l’in- térieur de

chaque

^{chaîne et de} l’interaction entre chaînes.

Les éléments de matrice

particule-particule

^les

plus importants

^{sont ceux d’un} proton ^{et d’un neutron}

couplés

^{au moment}

angulaire

^maximum

(force

^d’ali-

gnement)

^{ou de deux}

particules couplées

^{à 0}

(force d’appariement).

^{Dans le}

premier

^{terme de}

l’énergie,

la force

d’alignement

contribue seule car deux

parti-

cules d’une même chaîne ne peuvent _{pas être}

couplées

à un moment

angulaire

^{nul. Au}

contraire, l’énergie

d’interaction entre les deux chaînes ne

dépend

^{que de}

la force

d’appariement ;

^{si la force}

d’alignement

^avait

une contribution

importante,

^{on ne}

pourrait

^pas

négliger l’antisymétrisation

^entre les nucléons appar- tenant à des chaînes différentes.

2.4. 1 La valeur

asymptotique

^du

coefficient

⁶

j.

^-

La

dépendance

^{en I de}

l’énergie provient

seulement du

coefficient 6

j.

^Cette

dépendance apparaît plus

^clai-

rement si ^on utilise la formule :

où n

prend

^{toutes les} valeurs de 0 au

plus petit

^des

deux nombres I et J. Si C est très

grand

^{devant I et}

J,

la valeur

asymptotique

^{est donnée par les deux} pre- miers termes.

L’énergie

^{est alors :}

avec

Quand

^{N et Z}

augmentent, l’approximation (2.17)

s’améliore pour deux raisons : C

augmente

^ce

qui

rap-

proche

des conditions

asymptotiques,

^{mais en même}

temps

^les

9,

^diminuent pour les

grandes

valeurs de J.

En

fait,

^les

A~

^croissent

régulièrement

^{avec N} pour ^J

petit,

^{mais les} coefficients de Clebsch-Gordan de la formule

(2.14) changent

^de

signe

pour ^J

grand,

^ce

qui

atténue

l’importance

relative des

6~ correspondants.

^A

la

limite,

^{si les}

9’

^sont nuls sauf pour ^{J =}

1,

^le

spectre

est rotationnel pur. Tout

9’ supplémentaire

^introduit

des déviations.

2.4.2 Force

d’appariement et force d’alignement.

^-

Le

signe (-)’

de la formule

(2.18)

^traduit

l’impor-

tance relative de l’interaction de deux nucléons ^cou-

plés

^{à un moment}

angulaire

^{faible. En}

particulier,

^la

force

d’appariement,

dont les éléments de matrice

particule-trou

^{sont :}

peut

^{donner un bon} spectre de rotation parce que les contributions

s’ajoutent

^de

façon

cohérente. Au ^con- traire la force

d’alignement qui couple

^des

paires neutron-proton

^{au moment}

angulaire

^{maximum ne va}

pas donner ^un tel

spectre :

^ses éléments de matrice

particule-trou

ont le même

signe.

La discussion

précédente

^{sur l’ori-}

gine

^{des deux termes de}

l’énergie implique

que le coefficient _y s’annule pour ^cette

interaction ;

^l’uni-

formité des

signes

des éléments de matrice

(2.20)

^est

une indication dans ce sens.

2.4.3

Effets

^{de la}

portée

^{et de la}

composition

^{de la}

force.

^- Les résultats obtenus ^avec

des’interactions

^de

portées

différentes sont

présentés

dans le tableau I.

Nous avons choisi deux cas : N = Z = 2 et N = Z = 4 dans une couche

j15~2.

^{La valeur de}

pour I ⁼ 10

permet d’apprécier

^{le caractère rota-}

tionnel du

spectre,

^{et le}

rapport 5

^{= 1 -}

E2/Eo indique

^sa

dégénérescence.

^La

première ligne

^{de la}

table montre que la force

d’appariement (2.19)

^donne

un

spectre

^non

dégénéré

^mais pas très rotationnel.

TABLEAU 1

Caractère du spectre pour

différentes

interactions résiduelles. Le

paramètre

plo

indique

^{si le} spectre ^{est rota-} tionnel et b ⁼

(£0 - E2)IEo

^{s’il est}

dégénéré.

^{La couche est}

1 ji s j2 pour

^{les neutrons et} pour les protons.

Au

contraire,

^à la seconde

ligne,

^{la force}

d’alignement

donne un

spectre

^si

dégénéré

que le

paramètre

^{pio .}

n’a

plus

^de

signification.

^Les résultats des

lignes

^{sui- ,}

vantes sont obtenus avec la force COP

[11] ] qui

^{a été}

utilisée dans les calculs de Danos et Gillet

[1, 2].

Cette interaction est

avec

V10 = - 40 MeV, VOl = - 24 MeV, Voo

^{= - 24 MeV et}

V11

^{= 24 MeV. Les éléments}

de matrice sont seulement fonction du

rapport plu

^de

de la

portéey

^{avec le}

paramètre b

de l’oscillateur har-

monique

utilisé pour définir les fonctions d’onde radiales des nucléons. Des calculs ont été faits avec

ylb

⁼

2, 1

^et

0,5.

Le caractère rotationnel du

spectre

s’améliore si la

portée

augmente. ^Avec

/llb

⁼

2,

^on obtient un

spectre

rotationnel même ^avec des

parti-

cules

identiques :

pour ^{N = 4 et Z = 0} dans la

couche j15/2,

p 1 o ^est

0,818.

^Nous donnons au-dessous les résultats pour

chaque composante

de la force avec

les

portées /llb

^{= 1 et}

0,5. Quelle

que soit la

force,

^le

caractère rotationnel

augmente

^{avec la}

portée.

^Les

composantes

^{T = 0} donnent des résultats moins

régu-

liers _que les

composantes

^{T = 1. Si la}

portée diminue,

la

composante

^{T = 1 S = 0 tend vers la force}

d’appa-

riement

(2.19).

^La

composante

^{T = 1 S = 1 donne}

un bon

spectre

de rotation même pour

ylb

⁼

0,5,

mais cette

composante disparaît

pour ^une

portée nulle,

ce

qui

^{est encore une} indication de

l’importance

^{de la}

portée

pour l’existence d’un

spectre

rotationnel.

Les résultats du tableau 1 montrent que les consi- dérations basées sur la valeur

asymptotique

^{du coef-}

ficient

6 - j

^doivent être utilisées avec

prudence.

^Elles

sont valables si les contributions dues aux

grandes

valeurs de J s’annulent les ^unes les autres et si les

premiers

éléments de matrice

particule-trou

^{ont des}

signes

alternés. C’est le cas de la force COP,

3. Effets de

l’antisymétrisation. Projection

par des rotations finies. ^- La fonction d’onde

intrinsèque

^du

schéma

allongé

^{est le}

produit

de deux déterminants de Slater formés

respectivement

^{avec les états de}

neutrons dont le nombre

quantique magnétique m

est tel

que j > 1 ml> j -

^{N + 1 et les états de} pro- tons tels

que k > 1 ml>

^{k - Z + 1. La}

projection

d’un déterminant de Slater a été décrite dans la réfé-

rence

[7]

^{dont nous noterons} les formules avec 1 avant leur numéro.

Comme la somme des nombres

quantiques magné- tiques

^est

nulle,

^{les fonctions} normalisation

(1.2.3)

^et

énergie (1.2.6)

^ne

dépendent

^{que de}

l’angle fil.

^Elles

sont invariantes

si 13

^est

changée

^en

n - fl

^{car tous les}

moments

angulaires

^sont

pairs.

^Par

conséquent,

^elles

ne doivent être calculées que pour des valeurs

de 13 comprises

^{entre 0 et}

n/2.

^{Nous avons choisi des valeurs}

équidistantes

^{dans cet}

intervalle,

^{en incluant 0 et}

~/2.

3.1 MÉTHODES

NUMÉRIQUES.

^{- Nous devons don-}

ner

quelques

^{détails sur les} moyens de calcul utilisés

car ils sont nécessaires _pour discuter la

précision

^des

résultats.

Les éléments de matrice de l’interaction résiduelle ont été obtenus avec des sous-programmes de Gillet

sur l’I. B. M. 7094 du

Département

de Calcul Electro-

nique

^de

Saclay.

^Les éléments de matrice

particule- particule

^et

particule-trou

^{sont calculés une fois} pour toutes et mis sur cartes

perforées.

^Par

conséquent,

^la

transformation de la

représentation particule-parti-

cule à la

représentation particule-trou

^a été faite à la

précision

^{de l’I. B. M. 7094}

qui

^{est de}

10 - 8 ;

^{les résul-}

tats de deux méthodes

qui

utilisent des

représentations

différentes ne

peuvent

pas concorder avec une

préci-

sion

supérieure.

Tous les autres calculs ont été faits sur l’I. B. M.

360-75 du

Département

de Calcul

Electronique

^de

Saclay

^{en double}

précision (erreurs

de l’ordre de

10- is). Les

sous-programmes de coefficients

3 j

^et

6 j

ont été écrits à

Saclay [12] ;

ils n’utilisent _que des entiers dans les calculs

intermédiaires ;

par ^consé-

quent,

l’erreur relative est de l’ordre de

10-15.

Le sous-programme d’éléments de matrice de rotation a

aussi été écrit à

Saclay [13] ;

^sa

précision

^{est du}

même ordre.

Nous avons d’abord utilisé un programme limité à un même nombre de neutrons et de

protons

^{dans une} même couche. La matrice M de

l’équation (I.2.9)

^se

sépare

^{en deux}

sous-matrices, Mn

pour les ^neutrons et

Mp

^{pour les}

protons.

^Dans ce cas ces deux matrices sont

identiques

^{et le} calcul des fonctions normalisa- tion et

énergie

^se

simplifie.

^Ce programme

simplifié

^a

donné la

plupart

des résultats

rapportés

^ici.

Un test très

simple

^{de la}

précision globale

^consiste

à étudier une couche

/y/2 complètement remplie

^en

neutrons et en

protons.

Les fonctions normalisation et

énergie

^{ont été calculées}

pour fl

⁼

0, ~c/8, rc/4r

3

~/4

^et

~/2.

^La fonction normalisation fait intervenir des éléments de matrice de rotation et l’évaluation d’un déterminant.

Ici,

^cette fonction doit être

égale

^{à 1}

quel

que

s oit fi :

l’écart le

plus grand

^{est de}

0,33

^x

10-13 pour f3

^{= 3}

rc/8.

^{La fonction}

énergie

^{fait intervenir}

l’inverse de la matrice

M,

^{d’autres éléments de matrice} de rotation et des coefficients 3 -

j.

^{Elle doit être}

constante : l’écart relatif le

plus grand

^{était de}

0,62

^x

10-13,

^encore

pour f3

^{= 3}

n/8.

^Par

conséquent,

nous pouvons considérer ces deux fonctions comme connues avec une erreur de l’ordre de

10’~.

3.2 PRÉCISION DU SPECTRE. ^- Pour avoir

quelques

indications sur la

précision

^des

énergies obtenues,

on peut introduire

l’approximation

^{de Danos et Gil-}

let en

négligeant l’antisymétrisation

^entre

particules

appartenant ^{à des} chaînes différentes et comparer les résultats à ceux du

paragraphe

2. Pour cela il faut introduire trois modifications : la liste des moments

angulaires possibles

^{doit être}

modifiée ;

^{on doit annu-}

ler les éléments des matrices

Mn

^et

Mp

^{entre des états}

de nombre

quantique magnétique

^de

signe différent ;

il faut éliminer les moments

angulaires impairs

^en

symétrisant

par rapport

à fi

⁼

n/2 .

Les

énergies

^sont

identiques

^à celles de la section 2 si les

amplitudes 1 a, 2 correspondantes

^{ne sont} pas

trop petites :

^la différence est de l’ordre de

grandeur

^de

l’erreur faite en transformant les éléments de matrice

particule-trou

^en

particule-particule.

3.2.1 Précision des normalisations

quand

^{on tient}

compte ^{de tous les moments}

angulaires.

^{- Le tableau II}

montre que

les 1 al 12

^{sont obtenus} avec une erreur

absolue de

10-13 . L’exemple

^choisi

correspond

^à

trois

paires

^de neutrons et trois

paires

^de protons ^dans

une couche

il 3/2,

^à

l’approximation

^{du schéma}

allongé.

Dans ce cas, C ⁼ 33 et le

plus grand

^{moment angu-}

laire est 66. La

première ligne

^donne les valeurs exactes

qui

^sont

2CCC- C [ 10 >~ ;

la deuxième

ligne

donne les valeurs obtenues avec 34 valeurs

des équi-

distantes entre 0 et

rc/2.

^{Pour I =}

66,

^{la valeur exacte}

est extrêmement

petite

^et la valeur obtenue est

néga-

tive mais inférieure à

10-14

^en valeur absolue.

3.2.2

Effets

^sur la normalisation si on

néglige

^les

grands

^moments

angulaires.

^{- Il} semble donc inutile de tenir

compte

^{des moments}

angulaires

pour les-

quels 1 al 12

^est

trop petit.

^Les

lignes

suivantes du tableau II donnent les résultats obtenus en limitant 1 à

56, 46, 36,

^{26 et 16 et en diminuant en}

conséquence

^le

nombre de valeurs de

fil.

^La

quatrième ligne

^montre

que si le

dernier 1 al 12

^{est de} l’ordre de

10-14,

^les

erreurs ne sont pas

plus grandes

que si ^on tient

compte

de toutes les valeurs de

I ;

^{les erreurs} pour 1 = 44 et 42 augmentent ^{mais restent} inférieures à

0,5

^x

10-14 ;

¹

dans ce cas, la

première

^valeur

négligée

^est

0,3

^x

10-16.

La sixième

ligne

donne les résultats obtenus avec

seulement ¹⁴ valeurs

des ;

^la

première

^valeur

négli- gée

^est

0,625

^x

10- 5 ;

^{les erreurs sont} seulement de l’ordre de

10- 8

_pour les

petites

valeurs de I et

atteignent 0,71

^x

10-5

_pour 1= 24. Il est facile de

comprendre pourquoi

^la

plus grande

^{erreur est tou-}

jours

^sur l’avant-dernier moment

angulaire :

pour

fl

⁼

z/2

^les

polynômes

^de

Legendre

^d’ordre

pair

^ont

des

signes

^{alternés et la}

plus grande

^{erreur est faite}

sur le coefficient du

polynôme

^de

Legendre qui

^{a le}

même

signe à

⁼

~/2

^{et est le}

plus proche

^du

premier polynôme négligé.

3.2.3 Erreurs sur les

énergies.

^{- On ne}

dispose

pas d’une valeur ^{exacte pour} faire la même étude sur

les

énergies.

^{Les erreurs}

systématiques

introduites pour

les 1 al 12

^en

négligeant

^les

grands

^moments

angulaires

^se

produisent

aussi dans le calcul des pro- duits

1 al 12 E, ;

ces erreurs

peuvent

^se compenser dans le calcul des

El

^{comme le montre} le tableau III dont la

disposition

^est

identique

à celle du tableau II. La pre- mière

ligne

du tableau donne les résultats des formules

simplifiées

^du

paragraphe

^{2. En utilisant tous les}

moments

angulaires l’énergie E46

^est fausse parce que

l’amplitude correspondante

^est

trop petite,

^{mais si}

les moments

angulaires

^sont limités à 36 ou 26 la der- nière

énergie

^{est assez bonne.}

TABLEAU Il

Normalisations obtenues avec la méthode de projection par des rotations finies. ^Nous considérons trois paires ^{de neutrons et trois} paires de protons dans ^une couche i13/2. ^{Si on} n’antisymétrise pas ^entre des particules appartenant à des chaînes différentes, les normalisations s’expriment ^{avec un seul} coefficient de Clebsch-Gordon et sont données à la première ligne. ^Les lignes ^suivantes donnent les résultats obtenus avec 34, 29, 24, 19, ^{14 ou} 9 valeurs de 8. ^Les normalisations obtenues avec antisymétrisation complète ^{sont données à la der-}

nière ligne.

TABLEAU III

Energies

de liaison en MeV obtenues avec la méthode de

projection

par les

rotations finies.

^{Même cas} que pour le tableau II. L’interaction résiduelle est

une force

^{COP avec}

plb

^{= 1.}

Les formules simples (2.12)

^à

(2.14)

^donnent

les valeurs de la

première ligne.

^Les

lignes

^{suivantes sont} obtenues dans les mêmes conditions _que les

lignes

^corres-

pondantes

^{du tableau II.}

Nous pouvons supposer que les calculs avec une

antisymétrisation complète

donneront des résultats

avec une

précision

^{du même}

ordre ;

^{ces résultats}

peuvent

^être

comparés

^{à ceux} des calculs

approchés.

Dans le cas choisi _pour les tableaux II et

III,

^{ils sont} donnés à la dernière

ligne.

3.2.4 Utilisation de la méthode

quand

^{les moments}

angulaires

^{ne sont} pas limités. ^- Ces résultats mon- trent que l’inversion d’un

système d’équations

^linéaires

correspondant

à des valeurs

équidistantes de fi

^{à des}

propriétés

voisines de celles de

l’intégration

par la méthode de Gauss. Cette méthode

peut

^être

appli- quée

^{à la}

projection

d’un déterminant de Slater cons-

truit ^avec des fonctions propres de l’oscillateur har-

monique anisotrope

^{en ne tenant}

compte

que des moments

angulaires

pour

lesquels l’amplitude

^est

plus grande

que les ^erreurs faites sur les fonctions normalisation et

énergie.

Souvent,

les fonctions normalisation et

énergie

décroissent

rapidement quand fi augmente. Quand

elles sont très

petites,

^elles peuvent ^être

prises

^nulles.

La méthode ne donne de bons résultats que si les valeurs

de fi

^{sont choisies dans tout} l’intervalle

0-n/2 ;

les faibles valeurs autour de

n/2

^donnent des relations

importantes

^entre les coefficients des

polynômes

^de

Legendre.

3.3 EFFETS DU DÉFAUT D’ANTISYMÉTRISATION DANS LE SCHÉMA ALLONGÉ. ^- Ces effets

dépendent

^{de l’in-}

teraction résiduelle. Nous avons choisi une force COP

[11] ]

^avec

J1lb

^{= 1. Une telle}

portée

n’est pas réaliste pour l’interaction résiduelle dans des couches

de j

^aussi

grand

que ^ce que nous avons

utilisé,

^mais

nous pensons

qu’elle

^devrait augmenter ^les différences.

Comme _{pour les} erreurs

numériques,

il y ^a d’abord les erreurs sur

les 1 al 12

^et

les 1 al 12 El;

^{ces erreurs}

peuvent ^se compenser

partiellement

dans le calcul des

El.

^De

plus,

^{même si les erreurs relatives sur les}

E,

sont

faibles,

^{les erreurs sur} les différences

d’énergie peuvent

^être

plus grandes

^et

changer

totalement le caractère rotationnel du

spectre.

Nous considérerons d’abord le même nombre de neutrons et de

protons

dans une même

couche, depuis

¹

dS/2 jusqu’à

¹

~1$~2.

Nous donnerons ensuite

quelques

résultats obtenus dans des cas

plus généraux.

3.3. 1

Effets

^{dans les}

petites

^{couches. - Dans la} couche 1

d5l2,

pour ^{N = Z =}

1,

^les erreurs sur les

1 a, 2

pour ¹⁼

0, 2,

^{4 et 6 sont}

respectivement 0,4, 0,3, 0,4

^{et 1}

%

^{mais les} erreurs sur les

El

^{sont seule-}

ment

0,04, 0,07, 0,2

^et

0,7 % ;

^{par contre l’erreur}

sur

E2 - Eo

^{atteint 1}

%.

^{Dans cette}

couche,

pour N ⁼ Z ⁼

2,

^le

spectre

^{du schéma}

allongé

^obtenu

avec les formules

simplifiées

^est rotationnel mais le

spectre projeté

^est

dégénéré

^{avec des}

énergies

^allant

de

2,17

^Mev _{pour le} ⁴⁺ à

3,47

MeV pour le

8+.

Dans

ce cas, il y ^a seulement une

paire

^{de trous de neutrons}

et une

paire

^{de trous de}

protons

dans la couche com-

plète.

^Dans la couche 1

j7/2,

pour ^{N = Z =}

1,

^les

erreurs sont environ dix fois

plus

^faibles que dans la couche

d5~2.

^{Dans cette}

couche,

^{pour N = Z =}

2,

^les

erreurs sur les quatre

premiers al 12

^{sont de}

0,7, 0,8,

0,08

^et

0,06 %

^{et celles sur les}

énergies 0,5, 0,25, 0,16

et

0,06 ~/. ; cependant,

la différence

E2 - Eo

passe de

0,254

^{MeV à}

0,408

^{MeV alors} que les ^autres diffé-

rences demeurent presque

inchangées.

^Cette aug- mentation de

l’énergie

d’excitation du

2’

détruit le caractère rotationnel du spectre.

Enfin,

^{avec une}

paire

de trous de

chaque

^{sorte de}

particules,

^{on retrouve des}

résultats

analogues

^{à ceux} de la couche

d5~2.

3. 3. 2

Effets

^{dans les}

grandes

^{couches. - Les mêmes}

différences se retrouvent dans les autres couches. Les

erreurs dues au défaut

d’antisymétrisation

^deviennent

de

plus

^en

plus petites lorsque j augmente.

^{Dans une}

même

couche,

ces erreurs augmentent ^{avec N et Z} mais ne deviennent

importantes

que

quand

^{la couche est}

à moitié

remplie ;

^la

quantité

^la

plus

^{sensible est}

toujours E2 - Eo

dont le tableau IV donne les valeurs pour les couches

depuis 1919/2 jusqu’à 1 il r,/2 . Quand

^la

couche est à moitié

remplie, l’énergie

de liaison du fondamental est un peu

plus grande

^{dans le calcul}

complètement antisymétrisé

que dans le schéma

allongé.

Pour une

paire

^{de trous de}

chaque

^{sorte de}

particules,

le spectre ^est

toujours dégénéré :

^les différences

Er - Eo

ne croissent pas

systématiquement

^{avec I et la}

plus grande

^est environ le double de la

plus petite.

TABLEAU IV

Comparaison

^de

(E2 - Eo)

pour N ⁼ Z. Les neu- trons et les protons ^{sont dans la même} couche. L’in- teraction résiduelle est

la force

^{COP avec}

Jllb

^{= 1.}

z . 3 . 3 Cas

général.

^- On obtient des résultats ana-

logues

si le nombre de neutrons n’est pas

égal

^{à celui}

des

protons

^{et s’ils ne sont pas dans} la même couche.

Cependant,

^s’il

n’y

^a

qu’une

^{seule sorte de}

particules,

des neutrons par

exemple,

les différences entre schéma

allongé

^{et valeurs}

projetées

^sont

beaucoup plus grandes qu’en présence

^de

protons.

^{Le tableau V donne}

E2 - Eo

pour des valeurs de ^{N et Z} de la

région

^où les résultats commencent à

différer,

pour des neutrons, ^{et des} pro- tons dans la couche 1

il.5/2. Remarquons

^le

rapport

² pour ^{N =}

1,

^{Z = 0 : dans ce cas,} les formules sim-

plifiées

donnent deux fois

l’énergie.

3.4 DÉFORMATION

INTRINSÈQUE

^{POSITIVE ET} NÉGA-

TIVE. ^- Les méthodes de

projection peuvent

^{être uti-} lisées aussi bien _pour une déformation

intrinsèque positive.

^Le déterminant de Slater est alors construit

avec les états de neutrons tels

que 2 [ m 1 N - 2

et les états de protons ^tels

que § 1 m 1

^{Z -}

2.

^On

TABLEAU V

Comparaison

^de

(E2 - Eo)

pour N # Z dans la couche 1

j15/2.

^Même interaction _{que pour} le tableau IV De tous les ^cas

N

^{6 et}

Z 6,

^ceux

qui

^{ne sont ni} dans ce tableau ni dans le tableau IV donnent des résultats

identiques,

^{à la}

précision

^{de ces tables.}

peut

même supposer des déformations

intrinsèques

^de

signe

différent pour les neutrons et les

protons.

Nous avons vu que les formules

simplifiées

^{du schéma}

allongé

^{sont bonnes}

jusqu’à

mi-couche. Au-delà les mêmes formules donnent le

spectre

^{du schéma}

allongé

construit avec des trous, ^ce

qui correspond

^{à une}

déformation

intrinsèque positive.

^En

projetant,

^on

n’est pas limité à ^un

signe

de déformation suivant le

remplissage

de la couche et on

peut

étudier à

quel signe

de déformation

intrinsèque correspond

^la

plus grande énergie

de liaison.

3 . 4.1

Transformation particule-trou.

^- Si la couche de neutrons peut contenir

Nm paires

^{de neutrons}

(Nm = j

⁺

2)

^{et celle de}

protons Z. paires

de pro- tons

(Zrn

^{= k +}

2),

^la transformation

particule-trou permet

^de passer du déterminant de Slater

(N, M)

^de

déformation

intrinsèque négative

^au déterminant de Slater

(Nm - N, Zm - Z)

de déformation

intrinsèque positive. Les 1 al 12

^et les différences

d’énergies

^restent

inchangées,

^{mais les}

énergies changent

de la diffé-

rence des valeurs _moyennes de l’interaction résiduelle dans les états

intrinsèques.

Cette différence est fonc- tion des éléments de matrice

particule-trou couplés

^à

un moment

angulaire

^nul

qui

^sont

proportionnels

^à

l’énergie

d’interaction de la couche

complète.

^{Ainsi :}

où

vL Vf

^et

V!k

^sont

respectivement

^les

énergies

^de

couche

complète

pour l’interaction neutron-neutron,

proton-proton

^et

neutron-proton.

Cette formule per- met de limiter l’étude de la différence

d’énergie

^de

liaison entre les deux déformations

intrinsèques

^{à la}

première

moitié de la couche car on peut ^{en déduire :}

3.4.2

Comparaison

^des

énergies

de liaison. ^- Le tableau VI donne les

énergies

^de liaison du fondamen- tal obtenues avec la force COP pour ^{un même} nombre de protons ^{et de neutrons dans une} même couche.

A

l’exception

^{de la couche}

d$~2, l’énergie

^{de liaison du}

fondamental

qui correspond

^{au schéma}

allongé

^est

plus grande

^que celle de l’état de déformation intrin-

sèque opposée.

^{Avec cette}

interaction,

pour ^N=Z=1 et une déformation

intrinsèque positive,

^il

n’y

^a pas de

spectre rotationnel ;

pour

N=Z=2,

^{le 0+ et le}

2+

sont

trop espacés ;

^{dans tous les autres cas le caractère}

rotationnel du

spectre

^{est assez} bon. Ces résultats

indiquent

que le schéma

allongé

décrit le fondamental et que celui-ci a une déformation

intrinsèque négative

en début de couche et

positive

^à la fin. Cette variation est inverse de celle

qui

^est habituellement admise. Cela

peut

venir de la considération d’une seule couche pour

chaque

^{sorte de}

particule.

^La différence des

énergies

de liaison

augmente quand

^{les couches sont}

grandes, mais,

^{dans ce} cas, la considération d’une seule couche n’est pas réaliste.

TABLEAU VI

Energie

de liaison _pour des

déformations

^intrin-

sèques positive

^et

négative.

^{Même nombre de neutrons}

et de protons ^{dans une} même couche. L’interaction résiduelle est

la force

^{COP avec}

ylb =

^1.

4.

Mélange

du schéma

allongé

^{et du schéma de}

seniorité. ^- La méthode de

projection

par les

opéra-

teurs de rotation infinitésimale doit évidemment donner les mêmes résultats que celle par les rotations finies.

Elle permet, ^en

plus,

^d’étudier des fonctions d’onde

intrinsèque

intermédiaires entre le schéma

allongé

^{et le}

schéma de seniorité.

Considérons la fonction d’onde

intrinsèque

^du

schéma

allongé

pour 2 N neutrons et 2 Z protons,

plus

2 N’ neutrons et 2 Z’

protons couplés respectivement

dans l’état de seniorité zéro. La fonction d’onde intrin-

sèque

pour ^ces 2 N + 2 N’ neutrons et ces 2 Z + 2 Z’

protons ^{est alors :}

à un facteur de normalisation

près.

^{C’est le}

produit

^des

états

pour les neutrons et :

pour les

protons. L’opérateur

^{de rotation} infinitésimale

I+

^{est la somme des}

opérateurs I+

^et

IP qui agissent respectivement

^{sur les} neutrons et sur les

protons.

^En utilisant la relation :

le

problème

^se réduit à celui de

particules identiques

dans une seule couche.

4.1 NOMBRES D’OCCUPATION DANS UNE COUCHE. ^-

Considérons des

particules identiques

^{dans une couche}

j.

^{Tout état}

peut

être décrit _{par :}

où les

Ci

^{sont des}

amplitudes

^et

les ,Si

> des déter- minants de Slater caractérisés _par la liste des nombres

quantiques magnétiques

^{des états}

occupés.

^{Dans un}

calcul

numérique,

^un déterminant de Slater peut ^être décrit _par une mémoire ayant ^{au moins}

(2 j

⁺

1) posi-

tions binaires. A

chaque

^{valeur m du nomb}