ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου
Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Άδειες Χρήσης
2
Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.
Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Χρηματοδότηση
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Περιεχόμενα Ενότητας
Τεχνικές υπολογισμού του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace ρητών συναρτήσεων.
4
Σκοποί Ενότητας
Εξοικείωση με τις τεχνικές υπολογισμού του αντίστροφου
μετασχηματισμού Laplace ρητών συναρτήσεων.
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace
Αν το σήμα 𝑥(𝑡) έχει μετασχηματισμό Laplace:
𝑋 𝑠 = 𝑥 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
𝑡=∞
𝑡=−∞
τότε το σήμα 𝑥(𝑡) μπορεί να υπολογιστεί από τον 𝑋(𝑠) μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace:
𝑥 𝑡 = 1
2𝜋𝑗 𝑠=𝑐−𝑗∞ 𝑠=𝑐+𝑗∞ 𝑋 𝑠 𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠 , 1
όπου, για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, ο δρόμος 𝑠 = 𝑐 + 𝑗∞ πρέπει να βρίσκεται εντός της περιοχής
σύγκλισης του μετασχηματισμού Laplace. Συνήθως το ολοκλήρωμα (1) είναι δύσκολο να υπολογιστεί .
6
Πίνακας μετασχηματισμού Laplace
𝒇 𝒕 𝑭 𝒔
𝜹 𝒕 1
𝒖 𝒕 1
𝑠
𝒕𝒖 𝒕 1
𝑠 2
𝒕 𝒏 𝒖 𝒕 𝑛!
𝑠 𝑛 + 1
𝒆 −𝒂𝒕 𝒖 𝒕 1
𝑠 + 𝑎
𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)𝒖 𝒕 𝜔
𝑠 2 + 𝜔 2
𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)𝒖 𝒕 𝑠
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace (1)
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = 𝑓 𝑡 𝑒 ∞ −𝑠𝑡 𝑑𝑡
0− Ορισμός
ℒ 𝑘𝑓 𝑡 = 𝑘𝐹 𝑠 Γραμμικότητα ℒ 𝑓 1 𝑡 + 𝑓 2 𝑡 = 𝐹 1 𝑠 + 𝐹 2 𝑠 Γραμμικότητα
ℒ 𝑒 −𝑎𝑡 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 + 𝑎 Ολίσθηση συχνότητας ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑇 = 𝑒 −𝑠𝑇 𝐹 𝑠 Ολίσθηση χρόνου
ℒ 𝑓 𝑎𝑡 = 1
𝑎 𝐹 𝑠
𝑎 Κλιμάκωση χρόνου
ℒ 𝑑𝑓
𝑑𝑡 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓 0 − Παραγώγιση
8
Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace (2)
ℒ 𝑑 2 𝑓
𝑑𝑡 2 = 𝑠 2 𝐹 𝑠 − 𝑠𝑓 0 − − 𝑓 ′ 0 − Δεύτερη παράγωγος
ℒ 𝑑 𝑛 𝑓
𝑑𝑡 𝑛 = 𝑠 𝑛 𝐹 𝑠 − 𝑠 𝑛−𝑘 𝑓 𝑘−1 0 −
𝑛
𝑘=1
Γενική παράγωγος
ℒ 𝑓 𝜏 𝑑𝜏 𝑡
0−
= 𝐹 𝑠
𝑠 Ολοκλήρωση
𝑓 ∞ = lim
𝑠→0 𝑠𝐹 𝑠 Θεώρημα Τελικής τιμής 𝑓 0 + = lim
𝑠→∞ 𝑠𝐹 𝑠 Θεώρημα Αρχικής τιμής
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ρητών συναρτήσεων
Ο υπολογισμός του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace είναι απλός, όταν ο 𝑋(𝑠) είναι ρητή συνάρτηση.
Έστω
ℝ 𝑠 ≔ 𝑝 𝑠 = 𝑝 𝑞 𝑠 𝑞 + 𝑝 𝑞−1 𝑠 𝑞−1 +. . +𝑝 1 𝑠 + 𝑝 0 , 𝑞 ∈ ℤ +
= 0,1,2, … , 𝑝 𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0,1, . . , 𝑞
το σύνολο (δακτύλιος) των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές και
ℝ 𝑠 ≔ 𝑡 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 , 𝑎 𝑠 , 𝑏 𝑠 ∈ ℝ 𝑠 , 𝑎 𝑠 ≠ 0 το σύνολο (σώμα) των πραγματικών ρητών συναρτήσεων.
10
Το σύνολο των κανονικών (proper) πραγματικών ρητών συναρτήσεων
Π.χ. 𝑡 1 𝑠 = 2𝑠 2 +3𝑠+6
4𝑠+2 ∈ ℝ 𝑠 , 𝑡 2 𝑠 = 3𝑠 2 +5𝑠+7
𝑠 3 +5𝑠 ∈ ℝ 𝑠 , 𝑡 3 𝑠 = 4𝑠 + 1 ∈ ℝ 𝑠
Το σύνολο (δακτύλιος) των κανονικών (proper) πραγματικών ρητών συναρτήσεων
ℝ 𝑝𝑟 𝑠 ≔ 𝑡 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 ∈ ℝ 𝑠 , 𝑎 𝑠 ≠ 0, 𝑑𝑒𝑔𝑎 𝑠 ≥ 𝑑𝑒𝑔𝑏 𝑠
π.χ.
𝑡 1 𝑠 = 2𝑠 2 + 3𝑠 + 6
4𝑠 + 2 ∉ ℝ 𝑝𝑟 𝑠 , 𝑡 2 𝑠 = 3𝑠 2 + 5𝑠 + 7
𝑠 3 + 5𝑠 ∈ ℝ 𝑝𝑟 𝑠 ,
𝑡 3 𝑠 = 4𝑠 + 1 ∉ ℝ 𝑝𝑟 𝑠
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Μηδενικά πολυωνύμου (1)
Έστω 𝑥 𝑡 ↔ 𝑋 𝑠
𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 ∈ ℝ 𝑠
𝑏 𝑠 = 𝑏 𝑚 𝑠 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑠 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏 1 𝑠 + 𝑏 0 ∈ ℝ 𝑠 𝑎 𝑠 = 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 1 𝑠 + 𝑎 0 ∈ ℝ 𝑠 Έστω
𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 οι 𝑛 ρίζες της εξίσωσης
𝑎 𝑠 = 0
12
Μηδενικά πολυωνύμου (2)
Το πολυώνυμο 𝑎 𝑠 γράφεται
𝑎 𝑠 = 𝑎 𝑛 𝑠 − 𝑝 1 𝑠 − 𝑝 2 … 𝑠 − 𝑝 𝑛
Οι 𝑛 ρίζες 𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 ∈ ∁ της εξίσωσης 𝑎 𝑠 = 0
ονομάζονται μηδενικά του πολυωνύμου 𝑎 𝑠 .
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Πόλοι της ρητής συνάρτησης
Πόλοι της ρητής συνάρτησης 𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 ∈ ℝ 𝑠 είναι τα μηδενικά του παρανομαστή 𝑎 𝑠 .
Μηδενικά της ρητής συνάρτησης 𝑋(𝑠) είναι τα μηδενικά του αριθμητή 𝑏 𝑠 .
Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace μιας ρητής
συνάρτησης μπορεί να υπολογιστεί αναπτύσσοντας τη ρητή συνάρτηση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων.
14
Παραδοχή
Στα παρακάτω κάνουμε την παραδοχή ότι η ρητή συνάρτηση 𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 ∈ ℝ 𝑝𝑟 𝑠
είναι αυστηρά κανονική ⇔ 𝑑𝑒𝑔𝑎 𝑠 > 𝑑𝑒𝑔𝑏 𝑠
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
1. Διακριτοί πόλοι
Αν οι πόλοι 𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 της 𝑋 𝑠 είναι διακριτοί 𝑝 𝑖 ≠ 𝑝 𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑗
τότε
𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑛 𝑠 − 𝑝 1 𝑠 − 𝑝 2 … 𝑠 − 𝑝 𝑛
= 𝑐 1
𝑠 − 𝑝 1 + 𝑐 2
𝑠 − 𝑝 2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑠 − 𝑝 𝑛 όπου
𝑐 𝑖 = 𝑠 − 𝑝 𝑖 𝑋 𝑠 𝑠=𝑝 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 διότι
𝑠 − 𝑝 𝑖 𝑋 𝑠 = 𝑐 𝑖 + 𝑐 𝑗 𝑠 − 𝑝 𝑖 𝑠 − 𝑝 𝑗
𝑛
𝑗=1,𝑗≠𝑖
16
Πραγματικοί πόλοι 𝑝 𝑖 ∈ ℝ
Αν 𝑝 𝑖 ∈ ℝ, τότε 𝑐 𝑖 ∈ ℝ και επειδή
𝑐 𝑖
𝑠 − 𝑝 𝑖 ↔ 𝑐 𝑖 𝑒 𝑝 𝑖 𝑡
Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της 𝑋 𝑠 είναι
𝑥 𝑡 = 𝑐 1 𝑒 𝑝 1 𝑡 + 𝑐 2 𝑒 𝑝 2 𝑡 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Παράδειγμα 1 (1)
Έστω
𝑋 𝑠 = 𝑠 + 2
𝑠 3 + 4𝑠 2 + 3𝑠 ∈ ℝ 𝑝𝑟 𝑠
𝑎 𝑠 = 𝑠 3 + 4𝑠 2 + 3𝑠 = 𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 3 ⇒ 𝑝 1 = 0, 𝑝 2 = −1, 𝑝 3 = −3
𝑋 𝑠 = 𝑐 1
𝑠 − 0 + 𝑐 2
𝑠 + 1 + 𝑐 3 𝑠 + 3
↓
𝑥 𝑡 = 𝑐 1 + 𝑐 2 𝑒 −𝑡 + 𝑐 3 𝑒 −3𝑡 , 𝑡 ≥ 0 όπου
18
Παράδειγμα 1 (2)
𝑐 1 = 𝑠 − 0 𝑋 𝑠 𝑠=0 = 𝑠+2
𝑠+1 𝑠+3 𝑠=0 = 2
3 ,
𝑐 2 = 𝑠 + 1 𝑋 𝑠 𝑠=−1 = 𝑠+2
𝑠 𝑠+3 𝑠=−1 = − 1
2 ,
𝑐 3 = 𝑠 + 3 𝑋 𝑠 𝑠=3 = 𝑠+2
𝑠 𝑠+1 𝑠=−3 = − 1
6
𝑥 𝑡 = 2
3 − 1
2 𝑒 −𝑡 − 1
6 𝑒 −3𝑡
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Παράδειγμα 1 (3)
2 4 6 8 10
0.45 0.50 0.55 0.60 0.65
20
2. Διακριτοί πόλοι και δύο ή
περισσότεροι μιγαδικοί πόλοι (1)
Όταν οι πόλοι 𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 της 𝑋 𝑠 είναι πραγματικοί διακριτοί και δύο ή περισσότεροι πόλοι είναι συζυγείς μιγαδικοί.
Έστω
𝑝 1 = 𝜎 1 + 𝑗𝜔 1 , 𝑝 2 = 𝑝 1 = 𝜎 1 − 𝑗𝜔 1 , 𝜎 1 , 𝜔 1 ∈ ℝ, 𝜔 1 ≠ 0 Τότε
𝑋 𝑠 = 𝑐 1
𝑠 − 𝑝 1 + 𝑐 1
𝑠 − 𝑝 2 + 𝑐 3
𝑠 − 𝑝 3 + ⋯ + 𝑐 𝑛
𝑠 − 𝑝 𝑛
𝑥 𝑡 = 𝑐 1 𝑒 𝑝 1 𝑡 + 𝑐 1 𝑒 𝑝 2 𝑡 + 𝑐 3 𝑒 𝑝 3 𝑡 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Μιγαδικοί πόλοι (1)
𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 = 𝑠 + 1
𝑠 3 + 2𝑠 2 + 2𝑠 ∈ ℝ 𝑝𝑟 𝑠
Έχουμε έναν πραγματικό και δύο μιγαδικούς πόλους.
𝑎 𝑠 = 𝑠 3 + 2𝑠 2 + 2𝑠 = 𝑠 𝑠 2 + 2𝑠 + 2 Ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων:
𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 = 𝑠 + 1
𝑠 3 + 2𝑠 2 + 2𝑠 = 𝑎 1
𝑠 − 0 + 𝑎 2 𝑠 + 𝑎 3 𝑠 2 + 2𝑠 + 2
= 𝑎 1 𝑠 2 + 2𝑠 + 2 + 𝑠 𝑎 2 𝑠 + 𝑎 3 𝑠 𝑠 2 + 2𝑠 + 2
= 𝑎 1 + 𝑎 2 𝑠 2 + 2𝑎 1 + 𝑎 3 𝑠 + 2𝑎 1 𝑠 𝑠 2 + 2𝑠 + 2
22
Μιγαδικοί πόλοι (2)
Εξίσωση συντελεστών:
𝑎 1 + 𝑎 2 = 0, 2𝑎 1 + 𝑎 3 = 1,
2𝑎 1 = 1 ⇒
𝑎 1 = 1 2 , 𝑎 2 = − 1
2 , 𝑎 3 = 0 𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 = 𝑠 + 1
𝑠 3 + 2𝑠 2 + 2𝑠 = 1 2
1
𝑠 − 1 2
𝑠
𝑠 2 + 2𝑠 + 2 =
= 1 2
1
𝑠 − 1 2
𝑠
𝑠 + 1 2 + 1 =
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Μιγαδικοί πόλοι (3)
1 2
1
𝑠 − 1 2
𝑠 + 1
𝑠 + 1 2 + 1 + 1 2
𝑠 + 1
𝑠 + 1 2 + 1
↓ 𝑥 𝑡 = 1
2 𝑢 𝑡 − 1
2 cos 𝑡 𝑒 −𝑡 + 1
2 sin 𝑡 𝑒 −𝑡
24
2 4 6 8 10
0.45 0.50 0.55 0.60
Μιγαδικοί πόλοι (4)
𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 = 𝑠 + 1
𝑠 3 + 2𝑠 2 + 2𝑠 ∈ ℝ 𝑝𝑟 𝑠 Έχουμε έναν πραγματικό και δύο μιγαδικούς πόλους.
𝑎 𝑠 = 𝑠 3 + 2𝑠 2 + 2𝑠 = 𝑠 𝑠 2 + 2𝑠 + 2
= 𝑠 𝑠 + 1 + 𝑗 𝑠 + 1 − 𝑗 Ανάλυση σε άθροισμα μερικών:
𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 = 𝑠 + 1
𝑠 3 + 2𝑠 2 + 2𝑠 = 𝑎 1
𝑠 + 𝑎 2
𝑠 + 1 + 𝑗 + 𝑎 3
𝑠 + 1 − 𝑗
𝑎 1 = 𝑠 𝑠 + 1
𝑠 𝑠 + 1 + 𝑗 𝑠 + 1 − 𝑗 = 𝑠 + 1
𝑠 𝑠 + 1 + 𝑗 𝑠 + 1 − 𝑗
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Μιγαδικοί πόλοι (5)
⇒ 𝑎 1 = 1
1 + 𝑗 1 − 𝑗 = 1 2 𝑎 2 = 𝑠 + 1 + 𝑗 𝑠 + 1
𝑠 𝑠 + 1 + 𝑗 𝑠 + 1 − 𝑗 𝑠=−1−𝑗
= 𝑠 + 1
𝑠 𝑠 + 1 − 𝑗 𝑠=−1−𝑗 = −1 − 𝑗 + 1
−1 − 𝑗 −1 − 𝑗 + 1 − 𝑗
= −𝑗
−2𝑗 −1 − 𝑗 = 1 2
−1 + 𝑗 2 𝑎 3 = 𝑠 + 1 − 𝑗 𝑠 + 1
𝑠 𝑠 + 1 + 𝑗 𝑠 + 1 − 𝑗 𝑠=−1+𝑗 =
26
Μιγαδικοί πόλοι (6)
= 𝑠 + 1
𝑠 𝑠 + 1 + 𝑗 𝑠=−1+𝑗 = −1 − 𝑗 + 1
−1 + 𝑗 −1 + 𝑗 + 1 + 𝑗
= 𝑗
2𝑗 −1 + 𝑗 = 1 2
−1 − 𝑗
2 = 𝑎 2 𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 = 𝑠 + 1
𝑠 3 + 2𝑠 2 + 2𝑠 = 1 2
1
𝑠 + 1 4
−1 + 𝑗
𝑠 + 1 + 𝑗 + 1 4
−1 − 𝑗 𝑠 + 1 − 𝑗
↓ 𝑥 𝑡 = 1
2 𝑢 𝑡 + 1
4 −1 + 𝑗 𝑒 −1−𝑗 𝑡 + 1
4 −1 − 𝑗 𝑒 −1+𝑗 𝑡
?
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Μιγαδικοί πόλοι (7)
𝑐 = −1 + 𝑗
𝑐 = −1 2 + 1 2 = 2 arg 𝑐 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛 1
−1 = 3𝜋 4
→ 𝑐 = 2 cos 3𝜋
4 + 𝑗𝑠𝑖𝑛 3𝜋 4 𝑐 = −1 − 𝑗
𝑐 = −1 2 + 1 2 = 2 arg 𝑐 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛 −1
−1 = 𝜋
4 𝜂 − 3𝜋 4
→ 𝑐 = 2 cos − 3𝜋
4 + 𝑗𝑠𝑖𝑛 − 3𝜋
4 =
= 2 cos 3𝜋
4 − 𝑗𝑠𝑖𝑛 3𝜋 4
28
Μιγαδικοί πόλοι (8)
𝑥 𝑡 = 1
2 𝑢 𝑡 + 1
4 −1 + 𝑗 𝑒 −1−𝑗 𝑡 + 1
4 −1 − 𝑗 𝑒 −1+𝑗 𝑡 = 1
2 𝑢 𝑡 + 1
4 −1 + 𝑗 𝑒 −𝑡 𝑒 −𝑗𝑡 + 1
4 −1 − 𝑗 𝑒 −𝑡 𝑒 𝑗𝑡 = 1
2 𝑢 𝑡 + 1
4 𝑒 −𝑡 −1 + 𝑗 𝑒 −𝑗𝑡 + −1 − 𝑗 𝑒 𝑗𝑡 =
1
2 𝑢 𝑡 + 1
4 𝑒 −𝑡
2 cos 3𝜋
4 + 𝑗𝑠𝑖𝑛 3𝜋
4 cos 𝑡 − 𝑗𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 2 cos 3𝜋
4 − 𝑗𝑠𝑖𝑛 3𝜋
4 cos 𝑡 + 𝑗𝑠𝑖𝑛 𝑡
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Μιγαδικοί πόλοι (9)
= 1
2 𝑢 𝑡 + 1 4 𝑒 −𝑡
2
cos 3𝜋
4 cos 𝑡 − 𝑗 cos 3𝜋
4 sin 𝑡 + 𝑗𝑠𝑖𝑛 3𝜋
4 cos 𝑡 + sin 3𝜋
4 sin 𝑡
+ 2
cos 3𝜋
4 cos 𝑡 + 𝑗 cos 3𝜋
4 sin 𝑡
−𝑗𝑠𝑖𝑛 3𝜋
4 cos 𝑡 + sin 3𝜋
4 𝑠𝑖𝑛(𝑡)
= 1
2 𝑢 𝑡 + 2 2
4 𝑒 −𝑡 cos 3𝜋
4 cos 𝑡 + sin 3𝜋
4 sin 𝑡
= 1
2 𝑢 𝑡 + 2
2 𝑒 −𝑡 cos 𝑡 − 3𝜋 4
30
Μιγαδικοί πόλοι (10)
2 4 6 8 10
0.45 0.50 0.55 0.60
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
2. Διακριτοί πόλοι και δύο ή
περισσότεροι μιγαδικοί πόλοι (2)
Έστω
𝑐 1 = 𝑎 + 𝑗𝛽 ⇒ 𝑐 1 = 𝑎 − 𝑗𝛽 ⇒
𝑐 1 = 𝑎 2 + 𝛽 2 , 𝜑 = arctan 𝛽 𝛼 Άρα
𝑐 1 = 𝑐 1 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗 𝑐 1 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑐 1 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑐 1 = 𝑐 1 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑗 𝑐 1 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑐 1 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑠𝑖𝑛𝜑
32
2. Διακριτοί πόλοι και δύο ή
περισσότεροι μιγαδικοί πόλοι (3)
𝑐 1 𝑒 𝑝 1 𝑡 + 𝑐 1 𝑒 𝑝 2 𝑡 = 𝑐 1 𝑒 𝜎 1 +𝑗𝜔 1 𝑡 + 𝑐 1 𝑒 𝜎 1 −𝑗𝜔 1 𝑡
= 𝑐 1 𝑒 𝜎 1 𝑡 𝑐 1 𝑒 𝑗𝜔 1 𝑡 + 𝑐 1 𝑒 𝜎 1 𝑡 𝑐 1 𝑒 −𝑗𝜔 1 𝑡
= 𝑐 1 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑒 𝜎 1 𝑡 𝑒 𝑗𝜔 1 𝑡
+ 𝑐 1 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑗𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑒 𝜎 1 𝑡 𝑒 −𝑗𝜔 1 𝑡
= 𝑐 1 𝑒 𝜎 1 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗𝑠𝑖𝑛𝜑 cos 𝜔 1 𝑡 + 𝑗𝑠𝑖𝑛 𝜔 1 𝑡
+ 𝑐 1 𝑒 𝜎 1 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑗𝑠𝑖𝑛𝜑 cos 𝜔 1 𝑡 − 𝑗𝑠𝑖𝑛 𝜔 1 𝑡 =
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
2. Διακριτοί πόλοι και δύο ή
περισσότεροι μιγαδικοί πόλοι (4)
= 𝑐 1 𝑒 𝜎 1 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜑 cos 𝜔 1 𝑡 + 𝑗𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛 𝜔 1 𝑡 + 𝑗𝑠𝑖𝑛𝜑 cos 𝜔 1 𝑡
− 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛 𝜔 1 𝑡
+ 𝑐 1 𝑒 𝜎 1 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜑 cos 𝜔 1 𝑡 − 𝑗𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛 𝜔 1 𝑡
− 𝑗𝑠𝑖𝑛𝜑 cos 𝜔 1 𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛 𝜔 1 𝑡
= 2 𝑐 1 𝑒 𝜎 1 𝑡 cos 𝜔 1 𝑡 + 𝜑 Επομένως
𝑥 𝑡 = 𝑐 1 𝑒 𝑝 1 𝑡 + 𝑐 1 𝑒 𝑝 2 𝑡 + 𝑐 3 𝑒 𝑝 3 𝑡 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡
= 2 𝑐 1 𝑒 𝜎 1 𝑡 cos 𝜔 1 𝑡 + 𝜑 + 𝑐 3 𝑒 𝑝 3 𝑡 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑒 𝑝 𝑛 𝑡
34
Παράδειγμα 2 (1)
Έστω
𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 = 𝑠 2 − 2𝑠 + 1
𝑠 3 + 3𝑠 2 + 4𝑠 + 2 ∈ ℝ 𝑝𝑟 𝑠
𝑎 𝑠 = 𝑠 3 + 3𝑠 2 + 4𝑠 + 2 = 𝑠 + 1 + 𝑗 𝑠 + 1 − 𝑗 𝑠 + 1 𝑝 1 = −1 + 𝑗, 𝑝 2 = 𝑝 1 = −1 − 𝑗, 𝑝 3 = −1
𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 = 𝑠 + 1
𝑠 3 + 2𝑠 2 + 2𝑠 = 𝑐 1
𝑠 + 1 − 𝑗 + 𝑐 2
𝑠 + 1 + 𝑗 + 𝑐 3 𝑠 + 1 𝑐 3 = 𝑠 + 1 𝑋 𝑠 𝑠=−1 = 𝑠 2 − 2𝑠 + 1
𝑠 2 + 2𝑠 + 2 𝑠=−1 = 4
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Παράδειγμα 2 (2)
𝑐 1 = 𝑠 + 1 − 𝑗 𝑋 𝑠
𝑠=−1+𝑗 = 𝑠 2 − 2𝑠 + 1
𝑠 + 1 − 𝑗 𝑠 + 1 𝑠=−1+𝑗 = − 3
2 + 2𝑗 𝑐 1 = 9
4 + 4 = 5 2 , 𝜑 = 180 + arctan − 4
3 = 126,87
𝑥 𝑡 = 2 𝑐 1 𝑒 𝜎 1 𝑡 cos 𝜔 1 𝑡 + 𝜑 + 𝑐 3 𝑒 𝑝 3 𝑡
= 2 5
2 𝑒 −𝑡 cos 𝑡 + 126,87 + 4𝑒 −𝑡
36
1
2 1 2
2 j
1
3 2
c 2 j
3. Επαναλαμβανόμενοι πόλοι (1)
𝑋 𝑠 = 5𝑠 − 1
𝑠 3 − 3𝑠 − 2 = 5𝑠 − 1
𝑠 + 1 2 𝑠 − 2
= 𝑐 1
𝑠 + 1 + 𝑐 2
𝑠 + 1 2 + 𝑐 3 𝑠 − 2 𝑠 + 1 2 𝑋 𝑠 = 𝑠 + 1 2 𝑐 1
𝑠 + 1 + 𝑐 2
𝑠 + 1 2 + 𝑐 3 𝑠 − 2
= 𝑐 1 𝑠 + 1 + 𝑐 2 + 𝑐 3
𝑠 − 2 𝑠 + 1 2
𝑠 + 1 2 𝑋 𝑠 𝑠=−1 = 𝑐 2
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
3. Επαναλαμβανόμενοι πόλοι (2)
𝑑
𝑑𝑠 𝑠 + 1 2 𝑋 𝑠 = 𝑑
𝑑𝑠 𝑐 1 𝑠 + 1 + 𝑐 2 + 𝑐 3
𝑠 − 2 𝑠 + 1 2
= 𝑐 1 + 𝑐 3 2 𝑠 + 1 𝑠 − 2 − 𝑐 3 𝑠 + 1 2 𝑠 − 2 2
𝑑
𝑑𝑠 𝑠 + 1 2 𝑋 𝑠
𝑠=−1 = 𝑐 1 𝑠 − 2 𝑋 𝑠 = 𝑠 − 2 𝑐 1
𝑠 + 1 + 𝑐 2
𝑠 + 1 2 + 𝑐 3 𝑠 − 2
= 𝑐 1 𝑠 − 2
𝑠 + 1 + 𝑐 2 𝑠 − 2
𝑠 + 1 2 + 𝑐 3
𝑠 − 2 𝑋 𝑠 𝑠=2 = 𝑐 3
38
3. Επαναλαμβανόμενοι πόλοι (3)
Έστω ότι ο πόλος 𝑝 1 έχει πολλαπλότητα r και οι υπόλοιποι 𝑝 𝑟+1 , 𝑝 𝑟+2 , … , 𝑝 𝑛 πόλοι είναι διακριτοί
𝑎 𝑠 = 𝑎 𝑛 𝑠 − 𝑝 1 𝑟 𝑠 − 𝑝 𝑟+1 … 𝑠 − 𝑝 𝑛
𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑎 𝑛 𝑠 − 𝑝 1 𝑟 𝑠 − 𝑝 𝑟+1 … 𝑠 − 𝑝 𝑛
= 𝑐 1
𝑠 − 𝑝 1 + 𝑐 2
𝑠 − 𝑝 1 2 + ⋯ + 𝑐 𝑟
𝑠 − 𝑝 1 𝑟 + 𝑐 𝑟+1
𝑠 − 𝑝 𝑟+1 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑠 − 𝑝 𝑛
𝑐 𝑖 = 𝑠 − 𝑝 𝑖 𝑋 𝑠 𝑠=𝑝 𝑖 , 𝑖 = 𝑟 + 1, 𝑟 + 2, … , 𝑛
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
3. Επαναλαμβανόμενοι πόλοι (4)
𝑐 𝑟−𝑖 = 1 𝑖!
𝑑 𝑖
𝑑𝑠 𝑖 𝑠 − 𝑝 𝑖 𝑟 𝑋 𝑠
𝑠=𝑝 𝑖
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑟 − 1
αν 𝑝 𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 𝑠−𝑝 1
𝑖 𝑞 ↔ 𝑞−1 ! 𝑡 𝑞−1 𝑒 𝑝 𝑖 𝑡 , 𝑞 = 1,2,3, …
40
Παράδειγμα 3
𝑋 𝑠 = 5𝑠 − 1
𝑠 3 − 3𝑠 − 2 = 5𝑠 − 1
𝑠 + 1 2 𝑠 − 2 = 𝑐 1
𝑠 + 1 + 𝑐 2
𝑠 + 1 2 + 𝑐 3 𝑠 − 2 𝑐 1 = 𝑑
𝑑𝑠 𝑠 + 1 2 𝑋 𝑠
𝑠=−1
= 𝑑 𝑑𝑠
5𝑠 − 1
𝑠 − 2 𝑠=−1
= −9
𝑠 − 2 2 𝑠=−1 = −1
𝑐 2 = 𝑠 + 1 2 𝑋 𝑠 𝑠=−1 = 5𝑠 − 1
𝑠 − 2 𝑠=−1 = 2 𝑐 3 = 𝑠 − 2 𝑋 𝑠 𝑠=2 = 5𝑠 − 1
𝑠 + 1 2 𝑠=2 = 1
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Γενικά
Αν η αυστηρά κανονική ρητή συνάρτηση 𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠 𝑎 𝑠 ,
𝑑𝑒𝑔𝑎 𝑠 > 𝑑𝑒𝑔𝑏 𝑠 έχει:
Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace x(t) της X(s) έχει όρο της μορφής :
Απλό πραγματικό πόλο 𝑝 𝑐𝑒 𝑝𝑡 , 𝑐 ∈ ℝ
Πραγματικό πόλο p με πολλαπλότητα 2
𝑐 1 𝑒 𝑝𝑡 + 𝑐 2 𝑡𝑒 𝑝𝑡 , 𝑐 1 , 𝑐 2 ∈ ℝ
Πραγματικό πόλο p με πολλαπλότητα
𝑟 𝑐 1 𝑒 𝑝𝑡 + 𝑐 2 𝑡𝑒 𝑝𝑡 + ⋯ + 𝑐 𝑟 𝑡 𝑟−1 𝑒 𝑝𝑡 , 𝑐 1 , 𝑐 2 , . . , 𝑐 𝑟 ∈ ℝ
Απλό μιγαδικό πόλο 𝑝 = 𝜎 ± 𝑗𝜔 𝑐𝑒 𝜎𝑡 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 , 𝑐, 𝜑 ∈ ℝ Μιγαδικό πόλο 𝑝 = 𝜎 ± 𝑗𝜔 με
πολλαπλότητα 2
𝑐 1 𝑒 𝜎𝑡 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 1
+ 𝑐 2 𝑡𝑒 𝜎𝑡 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 2 , 𝑐 1 , 𝑐 2 , 𝜑 1 , 𝜑 2 ∈ ℝ
42
Παράδειγμα 4
𝑋 𝑠 = 1
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 − 4 2 𝑠 + 2 − 3𝑗 𝑠 + 2 + 3𝑗
𝑝 1 = 0, 𝑝 2 = −1, 𝑝 3 = 4, 𝑝 4 = 4, 𝑝 5 = −2 + 3𝑗, 𝑝 6 = 𝑝 5 = −2 − 3𝑗
𝑥 𝑡 = 𝑐 1 + 𝑐 2 𝑒 −𝑡 + 𝑐 3 𝑒 4𝑡 + 𝑐 4 𝑡𝑒 4𝑡 + 𝑐 5 𝑒 −2𝑡 cos 3𝑡 + 𝜑 𝑐 1 , 𝑐 2 , 𝑐 3 , 𝑐 4 , 𝑐 5 , 𝜑 ∈ ℝ
Συμπέρασμα: Η μορφή του σήματος 𝑥(𝑡) εξαρτάται μόνο από τους πόλους της 𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠 𝑎 𝑠 .
(πόλοι της 𝑋(𝑠)=ρίζες του παρανομαστή 𝑎(𝑠))
Δεν εξαρτάται από τα μηδενικά της 𝑋(𝑠) .
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Συνέπεια (1)
Συνέπεια των παραπάνω είναι ότι η συμπεριφορά του σήματος 𝑥(𝑡), όταν ο χρόνος 𝑡 → ∞ εξαρτάται μόνο από τους πόλους της 𝑋 𝑠 = 𝑎 𝑠 𝑏 𝑠 και
𝑡→+∞ lim 𝑥 𝑡 = 0 ⇔ 𝑅𝑒 𝑝 𝑖 < 0, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛
44
Re (s) Im (s)
s j
Re( ) s 0
Μιγαδικό
επίπεδο
Συνέπεια (2)
Αν ένας πόλος της 𝑋(𝑠) είναι ο 𝑝 1 = 0 και όλοι οι άλλοι πόλοι 𝑝 𝑖 ⊂ 𝑅𝑒 𝑠 < 0, αν δηλαδή
𝑋 𝑠 = 𝑏 𝑠
𝑠𝑎 1 𝑠 = 𝑐 1
𝑠 + 𝑏 1 𝑠 𝑎 1 𝑠
𝑎 1 𝑠 = 𝑠 − 𝑝 2 𝑟 1 𝑠 − 𝑝 3 𝑟 2 … 𝑠 − 𝑝 𝑛 𝑟 𝑛−1 , 𝑝 𝑖 ≠ 0, 𝑅𝑒 𝑝 𝑖 < 0, 𝑖 = 2,3, … , 𝑛
lim
𝑡→+∞ 𝑥 𝑡 = 𝑐 1 = 𝑠𝑋 𝑠 𝑠=0 = 𝑏 𝑠
𝑎 1 𝑠 𝑠=0 = 𝑏 0
𝑎 1 0 =
𝑏 0
−𝑝 2 𝑟1 −𝑝 3 𝑟2 … −𝑝 𝑛 𝑟𝑛−1 ∈ ℝ
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Παράδειγμα 5
𝑋 𝑠 = 2𝑠 2 − 3𝑠 + 4
𝑠 3 + 3𝑠 2 + 2𝑠 = 2𝑠 2 − 3𝑠 + 4 𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2 𝑝 1 = 0, 𝑝 2 = −1, 𝑝 3 = −2
𝑡→∞ lim 𝑥 𝑡 = 𝑠𝑋 𝑠 𝑠=0 = 2𝑠 2 − 3𝑠 + 4
𝑠 + 1 𝑠 + 2 𝑠=0 = 2
46
Βιβλιογραφία
Βαρδουλάκης Α.Ι., 2011, Εισαγωγή στη Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Α:
Κλασική Θεωρία Ελέγχου, ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε.
Alexander D. Poularikas, Transforms and applications handbook / editor, -- 3rd ed., CRC Press, Taylor & Francis Group (Chapter 5, Laplace Transforms, by Alexander D.
Poularikas and Samuel Seely).
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών
Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Νικόλαος
Καραμπετάκης. «Κλασσική Θεωρία Ελέγχου. Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 2014.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
http://eclass.auth.gr/courses/OCRS432/
48
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία
εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να
χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.
[1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
Σημείωμα Αδειοδότησης
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
