Enfin, nous avons utilisé une méthode de reclassement basée sur le calcul de la fonction de niveau développée au CEMEF. Le traitement de la phase solide et son couplage avec le liquide ainsi que la gestion des conditions aux limites sont présentés.
Les suspensions- généralités
- Classication des suspensions
- Les suspensions molles
- Les suspensions dures
- Description des suspensions
- Concentration solide φ
- Granulométrie
- Conguration
- Interactions au sein de la suspension
- Les interactions hydrodynamiques
- Les autres interactions interparticulaires
- Interactions colloïdales
- Interactions répulsives à courtes portées entre particules 18
- Comportement multi-échelle et homogénéisation
- Construction du tenseur des contraintes particulaires
- Homogénéisation temporelle
- Homogénéisation spatiale
La manière dont les particules interagissent à l’échelle microscopique déterminera le comportement macroscopique de la suspension. Pour construire la loi de comportement macroscopique de la suspension, Batchelor considère un volume élémentaire Ω, de bord total ∂Ω.
Loi de comportement pour les suspensions modèles
Les suspensions de sphères
- Régime dilué : le modèle d'Einstein
- Régime semi-dilué : les modèles de Batchelor
- Vers les régimes concentrés : formule de Krieger et Dou-
- Approche empirique pour les grandes concentrations
- Phénomène de migration de particules dans les suspen-
Expérimentalement, on observe une divergence de la viscosité efficace lorsque la concentration s'approche d'une valeur critique φc. La concentration locale, qui joue un rôle important dans l'évaluation de la viscosité efficace d'une suspension, divers auteurs ont tenté de modéliser le phénomène de migration des particules.
Les suspensions de bres
- Description microscopique de l'orientation
- Description macroscopique de l'orientation
- Comportement des suspensions de bres
- Limites des modèles de suspensions de bres
La description unitaire de l'orientation des bers n'est pas adaptée à l'étude d'une population d'un grand nombre de bers. D'autres études plus récentes [JS05] construisent une relation de fermeture impliquant le tenseur d'ordre Comportement des suspensions à ressort.
Les suspensions complexes
- Mélanges polydisperses de sphères
- Mélange de bres de diérents rapports de forme
- Mélanges de bres et de sphères
La viscosité du mélange dépend à la fois de la concentration relative dans chacune des populations de sphères et du rapport de taille. Le graphique 1.6 montre l'évolution de la concentration maximale en fonction de ξ pour différentes valeurs de λ.
Simulation d'écoulements de suspensions dans la littérature
La simulation prédictive à l'échelle macroscopique
Les interactions hydrodynamiques vécues par les bres seront modifiées par la présence de bres. Nous nous attendons à ce que les interactions pseudo-browniennes soient renforcées (car il y a un plus grand nombre de particules autour de la fibre qui perturbent son mouvement).
La simulation investigative à l'échelle microscopique
- Méthodes sans couplage
- Méthodes avec couplage faible
- Méthodes avec couplage fort
- Simulations de bres exibles
Il faut donc calculer le champ de vitesse en tout point du fluide, en tenant compte de la présence de particules. HHM04a] a proposé une formulation pour le calcul d'un champ de vitesse actif satisfaisant les conditions aux limites de Lee Edwards, sur une cellule 2D.
Bilan de l'étude bibliographique
Un moyen simple de supprimer les effets aux limites consiste à imposer des conditions aux limites périodiques classiques, ou Lee-Edwards, pour tenir compte du cisaillement. Ces conditions aux limites sont assez faciles à imposer aux particules (il a pu calculer les forces périodiques entre les particules et déplacer les particules selon la périodicité).
Les équations mécaniques
La matrice uide
On suppose ici que la matrice uid est newtonienne incompressible, mais il sera par la suite possible d'étudier des matrices prenant en compte d'autres lois de comportement (pseudoplastique, viscoélastique, etc.).
La particule solide
Conditions aux limites
Forme variationnelle et discrétisation
- Forme variationnelle en (~ u, p) sur le domaine uide Ω f
- Extension des équations au domaine total Ω
- Extension des champs (~ u, p) au domaine solide
- Extension des intégrales à Ω
- Le terme à l'interface ∂Ω s
- Forme variationnelle sur W n × Q
- Forme variationnelle en (~ u, p, ~ λ, ~ U , ~ w) sur Ω
- Forme variationnelle en {~ u, p, ~ λ} sur Ω
- Contrainte d'indéformabilité de Ω s
- Formulation forte continue équivalente pour un corps solide 56
- Forme variationnelle en (~ u, p) sur Ω
- Méthode de pénalisation du lagrangien
- Calcul du multiplicateur de Lagrange ~ λ par un algorithme
- Méthode de lagrangien augmenté
- Discrétisation du problème en (~ u, p) sur Ω
Pour le champ de vitesse dans les particules, il faut maintenir la condition de mouvement d'un corps rigide, qui cette fois s'exprime pour n'importe quel point de la particule. Pour faire disparaître les termes discrets, nous appliquons la contrainte de non-déformabilité à la place de la contrainte de mouvement du corps rigide.
Description et transport de la phase solide
Méthode de level-set pour la dénition du domaine solide
- Dénition de la fonction "level set"
- Sphère
- Cylindre de révolution
- Ellipsoïde
- Calcul de la fonction caractéristique I Ω s (t n )
62 Description et transport des sous-domaines de la phase solideΩs, puis nous en déduisons simplement la fonction caractéristique. La définition la plus générale d'une courbe de niveau décrivant les ∂Ω est la suivante : 2.47) L'interface est donc donnée par l'isovaleur zéro de la fonction αs(~x), et c'est la caractéristique principale de la fonction level-set. En pratique, cette zone de transition doit contenir au moins deux éléments pour éviter la déformation des isovaleurs de la fonction caractéristique.
Le transport de la fonction distance signée α s
- Méthode de transport particulaire explicite
- Schéma implicite pour le déplacement des particules
- Relocalisation périodique
La variation d~p du vecteur d'orientation pendant l'intervalle de temps ∆t s'exprime ainsi en fonction du tourbillon du champ de vitesse actif au centre de la particule. On compare la position du centre de la particule à t = 1 s (c'est à dire lorsque le centre de la particule a effectué une rotation complète). De plus, le schéma d'intégration explicite (2.60) est utilisé pour calculer le spin de la particule (c'est-à-dire pour l'évolution de ~ p).
Description générale de la méthode de calcul : résumé
Validations et premiers résultats numériques
Un sphère dans un champ de cisaillement
- Inuence du maillage et du facteur de pénalisation
- Etude de la rotation d'une sphère dans un écoulement de
Ensuite, la réduction est plus lente car la valeur limite dépend de la zone de mélange, où le facteur de pénalité décroît linéairement en fonction de ηf. 78 Validations et premiers résultats numériques 2.6.1.2 Etude de la rotation d'une sphère dans un écoulement de Couette. Avec le schéma d'intégration (2.60) nous avons étudié la rotation de la sphère dans le flux de Couette.
Un particule allongée dans un champ de cisaillement
- La solution de l'équation de Jeery
- Rotation d'un ellipsoïde dans un écoulement de Couette 80
Nous avons cherché à vérifier cette hypothèse en étudiant la rotation d'une tige dans un écoulement de Couette. L'erreur du schéma numérique est compensée en modifiant le rapport hauteur/largeur équivalent de la particule allongée. Nous avons validé notre méthode sur la rotation d'une particule dans un flux de Couette.
Interactions particulaires
Interactions hydrodynamiques et non-hydrodynamiques
Gestion des interactions entre particules : les particules peuvent exercer des forces de contact les unes sur les autres. Leur dynamique dépendra alors des efforts qu’ils exercent les uns sur les autres. Tant qu’il reste une fine couche de liquide entre les particules, c’est le seul effort interparticulaire qui existe.
Régime d'écoulement théorique et numérique
Nous avons ajouté des forces répulsives qui agissent pour maintenir une certaine distance entre les particules. Dans notre cas, la forme de cette force s’inspire de l’expression des forces à courte portée issue de la théorie de la lubrification. Ces forces répulsives seront prises en compte lors de la résolution des éléments nis et du déplacement lagrangien.
Expressions des forces interparticulaires
- Forces entre sphères
- Forces entre bres
- Force entre bre et sphère
Quant aux sphères, il est possible d'utiliser la théorie de la lubrification pour obtenir une relation analogue à la relation (3.1). En plus de la position X~i du centre de la bre i sa longueur Li et ~pi son orientation, nous devons introduire quelques notations supplémentaires (voir Figure 3.3). Xjpij ~ Pj | ~pj sinon (3.6) Lorsque les brèches sont parallèles, il n'est pas nécessaire de calculer les positions des points (p~ij, ~pji) car le calcul de la distance entre la brèche et le vecteur change la direction de l'appui de force ne dépend pas de ces points.
Equations mécaniques et formulations variationnelles
- Prise en compte des forces d'interactions
- Forme variationnelle en (~ u, p, ~ λ, ~ U , ~ ω) sur Ω
- Forme variationnelle en (~ u, p, ~ λ) sur Ω
- Calcul de la force non hydrodynamique continue
- La matrice d'inertie
Si nous souhaitons modifier de la même manière la formulation variationnelle pour tenir compte du torse des forces non hydrodynamiques, {F~nhi, ~Γinh}, nous devons le faire. En raisonnant de la même façon pour un solide homogène, la force F~ donnera une contribution à la forme. Dans le cas général, si ~p = (sin(θ) cos(φ), sin(θ) sin(φ), cos(θ)) avec les notations de gur 1.4, il faut exprimer la matrice inertielle dans le repère (O, x, y, z) à partir de cette matrice diagonale en utilisant la matrice de changement de base P.
Description et transport de la phase solide à N particules
La fonction level-set pour N particules
Gestion des collisions entre particules
- Méthode par modication du champ de vitesse
- Méthode par modication des forces
Après avoir calculé la nouvelle position des particules, donnée par le champ de vitesse résultant de la solution du problème de Stockes, l'ordre des corrections de position est le suivant pour bers. Si nous développons à l'ordre 2, la nouvelle position du centre de la particule est donnée par. Les positions et orientations de la particule i sont mises à jour selon les équations suivantes.
Ranement de maillage et h -adaptation
Lattice Ranement and h-Adjustment 105 est la relation dynamique fondamentale qui nous permet d'écrire. 106 Description et transport d'une phase solide à N particules de négation positive, de l'ordre de la taille de l'espace et dont les vecteurs propres déterminent les directions d'étirement des éléments, et leurs valeurs propres nient l'inversion des valeurs des tailles de maille associées . De cette façon, dans l’épaisseur e et dans la direction ∇α on obtient N éléments de taille e/N, et dans la direction ∇αT on a une taille de maillage égale à la taille du maillage de fond.
Générateurs de positions et orientations de particules
- Ajustement de paramètres
- Cas général
- Arrangement ordonné
- Génération de réseau
- Positionnement initial
- Perturbation du positionnement initial
- Algorithme de correction des positions
Algorithme (élémentaire) de correction des positions des particules : tant que la distance entre chaque paire de particules n'est pas supérieure à la distance minimale choisie, nous corrigeons les positions des particules qui violent cette condition. Lorsque l’on souhaite créer une microstructure ordonnée et sans défaut, alors le choix du nombre de particules est plus limitant. Une fois le nombre de particules (et leur taille correspondante) déterminé, il faudra les positionner à l’intérieur de la cellule.
Premiers résultats numériques et expérimentaux
- Interactions de deux sphères dans un écoulement de Couette
- Calcul 2D pour une suspension bre-sphères
- Calcul 3D pour une suspension bre-sphères
- Observations experimentales d' une suspension bre-sphères
- Dispositif expérimental
- Les mesures eectuées
- Analyse des résultats
Nous montrons sur les figures 3.14 que le mouvement de la ber est modifié par la présence des sphères. Il faudrait calculer plus longtemps pour voir si la période de rotation de la bre est ajustée. A l'aide de papier calque, nous avons également mesuré sur l'écran l'évolution de l'angle apparent de la ber avec la direction horizontale (Figure 3.17).
Conclusion
Les chapitres précédents étaient consacrés à la méthode numérique des éléments nis que nous avons développée pour simuler l'évolution d'un tel système. Dans ce chapitre, nous présentons les résultats de rhéologie numérique que nous avons obtenus grâce à cet outil. Nous avons développé des conditions aux limites pseudo-périodiques qui nous ont permis de contourner cette difficulté.
Volume représentatif et eets de bords
Approche par fenêtrage
- Intérêt du fenêtrage
- Limites de l'approche
L’approche fenêtre consiste à effectuer d’abord le calcul général sur un très grand domaine Ω puis à restreindre les calculs d’homogénéisation à un sous-domaine Ω˜ (généralement au cœur du domaine global) éloigné des bords. En effet, dans une approche par fenêtre, Ω˜ est le véritable volume élémentaire représentatif (VER) du problème. En pratique, l’approche fenêtre telle que nous l’avons décrite ne peut pas être utilisée avec l’approche domaine actif que nous avons choisie.
Approche par champ périodique
- Conditions limites périodiques
- Conditions limites bipériodiques de Lee-Edwards
- Le problème du parallélisme et le passage au 3D
Approximation du champ périodique 131 particules sortant de la cellule considérée, en tenant compte de ces conditions aux limites spécifiques. Nous avons donc modifié cette approche dans l'espoir de la rendre utilisable en 3 dimensions. Une fois le problème discrétisé par ni éléments, il faut ajouter un terme de la forme à la matrice du problème.
Approche mixte
Pour le calcul de la matrice locale sur l’élément sortant, nous avons besoin des fonctions de forme de l’élément entrant. De plus, l’utilisation d’un algorithme d’Uzawa pour calculer le champ de vitesse périodique aurait conduit à un allongement du temps de calcul qui aurait rendu cette méthode inintéressante. Le reste du domaine de calcul contenant Ω/Ω˜ est une copie multipériodique de Ω˜, qui évolue selon les conditions bipériodiques de Lee Edwards.
Homogénéisation numérique
Dénitions
- Les champs continus
- Les champs discrets
Loi de comportement construite par homogénéisation
Suspension de sphères
Inuence du maillage
Pour mettre en évidence l'importance du maillage dans les espaces, nous avons effectué un calcul de viscosité efficace pour une suspension de sphères assez concentrée (27,2% en volume). Les figures 4.7 et 4.8 montrent l'aspect du maillage initial et final obtenu avec notre remailleur. Mais il est plus efficace en terme de temps de calcul de remaillage à chaque incrément et d'effectuer un calcul sur un maillage "optimal" au lieu de faire le calcul sur le même maillage très n partout.
Evolution de la viscosité eective au cours du temps
Nous renvoyons le lecteur aux références [GC05, CDL+ss] pour une description précise de la méthode de remaillage utilisée. Le liquide interstitiel est alors fortement sollicité, entraînant une augmentation de sa viscosité apparente. Toutefois, ces sauts restent faibles et leur influence sur l'évolution de la suspension et la valeur des viscosités apparentes calculées reste faible.
Etude en concentration
Certains sauts de valeurs sont observés lorsque le calcul est arrêté et relancé à partir du dernier incrément calculé. Lorsque l'on relance un calcul, nous ne pouvons pas garantir que le maillage utilisé soit de la même qualité que celui utilisé lors du dernier calcul avant son arrêt.
Suspension de bres
- Suspension de bres initialement orientées
- Evolution du tenseur d'orientation d'ordre 2
- Relations de fermeture
- Evolution de l'orientation : les limites du modèle de Folgar
- Loi de comportement
- Suspension de bres sans orientation initiale
- Evolution du tenseur d'orientation d'ordre 2
- Relation de fermeture
- Evolution de l'orientation
- Loi de comportement
- Inuence du rapport de forme à concentration xée
- Suspensions de bres et de sphères
152 Suspension de Bres Dans la suspension sans orientation initiale, on voit encore que le modèle de Folgar et Tucker surestime la création d'une orientation dans la direction Oz. Nous avons donc fini par faire une étude comportementale sur un mélange de bières et de balles. Nous avons considéré la même suspension de bres d'aspect ratio 5 avec une concentration de 5%.
Conclusion
Nous avons pu comparer l'évolution de la contrainte moyenne avec celle prédite par les modèles théoriques. Pour décrire l'évolution de la phase solide, nous avons utilisé une technique de transport lagrangien associée à une méthode de courbe de niveau. Nous avons utilisé une méthode de fenêtre périodique pour supprimer les effets de bord.
Les simulations à l'échelle microscopiques ou mésoscopiques
Nous devrions également rechercher un nouveau VER permettant la rhéologie pour les flux extensionnels [HH06]. Une approche en domaine actif pour la simulation numérique directe d'un écoulement visqueux incompressible devant des corps rigides en mouvement : application au flux de particules. Ce théorème garantit l'existence et l'unicité de la solution au problème variationnel associé au problème de Stokes.
