HAL Id: jpa-00233824

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Submitted on 1 Jan 1943

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Diffusion cristalline des rayons X par l’agitation thermique des atomes

Jean Laval

To cite this version:

Jean Laval. Diffusion cristalline des rayons X par l’agitation thermique des atomes. J. Phys. Radium,

1943, 4 (1), pp.1-12. �10.1051/jphysrad:01943004010100�. �jpa-00233824�

LE JOURNAL ^DE PHYSIQUE

ET

LE RADIUM

DIFFUSION CRISTALLINE DES RAYONS X PAR L’AGITATION

THERMIQUE

DES ATOMES Par JEAN LAVAL.

Laboratoire de

Minéralogie

^{de la Faculté des Sciences de Paris.}

Sommaire. ^- Lorsque les conditions de la réflexion sélective ne sont plus remplies, ^un cristal diffuse

encore notablement les rayons X. Cette diffusion varie avec la température : elle est due à l’agitation thermique des atomes. On la représente ^avec simplicité dans le réseau polaire par des surfaces d’iso- diffusion. Les rayons X ^se réfléchissent sélectivement, ^en changeant ^de fréquence, ^{sur les} plans ^d’onde élastique. Aussi, ^le pouvoir ^diffusant dépend seulement des ondes élastiques qui ^se prêtent ^à la réflexion sélective. Elles sont en petit ^{nombre :} 6 g s’il y a g atomes dans la maille élémentaire. Le pouvoir ^diffusant permet d’atteindre les vitesses des ondes acoustiques ^{et les} coefficients d’élasticité.

SftiB YIII. - TOME IV. No 1. JANVIER 19~3.

1

Étude expérimentale.

1. Un cristal diffusée notablement les rayons ^X même

lorsque

les conditions de la réflexion sélective ^ne sont

plus remplies.

^{- Soit un cristal}

qui

réfléchit sélectivement un faisceau SI

(fiv. 1)

de rayons X

parallèles, monochromatiques,

^{sur des}

plans

réticulaires P

séparés

^{par ~un} intervalle d.

Les _rayons incidents et réfléchis satisfont à la condi- tion de

Descartes; l’angle

de rencontre 0

(1)

^vérifie

la relation de

Bragg

2 d S 1 n e ⁼ ni,,

n est un

entier, 1,

^la

longueur

^d’onde des rayons X incidents. Le faisceau réfléchi IR entre dans une

chambre d’ionisation C. Faisons tourner le cristal d’un

angle ~ petit, égal

^à

quelques degrés,

^autour

d’une normale au

plan ^SIR,

^de telle sorte que la chambre

d’ionisation, immobile,

^ne

puisse

^admettre

que ^des rayons diffusés faisant ^avec les _rayons

, la

incidents un

angle

^S’IR

égal

à 26. Les conditions de la réflexion sélective n’existent

plus

^{sur les}

plans

^P.

On

pourrait

penser que ^le

rayonnement

reçu dans la chambre d’ionisation est formé exclusivement des radiations

rejetées

par ^l’effet

Compton,

^{et conclure}

(1) Complément ^de l’angle d’incidence.

de là

qu’il

^{est infime.} Même si le cristal est pur, même s’il a un réseau

régulier,

^ce

rayonnement

^est

notable, incomparablement plus

intense que le flux

Fig. ~ .

des radiations

provenant

^{de l’effet}

Compton.

^Son

intensité décroît vite

quand augmente.

^{La courbe}

de la

figure

^{2 décrit la variation de} l’intensité. Elle

concerne la

sylvine [i].

^{Le cristal est d’abord orienté}

de

façon à

^réfléchir

sélectivement,

^en deuxième

ordre,

sur des

plans

^de

clivage,

^un faisceau SI

( fig. 1)

^{de radia-}

tions

Kx

émises par ^le

molybdène (1, == 0,708-~712 A;

0 ⁼

13°,3’).

La chambre d’ionisation C est

disposée

pour recevoir le faisceau réfléchi IR. Puis le cristal

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01943004010100

tourne autour d’une normale au

plan

^SIR

qui

^est

parallèle

^{à un}

plan

^110.

L’abscisse §

^{mesure la rota-}

tion,

l’ordonnée 1 l’intensité du

rayonnement

^diffusé

Fig, ^2.

qui pénètre

^dans la chambre d’ionisation. Cette

intensité, rapportée

^{à un}

^électron,

^{est évaluée en}

prenant

^{comme unité} l’intensité de la radiation

qui

serait

diffusée,

^{au même}

point,

par ^un électron

libre,

situé à la même

place

^{dans le même faisceau}

incident. Définie de cette

manière,

l’intensité mesure

le

pouvoir

^diffusant

(2).

Ainsi, lorsque

^les conditions de la

réflexion

^sélective

ne sont

plus remplies,

^{un cristal}

diffuse

^{encore nota-}

blement les rayons X. Cette diffusion varie avec la

température [2~.

^{Elle est}

produite

par

l’agitation thermique

^{des atomes.} Outre l’effet

Compton,

^les

impuretés,

^les

irrégularités

du réseau

cristallin,

les couches de passage, ^{tout ce}

qui perturbe

^la

structure

périodique

^du cristal provoque la diffusion des rayons X.

Le

sujet

^{de ce mémoire est restreint à} la diffusion

qui

relève de

l’agitation thermique.

C’est celle que

produit

^un

spath

^{l’Islande ou un} cristal de

sylvine

pure,

qui

^{est une}

mosaïque

^{mais dont tous les}

grains

sont

parfaits.

(à) ^Le pouvoir diffusant de l’efiet Compton ^est toujours inférieur à 1.

2.

Représentation

^{de la diffusion dans le}

réseau

polaire :

^-. surfaces d’isodifiusion. ^- Pour

se faire une

image simple

^du

phénomène,

^{il convient}

de faire

appel

^{au réseau}

polaire.

^{C’est un réseau}

construit avec trois translations

Lj, L2, ^L3,

^réci-

proques des translations élémentaires

11, 1,, 13,

^du

réseau cristallin

Partons d’un nceud du réseau

polaire, pris

^comme

origine.

^Nous

atteignons

^{un autre noeud M} par

une translation

M ⁼ Mi Li + M*3Li =- n(P 1 Lj ⁺ P~L~+ P3L3~;

n est

un]entier; Pi, Pg, P 3

^sont

premiers

^{entre eux,}

et

Mi

⁼ n Pi. Les

rangées

^{du réseau}

polaire, parallèles

à la translation

M, portent

^{des noeuds}

séparés

par

l’intervalle 1 P1L1 + P,L,

+

P3L3 ~.

^{Elles sont nor-}

males aux

plans

^{du réseau} cristallin

équidistants

de

III Pl LI + P2L2 + PsLs 1.

^Ces

rangées

^{et ces}

plans

ont pour notation

~P~! P2, ~’9~~

Menons,

dans la direction et le sens du faisceau

-+

incident,

^un vecteur

10 (fig. 3),

^de

longueur égale

Pig. ^3.

à~ ~ ~

l’extrémité située sur

l’origine

^{0 du réseau}

polaire;

^t

puis

dans la direction et le sens du faisceau diffusé

- -+

un vecteur ID de la même

longueur.

^{Le vecteur OD}

sera

appelé

vecteur de

diffusion,

^son extrémité D

pôle

^de

diffusion

^et

l’angle

^OID

angle

^de Nous _poserons

en sorte que

Soient A et B deux

points qui

diffusent des

rayons X

parallèles

suivant des

direction parallèles.

^L’onde

diffusées

par B

^{est en avance de}

phase

^{sur l’onde}

diffusée _{par A de}

-

Si les vecteurs X et AB sont

orthogonaux :

^{il-ri --_ o.}

Supposons

^le

pôle

de diffusion sur un naeud M

qui

^a pour

coordonnées nP1 n P 2’ n Pa:

Le vecteur de diffusion est normal aux

plans Pi, PI, Ps

du cristal. L’accord de

phase

^{existe :}

I ~ Entre les ondes diffractées par tous les électrons situés dans un

plan (Pl’ P2, p 3) ;

Fig. 4.

2° Entre les ondes

provenant

^{de deux}

plans (Pi, P2’ P,)

consécutifs car,

d’après

^{la formule}

(3),

^les

phases

^{de telles ondes diffèrent de}

Les rayons X ^se réfléchissent donc

sélectivement,

en nlème

ordre,

^{sur les}

plans (P1, P2, P,).

^{La diffusion}

est maxima.

Si le

pôle

de diffusion ^D

3)

^se

déplace depuis

le noeud

M,

^{sur une} droite

ML,

la diffusion décroît à mesure que la distance MD

augmente.

Son intensité ]varie à peu

près

^comme

1 - tant

₂ que la

longueur

^MD

reste

petite

^{devant la}

plus

faible distance

qui sépare

deux noeuds du réseau

polaire.

Afin de voir aisément comment le

pouvoir

^diffu-

sant varie

quand

^le

pôle

^{de diffusion se}

déplace,

on trace des surfaces d’isoctiffusion

[3].

^{Si le}

pôle

de diffusion

parcourt

^{une de ces}

^surfaces,

^le

pouvoir

diffusant reste constant. Une surface d’isodiffusion est fermée. Elle entoure un seul noeud du réseau

polaire

^ou n’en renferme aucun, Dans le

premier

cas, elle ressemble à la surface d’une lentille bicon-

vexe

( fig. 4)

dont l’axe coïnciderait ^avec la

rangée OM,

celle

qui

passe par le noeud M situé à l’intérieur ^de la surface et

l’origine

0 du réseau

polaire.

Les surfaces d’isodiffusion

qui

^{entourent un même} noeud s’em- boîtent les unes dans les autres. Si le

pôle

^{de diffusion}

va de l’une d’elles

A, à

^{une autre}

B, circonscrite,

le

pouvoir

diffusant diminue. La

figure 4

^se

rapporte

au

rayonnement

^diffusé par la

sylvine,

^Elle

reproduit

une

section,

par ^un

plan ^011,

^des surfaces d’isodiffu- sion

qui

entourent le noeud 400. Sur ces surfaces le

pouvoir

^diffusant

prend respectivement

^{les valeurs}

I~, 8, 5 et 3.

Il Théorie.

La diffusion cristalline des

rayons X

par

l’agitation thermique

des atomes ^a fait

l’objet

de nombreux travaux

théoriques [4].

^Je

reprends ^ici,

^{sous une}

forme

plus simple,

la théorie que

j’ai développée

dans le

mémoire,

intitulé « Diffusion des _rayons X par les

cristaux »,

paru dans le Bulletin

française

^de

Minéralogie, ^64, 1941.

La lumière

qui

^{traverse un cristal est diffusée}

par

l’agitation thermique

^avec

changement

^{de fré-}

quence. C’est l’effet Raman.

L’agitation thermique produit

^{le même effet sur les} rayons ^X. J’ai défini le vecteur de diffusion en

supposant

^{la radiation}

diffusée de même

fréquence

^{que la radiation inci-}

dente. Pour _{que la} relation

(3)

^reste

applicable

^à

la diffusion

qui

^{se fait avec}

changement

^de

fréquence,

il faut définir le vecteur de diffusion d’une

façon plus générale,

^{à savoir :}

u et u’

représentent

deux vecteurs

unitaires,

^le

premier

^est

dirigé

^{suivant les} rayons incidents de

longueur

^d’onde

~,

le second suivant les _rayons diffusés de

longueur

d’onde A‘. Il en résulte que

1

- . , -

et, ^{X et} 1. restant constants, _cp varie avec À’.

1.

Décomposition

^de

l’agitation thermique

^en

ondes libres. ^- Les atomes d’un cristal sont en

contact. Ils n’oscillent pas

indépendamment

^les

uns des autres.

L’agitation thermique

^d’un

^cristal,

construit avec N atomes,

peut

^être résolue en 3 N ondes libres

qui

^vont par deux

opposées,

^suivant

la même direction ^en sens

inverses,

^avec des

élonga-

tions

parallèles,

^{la même}

longueur

^{d’onde et la}

même

fréquence [5].

^{Prenons un noeud du réseau}

cristallin comme

origine.

^La

position

moyenne d’un atome se définit par ^deux translations :

La

première

^amène

l’origine

^{sur un sommet de la}

maille

qui

^contient

l’atome;

^{la seconde} fait passer

ce sommet sur la

position

moyenne de l’atome

Des translations

j, j’, j ", qui partent

toutes du même sommet, définissent de la sorte les

positions

^moyennes

des atomes dans la maille. Une onde libre ^oc est consti- tuée par les oscillations :

D’ordinaire les atomes du motif cristallin

(3) échangent

des liaisons

inégales :

1)ja, 1)j’B/., ^... diffèrent. Mais les écarts _~;« ^- _~;~«, - 1)[’B/.". restent constants et

ceux

qui

concernent les mêmes atomes situés en

positions j

^et

j’,

^et deux ondes

opposées oc

^et

^oc’,

sont eux-mêmes

opposés

L’atome situé à l’extrémité du vecteur

~m

^-~-

j)

effectue le mouvement

2.

Analyse

^des

rayons X

^{diffusés. - Soit un}

cristal,

_pur, de réseau

régulier, qui

^{n’absorbe et}

ne

disperse qu’une

fraction infime de la radiation incidente. Le

rayonnement diffusé, qui

^{ne ressort}

pas à l’effet

Compton,

^{a comme}

élongation [for-

mule

(3)1

La

première

^{somme s’étend} à toutes les

mailles,

la seconde à tous les atomes du motif cristallin.

L’atome en

position j

^a pour facteur de ^structure

fi (4);

v est la

fréquence

de la radiation

incidente, z l’ampli-

tude de l’onde

qui

serait diffusée par ^un électron libre. Entre la

fréquence

des rayons X diffusés (1) Ensemble des atomes contenus dans la même maille.

(4) Le facteur de structure

Il

^{se rapporte au vecteur de}

diffusion X.

et celle des

rayons X incidents,

la différence atteint tout au

plus quelques

cent-millièmes. On

peut

^donc

calculer _£, sans erreur

sensible,

par la formule de J. J. Thomson

r est la distance de l’électron diffuseur au

point d’observation;

^{A et B sont les}

composantes

^du

champ électrique ^incident,

^la

première

^{normale au}

plan

de diffusion OID

( fig. 3),

la seconde contenue dans

ce

plan;

² p ^mesure

l’angle

de diffusion moyen, celui

qui

^se

rapporte

à la diffusion sans

changement

de

fréquence [formule (2)]

Posons

et

désignons

par Jn la fonction de Bessel d’ordre n

nous obtenons

Grâce à cette relation

l’élongation

^du

rayonnement

diff usé ^se

développe

^{en série.}

Chaque

^terme

représente

une radiation

monochromatique.

^{On trouve :}

1 ~ Une radiation fondamentale

qui

^{a la}

fréquence

des rayons incidents

20 Des radiations dues à

l’agitation thermique qui

^{ont des}

fréquences

différentes :

p, q, ^r étant entiers.

Leur forme

générale

^est

où

et

Le

produit EFpa, qB, ...,,.rw,mesurel’amplitude

^del’onde

diffusée par ^un motif cristallin. La radiation est dite d’ordre n. Si elle se propage ^dans le cristal ^avec

un indice de réfraction x, ^sa

longueur

^d’onde

s’exprime :

et, ^en

posant

il vient

Pour un cristal édifié avec N atomes, ^on

compte

6 N radiations du

premier

^{ordre :}

3 N de

fréquence

^accrue

(ou positives),

autant de

fréquence

^diminuée

(ou négatives),

avec

et

Les radiations d’ordre deux

proviennent

^{les unes}

d’une seule onde

élastique

Les nombres des

premières

^{est 6}

N,

^celui des secondes 6 N

(3 N -1 ).

^Les radiations du troisième ordre

prennent

^{trois formes} différentes suivant

qu’elles

sont diffusées _par une, deux ^ou trois ondes

élastiques.

Et ainsi de suite.

3.

Interprétation quantique.

^-

L’énergie

^de

toute onde

élastique

^est

quantifiée.

L’onde ^a absorbe ^un

photon ^incident,

^{émet un}

photon

^{« diffusé », et}

perd

^ou gagne ^{dans cette réaction} des

quanta

^«

élastiques

^{Il s’ensuit le}

changement

de

fréquence

trouvé. Les

photons

^diffusés

ayant

les

énergies

^h

(v

^-!-

va)

forment les radiations du

premier ^ordre,

^ceux

qui

^{ont les}

énergies h (v

^-!--

v~),

les radiations du second

ordre,

^{etc. La}

perte

^ou

le

gain

^{de n}

quanta

par ^une même onde

élastique s’exprime

par ^une fonction de Bessel d’ordre n.

Les radiations

représentées

par des formules ^où

figurent

^des fonctions de Bessel dont l’ordre est

supérieur

^{à i forment une}

proportion

^{infime du}

rayonnement diffusé,

^tandis que les radiations d’ordre

2 et 3 y ^{entrent en}

proportion

^notable.

Ainsi,

^l’onde

élastique perdrait

^ou

gagnerait

presque

toujours

un seul

quantum;

par ^contre le

photon

diffusé serait

rejeté

^souvent par

deux, parfois

par trois ondes

élastiques

différentes.

Les ondes

élastiques

^sont incohérentes. Les radiations

qu’elles

^{diffusent ont la même}

propriété [formule (8)].

^{Ce sont} leurs intensités

qui s’ajoutent.

4.

Propriété particulière

^{des ondes}

élastiques

dans les cristaux. - Posons

- a ...

Les oscillations oc des atomes en

position j [formule (4)]

s’expriment :

Ajoutons

^une translation M du réseau

polaire

^au

vecteur de

propagations ^S,.

Les oscillations ne sont pas altérées :

car le

produit Mm

^{est entier}

[formule (1)].

^{Le vecteur}

de

propagation

^{est déterminé seulement à une trans-}

lation M du réseau

polaire près :

^{une même vibration}

se résout en

plans

^d’onde

différents qui

^{ont comme}

vecteurs de

propagation (S., + M)

^comme intervalles

C’est une

conséquence

^{de la structure}

réticulaire. On le voit sur la

figure

5 où les

plans

Fig. 5.

d’onde

fi’

^et Il,,,,

distincts,

concernent lâ

même vibration.

Lég

points représentent

^lès

positions

moyennes dés atomes;

^le

nombre

înscrit

à

côté

d’un point ^{donné là} phase

^{dé lâ}

^{Vibration effectuée} par ^l’atome

^{situé en cè}

point.

5. Zones et vecteurs de

propagation

^foüdâ-

mentaux. 2013

Menons, depuis l’origine ^Ô

^{du féseàu}

polaire,

^{tous les} vecteurs de

propagation

La zone

(M,, M2, Ma)

^{est le lieu où se trouvent les}

point~

^~~; &,3, ^{nous dirons les}

point8,4) plus près

^du

noeud

(M,, M2, que dé

^tous

^les

^dutres

C’est un

polyèdre

^{centré sur le noeud}

(M,, M2, M,).

Ses faces

passent

^à

égale

^{distance entre ce noeud}

et les noeuds voisins. Les vecteurs

Sx, qui

^vont

de

son centre aux

points s qu’elle contient,

^sont

les vecteurs de

propagation fondamentaux.

Supposons g

^{atonies dans là} maille élémentaire.

Chaque

vecteur de

propagation,

fondamental ou

autre,

est

commun

à M g vibrations r 6] : 3

^sont

acousllqúes

^ou

lenies, 3 (g

^-

r) optiques

^ou

rúpides.

Considérons les vibrations dont les vecteurs

de

propagation

fondamentaux ont tous la même direc- tion et le même sens. Si le vecteur de

propagation

fondamental S

( f g. 6)

^est

petit

devant le _rayon dé la ^zone

qui

^{lui est}

parallèle,

^les

vibrations tiqués

^gë

dépècent

^{avec une vitesse} constance,

éell-è

dès ondes sonores; leur

fréquence

^ë’âhnule

^{àveê g} (courbe OA).

Au Contraire

quand S

^{tend iéré}

là

fréquence

^des

vibrations rapides

^iegte

A la

limite,

_{pour S}

nul,

elle passe par ^un maximum

(courbe LR)

^ou par ^{un minimum}

(courbe L’ R‘).

Le

pouvoir

^{diffusant ne varie de}

façon

^sensible

ni avec la forme du cristal ni avec les conditions aux limites. Prenons un cristal semblable à sa maille

élémentaire, portant

^{n noeuds sur}

chaque

^arête.

Adoptons

^{sur sès faces lés} cônditions

cycliques [7],

c’est-à-dire considérons-le comme un élément d’un cristal illimité ^où les oscillations se

répètent

^avec

les

périodes n%, n4,

^Les vecteurs de

propagation

fondamentaux se formulent =

Fig. 6.

6. Réflexion

sélective

des rayons ^{X sur les}

plans

^d’onde

élastique.

^{-- A.}

Supposons

^le

pêle

de

diffusion

^{sur un}

point

^{sa :}

I ° Le lecteur

dé dlitusiôn 1t

égt

normal

aUX

plans

^d’onde

élastique ^TIC* équidistants

^de

1/

^{Sx -~- ~}

M.

Les ondes

électromagnétiques

diffraétées par ^les électrons contenus dans ^un de ^ces

plans

^{sont en}

accord de

phase.

^{Les ondes}

provenant

^{de deux}

plans ^flà

consécutifs

présentent

^{le même}

^accord,

^{car leurs}

phases

^diffèèent

^{de 2 ~ ;}

^{2 n. Les}

^ràyons

^X

se réfléchissent sélectivement ^en

premier

^{ordre sur}

les

plans

^d’onde

^IL.

La radiation

forme le faisceau réfléchi. Comme lé

produits

est entier

[formule (1)],

^{l’accord de}

phase

^{existe entre}

les ondes difftâütêés

par

^{tous lès motifs} cristallins.

L’intensité de la radiation s’élève à

>° A la vibration oc

correspond

^une

vibrâtion «’ J/

opposée,

telle que S,,,, ^{‘ -} Sx ^{et 1}

X=M+Sa fréquence u-~-v~,

Fi g.

~,

X;=~-(~2013M)

fréquence v ^- vd..

Fig.8.

Les

planx

^d’onde

élastique

^aa,,

dirigés

par

le

vecteur de

propagation (S~2013M),

réfléchissent aussi les rayons X sélectivement en

premier

ordre. La radia-

tlôà

constitue le faisceau réfléchi. Elle atteint une inten-

sité

Suivant que

^les

plans ^dohde élastique

^se

déplacent

dans

le sens

du

vecteur de

dIffusion 7)

^{bu dans}

lé sens

oppose (flg. 8), ^{la radiation féfléchie}

^est

^de frêquenôè

^{àccruè v}

^4-

^{V’Y. où}

Aussi

l’angle

d’incidence i et

1 angle

^de

réflexion r

ne sont

plus égaux ils vérinënt

ces i-ëlâtiôns :

30 Si la maille élémentaire

éontient g atoines, chaque

^{vecteur de}

propagation appartient

^à

^{3 g}

vibrations

élastiques,

^et les radiations Sélectivement réflée,hiek sont au nombre

de 6g.

^{Ellé§ ont une}

intensité totale

:’-4Ô

^{Tôutu autre} radiation du

premier

^{ordre e8t}

ulule. Son intensité

s’èxprirne :

En outre

qà, qa, sont des entiers distincts d~ ~, sinon les vecteurs

Ss

et

S

diiîérerâient d’une tfànstiôû du réseau

polaire

^{et se}

rapporteraient

^{à la même}

vibration. Donc

B.

Lorsque

^le

pôle

^de

diffusion

^ne

^coïncide

pas avèc ùn

pôint s

^on

^trouve

par ^un raisonnement

qûl rappelle

^là

démonstration du théorème de Féjer

sur les séries de

Fouriér,

que ^le

pouvoir diffusant

ne

di ffére

pas sensiblement de la valeur

qu’il pendrait

en

plaçant

^le

pôle

^de

diffusion

^{sur le}

point

^{s dont il}

est le

plus prés.

^{Ce deuxième èas se} râiliène ainsi

au

premier.

^{Du reste, la densité des}

points

^{s est}

très

grande

^même si le cristal est

minuscule,

^{et deux}

Vibrations homologues affétentes

à

deux pbiùt§ 9

voisins ont des

fréquences

^{et des}

amplitudes moyennes qui peuvent

^être confondues.

7. Le

pouvoir ^di:dusant

du cristal. ^--- Soit ^a- le nombre des électrons extra-nucléaires contenus dans la maille élémentaire. Le

pouvoir

^diffusant

du premier

^{ordré est}

L’onde

élastique

^{oc a} pour

énergie

lâ sdifttne

s’étend

à tous les atomes contenus dàtî la

màllle j mj

^{là masse’} dé l’atome situé ^en

position j.

Célle dù motif

orlgtâlllii

s’élève à

L’énergie

^{de l’oride}

élastique

^{se formule}

ag

l’ fi1t1plitl.ltle

moyenne, ^êellé que

prendrâit

déù atonies

id6tiqué§.

diflugt

une tftdiatitJti de

fréquence

mentée v + vx. Elle

perd

^un

quantum

^à

chaque photon qu’elle rejette : l’amplitude

^{a, .}

qui

^entre

en

compte prend

^{dans le}

temps

la valeur moyenne :

L’onde

(x’,

_par contre, diffuse ^une radiation de fré- quence diminuée v 2013 ~ ; elle gagne ^un

quantum chaque

^fois

qu’elle rejette

^un

photon

^et

D’autre

part,

^{les ondes x et ce’ sont}

opposées :

^{V(1.1 = V(1.;}

et les

amplitudes

aj(1., et sont

parallèles.

^Elles

sont aussi extrêmement

petites :

se confond avec

7r Xaj(1.; Hj/J,, (2

^avec

Hj,

et

Hj

^avec

- -,.. - .

D’où l’on déduit le

pouvoir

diffusant du

premier

ordre

[formules (5), (9), (10), (11)

^et

(12)] :

avec

et

M est la translation

qui

^amène

l’origine

⁰

( fig. 3)

du réseau

polaire

^sur le centre M de la zone où

se trouve le

pôle

^{de diffusion D.}

On définit de la même

façon [9]

des

pouvoirs

diffusants du ^se-

cond,

^{du troisième}

ordre,

^dus

respectivement

^{aux radiations}

diffusées d’ordre

deux,

^{trois. Le} tableau suivant concerne la diffusion

qui

^est

produite

par la

Fi

g. 9.

sylvine.

Il montre

l’importance

Fig. 9. relative des divers

pouvoirs

^dif-

fusants

lorsque

^le

pôle

^{de diffu-}

sion se meut sur un rayon 110 dans la zone 004.

Les nombres inscrits entre

parenthèses expriment

les

proportions

^en centièmes. ^Les

pouvoirs

^diffusants

globaux

p sont obtenus par

interpolation

^{entre nos}

/

ⁱ

photométries.

^Les

pouvoirs

diffusants _P2, du second : ¹

ordre;

p3, du troisième

ordre;

_pc, ^{de l’effet}

Comptons

sont calculés. Le

pouvoir

^diffusant pi ^se déduit par différence :

x mesure la distance MD

( fig. 9)

entre le centre M de la zone et le

pôle

^de diffusion D. Cette distance est évaluée en

prenant

pour unité le rayon ^ML de la _zone, celui

qui

passe par ^le

point

^{D :}

Syliine :

^{zone, 004;} rayon, ~, ⁼ 0,7o8

- 712 À -

On

voit" que

^le

pouvoir

diffusant du troisième ordre est

négligeable,

que celui du second ordre ^est notable et que celui du

premier

ordre forme la

partie princi- pale

^du

pouvoir

^diffusant

global.

8.

Propriétés

^{de la} diffusion cristalline. Rela- tion entre le

pouvoir

^diffusant et la vitesse des ondes

acoustiques.

^- Grâce à des

approximations,

il est

possible

de calculer sans erreur grave ^les

pouvoirs

diffusants d’ordre deux et

trois,

^comme celui de l’effet

Compton,

^{et, les} retranchant du

pouvoir

^diffusant

global qui

^{seul est}

^mesurable,

on obtient le

pouvoir

diffusant du

premier

^ordre

avec une bonne

précision.

S’il est g ^{atomes dans la} maille

élémentaire,

^le

pouvoir di ff usant

^du

premier

^{ordre ne}

dépend

que de 6 g vibrations. Ce nombre est extrêmement

petit

par

rapport

à celui de toutes les vibrations se

propageant

^{dans le} cristal. Et ces 6 g ^vibrations sont

opposées

^{deux à} deux. Elles ont seulement 3 g

fréquences,

³ g

amplitudes

moyennes, ^une

longueur

d’onde. Au

point

^{de vue} diffusion elles se

réduisent à 3 g.

Si le

pôle

^{de diffusion se trouve dans le centre}

d’une zone où la diffusion est

forte,

la presque totalité du

rayonnement

^{diffusé ne}

provient plus

que de trois vibrations

acoustiques. Et,

^{si l’une} d’elles est

parallèle

^{au vecteur de}

diffusion,

^elle

définit seule le

pouvoir

diffusant. Inversement le

pouvoir

diffusant définit la

fréquence

^{et la vitesse}

de l’onde

acoustique.

10 Cas des cristaux

métalliques.

^{- La}

plupart

des métaux ont un atome par maille. Ils sont exclu- sivement le

siège

^de vibrations

acoustiques.

^Leur

pouvoir

^{diffusant du}

premier

^ordre

s’exprime [formule (13)] :

Les trois vibrations de

fréquences

V2’ V3 ont le même vecteur de

propagation

^{S mais se}

déplacent

d’ordinaire avec des vitesses distinctes

VI, V~, V3°

En

conséquence

Supposons

^{le vecteur X}

parallèle à

^{l’une des vibra-}

tions

L’orientation du

cristal,

^la direction du faisceau

incident,

celle du faisceau

diffusé, situent

^le

pôle

de diffusion D

(fig. 3)

^{dans une zone. Si M en est}

-

le centre S ⁼ MD.

1°

Dirigeons

le vecteur X

(fig. 10)

^{suivant une}

rangée

^{OM du réseau}

polaire.

^{Le vecteur S est orienté}

de

même,

et le vecteur X se confond ^ou fait un

angle

très

petit

^avec la vibration

longitudinale ( ~)

^ou

pseudolongitudinale

^a.

2~

Plaçons

^le

pôle

de diffusion D

(fig. i i)

^dans

un

plan

^de

symétrie

^{et sur le} méridien ODM d’une

sphère ayant

OM pour diamètre. Le vecteur X est

orthogonal

^au vecteur S’. Il coïncide ou fait un

angle

minime avec la vibration transversale

(5)

^ou

speudo-

transversale a’ contenue dans le

plan

^ODM.

Les ^mesures du

pouvoir

^{diffusant dans l’un et}

l’autre cas déterminent les vitesses de

propagation

^V

et V’ des vibrations a et a’.

Des vitesses évaluées suivant des directions (8) ^Par rapport ^au vecteur de propagation fondamental.

différentes on déduit les coefficients d’élasticité.

Il convient de

placer

^le

pôle

^de diffusion dans les

zones de faibles ^{notations et}

près

^{de leurs centres,}

Fig. r o.

de sorte

que X

et S restent

petits.

^{Dans ces condi-}

tions,

^les

pouvoirs

diffusants d’ordre deux et

trois,

ainsi que celui de l’effet

Compton,

^sont

négligeables,

et le facteur de

Debye

diffère peu de l’unité.

Si les coefficients d’élasticité et

partant

les vitesses des ondes

élastiques

^{sont connues, la}

photométrie

du

rayonnement

^diffusé

permet

d’atteindre le facteur de structure

atomique

^{à tous les}

angles

^{de diffusion.}

Un atome

engagé

^{dans un cristal} n’a pas le même facteur de structure que s’il était

libre,

^{tel un atome}

de gaz ^rare. C’est la structure des atomes libres

qui

est définie _par les théories

quantiques

^de

Schrôdinger,

de

Thomas-Fermi,

^de Hartree. L’atome

placé

^dans

un cristal

prend

^{une structure} différente :

d’abord,

il se trouve dans le

champ

^{de force créé} par ^ses voisins.

Ensuite,

il oscille : les oscillations modi- fient la structure de ses couches

électroniques

externes.

.

Quand

^la

température s’élève,

le réseau cristallin

se

dilate,

les oscillations

s’amplifient,

^{et le facteur}

, de structure

atomique

^varie. L’état cristallin serait

’

mieux connu si l’on

pouvait pénétrer jusque

^dans

ses détails la structure de l’atome

oscillant,

^le

~ véritable constituant du cristal. Mais évaluer le facteur de

Debye

^{H est une}

opération

^{fort délicate}

[ i o].

Seul le

produit

^fH

peut

^être atteint par

l’expérience.

10

2ô Cas d’ un cristal de ^- Il _y a deux atomes dans là maille élémentaire de la

sylvine.

^{Ce cristal}

â comme

pouvoir

^{diffusant du}

premier

^ordre

[for-

mule

(13)]

La

première

somme concerne les vibrations acous-

tiques,

la seconde les vibrations

rapides.

, Fig. 12.

Plaçons

^{un sommet de la maille sur un}

atome, pour leqùel jl

⁼

j.

⁼

13

^{= o. atome du}

motif èristalliii

se

trouvé

au

centre

dé

la maiÎÎé

Dans la sylvine

^{les ions et CI-, ne sont} pas

eouplés

en molécules

KCI;

^{les ondes}

élastiques

^se

propagent

uniforménwnt : ^¡ 17 (); ^{= o.} La

symétrie

du cristal fait que ^cos

1 XaK(X = ~ cos ^quelle

que soit la vibra-

tioni

^Les coefficients _eIt et _Ceux des ondes

acoustiques

ont le même

signe;

^{ceux des ondes}

rapides,

^ckaa

sont de

signes

contraires.

lsorsque

le vecteur de

prepagation

fondamental.

s’annule,

CK et _{cr it} tende- nt

vers unj

si

mK et mci sont le~ masses des ions K~’

et

1

^tendent

respectivement

^vers

êt 1 mJt i

éfi Mftê

ué

^le

ràpport ; / à

V

^{lnR P} ctiô>

1

pour limite

[ 1 1 ~ ]

^{Enfin et}

^diffèrent

^tout

juste

de 5 pour ^{Ioo :} les facteurs de

Debye ~~

^et

He, peuvent

^{être confondus.}

Les zones de la

sylvine

^{ont là forme d’ufi cubo-}

octaèdre

(fig.

1°

Supposons

^le

pôle

^{de diffusion dans une zone}

impaire (M~ +M2+Mg=2n+i) :

La somme

.E, x’9 fomule (16)]

^{est minime.}

v

x

Les vibrations

rapides produisent

^la

majeure partie

du

rayonnement diffusé.

^Leurs

fréquences

^sont

grandes :

^le

pouvoir

^{diffusant doit être}

petit.

^C’est

lé résultat

expérimental

^même

[12}.

2ô Si

le pôle

^de

^diflusion

^est

^dans

^{une zone}

paire (M,

+

M2

+

M,

^{--. o ou 2}

n)

La

1 cil"" [2 [formule (16)

^est

négligeable

_

devant son

homologue ^12.

Ce sont les

ÕnlÎê!i

a

acoustiques qui produisent

^la

diffusion.

^{Elles ont} des

fréquences petites :

^le

pouvoir

^{diffusant doit}

être

grand.

Effectivement

lorsque

^le

pôle

^{de difiu-}

~sion se trouve dans une zone

paire

^{la diffusion est}

forte

[1 ~ ].

3~

Supposons toujours

^le

pôle

^de

diffusion dans

une zone

paire

^mais

près ^du

^centre

^{afin soit} petit.

Les vibrations

acoustiques

^{de l’ion}

^{~~1 et}

celles de l’ion

Cl-1, responsables

^{de là}

^diffusion,

ont sensiblement les mêmes

amplitudes,

^{et leurs}

fréquences

^sont

^faibles.

^{A la}

tëinpérâturê ^ordinaire

et

aux

tefupêtatures plus ^élevées,

^ces

oscillations forment

dès

ondes qui pteI1hèht

^des

énergies moyennes égales

^à

kT.

En

conséquence :

Si le veéteur X est

parallèle à

l’une des vibrations ai, a2, a3, ^on obtient la vitesse de l’onde

correspondante.

Les vitesses

Vtt

déduites du

pouvoir

^diffusant

l viteses mesUrées mécani-

qnement [i8j

^».

S,.s 1~~

3~ Cas

général.

^-

Quel

que soit le nombre des atomes contenus dans ^la maille

élémèntâirê,

^les

vibrations

rapides

^{ont des}

fréquences

^élevées

(I ois

^en-

viron) :

^{.- leur}

pouvoir

^{diffusant egt faible. Les fré-}

quences des

^ondes

acoustiques

^sont

moindres;

^elles

s’annulent

^avec le vecteur

dé propagation

^fonda-

mental S. Une vibration

acoustique produit

^une

diffusion intense si elle a un vecteur de

propagation

^S

petit

^{et un facteur} de structure

[formule (15)]

grand.

Ce facteur

s’exprime

^encore

quand

^{S est}

petit,

car les

amplitudes

ajj, a,~x, ..., sont alors

parallèles

^et

Lorsque

S s’annule les coefficients _cja, ...

tendent vers un, les différences

tendent vers zéro et

F.

devient

égal

^au facteur de structure du cristal

Fa [formule (6)],

^celui

qui

^déter-

mine l’intensité des faisceaux sélectivement réfléchis.

Le

pouvoir

^{diffusant est} donc fort toutes les fois que le

pôle

^{de diffusion se trouve dans le centre}

d’une zone

(Ml, M2, M3),

telle que la réflexion sélec- tive

(Ml, M,, M3)

^{est intense. Le}

pouvoir

^diffusant

fort

permet

^{d’évaluer les vitesses des ondes}

acoustiques

et les coefficients d’élasticité.

9. Comlnent le

pouvoir

diffusant varie avec

la

température. -

L’intensité de la diffusion

dépend principalement

^{de la}

température

par les éner-

gies

moyennes des vibrations

E,,, E~,... [formule (14j

et

fig.

13, ^courbe

AB],

^et par les facteurs de

Debye H;,, Hl,

^...

[formule (7)

^et

f g. 14,

^courbe

CD]. ^Ainsi,

le

pouvoir

diffusant du

premier

^ordre

[formule (13)]

est

approximativement

^{une fonction linéaire de}

produits Ex H2,

^Ex

H2,

^{... et Ex}

Hj Hj,,

^....

Quand

^la

température

^{s’élève dès le zéro}

absolu,

^ces

produits augmentent d’abord, atteignent

^{un maximum et}

diminuent. Le

pouvoir

^{diffusant du}

prenùer

^ordre

varié en

gros

^de

même, pouvant

^toutefois passer par des maxima secondaires. Cella se vérifn avec

Fig. ~ ^{t 3.}

la

sylvine;

^en

particulier

^{si X excède 1 og le}

pouvoir

diffusant du

premier

ordre diminüe

quand ^la tempé-

rature croît au-dessus de

2900 K [14].

^D’autres

paramètres, qui

^{influent sur le}

pouvoir ^diffusant,

varient aussi avec la

température,

bien moins

Fig. 14.

toutefois que les

énergies

moyennes ^des vibrations et les facteurs de

Debye.

^Les

plus importants

^sont

les

fréquences

des vibrations

élastiques [15~

^{et les}

facteurs de structure

atomiques.

^On

peut espérer

que la ^mesure du

pouvoir

diffusant faite à des

températures

^variées

apportera

^des

renseignements

nouveaux sur la cohésion du

cristal,

^sur les électrons de valence et de

conductibilité,

^{voire même sur le}

ferromagnétisme.

Cette ^{étude a été} faite sous la direction de M. Ch.

Mauguin,

^membre de l’Institut. Je tiens à lui

exprimer

^{ici toute ma} reconnaissance.

Manuscrit reçu le ²⁰ octobre 19 4 2.

BIBLIOGRAPHIE.

[I] A. W. COVEN, Phys. Rev., 1932, 41, p. 422. ^{- G.E.M.}

JAUNGEY et FORD PENNEL, Phys. Rev., I933, 43, p. 505 et I933, ^44, p. I38. ^- J. LAVAL, C. R. Acad. Sc., I938, 207, p. I69 ^et I939, 208, p. I5I2. ^- A. P. R.

WADLUND, Phys. Rev., I938, 53, p. 843. ^{- J.} LAVAL,

Bull. Soc. franç. ^de Minér., I939, 52, p. 55-60. ^- G. D. PRESTON, ^Proc. Roy. Soc., A, I939, 172, p. II6.2014 K. LONSDALE, Nature, I940, 146, p. 806. ^- K. LONS- DALE, J. KNAQGS et H. SMITH, Nature, I940, 146, p. 332. ^- C. V. RAMAN et P. NILAKANTAN, ^{Proc. Ind.}

Acad. Sc., II A, I940, p. 379-389-398 ^{et I2} A, I940, p. 14I. ^- G. E. M. JAUNCEY et O. J. BALTZER, Phys., Rev., I940, 58, p. III6 et I94I, 59, p. 699. ^{- STANLEY}

SIEGEL et W. H. ZACHARIASEN, Phys. Rev., I940, 57, p. 795. ^{- W. H.} ZACHARIASEN, Nature, I940, 145, p. I0I9 et Phys. Rev., I94I, 59, p. 207. ^- PH. OLMER, Contribution à l’étude de la diffusion ^en dehors des

réflexions sélectives de Bragg, Paris, I94I.

[2] ^J. LAVAL, Bull. ^Soc. franç. ^de Minér., I939, 52, p. ^II6.

[3] Ibid., p. 90.

[4] ^P. DEBYE, ^{Ann. der} Physik, I9I4, 43, p. 49. ^{- E. SCHRÖ-}

DINGER, Phys. Zeits., I9I4, 15, p. 79 ^et 497. ^{- H.} FÄXEN, Ann. der Physik, I9I8, 54, p. 6I5 et Zeits. fur Physik, I923, 17, p. 266. ^- L. BRILLOUIN, ^{Ann. de} Physique,

I922, 17, p. 88. ^- I. WALLER, ^Zeits. fur Physik, I923, 17, p. 398, ^Diss. Upsala, I925; ^{Ann. der} Physik, I927, 83, p. I53. ^- I. WALLER et R. W. JAMES, ^Proc. Roy.

Soc. Lond., I927, A 117, p. 2I4. ^{- H. V.} LAUE, ^Ann.

der Physik, I926, 81, p. 877. ²⁰¹⁴ G. E. M. JAUNCEY et G. G. HARVEY, Phys. ^Rev., I93I, 37, p. I203 et I93I, 38, p. I07I. ^- J. H. Woo, Phys. Rev., I93I, 38, p. I932. ^{- R.} PEIERLS, Ann. Inst. H. Poincaré, I935, 5,

p. I88. ^- C. V. RAMAN et N. NATH, Proc. Ind. Acad. Sc.,

I940, ^{12 A.} p. 795. ^{- W. H.} ZACHARIASEN, Phys. Rev., I940, 57, p. 597. ^{- J.} LAVAL, Bull. Soc. tranç. ^de Minér., I94I, 64, p. ^{I. 2014} J. WEIGLE, ^Helvetica Physica Acta, I94I, 14-7, p. 5g5.

[5] ^L. BRILLOUIN, ^{J. de} Physique, 7e série, I935, 6, p. I85.

[6] ^M. BORN, Dynamik ^der Kristallgitter, Leipzig ^et Berlin, I9I5, p. 42 ^et Atomtheorie des Festen Zustandes, Leipzig ^et Berlin, I923, p. 575.

[7] ^M. BORN, Atomtheorie des Festen Zustandes, Leipzig ^et Berlin, I923, p. 587.

[8] ^J. LAVAL, Bull. Soc. franç. de Minér., I94I, 64, p. 55.

[9] Ibid., p. 88.

[I0] Ibid., p. 9I.

[II] ^M. BORN, Atomtheorie des Festen Zustandes, Leipzig ^et Berlin, I923, p.

[I2] ^J. LAVAL, Bull. Soc. franç. ^de Minér., I939, ^{52. 2014}

Ph. OLMER, Contribution à l’étude de la diffusion ^des

rayons X ^en dehors des réflexions sélectives de Bragg, Paris, I94I.

[I3] ^J. LAVAL, Bull. Soc. franç. ^de Minér., I94I, 64, ^p. II4-

II5.

[I4] Ibid., p. 89.

[I5] Ibid., p. 98.