HAL Id: jpa-00208212

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Submitted on 1 Jan 1974

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Écoulements pulsés dans les tuyaux viscoélastiques.

Application à l’étude de la circulation sanguine

P. Flaud, D. Geiger, C. Oddou, D. Quémada

To cite this version:

P. Flaud, D. Geiger, C. Oddou, D. Quémada. Écoulements pulsés dans les tuyaux viscoélastiques.

Application à l’étude de la circulation sanguine. Journal de Physique, 1974, 35 (11), pp.869-882.

�10.1051/jphys:019740035011086900�. �jpa-00208212�

ÉCOULEMENTS PULSÉS DANS LES TUYAUX VISCOÉLASTIQUES.

APPLICATION A L’ÉTUDE DE LA CIRCULATION SANGUINE

P.

FLAUD,

^D.

GEIGER,

^{C. ODDOU et} D.

QUÉMADA

Laboratoire de

Biorhéologie

^et

d’Hydrodynamique physiologique,

Université Paris

VII, 2, place Jussieu,

^{75221 Paris Cedex}

05,

^France

(Reçu

^{le 19} avril

1974)

Résumé. 2014 Afin d’avoir une meilleure compréhension ^{de la} transmission d’ondes artificielles superposées ^à l’écoulement pulsé sanguin ^{dans les} artères, ^{il est} présenté ^{un modèle} théorique ^de

la propagation des ondes de pression ^{dans un fluide} visqueux incompressible. ^{Ce fluide est contenu}

dans un tuyau viscoélastique

(isotrope,

homogène ^{et soumis} à des contraintes

statiques).

^{On en} néglige, ^{dans une} première approche, ^les mouvements azimutaux. Dans cette analyse, la linéarisa- tion des équations ^{de la} dynamique ^{du fluide et du mouvement de la} paroi (considérée ^{comme une}

membrane mince) ^{est effectuée en} supposant que l’amplitude des ondes artificielles est petite.

Cette hypothèse permet ^de négliger ^{non seulement les termes} convectifs dans les équations ^de l’hydrodynamique ^{mais aussi les} non-linéarités dans les relations contraintes-déformations de la

paroi.

On obtient ainsi une équation transcendante, valable dans une large gamme de fréquences ^et longueurs d’onde, qui ^{traduit les} propriétés ^de dispersion ^et d’atténuation des ondes dans le _sys- tème considéré. Dans le cas des grandes longueurs d’onde par rapport ^au rayon du tube (supposé purement élastique ^{dans un} premier temps) ^cette équation ^de dispersion ^est analysée numérique-

ment et les résultats sont confrontés aux conclusions de précédents ^travaux théoriques. ^{Un accent} particulier ^est porté ^sur l’influence des paramètres ^tensions longitudinales ^et azimutales statiques

sur la dispersion ^et l’atténuation des deux modes _propres du système.

Abstract. ²⁰¹⁴ To have better understanding ^{of the} transmission of artificial waves superposed

on the arterial blood flow, ^a theoretical model of pressure-wave propagation ^{in a viscous} incompres-

sible fluid is presented. ^The liquid ^{is contained in an} isotropic homogeneous viscoelastic tube, initially stretched, ^{whose azimuthal} displacement ^is neglected. ^{In this} analysis, ^fluid dynamics ^and

vessel motion equations ^are linearized, assuming ^small amplitudes ^of artificial waves. This hypo- thesis permits ^{us to} neglect convective terms in hydrodynamic equations ^{and to assume that the} rheological stress-strain relations are linear.

A transcendental equation ^is obtained, ^{valid over a} large ^domain of frequencies ^and wavelengths.

This equation gives ^the dispersion ^and absorption properties ^{of waves} in the studied system. ^In the case of large wavelengths ^{and a} purely ^elastic tube, ^this dispersion equation ^is numerically analysed and results are compared ^to those of earlier theoretical work. An emphasized point ^is the influence of initial azimuthal and longitudinal constraints on the dispersion ^and attenuation of the two modes of pressure-wave propagation.

Classification Physics ^Abstracts 6.39020137.23020139.780

Notations

p f densité de

fluide,

v viscosité

cinématique

^du

^fluide,

p

pression,

v vitesse du

fluide,

~

i

^tenseur des contraintes dans le

fluide,

pp densité ^du matériau

pariétal,

h

épaisseur

^{de la}

paroi,

a rayon du

tube,

R(z, t)

^{rayon du tube}

^déformé,

(n, 0, 1) système

de référence orthonormé

lié à l’élément de la

paroi

^défor-

mée,

(r, 0, z) système

orthonormé en coordon- nées

cylindriques,

t¡ ⁼

ff.n)¡

contrainte dans la direction i due

au

fluide,

qJ

angle (1, z),

il

déplacement

radial de la

paroi,

H module de

déplacement radial, , déplacement

^{axial de la}

paroi,

Z module du

déplacement axial,

59*

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019740035011086900

u vitesse de

déplacement

^{de la}

parois

y accélération de la

paroi,

kl, ko

^courbures

principales

^{d’un élé-}

ment de

paroi

^{dans les directions}

tangentielle

^et

azimutale,

ul, (J 9 contraintes internes

pariétales

^res-

pectivement

^{axiale et}

azimutale, +

résultante des contraintes

internes, E

module

d’Young complexe

^du

matériau

pariétal,

s coefficient de Poisson

complexe,

qo contrainte initiale

normalisée, Q = q, - o q9 0 ^{+ s} Cf (42),

K rapport ^{des masses de la}

paroi

et du fluide

(formule (37)),

co ⁼ 2

nf pulsation angulaire,

k ⁼

kl

⁺

ik2

nombre d’onde

complexe, fl

⁼ ika nombre d’onde

normalisé,

a ⁼

a -v . ^paramètre de Womersley.

^Cf.

(33c), A, B

constantes intervenant dans les

expressions

^{de la}

pression

^{et de}

la vitesse du

fluide,

Jo(z), Ji(z)

fonctions de Bessel

complexe

^de

1 re

espèce,

F z ^(z) = 2 J, (z)

_z

_JO(Z)

fonction de

Womersley,

y’

c - k, ^k1

^{vitesse de}

^phase

^des

^ondes,

co vitesse de

Moens-Korteweg.

Cf.

(1),

cl vitesse du mode de

Young,

C2 vitesse du mode de

Lamb,

v

Cy

= v

_a vitesse de

propagation

^{du cisail-}

lement,

Y inverse normalisé de la vitesse.

de

phase complexe w/k.

^Cf.

(43)

et

(49),

C ²

x (co) 2 C,

^{Cf. Cf.}

^{(39), (39),}

TR coefficient de transmission.

Cf.(50),

K ⁼

Pp h

_{Pc a} ^{rapport pp des}

masses fluide-paroi

p Cf.

(37).

Introduction. - Dans la dernière

décennie,

^une

importante

^{recherche a été effectuée en}

physique

^médi-

cale dans le domaine des écoulements

sanguins.

^En

particulier, l’analyse

^{et le}

développement

^{de l’étude}

des

phénomènes

^de

propagation

d’ondes dans le

système

cardio-vasculaire ont fait

l’objet

de nombreux travaux

[1, 2, 3, 4].

^Ces travaux montrent que les carac-

téristiques

^{des ondes}

acoustiques (ondes

^de

pression, déplacement

^{de la}

paroi et/ou

^du

fluide)

^{sont reliées}

aux

paramètres rhéologiques

^{de la}

paroi.

^{Il est naturel}

d’espérer

^{obtenir une nouvelle}

approche expérimentale

atraumatique

^{de la mesure de la} viscoélasticité des gros conduits artériels ou veineux à

partir

^{de la connais-}

sance de la

dispersion

^et de l’atténuation d’ondes induites artificiellement dans le

système

^{à étudier}

[5, 6].

En

effet,

^{une valeur}

approchée

^{du module}

d’Young

effectif

Eeff

peut ^être estimée à

partir

d’un modèle extrêmement

simplifié

conduisant à la formule de

Moens-Korteweg :

où _{co est} la vitesse des ondes de

pression

^{dans un}

fluide

parfait (densité pf)

^{contenu dans un conduit}

mince

(épaisseur h) cylindrique (rayon

^{a, section}

s ⁼

na2)

purement

élastique.

^{Les ordres de}

grandeur

des modules

d’Young

^{à mesurer} étant voisin de

10’ dynes/cm2

^{et les}

configurations géométriques

^des

gros vaisseaux telles _que

h/a ~ 10-1,

la densité du sang voisine de celle de

l’eau,

^une évaluation

approxi-

mative de la vitesse des ondes de

pression

^{dans les}

grosses artères conduit à co N 10

m/s.

Il doit être

remarqué

^ici que l’onde de

pression (mode d’Young

^à dominante de composante ^radiale du

déplacement

^{de la}

paroi)

n’est pas le seul mode de

propagation

^d’une

perturbation

^{dans une telle}

structure. En

effet,

^{il existe aussi :}

(i)

^{un mode de}

propagation

^à

déplacement longi-

tudinal

(mode

^de

Lamb),

^onde

élastique

^du

tuyau

dont la vitesse de

phase

Cn dans la limite du fluide

parfait,

^ne

dépend

que des

caractéristiques rhéologiques pariétales (module

d’élasticité

E,,ff,

coefficient de

Poisson ;,

_pp densité de la

paroi).

Ce

mode,

^{mis en évidence} par ^van Fitters

[21] ]

sur un modèle

hydrodynamique

de circulation arté- rielle dans un tube en

silicone,

^{a une vitesse caracté-}

ristique

^de

propagation supérieure

à celle des ondes de

pression :

^avec

E,,ff - ^lo’ dynes/cm2,

pp N ¹

g/cm3 et ;

⁼

_0,5 (matériau incompressible),

^{on obtient}

cn/C0 ~

^5.

(ii)

^{Un mode de}

propagation

^à

déplacement

^azi-

mutal de la

paroi (mode torsionnel)

^{dont la vitesse de}

phase

cjij ^est donnée _{par :}

où G ⁼

Eeff/2(1

⁺

s)

^{est le} module de cisaillement du matériau

pariétal.

^{Dans les mêmes}

conditions, cIII/co

^-

2,5.

Cependant,

^{il est} difficile d’utiliser les ondes natu- relles de

pression

^{et de}

déplacement générées

par le

coeur pour effectuer une mesure locale dans le

temps

et

l’espace

^des

propriétés rhéologiques

^{de la}

paroi.

En

effet,

^ces ondes sont de forte

amplitude

^{et non}

monochromatiques.

^Les

longueurs

d’ondes associées à leur

propagation

^{dans le} milieu considéré ont un

ordre de

grandeur

^{voisin ou}

supérieur

^{aux dimensions}

du

système.

^De

plus, l’analyse

^{de la}

propagation

^de

ces ondes naturelles est rendue difficile _par les non-

linéarités associées aux lois

qui

traduisent les

propriétés

de la

paroi

^et

régissent

^{le mouvement} du fluide. Pour

ces

raisons,

^très

récemment,

^certaines recherches

[7, 8, 9]

se sont orientées vers l’utilisation d’ondes artificielles

comme moyen d’accès ^aux données

physiologiques

relatives aux vaisseaux. La

figure

^{1 illustre} les résultats obtenus lors

d’expériences in

vivo et montre

que

^l’on

peut superposer à l’onde de

pression cardiaque,

^de

forte

amplitude

^{et basse}

fréquence,

^{un train d’ondes}

de faible

amplitude

^{et de}

plus

^haute

fréquence.

^La

propagation

^{de ce train}

d’ondes,

de durée relativement courte

(par

rapport ^{à la}

période

^du

cycle cardiaque

d’environ 1

s)

^{est étudiée sur une distance}

petite

par rapport ^{à la}

longueur

^du

système.

F1G. 1. ^- Enregistrements ^{de la variation} temporelle ^{de la} pression ^{associées aux ondes} naturelles, dans l’aorte thoracique

d’un chien anesthésié, ^ondes auxquelles ^sont superposées ^arti-

ficiellement des trains d’ondes sinusoïdales

(d’après

^Anliker

[6]).

Pour décrire la

propagation

^{de la forte}

impulsion cardiaque,

^{il est} nécessaire de tenir compte ^le

plus précisément possible

^{des effets non linéaires}

(écoule-

ment non

complètement développé

^{à la sortie du}

coeur et sur une

grandé

distance de

l’aorte ;

^effets

géométriques

^{dus à la}

courbure,

^aux branchements et au rétrécissement du

conduit ;

^relations contraintes- déformations de la

paroi,

^non

linéaires...).

^{Cette des-}

cription

conduirait aux

caractéristiques spatio-tempo-

relles de l’état de l’écoulement du fluide et des contraintes à la

paroi. Inversement,

^{dans l’étude de}

trains d’ondes artificielles de

plus

^haute

fréquence

et de faible

amplitude, superposés

^{à la}

pulsation cardiaque,

^une

analyse

linéarisée du modèle peut ^être effectuée. Comme d’une part ^la

longueur

^{d’onde de}

ces trains est courte et

qu’ils

^se propagent ^{sur une} distance faible devant la

longueur

^{de l’onde}

cardiaque,

et comme, d’autre part, leur durée est faible devant

la

période

^du

cycle cardiaque,

^on pourra étudier ces

trains d’ondes en termes de

perturbations

^{de l’état}

local

(dans

^le temps ^{et dans}

l’espace) imposé

par l’onde

cardiaque (cf. Fig. 1).

^La

prôpagation

^{de ces}

trains d’ondes dans ^un conduit doit être fonction

non seulement de la forme d’onde

générée

artificiel-

lement,

mais aussi des

paramètres

^{du fluide}

(vitesse

moyenne ^{et nature} de

l’écoulement, densité,

compres-

sibilité,

viscosité du

fluide, pression transmurale, ...)

et de ceux des

parois (propriétés viscoélastiques, géomé- trie, épaisseur,

^tensions

longitudinales

^{et azimutales}

appliquées...) ;

^{il sera donc} nécessaire de

développer

une

description quantitative plus

^élaborée que celle conduisant à la

simple

^formule

(1).

^Cette

description

sera basée sur un modèle

physique simplifié

du compor- tement

dynamique

^du sang, de la

géométrie complexe

des vaisseaux et de leurs

propriétés élastiques,

^des-

cription qui,

^{dans une}

première étape,

contient les

hypothèses

suivantes :

(i)

^Les

signaux

considérés sont des ondes progres- sives de faible

amplitude,

dont la vitesse de _propaga- tion est purement axiale. Les ondes à déformation

non

axisymétrique,

^très

dispersives

^{et très atténuées}

[lo],

sont ainsi

négligées

^{dans cette}

première approche.

Omettant volontairement l’étude

théorique

^{des ondes}

de torsion pour

lesquelles

^{la mise en évidence}

expé-

rimentale s’avère délicate

[11 ],

seuls les mouvements radiaux et axiaux du tuyau ^sont considérés ici.

(ii)

^A

l’équilibre,

^le tuyau ^{a la forme} d’une coque

cylindrique

mince de diamètre

supposé

^{constant. Il}

est soumis à des tensions

longitudinale

^{et azimutale}

(résultant

^{de la}

pression transmurale)

considérées

comme

statiques.

^Ces

approximations

^{résultent des}

remarques

précédentes qui

^assurent, relativement aux

conditions de

propagation

^des

petits

^trains

^d’ondes,

la

quasi-homogénéité

^des

caractéristiques géométriques

et la

quasi-stationnarité

des tensions

appliquées

^au tuyau. ^{Dans ces mêmes}

conditions,

^{le conduit a des}

propriétés rhéologiques

^{uniformes et}

isotropes ;

pour

une

pression

transmurale et une tension

longitudinale données,

^ses

déplacements

^{obéissent à} la loi de Hooke.

(iii)

Le sang ^se comporte ^{comme un fluide}

visqueux

newtonien

incompressible.

^{Dans cette}

première approche,

l’état d’écoulement

imposé

par la

pulsa-

tion

cardiaque

^sera

négligé,

la vitesse

correspondante (vmax

¹

m/s)

pouvant ^être considérée comme

négli- geable

^{devant la} vitesse de

phase

des ondes étudiées

(c >

¹⁰

m/s).

L’ensemble de ces différentes

hypothèses

^de

départ

recouvre celles des

précédents

^travaux

théoriques [10, 12, 13, 14]. Cependant,

compte ^{tenu de}

l’objectif

final

(description

d’ondes artificielles de relativement haute

fréquence

^{ou de}

petites longueurs

^d’onde

(de

l’ordre des dimensions du _rayon du

tube)),

^le

^dévelop-

pement du calcul à

partir

^des

équations

^{de base en}

diffère notablement. Ceci permet ^{de donner une nou-} velle

expression analytique

^de

l’équation

^de

disper-

sion des

ondes, expression

valable dans une

grande

gamme de

fréquence (fréquence

^{limite déterminée}

par

l’hypothèse d’incompressibilité

^du

fluide).

^Néan-

moins,

les résultats obtenus dans les cas

particuliers

traités par les

précédentes

^études

théoriques

^seront

confrontés à ceux déduits du traitement

plus général présenté

^ici.

1. Linéarisation des

équations

fondamentales. ^- En

principe,

^le

problème

^{est décrit} exactement par les

équations

de Navier-Stokes du mouvement du fluide

(y compris l’équation

de conservation de la

masse)

^{et les}

équations

^{de la}

dynamique

^{de la}

paroi, auxquelles

^{il faut}

adjoindre

^les conditions aux limites

fluide-paroi (et

^si nécessaire les conditions à

imposer

sur la surface externe du

tube)

^{et les}

équations

^du comportement

rhéologique

du matériau

pariétal.

^Tan-

dis _que le choix des

équations

décrivant le mouvement du fluide ne

prête

pas à

ambiguïté,

^{il n’en va} pas de même des

équations

^{de la}

dynamique

^{de la}

paroi

^ainsi

que le prouve la

disparité

dans les formalismes

précé-

demment utilisés. Parce

qu’il correspond

^{au modèle}

physique expérimentalement

^testé

[15]

^et

qu’en

^outre

il permet ^une introduction directe et

explicite

^des

tensions initiales

imposées,

le modèle

théorique

^de

membrane mince a été utilisé pour décrire la

paroi.

1.1 COMPORTEMENT RHÉOLOGIQUE ^ET DYNAMIQUE

DE LA PAROI. ^- En

présence

^de

^l’onde,

^{un élément}

de la membrane

pariétale représenté

^{sur la}

figure

²

FIG. 2. ^- Contraintes internes de la membrane mince dans

son état déformé sous l’action de l’onde de pression.

est soumis à trois types de forces :

(i)

^{la force d’inertie}

liée à la masse de l’élément

considéré, (ii)

^{la force}

de frottement

visqueux

^{due au mouvement du fluide}

et

(iii)

^les contraintes internes

liées,

^d’une part, ^aux déformations et

changements

de courbure de la

membrane,

^{et d’autre} _part, ^{aux tensions initiales}

imposées.

^Dans, la limite où la membrane peut ^être considérée comme mince, c’est-à-dire :

les

couples

de torsion et les forces de cisaillement internes peuvent ^être

négligés,

^{les seules} contraintes restant à considérer sont les tensions

tangentielles

et azimutales.

Au lieu d’écrire

l’équation dynamique

^{de la}

paroi

dans le

repère

^fixe

(r, 0, z)

^{lié à l’état}

statique

^du

tuyau,

il est

plus

^aisé

d’analyser

^les tensions internes dans le

système

de référence

(n, 0, î)

^{lié à} l’élément de la

paroi

^{déformée sous} l’action de l’onde. ^{A un} instant

donné,

dans le

plan

^{méridien 0 =}

^Cte,

^les

vecteurs î

et

Î,

^d’une

part,

^et

r

et

n,

d’autre part, ^{font un}

angle :

Au

point M(R, 0, z),

^{centre de l’élément de surface}

considéré,

^les courbures

principales

^{de la surface sont}

respectivement,

^{dans le}

plan

^{méridien et le}

plan

per-

pendiculaire

^{en M à 1 :}

L’élément de

longueur

^{dl sur} la méridienne

R(z)

^de

la surface est tel _{que :} dl ⁼

(dR2 + dz2)1/2 =

Ainsi,

l’abscisse axiale z ou l’abscisse

curviligne

^tan-

gentielle

¹ peuvent ^{être l’une ou}

l’autre,

^choisie

comme variable

indépendante.

Les

composantes tangentielle

^et normale de la

résultante tk

des contraintes internes

agissant

^sur

l’élément de surface considéré

Aire R dO dz)

^{sont :}

expressions

^dans

lesquelles ul

et (f8 sont

respective-

ment les contraintes internes

tangentielle

^{et azimu-}

tale _par unité de surface. Les

composantes

^{axiale et}

radiale de cette résultante sont alors obtenues _par

changement

^du

système

de coordonnées :

D’autre

part,

la contrainte _i, due à la viscosité du

fluide, qui agit

^{sur la}

partie

interne de l’élément de

paroi considéré,

^a pour composante :

Dans ces

relations,

les éléments du tenseur des contraintes

visqueuses

du fluide

(viscosité

^cinéma-

tique v)

^{ont comme}

expression ([16]

^par

ex.). (En

^uti-

lisant la notation

classique :

rij ^{tension sur la face}

perpendiculaire

^à

l’axe i, s’exerçant

dans la direc- tion

j) :

Dans le référentiel du laboratoire

(r, 0, z), l’équation

de la

dynamique

^{de la}

paroi

^{est alors :}

équation

^dans

laquelle

^les

expressions

^des compo- santes de l’accélération _y

dépendent

^{du formalisme}

choisi _pour décrire les

déplacements

^{de la}

paroi.

Bien _que

plus

^{délicat à} confronter à

l’analyse expé- rimentale,

la donnée d’un

champ

^de

déplacement

^de composante ^radiale

il(z, t)

^{et axiale}

((z, t),

^{base de la}

description eulérienne,

permet, par l’uniformité des formalismes décrivant les mouvements de la

paroi

et du

fluide,

^une formulation

simple

des conditions

aux limites.

Cependant,

^{dans ce}

formalisme

il y ^a lieu de tenir compte ^{des termes} convectifs

apparaissant

dans les composantes de l’accélération :

relations dans

lesquelles

^les composantes de vitesse

pariétale Uz

et ur ^{ne sont} pas les

simples

^dérivées

temporelles

^des

déplacements,

mais s’écrivent :

Compte

^{tenu des relations}

précédemment écrites, l’éq. (10)

^{de la}

dynamique

^{de la}

paroi

^{est non linéaire.}

En

effet,

^elle

comprend

^des

expressions quadratiques

des variables du

problème :

^{mouvement radial}

17(Z, t)

et axial

((z, t)

^{de la}

paroi,

composante ^radiale

vr(r,

^z,

t)

et axiale

vz(r,

^z,

t)

de la vitesse du fluide. Afin de linéariser cette

équation,

c’est-à-dire de faire

dispa-

raître ces termes

quadratiques,

^{il est} nécessaire de supposer que :

(i) L’angle

ç est très

petit

^{de telle sorte}

qu’en approximant

^au

premier

^ordre le cosinus est

pris égal

à 1 et le sinus à

ôR/ôz. D’après (3),

^{cette condition}

implique

que le

déplacement

^{radial r} du tuyau ^{est très}

petit

^{devant la}

longueur

^{d’onde À} de l’onde considérée.

Soit :

(ii)

^Pour

négliger

^{les termes} convectifs dans les

éq. (11)

^et

(12)

^{il est de même} nécessaire de _supposer que le

déplacement axial (

^du tuyau ^{est très}

petit

devant la

longueur

^{d’onde À. Soit :}

Dans ces

conditions,

^les

équations

^{de la}

dynamique

de la

paroi

deviennent :

Cependant,

^{il est} nécessaire de remarquer que ^sous

ces

hypothèses

^les

équations

^ne peuvent

toujours

pas être linéarisées tant

qu’une

^loi

rhéologique précisant

les relations entre contraintes et déformations n’est pas

postulée.

Compte

^{tenu des}

objectifs

^{de cette étude}

(propa- gation

d’un train d’ondes de faible

amplitude superposé

à une onde de forte

amplitude

^{fixant un état de}

contrainte _{que l’on} peut considérer comme

statique)

et des données sur le comportement

rhéologique

^des

artères et des tubes en silicone utilisés dans les modèles

expérimentaux,

^une loi linéaire

(au voisinage

^de

l’état

statique

^initial

imposé)

^entre contraintes et

déplacements

^{a été}

postulée.

^La viscoélasticité du matériau est introduite de

façon heuristique

^en pre- nant, _pour

chaque fréquence,

des modules

d’Young E

et de

Poisson s

à valeurs

complexes. (Principe

^de

correspondance

pour le

comportement dynamique

entre matériaux linéaires

viscoélastiques

^{et matériaux}

linéaires purement

élastiques ^(cf. [17]).)

^Les

expressions

des contraintes internes du matériau sont alors :

où les déformations sont liées aux

déplacements

par les relations :

La seconde

étape

de la linéarisation consiste alors à considérer des

déplacements pariétaux petits

^devant

le _rayon du tube

(rayon

^a

imposé

par les tensions

statiques) :

et

Le _rayon du tube

déformé,

^les tensions internes du matériau et les tensions

visqueuses

peuvent ^être

décomposés

^{en une}

partie

stationnaire et une

partie dynamique, petite

^{devant la}

précédente.

^{Cette décom-}

position

peut ^{alors se faire} suivant les

puissances

^du

petit paramètre illa

^{de sorte} que l’on ait :

rayon

contrainte azimutale contrainte

longitudinale pression

^{du fluide}

vitesse axiale du fluide vitesse radiale du fluide

A l’ordre

zéro,

^les

éq. (15)

^donnent la relation bien connue

d’équilibre statique

de la membrane

cylindrique,

^{relation entre}

pression

transmurale et contrainte azimutale :

et, à l’ordre 1 en

qla,

^les

équ. (15) conduisent,

pour le mouvement de la

paroi,

^{à la}

description

linéarisée suivante :

Enfin,

^{il est} à remarquer que, dans ces

expressions,

le

produit

pp ^{h de la densité par}

l’épaisseur pariétales

doit être

pris égal

^{à sa valeur}

d’équilibre.

^{La variation}

de ce

produit imposé

par la conservation de la masse de l’élément considéré introduit une correction d’ordre

supérieur

^{dans les dernières}

équations.

1.2 DYNAMIQUE DU FLUIDE ET CONDITIONS AUX LIMITES. ^- Les

équations qui régissent

^{le mouvement}

d’un fluide

visqueux incompressible

portent ^{sur la} conservation de la masse et de la

quantité

^{de mou-}

vement d’un élément du fluide. Si l’on se restreint à la théorie des

petites perturbations,

^{une condition}

comparable

^aux conditions

(13), (14), (18),

^{est à}

impo-

ser sur la vitesse du fluide

engendrée

par le _passage de l’onde. A savoir:

où ^c est la vitesse de

phase

de l’onde. Plus

généra-

lement en

présence

^d’un

écoulement,

^{les termes}

convectifs peuvent ^être

négligés

si la vitesse moyenne de cet écoulement est très inférieure à la vitesse de

phase

^{des ondes}

(on

^{vérifiera a}

posteriori

que ^cette dernière est

toujours

^très

supérieure

^{à la}

perturbation

de vitesse ou à la vitesse de l’écoulement dans

lequel

se propagent ^ces

ondes).

^Les

équations

linéarisées

qui

traduisent le mouvement du fluide dans un

repère

fixe prennent ^{la forme}

Couplant

^les mouvements du fluide et de la

paroi,

les conditions aux limites à satisfaire sur la surface

pariétale

^{interne sont les}

égalités

^{des vitesses radiale}

et axiale d’un élément du fluide et de l’élément

adjacent

de la

paroi.

^Dans

l’hypothèse

^des

petites perturbations,

ces conditions aux limites sont :

Pour ^un

déplacement

^radial

petit

^{devant le} rayon a du

tube, compte

^{tenu de}

l’hypothèse (2)

de membrane

mince,

^ces conditions aux limites doivent être évaluées

en r ⁼ a.

2. Résolution

analytique

^de

l’équation

^de

dispersion.

- 2.1 SOLUTIONS DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT DU FLUIDE. ^- Pour une

perturbation,

sinusoïdale _pure se

propageant ^le

long

de l’axe Oz du

tube,

^{les variables}

caractéristiques

^de l’écoulement

v1z,v1r _{et pl}

^sont pro-

portionnelles

^à

exp[1(mt - kz)],

^{où k = 2}

^n/À.

^est

le nombre d’onde à déterminer et cv la

fréquence angulaire

du mode de

propagation.

^{Pour cv réelle}

fixée, k

^{est en}

général complexe

^{et sa valeur}

dépend

des

paramètres physiques

^{du fluide et} du matériau constituant la

paroi

ainsi que de la

fréquence angulaire.

On peut ^{alors écrire :}

où

k 1

^et

k2

^{sont des}

quantités

réelles décrivant res-

pectivement

^la

dispersion

^et l’atténuation. Toutes les variables du modèle

dépendent

^{alors de z et t}

à travers le terme de

phase exp[1(mt - ^{kl z)}

⁺

^k2 ZI’

En

conséquence,

^la vitesse de

phase

^{c est :}

et

l’amplitude A

de l’onde variable suivant : où

Ao

^est

l’amplitude

^{initiale de la}

perturbation.

La solution du

problème

^avec les conditions aux

limites

imposées

peut ^être obtenue de la

façon

^sui-

vante : en prenant ^la

divergence

^de

(24)

^{et en tenant} compte ^de

(23),

^{on montre} aisément que la

pression p’

est une fonction

harmonique qui,

^{dans la}

géométrie cylindrique

considérée et compte ^{tenu des conditions}

imposées, prend

la forme suivante :

où A ^et

Jo

^sont

respectivement

^{une constante d’inté-}

gration

^et la fonction de Bessel d’ordre 0 de

première espèce.

^En substituant

l’expression (30)

^dans

(24)

et en

intégrant,

il vient :

Dans ces

expressions,

^ont été introduits :

(i)

^Le

paramètre

^{a de}

Womersley qui

^est

l’équi-

valent du nombre de

Reynolds

^en écoulement

pulsé

et

qui

peut ^{être considéré comme le} rapport ^du rayon a du tube à

l’épaisseur

^{de la couche limite}

oscillante

(vjW)I/2.

^Ce

^paramètre

^{est donc} tel que :

(ii)

^Le nombre d’onde normalisé au rayon du tube par l’intermédiaire de :

(iii)

^Le

paramètre ô,

combinaison du

paramètre

de

Womersley (caractéristique

^{de la}

fréquence

^de

l’onde)

^{et du nombre}

^d’onde,

tel que :

Les constantes

d’intégration

^{A et B sont à déter-}

miner à

partir

^des conditions ^{aux limites}

(éq. ⁽²⁵⁾

^et

(26)).

^Les

expressions pour pl, v;, vi , se

^{réduisent aux}

résultats de

Womersley [18]

^et Atabek-Lew

[12]

pour

^{« 1}

^et 1 fi/a

^«

1, hypothèses

^des

grandes longueurs

^d’onde par rapport ^au rayon ^et

grandes longueurs

d’atténuation _par rapport ^aux

longueurs

d’onde.

2.2 EQUATION ^DE DISPERSION DANS LE CAS

GÉNÉRAL. ^-

Compte

^{tenu des} considérations énon- cées dans

l’introduction,

^{il est} intéressant de ne pas

se limiter à ce cas

particulier

^des

grandes longueurs

d’onde

(ainsi

que l’on fait par ailleurs

Morgan- Kiely [17]

^et

Chow-Apter [13]),

^{mais de}

^développer

une

analyse plus générale.

^La méthode de calcul est

cependant identique ;

^les

expressions (30), (31), (32),

non

simplifiées,

^sont introduites dans les deux

équa-

tions aux limites

(25)

^et

(26)

ainsi que dans les

équa-

tions du mouvement de la

paroi (21a)

^et

(21b).

^En supposant que les

déplacements

^{axiaux et radiaux}

(ainsi

que les

perturbations

^{de vitesse et}

pression

^du

fluide)

^{sont donnés sous forme d’ondes}

progressives :

le

système

^{des 4}

équations (21a), (21b), (26)

^x 2 pf

v/a

et

(25)

^x p f

vla

^{devient un}

système algébrique d’équa-

tions

linéaires

qui

peut ^{être mis sous la forme} matricielle suivante :

dans

laquelle

^les

paramètres

^suivants

représentent :

-

K,

^le rapport ^{des masses}

respectives

^{de la}

paroi

et du fluide :

-

q°,

^les contraintes initiales normalisées :

- x, le carré du rapport ^{de la} vitesse des ondes de

pression

^{à la vitesse} c, ⁼

v/a

de diffusion du cisaillement dans le fluide :

expression

^dans

laquelle :

Le déterminant

(41)

^est

développé

^en posant :

Lorsque

^{la viscosité de la}

paroi

^est

négligeable (E

^et

s

réels),

^{Re Y est}

proportionnelle

à l’inverse de la

En considérant le nombre d’onde normalisé

fi,

fonction de la vitesse de

phase

^{c des ondes}

(cf. (28)),

cette

équation

^de

dispersion

^{donne la relation entre}

- F, la fonction de

Womersley :

La condition nécessaire ^et suffisante pour que

l’équation

matricielle

(36)

^{ait une solution non}

^triviale,

est que le déterminant de la matrice soit nul. Afin de réduire le nombre des termes

dépendant

^de la fonction de

Womersley,

^ce déterminant est

réécrit, ligne

par

ligne,

^sous la forme suivante :

ligne

^{1 -}

(ligne

^{3 x}

fl) ; ligne

^{2 -}

ligne 3 ; ligne

^{3 + 2}

p/ÙX2 (ligne

^{1 -}

(ligne 3) fl) ; ^ligne

^{4 x}

^fl,

^{soit :}

vitesse de

phase

^{c =}

w/k1

^de

^l’onde,

^{et le} rapport Im

Y/Re

^{Y =}

k,lk,

^est

proportionnel

^au

logarithme

du coefficient de transmission par

longueur

^d’onde

Ainsi

l’expression analytique définitive,

^valable

quelle

^que soit la valeur

de p (dans

les limites des

hypothèses

^{de base du}

modèle),

^{est obtenue :}

cette vitesse de

phase (par

l’intermédiaire de la variable

Y)

^{et la}

fréquence (par

l’intermédiaire du

paramètre

^de

Womersley a).

Cette relation

implique

FIG. 3. ^- Courbes de dispersion des deux modes du système ^{dans le cas} de contraintes initiales nulles

(1 :

Approximation ^{de Wor-} mersley [18] : ^fluide visqueux ^{dans le cas des} grandes longueurs d’ondes ; ^{2 :} Approximation d’Anliker-Maxwell [10] :

fluide.parfait)

et domaines de validité des différentes approximations.

des fonctions de Bessel dont les arguments

dépendent

de

Y,

^variable

complexe :

^cette

équation

transcendante

a une infinité de racines _{pour Y.}

3.

Analyse numérique

^et discussion des résultats. ^- 3.1 EQUATION ^DE DISPERSION POUR LES GRANDES LONGUEURS D’ONDE. ^-

Cependant,

^dans le domaine

des basses

fréquences

^{et en} dehors d’éventuelles coupures

(domaine

^de

fréquence

^où la vitesse de

phase

^{des ondes devient}

infinie),

^les arguments ^{de la} fonction de

Womersley

^sont

petits

^{et un}

développe-

ment

polynomial

permet ^{de donner une solution}

numérique

valable dans le ^cas des

grandes longueurs

d’ondes.

Compte

^{tenu du fait que la}

pulsation

angu- laire des ondes n’intervient dans les résultats

qu’à

travers le

paramètre

^{a, le fluide} peut, ^{dans le domaine} des très hautes

fréquences (a

-->

oo),

^{être considéré}

comme

parfait

^et

l’analyse mathématique

^du

problème

se

simplifie

notablement.

Cependant,

^il y ^a

ambiguïté

dans le passage à la limite a --. oo dans

l’équation

de

dispersion

^{du fluide}

visqueux

pour ^retrouver les modes du fluide

parfait (v

-->

0) :

^La

figure

^{3 montre}

qu’en effet,

^{dans ce} passage, la limite du domaine des

grandes longueurs

^{d’onde est}

franchie,

limite au-delà de

laquelle

la solution

numérique

^{donnée ici n’est}

plus

^valable.

Afin de confronter les conclusions déduites de ce

modèle

théorique

^{aux résultats}

expérimentaux obtenus,

dans les conditions de fonctionnement actuel sur le

avec

En remarquant que les

propriétés rhéologiques

^et

géométriques

^du tuyau ^ainsi que la viscosité du fluide sont telles _que le

paramètre

x est

grand (condi-

tion

également

satisfaite dans les

expériences in

vivo

[1] :

co - 10

rn/s, v ’" ^10-2 CM2 /s, a -

^{1 cm,}

soit _{x N}

108

à

io,O),

^{les termes de}

l’équation

^{de dis-}

persion (44)

^en

ry.,2/X

^et

ry.,4/X

^{seront donc}

négligés

devant

l’unité,

^{dans le} domaine des

fréquences expé-

rimentalement étudiées

(f

¹⁰⁰

Hz),

^ce

qui

pour

oc’

fini,

^{revient à}

prendre

L’équation

^de

dispersion (46)

^{devient alors}

banc

hydrodynamique

^{construit au} laboratoire

[15],

nous supposerons

qu’aux fréquences considérées,

la

longueur

^{d’onde est}

grande

^{devant le} rayon de sorte

qu’à l’approximation

^{à l’ordre 5 en}

fl

^{les relations}

suivantes sont valables :

Dans ces

conditions, l’équation

^de

dispersion

^des

ondes,

^valable

jusqu’à

^{l’ordre 5 en}

13, s’écrit,

^en posant ^{8 =}

(X2 lx,

Cette dernière

expression

^est

équivalente

^{à celle}

trouvée _par

Womersley [18]

^{dans le cas où les}

contraintes initiales sont

nulles,

mais diffère de celle

donnée,

^{dans le cas}

général,

par Atabek et Lew

[12].

L’analyse numérique

^{de cette}

^relation,

^{effectuée sur}

ordinateur CDC

6600,

^a

permis

d’étudier l’influence des contraintes initiales sur les

propriétés

^de

dispersion

et d’atténuation des deux modes de

propagation (en

se limitant ici à des valeurs réelles

de ;

et

E) :

(i)

^{Le mode}

d’Young (repéré

par l’indice _{1 par la}

suite),

^de vitesse de

phase

inférieure à _{co et} dont la

polarisation, repérée

par le

déplacement

^{de la}

membrane,

^{est à}

prédominance

^radiale.

(ii)

^Le mode de Lamb

(indice 2),

^{de vitesse de}

phase

supérieure

^à co et dont la

polarisation

^{est à}

prédominance

^axiale.