Application de la M.A.G.I.T. au D.N.L.R

Chapitre 5. Application de la M.A.G.I.T. au modèle D.N.L.R.

La résolution du système différentiel (5.18) doit donnerσ^j et²^an. Nous choisissons, arbitraire- ment, à partir de ces deux ensemblesA_detΓles processus-champs :

S_n= (σ^j_n,²˙^an_n ) ∈A_d et

Sˆ= (ˆσ^j,ˆ˙²^an) ∈Γ

Nous construisons autour de ces deux ensembles un algorithme itératif à deux étapes. Il consiste à réaliser la projection successive entre ces deux ensembles de manière à converger vers la solution exacte (figure 5.3). Les opérateurs de projectionP⁺ etP⁻pour les versions 1 et 2 de la M.A.G.I.T. découlent directement de la loi de comportement par la forme des expressions suivantes :

Pour la version 1

Les opérateurs de projections sont données par :









P⁺(M, t) = 0 P⁻(M, t) = −d²˙^an

dσ^j =−A^u−1X

j

1 τ^j

(5.19)

FIG. 5.4 – Schéma de la M.A.G.I.T version 1

La première étape consiste à projeter le champs_n = (σ^j_n,²˙^an_n ), connu, appartenant àA_ddéfini sur l’intervalle d’étude [0,T], surΓpar l’intermédiaire de l’opérateur de projectionP⁺. Ce qui

5.4. Application de la M.A.G.I.T. au D.N.L.R.

se traduit mathématiquement par deux équations où l’inconnue est le champsˆ

³ ˆ σ^j,ˆ˙²^an

´ : La première équation traduit la projection des_nsurΓpar rapport àP⁺:

ˆ

s =P⁺(s_n)⇐⇒ˆ˙²^an−²˙^an_n =P⁺.¡ ˆ

σ^j −σ^j_n¢ CommeP⁺=0, nous avons.

ˆ˙²^an = ˙²^an_n

La deuxième équation est une relation qui lieσˆ^j àˆ˙²^an. Puisquesˆ∈Γet queΓreprésente la loi de comportement, cette relation est donc la loi de comportement définie comme suit :

ˆ

s∈Γ⇐⇒ˆ˙²^an =−A^u−1X

j

µσˆ^j−σ^j,r τ^j

¶

L’étape locale s’écrit alors :











ˆ˙²^an = ˙²^an_n

ˆ˙²^an =−Au⁻¹X

j

(ˆσ^j −σ^j,r

τ^j ) (5.20)

Cette étape est non linéaire car lesτ^j dépendent desσˆ^j. La résolution de ce système différentiel nous donne le champsˆ=(ˆσ^j,ˆ˙²^an) ∈Γque nous projetons à nouveau surAdpar l’intermédiaire de P⁻. Ce qui se traduit à nouveau par un système d’équations où l’inconnue est le champ s_n+1=P⁻(ˆs)

l’équation de projection deˆssurAdest donnée par :

s_n+1 =P⁻(ˆs) ⇐⇒ ²˙^an_n+1−ˆ˙²^an =P⁻.(σ^j_n+1−σˆ^j)

La deuxième équation est une relation qui lie²˙^an_n+1àσ˙^j_n+1puisques_n+1 ∈A_d. Cette relation est donnée par :

s_n+1 = (σ^j_n+1,²˙^an_n+1) ∈A_d ⇐⇒ σ˙^j_n+1 =P₀^jA^u( ˙²−²˙^an_n+1)

˙

²est la vitesse de déformation totale, elle est parfaitement connue pour un essai à déformation contrôlée. l’étape globale s’écrit alors :





˙

²^an_n+1−ˆ˙²^an =P⁻.(σ^j_n+1− σˆ^j)

˙

σ^j_n+1 =P₀^jA^u( ˙²−²˙^an_n+1)

(5.21) Dans cette étape lesτ^j dépendent desσˆ^j, mais ces derniers sont connus à partir de l’étape pré- cédente. La résolution de ce système d’équations linéaires donne le champs_n+1 = (σ^j_n+1,²˙^an_n+1)

∈Ad.

L’écart entres_n+1etsˆest évalué après chaque résolution des deux systèmes. Nous construisons ainsi un schéma itératif qui tend naturellement vers la solution exacte du problème qui est l’in- tersection de deux ensemblesAdetΓ. Il faut cependant imposer une condition d’arrêt sinon le calcul risque de diverger. Pour cette version nous arrêtons les itérations quand l’écart maximal entreσˆetσ_n+1 est inférieur à 0.1 %

Ec=Max[0,T]

kˆσ−σ_n+1k

°°

°°1

2(ˆσ+σn+1)

°°

°°

(5.22)

Chapitre 5. Application de la M.A.G.I.T. au modèle D.N.L.R.

Entre la première et la deuxième itération l’écart passe de 74 % (figure 5.5), à 3.7 % (figure 5.6). A la troisième itération nous avons une superposition quasi parfaite entreσ_n+1 etσˆ (Ec=

0.02 %). Le temps (cpu time) utilisé par la machine pour réaliser ces trois itérations est égal à 8.1 secondes là où la méthode incrémentale (avec pas adaptatif) ne met que 0.2 seconde.

Ainsi, notre choix des ensembles A_d et Γainsi que des projecteurs P⁺ et P⁻ nous conduit à une méthode pénalisante par rapport à l’analyse incrémentale utilisée jusqu’ici. La version 2 qui suit tente d’améliorer cette situation défavorable en terme de temps de calcul.

−0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015

−500

−400

−300

−200

−100 0 100 200 300 400 500

ε σ(MPa)

FIG. 5.5 – Première itération de la version 1 de la M.A.G.I.T.

−0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015

−500

−400

−300

−200

−100 0 100 200 300 400 500

ε

σ(MPa)

FIG. 5.6 – Deuxième itération de la version 1 de la M.A.G.I.T.

5.4. Application de la M.A.G.I.T. au D.N.L.R.

−0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015

−500

−400

−300

−200

−100 0 100 200 300 400 500

ε

σ(MPa)

FIG. 5.7 – Troisième itération de la version 1 de la M.A.G.I.T.

Pour la version 2

Les ensemblesAdetΓsont conservés, mais cette fois les opérateurs de projections sont donnés par :

P⁺(M, t) =−P⁻(M, t) = d˙²^an

dσ^j =A^u−1X

j

1

τ^j (5.23)

Le schéma d’intégration reste identique à la version 1. Seule l’expressionP⁺(M, t)change.

A partir d’un champ initial s_n = (σ^j_n,²˙^an_n ) appartenant à A_d, il faut trouver sˆ = (ˆσ^j,ˆ˙²^an) appartenant àΓprojeté des_nparP⁺.

ˆ

s=P⁺(s_n) ⇐⇒ ˆ˙²^an−²˙^an_n =P⁺(ˆσ^j −σ^j_n) et aussi

ˆ

s ∈Γ ⇐⇒ ˆ˙²^an =−A^u−1X

j

(ˆσ^j −σ^j,r τ^j ) L’étape locale s’écrit alors :















 ˆ˙

²^an−²˙^an_n =P⁺.¡ ˆ

σ^j−σ^j_n¢

=A^u−1X

j

ˆ σ^j−σ^j_n

τ^j ˆ˙²^an =A^u−1X

j

µσˆ^j −σ^j,r τ^j

¶ (5.24)

Chapitre 5. Application de la M.A.G.I.T. au modèle D.N.L.R.

FIG. 5.8 – Schéma de la M.A.G.I.T version 2

Nous projetons le champsˆ=(ˆσ^j,ˆ˙²^an) ∈ΓsurA_dpar l’intermédiaire deP⁻, nous terminons la première phase du processus itératif. Ceci est traduit par un système d’équations où l’inconnue est le champs_n+1=P⁻(ˆs) :

s_n+1 = (σ^j_n+1,²˙^an_n+1) ∈A_d ⇐⇒ σ˙^j_n+1 =P₀^jA^u( ˙²−²˙^an_n+1)

s_n+1 =P⁻(ˆs) ⇐⇒ ²˙^an_n+1−²ˆ˙^an =P⁻.(σ^j_n+1−σˆ^j)

L’étape globale s’écrit :











˙

²^an_n+1−ˆ˙²^an =P⁻.(σ^j_n+1− σˆ^j) =−A^u−1X

j

(σ^j_n+1− σˆ^j) τ^j

˙

σ^j_n+1 =P₀^jA^u( ˙²−²˙^an_n+1)

(5.25)

De même que pour la version 1, la résolution de ce système d’équation permet d’obtenirs_n+1 qui doit être égale àsˆà 0.1% près. Il s’avère que la version 2 n’améliore pas vraiment la si- tuation constatée avec la version 1 en terme de temps de calcul. Par contre, au niveau de la convergence et de la précision du calcul, nous constatons, dès la deuxième itération, que la so- lution de la version 2 (figure 5.9) est meilleure que celle de la version 1.

5.4. Application de la M.A.G.I.T. au D.N.L.R.

−0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015

−1500

−1000

−500 0 500 1000 1500

ε

σ(MPa)

(a)

−0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015

−500

−400

−300

−200

−100 0 100 200 300 400 500

ε

σ(MPa)

(b)

−0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015

−500

−400

−300

−200

−100 0 100 200 300 400 500

ε

σ(MPa)

(c)

FIG. 5.9 – Version 2 : itération 1, 2 et 3

Chapitre 5. Application de la M.A.G.I.T. au modèle D.N.L.R.

Si nous comparons les temps de calcul pour un modèle D.N.L.R. donné en version M.A.G.I.T et en version incrémentale, nous observons que la version M.A.G.I.T est environ 1000 fois plus rapide que la version incrémentale sans accélération de pas de temps. Par contre, si nous adjoignons un pas adaptatif à la version incrémentale, elle devient environ 7 fois plus rapide que la version M.A.G.I.T quel que soit le nombre de cycle à simuler (figure. 5.10). Ceci peut être expliqué par le fait que la méthode incrémentale est une méthode d’intégration qui n’oblige pas à stocker en mémoire les résultats des itérations précédentes. Par contre la version à grand incrément de temps qui dans sa formulation générale parait efficace, nous oblige, sur le plan numérique, à stocker dans la mémoire informatique, l’itération précédente pour la comparer avec l’itération actuelle. Dans le cadre retenu nous avons en effet :

– 4 équations matricielle (50 modes x 6 composantes) dont 2 fortement non linéaires à intégrer.

– une infinité de variables à stocker entre deux itérations

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 10 20 30 40 50 60 70

Nombre de cycle Temps de calcul (s)

Magit Meth. inc

FIG. 5.10 – Evolution du temps de calcul en fonction des cycles

No documento Sur un modèle de comportement mécanique avec analyse modale de la dissipation intrinsèque : mise en (páginas 154-161)