Elle repose sur la généralisation de la relation fondamentale de GIBBS pour les systèmes hors équilibre. Propagation de relaxation non linéaire) est construite dans le cadre de la thermodynamique des phénomènes irréversibles (T.P.I).
Introduction
L'utilisation des transformations de Legendre permet de choisir le potentiel adapté aux situations rencontrées pour le contrôle des variables aux frontières REV.
Potentiel thermodynamique et équations constitutives
Ces réponses sont provoquées par deux types de perturbations : des commandes contrôlées par l'expérimentateurγ˙ et des variables contrôlées par « l'environnement ».
Cadre fixé par la TPI linéaire
Hypothèse de linéarité thermodynamique
Hypothèse de linéarité cinétique
Découplage des processus (modes)
Modélisation des temps de relaxation
Temps de relaxation initial au voisinage de l’équilibre
Introduction des non linéarités : Extensions hors du cadre linéaire . 20
On peut donc formuler l'expression du temps de relaxation en fonction de l'énergie d'activation libre et de la température T. Cette hypothèse implique que l'origine de la distribution des temps de relaxation est de nature entropique.
Distribution des temps de relaxation
En d’autres termes, un changement de température provoque un déplacement global du spectre de relaxation le long de l’échelle de temps sans distorsion [Cunat (1988)], [Loukil (1996)]. Par conséquent, seule la connaissance de l’entropie d’activation du processus le plus lent détermine l’ensemble du spectre de relaxation.
Lois d’évolution du modèle
Influence des paramètres
A travers cet essai de traction monotone, nous souhaitons illustrer l'influence et la signification physique de chaque paramètre sur la courbe de traction. Pour les essais cycliques, d'autres paramètres (awetbw) ont été établis empiriquement par [Loukil (1996)] pour rendre compte de l'influence de l'énergie de déformation cumulée sur la variation de la hauteur du col d'activation.
Un exemple de formulation non linéaire à deux spectres
En effet, la théorie des fluctuations donne le poids de chaque mode j (ou k) au voisinage de l'équilibre. Cette formulation bispectrale sera utilisée dans le chapitre 2 pour pallier les lacunes de la version I du D.N.L.R.
Formulation intégrale
Lorsque la perturbation évolue de manière continue dans le temps, le passage à la frontière d'une somme discrète à une somme continue nous conduit à l'expression intégrale générale de D.N.L.R.
Conclusion
Dans ce contexte, nous avons formulé les équations constitutives du modèle sous la forme incrémentale la plus couramment utilisée pour les simulations numériques. La transition vers la forme intégrale est rendue possible en exploitant le concept de temps raccourci pour parvenir à une expression générale du principe de superposition de Boltzmann dans des situations hautement non linéaires.
Sollicitations cycliques à déformation imposée
- Comportement sous sollicitations cycliques uniaxiales
- Comportement sous sollicitations cycliques multiaxiales
Contraintes cycliques avec déformation imposée totale moins contrainte moyenne sur les cycles [Tanaka et al (1985)]. Il en résulte que l'évolution de la contrainte équivalente en fonction du nombre de cycles est fortement liée au type de chemins de chargement.
Sollicitations cycliques à contrainte imposée
- Aptitude du modèle à décrire le phénomène de rochet
- Rochet uniaxial
- Rochet multiaxial
Le phénomène d'accommodation s'observe également en abaissant la valeur de la contrainte moyenne (figure 2.17)σ=20 MPa au lieu de 100 MPa pour le cliquet. Nous illustrons sur la figure (2.18) l'influence de la contrainte moyenne sur le cliquet : plus la contrainte moyenne est élevée, plus la déformation progressive augmente. Les résultats observés montrent une augmentation progressive de la contrainte de traction²11 au cours du temps (cliquet).
La réponse observée montre une saturation très rapide de la déformation en traction²11 au fil du temps. Le développement de la contrainte de traction normale σ11(MP a) en fonction de la déformation de cisaillement²12 présente une trajectoire « papillon ». La réponse de la version I-bis (spectre 1 et état irréversiblement détendu) du modèle pour ces types de chargement (²12, imposé σ11) est la contrainte de cisaillement σ12 et la déformation de traction²11.
Les résultats observés avec la version I-bis du modèle montrent une augmentation progressive de la déformation en traction lors du chargement (phénomène de snap) pour les trois trajets. Dans le chemin 2B (Figure 2.38), l'augmentation est plus importante par rapport au chemin 2A (plus de 20 %) uniquement en raison de la valeur non nulle de la tension moyenne (Figure 2.38).
Conclusion
La loi de comportement de la version I (1 spectre et un état détendu réversible) du modèle est bien écrite. L'expression de la variable cinématique que nous utiliserons plus tard est la suivante. Le but sera de modifier l'expression (4.41) et de l'écrire sous la forme d'un écrouissage cinématique non linéaire de la forme.
Mise en œuvre et validation numériques 75
Généralités sur la méthode des éléments finis (E.F.)
- Formulation du problème (forme intégrale)
- Technique des éléments finis
Algorithme simplifié d’une analyse de contraintes par éléments finis
Nous nous plaçons dans le cadre des petites perturbations et de la mécanique du premier gradient et utilisons la méthode des éléments finis en déplacement (déformation imposée) associée à une méthode incrémentale pour simuler nos tests. L'écriture sous forme d'un tenseur symétrique permet de représenter l'état tridimensionnel des déformations en un point du matériau avec seulement 6 composantes. Ce champ de tension est le double de la présence d’un champ de tension qui se propage partout.
En chaque point de la frontière ∂ΩF, où l'environnement extérieur impose des forces (F), le vecteur contrainte vérifie la relation suivante. Par contre, en chaque point de la surface où les déplacements sont forcés d'être nuls ou non nuls, le champ vérifie les relations suivantes. A partir de cette représentation, la résolution par la méthode des éléments finis consiste à calculer les déplacements aux nœuds pour vérifier au mieux les équations physiques (PPV).
Comme on peut le voir dans les relations et (3.12), la division de la structure en éléments finis nous a permis de capter tous les champs de déplacements, déformations et contraintes avec la seule connaissance des déplacements aux nœuds. Les relations (3.11) et (3.12) sont ensuite utilisées pour calculer les déformations et contraintes en tout point de la structure, qu'elle soit statique ou dynamique.
Intégration du modèle D.N.L.R. dans le code E.F
Description de l’algorithme
- Calcul de la contrainte relaxée
- Calcul des temps de relaxation
- Calcul de la première approximation de la contrainte
- Calcul de la contrainte anélastique
- Calcul de la déformation anélastique : Technique d’accélération du
- Calcul de la contrainte totale
Les temps de relaxation sont mis à jour en fonction de la non-linéarité introduite dans le col d'activation en fonction des grandeurs connues. Il est défini uniquement par la donnée du temps de relaxation du processus le plus lent τmax,r et n'est calculé qu'une seule fois dans le sous-programme intégré au code. La relation (3.31) pose souvent des problèmes de convergence (division par zéro) si l'on ne choisit pas un pas de temps dix fois plus petit que le temps de relaxation le plus court.
En effet, le facteur de glissement, 3,32) peut être infinitésimal pour de très petits temps de relaxation (Kσ négatif). Il faut déterminer un pas de temps d'au plus 10,−5 s pour converger avec la technique d'intégration choisie (Euler explicite), qui est très coûteuse, de l'ordre de 3 heures pour les stations de calcul Sun Ultra série 5 et pour un temps de chargement de 120 secondes. Pour un spectre de 50 modes répartis sur 6 décennies, la simulation montre que moins de dix temps de relaxation sont modifiés.
Si τj ¿ 4t (c'est-à-dire le temps de relaxation du mode j trop faible par rapport au pas de temps) alors 4t :=τj (c'est-à-dire qu'on attribue à τj la valeur du pas ∆t). Évaluation du modèle aux éléments finis d'un facteur 1000 dans le pas de temps et donc dans le temps de calcul.
Validation du modèle par éléments finis
- Choix de l’élément
- Essai de traction monotone
- Essais de traction-cisaillement de type papillon et trèfle - Validation
La formulation de l'élément est basée sur les relations suivantes (faisant référence aux relations avec le repère paramétrique (r,s,t). Nous avons repris ses tests sur un objet tridimensionnel pour prouver l'intégration du modèle dans le code. Le temps de calcul est donc relativement court, sachant que la programmation directe, où seule l'étape locale dans un Elément Représentant de Volume (VER) est considérée, prend 4 secondes : on passe ainsi 4 secondes pour le comportement local au nœud Gaussien, avec 105 secondes pour le comportement local et total de l'élément de volume à 8 nœuds.
Une comparaison directe avec l'expérience montre que les résultats obtenus pour le premier cycle de charge papillon sont satisfaisants malgré la simplicité du modèle mis en œuvre ici (Figure 3.6). Ces variations sont significatives en début de chargement, mais en valeur absolue ne dépassent pas 35 % en traction et 15 % en cisaillement. 3.7 – Evolution de la différence entre expérience et simulation pour le chargement papillon – traction et cisaillement – traction et cisaillement.
Pour le trajet en trèfle, nous avons simulé le comportement jusqu'à ce que la contrainte se stabilise (une cinquantaine de cycles) et comparé le dernier cycle avec le cycle stabilisé des essais expérimentaux (Figure 3.8). La plus grande différence entre l’expérimentation et la simulation de la trajectoire en feuille de trèfle est du même ordre que celle de la trajectoire du papillon.
Conclusion
La technique d'intégration adaptative par étapes utilisée ici a permis un gain significatif en termes de temps de calcul.
- Présentation du modèle N.L.K
- Formulation élastoplastique
- Intégration du modèle N.L.K dans le code E.F
- Description de l’algorithme d’intégration
- Etude comparative
- Validation sur un essai de traction : VER/VEF
- Essai de validation sous chargements cycliques non proportion-
- Application : Etude du comportement d’une plaque trouée
- Modélisation qualitative des surfaces de charge
- Cas d’un matériau isotrope
- Cas d’un matériau orthotrope
- Critère de Hill
- Réflexion sur l’état relaxé
- Identification
- Conclusion
Ce modèle classique est basé sur l'existence d'une surface de chargement de type von-Mises et la décomposition de l'écrouissage en écrouissage isotrope et écrouissage cinématique. Cela revient à annuler le paramètre w correspondant à la vitesse de stabilisation de la variable cinématique. Ceci permet de retrouver les incréments de la déformation inélastique ∆²anij , de la déformation inélastique cumulée ∆p, de l'écrouissage cinématique ∆Xij et de l'écrouissage isotrope.
Les évolutions de contrainte et déformation équivalente des deux modèles sont identiques dans les trois axes X1, X2 et X3 (figure 4.12). 4.12 – Evolutions de déformation et contrainte équivalente selon les axes X1, X2 et X3 X2 et X3. Dans le cas d'une charge unidirectionnelle avec une vitesse de déformation imposée, l'équation (4.40) peut s'écrire de la manière suivante,
En première approximation, on peut modéliser l'état détendu comme une fonction linéaire de la déformation inélastique (en négligeant la partie élastique). Cet adoucissement est très faible et a très peu d'effet sur la courbe de contrainte réelle σ(²).
- Méthode de Newton-Raphson
- Méthode à grand incrément de temps
- Definitions et principes
- Construction de l’algorithme
- Étape locale
- Étape globale
- Convergence de l’algorithme
- Choix des Opérateurs de projection
- Application de la M.A.G.I.T. au D.N.L.R
- Conclusion
- Second principe de la thermodynamique
- Variables observables et variables internes en formulation classique
- Variables associées - Lois d’état en formulation classique
- Potentiel de dissipation - Lois complémentaires
- Variation du col d’activation
- Distribution initiale des temps de relaxation
- Influence du Module non relaxé E u
- Influence du Module relaxé E r
- Influence du Paramètre de non linéarité K σ
- Influence du paramètre d’énergie d’activation maximale 4F r+,max
- Distribution initiale des temps de relaxation des spectres I et II sur 6 décades
- Formulation intégrale
- Durcissement - Augmentation progressive de la contrainte
- Adoucissement - Diminution progressive de la contrainte
- Effet d’adoucissement cyclique et de mémoire sous séquence de chargements à
- a w positif - Durcissement
- a w négatif - Adoucissement
- b w =0 - pas de cycle stabilisé
- Effet mémoire - Simulation version I du modèle
- Effet mémoire - Simulation version II du modèle
- Trajets de chargement : ² 11 en abscisse et ² 12 = γ 12
- Résultats expérimentaux - Evolution de σ EQV M ax en fonction de la déformation
- Réponse d’un modèle Micromécanique - Evolution de σ EQV M ax en fonction de la
- Réponse D.N.L.R. version I - Evolution de σ M ax EQV en fonction du nombre de cycle 50
- Phénomènes d’accommodation (a), de rochet (b)
- Contrainte symétrique (σ = 0MP a)
- Contrainte non symétrique (σ = 100MP a)
- Contrainte non symétrique (σ = 20MP a)
- Influence de la contrainte moyenne
- Trajet 1 - Description du chargement (σ 11 , ² 12 )
- Trajet 1 - résultats obtenus par Basuroychowdhury et al (1998) comparés à
- Trajet 1 - résultats obtenus avec la version I-bis D.N.L.R. (1 spectre et état
- Essai de fluage avec les versions I (σ r réversible) et I-bis (σ r irréversible) du
- Trajet 2 - contrainte normale σ 11 (MP a) et déformation de cisaillement ² 12 (∗10 −3 )
- Trajet 2 - contrainte normale - déformation de cisaillement (σ 11 (MP a) - ² 12 )
- Réponse N.L.K. trajet2A : sens 1 contrainte moyenne nulle
- Réponse N.L.K. trajet2B : sens 1 contrainte moyenne non nulle
- Réponse N.L.K. trajet2C : sens 2 contrainte moyenne non nulle
- Réponse N.L.K. trajet 2A et trajet2C
- Réponse N.L.K. trajet2C : contrainte moyenne non nulle
- D.N.L.R. version I-bis trajet2A : sens 1 et contrainte moyenne nulle
- D.N.L.R. version I-bis trajet2B : sens 1 et contrainte moyenne non nulle
- D.N.L.R. version I-bis trajet2C : sens 2 et contrainte moyenne non nulle
- D.N.L.R. version I-bis trajet2A : sens 1 et contrainte moyenne nulle
- D.N.L.R. version I-bis trajet2B : sens 1 et contrainte moyenne non nulle
- D.N.L.R. version I-bis trajet2C : sens 2 et contrainte moyenne non nulle
- Version I-bis : évolution de ² 11 en fonction de ² 12
- D.N.L.R. version I-bis : Evolution de la déformation équivalente maximale en
- Description du trajet papillon
- Etude comparative des modèles NLK (a), BCG (b), OW (c), TANA (d), OW-
- Comparaison entre la simulation du modèle à 400 grains proposé par Abdul-
- Version I du modèle D.N.L.R. (1 spectre et un état relaxé réversible)
- Version I-bis du modèle D.N.L.R
- Version II du modèle D.N.L.R
- Modélisation des efforts et des conditions aux limites
- Discrétisation 2D par des éléments finis
- Organigramme du schéma de résolution numérique par éléments finis
- Validation du modèle sur un essai de traction
- Description de l’élément de volume et de sa déformée
- Validation E.F. du modèle D.N.L.R. : Sollicitation "Papillon"
- Evolution de l’écart entre l’expérience et la simulation pour le chargement pa-
- Validation E.F. du modèle D.N.L.R. : Sollicitation "Trèfle"
- Définition graphique de X et de R
- Validation du modèle N.L.K
- Evolution de la variable d’écrouissage cinématique X en traction monotone
- Etude comparative sur une courbe de traction monotone. D.N.L.R. - modèle à
- Traction
- Cisaillement
- Plaque trouée
- Quart de plaque : Maillage et conditions aux limites
- Evolutions des champs de déformation et de contrainte au voisinage du trou
- Evolution la contrainte σ 22 en fonction de la déformation ² 22 point B
- Evolution la contrainte σ 22 en fonction de la déformation ² 22 point C
- Evolutions de la déformation et de la contrainte équivalente le long des axes
- Surface de charge initiale du modèle D.N.L.R
- Influence de K σ sur la surface de charge initiale
- Modélisation de surface de charge : isotrope et orthotrope avec la version I du
- Chargement monotone : Evolution de σ 11 et de σ 11 r en fonction de la déforma-
- Chargement cyclique : Evolution de σ 11 et de σ 11 r en fonction de la déformation
- D.N.L.R. modifié : Evolution de la contrainte relaxée (Adoucissement)
- Résultats de simulations avec les modèles D.N.L.R.modifié et N.L.K
- Algorithme de Newton
- Représentation graphique de efforts appliqués sur un solide S
- Schématisation de la M.A.G.I.T - S domaine des champs statiquement admis-
- Schéma de la M.A.G.I.T version 1
- Première itération de la version 1 de la M.A.G.I.T
- Deuxième itération de la version 1 de la M.A.G.I.T
- Troisième itération de la version 1 de la M.A.G.I.T
- Schéma de la M.A.G.I.T version 2
- Version 2 : itération 1, 2 et 3
- Evolution du temps de calcul en fonction des cycles
- Paramètres du modèle version I
- Matrices de Tisza (isotrope)
- Paramètres cinétiques du modèle Version II
- Tableau récapitulatif des différentes versions construites sur la base de l’ap-
- Paramètres de la version I du modèle D.N.L.R
- Paramètres de la version I-bis du modèle D.N.L.R
- Paramètres de la version II du modèle D.N.L.R
- Algorithme de la technique d’accélération du temps de calcul
- Paramètres du modèle version I
- Définition des chargements Papillon et trèfle
- Paramètres du modèle D.N.L.R. identifiés par [Toussaint (1997)]
- Tableau récapitulatif des modèles D.N.L.R. et N.L.K. retenus pour la comparaison108
- Paramètres du modèle N.L.K. à deux centres (écrouissage cinématique non li-
- Détails du temps de calcul des modèles D.N.L.R. et N.L.K
- Paramètres du modèle D.N.L.R. modifié (9 coefficients)
- Paramètres du modèle N.L.K. (11 coefficients)
- Tableau récapitulatif des modèles D.N.L.R. modifié et N.L.K
C'est une méthode itérative qui commence par une approximation parfois grossière des variables en tout point M de la structure (Ω) et à tout instant t∈ [0, T]. Le but de ces différentes méthodes est de résoudre des équations non linéaires de la forme L'abscisse de l'intersection de la kième tangente et de l'axe U est évidemment la racine de l'équation.
La solution du problème de mécanique générale consiste à déterminer le domaine qui satisfait aux 3 conditions suivantes. Cette phase est la détermination du champ localˆ= (ˆσ,ˆ˙²) appartenant àΓobtenu en projetant le champ = (σn,²˙n)deselon une directionP+ dans le groupeΓ.sˆvérifie donc les équations de la loi de comportement. Le caractère non linéaire de cette phase découle non seulement de la loi de comportement, mais aussi de l'équation de projection.
Chaboche (1977)] Chaboche, J.L., "Sur l'utilisation de variables d'état internes pour décrire la viscoplasticité cyclique avec dommages" Problèmes non linéaires en mécanique. 34;Sur un modèle comportemental basé sur une analyse modale de dissipation : Application au calcul par éléments finis." Loukil (1996)] Loukil, M., "Modélisation des surfaces de plasticité à partir d'une approche thermodynamique de la relaxation des milieux continus", Thèse. I.N.P.
Propagation de relaxation non linéaire) s'appuie sur la théorie des fluctuations et l'analyse modale de la dissipation.
