Modèles prenant en compte la conductivité finie du sol ou du plan. Nous verrons dans le premier chapitre que les modèles existants en configurations générales ne tiennent pas compte de la proximité des conducteurs entre eux.
METHODES CLASSIQUES DE SIMULATION DES LIGNES ET CABLES
- Introduction
- Analyse modale
- Méthode de Bergeron ou des ondes mobiles [Il]
- Méthode du double balayage
- Utilisation de la transformée inverse de Laplace pour modéliser les pertes
L'intérêt de la méthode modale est donc de découpler les équations pour arriver à la diagonalisation des matrices [52]. Les équations télégraphiques (1) et (2) s'écrivent alors sous la forme suivante : . L'application de la transformation modale [85] à ce système permet d'obtenir de nouvelles variables d'état pour les courants et les tensions notées {;} et {Y).
MODELES NUMERIQUES
Méthode de subdivision des conducteurs
Ii est remplacé par IR dans le vecteur courant en faisant une erreur égale à Zpi(I, + Il + . L) dans chaque ligne d'indice p. Dans cette deuxième étape, introduire l'équation (44) dans le système matriciel et soustraire la ligne i des lignes k, 1 et n permet d'obtenir des termes nuls sur les lignes k, 1 de la colonne des vecteurs dV/dz et n tout en restant sur le ligne d'indice R.
Méthode des Eléments Finis
- Historique et généralités
- Formulation en Electrostatique
- Formulation en Magnétodynamique
Cette méthode de résolution et la méthode des éléments finis s'adaptent bien aux cas où les conducteurs sont de forme quelconque (sections non cylindriques). Cette méthode de résolution a été utilisée par plusieurs auteurs pour caractériser les conducteurs, et son extension à la modélisation des câbles et des lignes sous forme de circuits équivalents a été initiée par d'autres au fil des années.
Méthode des équations intégrales
De ces relations et de la valeur du courant total dans chaque milieu, les impédances souhaitées sont dérivées. Avec ces hypothèses, nous introduisons le fait que certains opérateurs de physique classique sont auto-conjoints (L = L*), ce qui permet d'obtenir la solution du problème.
MODELES ANALYTIQUES
Conducteurs éloignés les uns des autres
A ce titre, nous fournissons un tableau de variation de 6 en fonction de la fréquence du cuivre. Le rayon moyen géométrique (g,) de la surface S, représente la distance moyenne géométrique de la surface dS à elle-même.
Conducteurs proches les uns des autres
- Modèles des lignes multifilaires
- Modèles des câbles multifilaires blindés
Dans de tels câbles, la symétrie circulaire de la gaine autour de l'âme supprime l'effet de proximité. MODÈLES POUR CONSIDÉRER LA CONDUCTIVITÉ FINALE DU SOL OU DE LA PLAQUE DE MISE À LA TERRE.
MODELES DE PRISE EN COMPTE DE LA CONDUCTIVITE FINIE DU SOL OU D'UN PLAN DE MASSE
Cas des lignes aériennes
- Modèle de Carson (lignes aériennes)
- Modèle de Dubanton
Figure (8) Conducteurs et leurs images en tenant compte de la profondeur de pénétration dans le plan de masse. Dans ce cas jo(pd2n) [SI contient les inductances externes (propres et mutuelles) des conducteurs et du plan de masse ainsi que les impédances internes propres et mutuelles du plan de masse, méd.
Cas des câbles enterrés
- Modèle de Pollaczek [73]
Le terme de correction de l'impédance propre de la terre (AZpro) est obtenu en remplaçant hj par hi et y par a (le rayon du câble) dans l'expression précédente de l'impédance mutuelle. Une autre formule simple, inspirée de celle établie pour les lignes aériennes [29] utilisant la profondeur de pénétration complexe, développée par [83] [27] peut remplacer celle donnée par Pollaczek dans le cas de l'impédance de terre pure pour câbles enterrés, ce qui donne .
CONCLUSION
L'impédance globale du conducteur de référence subit l'effet de peau dû au courant I r et l'effet de proximité dû aux courants des autres conducteurs. Cependant, plus les conducteurs sont proches les uns des autres, plus l'effet de proximité est important, ajoutant à l'effet de peau.
Position du problème et hypothèses
Position du problème
Enfin, en raison du manque d'outils simples disponibles pour la programmation des fonctions de Bessel d'ordre entier et d'arguments complexes, qui ne font pas seulement appel aux formes asymptotiques classiques, nous pensons qu'il est nécessaire à la fin de ce chapitre de passer en revue les informations qui permettent un calcul simple et efficace. codes pour exécuter ces fonctions dont nous avions besoin pour mener à bien cette étude. MODÈLE DE DÉTERMINATION DE L'IMPÉDANCE GLOBALE D'UN CONDUCTEUR SOUMIS À L'EFFET DE LA PROXIMITÉ D'AUTRES CONDUCTEURS CONDUCTEUR SOUMIS À L'EFFET DE LA PROXIMITÉ D'AUTRES CONDUCTEURS.
Hypothèses
Formulation générale
La première partie, indicée O, est due à l'effet de peau dans le conducteur, qui est relié à Ir, tandis que la deuxième partie, indicée (n=1, .., P), est uniquement due à l'effet de proximité. L'apparition de l'effet de proximité est due aux courants induits sur le conducteur C par les filaments de courant Ii (i P), tandis que l'effet de peau est dû au courant Ir parcourant C. Pour déterminer uniquement la contribution à l'effet de proximité, nous imposerons Ir = O et nous ne considérerons que les flux Ii.
Expression des potentiels vecteurs magnétiques dus à l'effet de proximité
Pour la partie due à l'effet de peau, un calcul assez simple permet de déterminer le paramètre Ao ainsi que l'impédance classique d'effet de peau d'un conducteur noté Zp en supposant que tous les courants Ii sont nuls. Ainsi, les premiers termes des formules (88) et (89) disparaissent pour les calculs qui suivent, on les retrouvera quand on calculera la résistance globale d'un conducteur soumis à l'effet de la proximité d'autres conducteurs. Enfin, on ajoutera la contribution due à l'effet de peau soit sous la forme de l'impédance Zp soit sous la forme d'une contribution au potentiel vecteur magnétique utilisant A,.
Détermination des impédances dues à I'effet de proximité d'un conducteur
Figure (12) : Application de la loi de Faraday au contour constitué du filament de courant 1 et du conducteur C. Le processus d'application de la loi de Faraday peut être répété séquentiellement entre chaque conducteur et le conducteur de référence. Ainsi, le rapport contenant l'impédance interne due uniquement à l'effet de proximité de la formule (120) sera donné par
Configuration en triangle
Figure (14) : Comparaison entre les valeurs de résistance à l'effet de peau du seul conducteur 1 et celles obtenues pour le même conducteur en tenant compte de l'effet de peau et de la proximité. Figure (1 5) Comparaison entre les valeurs d'effet de peau et de résistance de proximité du conducteur 1 calculées par éléments finis (E.F.) et celles obtenues pour le même conducteur en considérant l'effet de peau et la proximité par calcul analytique. Figure (16) Comparaison entre les valeurs d'inductance par effet de peau du conducteur I seul et celles obtenues pour le même conducteur en tenant compte de l'effet de peau et de la proximité.
Configuration en nappe
Figure (19) Comparaison entre les valeurs de résistance de peau du conducteur 2 seul et celles obtenues pour le même conducteur en tenant compte de l'effet de peau et de la proximité. Figure (20) Comparaison entre les valeurs d'effet de peau et de résistance de proximité du conducteur 2 calculées aux éléments finis (E.F.) et celles obtenues pour le même conducteur en considérant l'effet de peau et la proximité par calcul analytique. Figure (21) Comparaison entre les valeurs d'inductance à effet de peau seul du conducteur 2 et celles obtenues pour le même conducteur en tenant compte de l'effet de peau et de la proximité.
MODELE MATRICIEL DES IMPEDANCES ET ADMITTANCES DES LIGNES MULTIFILAIRES AU-DESSUS D'UN MILIEU CONDUCTEUR
Détermination des éléments hors diagonale de ([Z'i])
On a donc des courants induits par le fil de courant j sur le conducteur i (pas le passage d'un courant). Maintenant pour obtenir l'impédance interne (ztiji) du conducteur j soumis à l'effet de proximité du conducteur i, on utilise la procédure précédente, cette fois avec j comme conducteur de référence et en tenant compte des conditions (Ij = O et ii#0 ) . On considère un système de P conducteurs, parmi lesquels le conducteur i dont on veut déterminer l'impédance interne.
Rappels théoriques
A haute fréquence, les vitesses de propagation modale ont tendance à se rapprocher de la vitesse de la lumière dans le vide. Comme dans les travaux précédents, nous déterminons également ici les atténuations et les vitesses de propagation modales en fonction de la fréquence. On n'observe aucun changement des vitesses de propagation des modes 1 et 3 en fonction de la conductivité de la plaque de masse (terre ou cuivre) dans la gamme de fréquence [OHz,.
Mais souvent, l'expression résultante pour L est une fonction très peu conviviale à utiliser pour la programmation car il s'agit d'une combinaison de fonctions de Bessel. Nous utilisons le fait que les fonctions de Kelvin ker,(x) et kein(x) augmentent en fonction de n pour justifier une itération croissante sur n. Les relations de transit entre les fonctions de Bessel et les fonctions de Kelvin ainsi que les relations de récurrence utilisées ici sont les relations en 9.9.14 définies dans [il.
Cas des larges arguments et validations
Point situé au centre de l'élément infini de surface pris sur la section de la gaine. Point situé à l'extérieur du matériau de la gaine à partir duquel sont calculés les potentiels vecteurs magnétiques résultants (Aext et Aint. D'autres font l'hypothèse que le rayon extérieur de la gaine est infini (profondeur de pénétration < épaisseur de la gaine [5]) hypothèse que l'on peut ne le font plus lorsque des câbles de très petites dimensions latérales sont utilisés.
CABLE MULTIFILAIRE BLINDE ISOLE DANS L'AIR
Expression des potentiels vecteurs magnétiques
- Hypothèses et formulation
- Potentiel vecteur magnétique dans le matériau de la gaine
- Potentiel vecteur magnétique dans la cavité interne de la gaine
- Potentiel vecteur magnétique dans la région extérieure à la gaine
Dans le matériau de la gaine, le potentiel vecteur magnétique est exprimé sous la forme suivante. Il s'agit de déterminer le potentiel vecteur magnétique au point P(p,8), qui aboutit à la cavité interne de la gaine (voir Figure 32. En un point P2(p,8) situé à l'extérieur de la gaine, le potentiel vecteur magnétique est noté Aext(p) ,B) est obtenu grâce à une intégration de Aext(p,e) sur toute la section de gaine.
- Impédance propre du circuit composé du filament de courant i et de la gaine
- Impédance propre du circuit composé du conducteur interne i et de la gaine
Figure (33) : Application de la loi de Faraday pour déterminer la bonne impédance de la gaine. L'élaboration des formules précédentes permet d'obtenir la bonne impédance du circuit constitué du filament courant et de la gaine du câble (R, + jL,o) car on a initialement supposé que le conducteur interne était filamentaire . On obtient alors à l'aide de la formule (143) du chapitre 2 (en remplaçant l'indice j par k) l'expression de z'i, (l'impédance due aux courants induits sur le conducteur k).
Impédance mutuelle du câble
L'application de la loi de Faraday sur le contour fermé de la figure (34) nous permet de poser. Le développement des expressions précédentes associées aux formules (192) et (21 8) permet d'obtenir l'impédance mutuelle sans tenir compte de la chute de tension due aux courants induits sur le conducteur j. De la formule (227) nous dérivons la formule du potentiel pji,. cri représente la permittivité relative du diélectrique interne à la gaine).
CABLES MULTIFILAIRES BLINDES SITUES A UNE CERTAINE HAUTEUR AU-DESSUS D'UN PLAN CONDUCTEUR OU ENTERRE
Impédance de transfert de la gaine du câble
Des travaux antérieurs [5] [55] supposaient que l'impédance de transfert unitaire n'était pas affectée par les asymétries des conducteurs dans la gaine du câble. Des mesures ont confirmé [13] que la position d'un conducteur interne n'a donc pas d'influence majeure sur cette impédance de transfert.
Impédances de surfaces de la gaine
- Impédance de surface interne de la gaine
- Impédance de surface externe de la gaine
- Détermination des matrices d'impédances séries d'un câble au-dessus d'un milieu conducteur
- Détermination des matrices d'admittances des câbles multifilaires blindés situés au-dessus d'un plan de masse ou du sol
Et puisque g traduit l'indice enveloppe et, n'appartenant pas à la gamme des indices de 1 à P, on aura. Ainsi, parmi les éléments de la matrice [Z] de formule (263), Zgs représente désormais la réactance du diélectrique hors gaine (de permittivité E,) et non plus la réactance externe de la gaine du câble au-dessus du milieu S. Ainsi sous les éléments de la matrice [PI définis par la formule (279), les éléments (pgi, pig et pgg) caractérisent désormais le diélectrique extérieur à la gaine (de permittivité E,) et non plus les coefficients de potentiel de la gaine du câble au-dessus du milieu S
Résultats et validations dans le cas d'un câble bifilaire blindé
- Comparaison entre notre modèle et d'autres modèles pour la gaine du câble
Dans le tableau 8, on détermine les valeurs de résistance mutuelle totale (R 2, 1 ~ ~ t ) ainsi que celles de réactance mutuelle totale (X2,~ot) en fonction de la fréquence. On notera au passage que le modèle considérant l'épaisseur du tubage fini est un modèle incluant le modèle PI. Tableau (8) : Impédance mutuelle en fonction de la fréquence (**) Modèle considérant l'épaisseur finie de la gaine.
CONCLUSION
Notre objectif était donc d'apporter une contribution dans le domaine du calcul des paramètres linéaires des lignes et câbles multiconducteurs prenant en compte sous une forme analytique l'effet de peau et de proximité dans les parties conductrices des systèmes étudiés. . Toutes ces courbes soulignent la nécessité de prendre en compte l'effet de proximité des conducteurs proches aux hautes fréquences. Cette formule n'étant valable que pour l'effet de peau, elle doit être multipliée par un facteur de correction de l'effet de proximité haute fréquence[4].
