Η παξνχζα εξγαζία εζηηάδεηαη θχξηα ζηελ κε-γξακκηθή κνξθή ηνπ θίιηξνπ Kalman επηρεηξψληαο λα αλαδείμεη ηελ αλσηεξφηεηα ρξήζεο ηνπ Unscented Kalman θίιηξνπ έλαληη ηνπ Extended Kalman θίιηξνπ θαηά ηελ πξνζπάζεηα πξνζδηνξηζκνχ ηεο εκθάληζεο ηεο κεηαβιεηήο θχθινπ ζηελ νηθνλνκεηξηθή ρξνλνζεηξά ηνπ ΑΔΠ ηεο ακεξηθάληθεο νηθνλνκίαο

΢ΥΟΛΗ ΘΔΣΙΚΩΝ ΔΠΙ΢ΣΗΜΩΝ

ΣΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ΢ ΚΑΙ ΣΗΛΔΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΓΙΑΣΜΗΜΑΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΔΣΑΠΣΤΥΙΑΚΩΝ ΢ΠΟΤΓΩΝ ΢ΣΗ ΓΙΟΙΚΗ΢Η ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΩΝ ΣΗΛΔΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΓΙΚΣΤΩΝ

ΓΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΔΡΓΑ΢ΙΑ

Αλάιπζε νηθνλνκεηξηθώλ κνληέισλ ζηνλ ρώξν θαηάζηαζεο

Γεώξγηνο Γ. Αλαζηαζίνπ

Δπηβιέπνληεο: Γεκήηξηνο Βαξνπηάο, Δπίθνπξνο Καζεγεηήο

ΑΘΗΝΑ

ΝΟΔΜΒΡΙΟ΢ 2011

ΓΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΔΡΓΑ΢ΙΑ

ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑ΢ΙΑ

Αλάιπζε νηθνλνκεηξηθψλ κνληέισλ ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο Γεώξγηνο Γ. Αλαζηαζίνπ

Α.Μ.: ΜΟΠ08217

ΔΠΙΒΛΔΠΟΝΣΔ΢: Γεκήηξηνο Βαξνπηάο, Δπίθνπξνο Καζεγεηήο

Ννέκβξηνο 2011

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Η παξνχζα εξγαζία επηρεηξεί λα αλαδείμεη ηα πιενλεθηήκαηα πνπ παξνπζηάδεη ε κειέηε κηαο καθξννηθνλνκηθήο ρξνλνζεηξάο κε ηελ βνήζεηα ηεο ρξήζεο ηεο κεζνδνινγίαο πνπ αλαπηχρζεθε ζηα κνληέια ηνπ ρψξνπ θαηάζηαζεο, εξρφκελε ζε αληηδηαζηνιή κε ηελ επηθξαηνχζα θπξηαξρία ηεο κεζφδνπ Box-Jenkins ζηελ δηεζλή βηβιηνγξαθία.

Η κεζνδνινγία ησλ κνληέισλ ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο ζε εθαξκνγέο πξφβιεςεο ηεο ρξνληθήο εμέιημεο νηθνλνκηθψλ κεγεζψλ επηηπγράλεηαη κε ηελ ρξήζε ηνπ γξακκηθνχ θαη κε-γξακκηθνχ θίιηξνπ Kalman.

Η παξνχζα εξγαζία εζηηάδεηαη θχξηα ζηελ κε-γξακκηθή κνξθή ηνπ θίιηξνπ Kalman επηρεηξψληαο λα αλαδείμεη ηελ αλσηεξφηεηα ρξήζεο ηνπ Unscented Kalman θίιηξνπ έλαληη ηνπ Extended Kalman θίιηξνπ θαηά ηελ πξνζπάζεηα πξνζδηνξηζκνχ ηεο εκθάληζεο ηεο κεηαβιεηήο θχθινπ ζηελ νηθνλνκεηξηθή ρξνλνζεηξά ηνπ ΑΔΠ ηεο ακεξηθάληθεο νηθνλνκίαο. Σπγθεθξηκέλα κε ρξήζε ηνπ γξακκηθνχ θίιηξνπ Kalman αιιά θαη ησλ κε-γξακκηθψλ EKF θαη UKFαπνδείρζεθε εκπξάθησο φηη ππάξρεη αζπκκεηξία σο πξνο ηελ κεηαβιεηή θχθινπ ζηελ νηθνλνκεηξηθή ρξνλνζεηξά ηνπ ΑΔΠ θαη ζπγθεθξηκέλα φηη ε κεηαβιεηή θχθινπ θαηέξρεηαη γξεγνξφηεξα απφ φηη αλέξρεηαη.

ΘΔΜΑΣΙΚΗ ΠΔΡΙΟΥΗ: Απνζχλζεζε ρξνλνζεηξψλ

ΛΔΞΔΙ΢ ΚΛΔΙΓΙΑ: Μνληέια ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο, εθηίκεζε, πξφβιεςε, Φίιηξν Kalman, EKF, UKF, Box-Jenkins κεζνδνινγία

ABSTRACT

This master thesis attempts to highlight the advantages of studying a macroeconomic time series using a methodology developed in the state- space model, opposing the prevailing worldwide referenced Box-Jenkins method.

The state-space model methodology used in applications dealing with estimation of financial measures is achieved by using the linear and nonlinear Kalman filter algorithm.

This paper focuses mainly on the non-linear form of Kalman filters in an attempt to demonstrate the superiority of using Unscented Kalman Filter against the Extended Kalman filter when trying to determine the occurrence of the variable cycle in econometric time series of GDP of the U.S. economy.

Specifically using the linear Kalman filter and the nonlinear EKF and UKF, proved in practice that there is an asymmetry in the cycle variable in US GDP econometric time series, resulting in a more rapid descend of the falling edge than of the rising one.

SUBJECT AREA: Time series decomposition

KEYWORDS: State space models, estimation, forecasting Kalman filter, EKF, UKF, Box-Jenkins methodology

Πεξηερφκελα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ... 2

Δπξεηήξην Δηθφλσλ ... 5

ΠΡΟΛΟΓΟ΢ ... 6

Δηζαγσγή ... 7

Κεθάιαην 1 Τνπηθφ level κνληέιν ... 9

1.1 Τνπηθφ κνληέιν ηάζεο ... 10

1.2 Τνπηθφ level κνληέιν κε επνρηθφηεηα ... 14

1.3 Τνπηθφ level κνληέιν κε πξνζκέηξεζε θχθινπ θαη επνρηθφηεηαο ... 18

Κεθάιαην 2 Απεηθφληζε ησλ γξακκηθψλ κνληέισλ ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο θαη ην Φίιηξν Kalman ... 20

2.1 Φίιηξν Kalman ... 21

2.2 Ο Αιγφξηζκνο ηνπ Kalman Φίιηξνπ ... 22

2.3 Πεξηνξηζκνί ηνπ Φίιηξνπ Kalman ... 24

Κεθάιαην 3 Με-Γξακκηθά Μνληέια- Δχξεζε ηεο Βέιηηζηεο Δθηίκεζεο- Μεηαζρεκαηηζκφο ηεο Αβεβαηφηεηαο ... 25

3.1 Βέιηηζηε Με-Γξακκηθή Δθηίκεζε ... 25

3.2 Μεηαζρεκαηίδνληαο ηελ Αβεβαηφηεηα ... 29

3.2.1 Σηαηηζηηθή πεξηγξαθή ηνπ κεηαζρεκαηηζκνχ ... 29

3.2.2 Γξακκηθνπνηεκέλνο Μεηαζρεκαηηζκφο ... 36

3.2.3 Unscented Μεηαζρεκαηηζκφο ... 37

3.2.4 Δθαξκνγή ησλ EKF θαη UKF κεηαζρεκαηηζκψλ ... 53

Κεθάιαην 4 Αλάιπζε ησλ κε-γξακκηθψλ αιγνξίζκσλ ηνπ Φίιηξνπ Kalman ... 67

4.1 Extended (Γξακκηθνπνηεκέλν) Φίιηξν Kalman (EKF) ... 67

4.2 Unscented Kalman Φίιηξν (UKF) ... 75

4.2.1 Ο Αιγφξηζκνο επηινγήο ησλ Γεληθεπκέλσλ Σίγκα-Σεκείσλ ... 77

4.2.2 Υινπνίεζε ηνπ UKF ... 87

Κεθάιαην 5 Σπκκεηξηθνί θαη Αζχκκεηξνη νηθνλνκηθνί θχθινη ... 90

5.1 Μαζεκαηηθή αλαπαξάζηαζε ηεο αζχκκεηξεο ζηνραζηηθήο ζπληζηψζαο θχθινπ ... 91

5.1.1 Αζχκκεηξνο κε-ζηνραζηηθφο θχθινο ... 91

5.1.2 Σπκκεηξηθφο κε-ζηνραζηηθφο θχθινο ... 94

5.1.3 Αζχκκεηξνο ζηνραζηηθφο θχθινο ... 95

5.2 Πξνζδηνξηζκφο ησλ ζπληζησζψλ ηεο ηάζεο θαη θχθινπ ... 96

5.2.1 Γξακκηθφ κνληέιν – Σπκκεηξηθφο νηθνλνκηθφο θχθινο ... 97

5.2.2 Δθαξκνγή ηνπ Kalman Filter ζην Γξακκηθφ κνληέιν ... 99

5.2.3 Με-Γξακκηθφ κνληέιν – Αζχκκεηξνο νηθνλνκηθφο θχθινο ... 105

5.2.3.1 Δθαξκνγή ηνπ Extended Kalman Filter ... 106

5.2.3.2 Δθαξκνγή ηνπ Unscented Kalman Filter ... 111

Σπκπεξάζκαηα ... 116

΢ΤΝΣΜΗ΢ΕΙ΢ – ΑΡΚΣΙΚΟΛΕΞΑ – ΑΚΡΩΝΤΜΙΑ ... 118

Παξάξηεκα ... 119

1 Κψδηθαο Υινπνίεζεο ηνπ Γξακκηθνχ KF ζην MatLab ... 119

2 Κψδηθαο Υινπνίεζεο ηνπ EKF ζην MatLab ... 121

3 Κψδηθαο Υινπνίεζεο ηνπUKF ζην MatLab ... 123

ΑΝΑΦΟΡΕ΢ ... 126

Δπξεηήξην Δηθόλσλ

Δηθφλα 1 Σπκπεξαζκφο Πηζαλφηεηαο ... 25

Δηθφλα 2 Bayesian πιαίζην κειέηεο ... 26

Δηθφλα 3 Μέζνδνο Monte Carlo ... 55

Δηθφλα 4 Μ/Σ δεδνκέλσλ Monte Carlo ... 56

Δηθφλα 5 EKF Μεηαζρεκαηηζκφο ... 58

Δηθφλα 6 Σίγκα Σεκεία ηνπ απινχ UT ... 59

Δηθφλα 7 Μεηαζρεκαηηζκέλα Σίγκα Σεκεία ηνπ Απινχ UT... 60

Δηθφλα 8 Σπλδηαθχκαλζε ηνπ UT θαη ηνπ Monte Carlo... 61

Δηθφλα 9 Σίγκα Σεκεία ηνπ Γεληθεπκέλνπ UT ... 62

Δηθφλα 10 Γεληθεπκέλνο UT ησλ Σίγκα Σεκείσλ ... 63

Δηθφλα 11Γηαβαζκηζκέλα Σίγκα Σεκεία ... 65

Δηθφλα 12 Γηαβαζκηζκέλνο UT Σίγκα Σεκείσλ ... 66

Δηθφλα 13 Απφθιηζε ηνπ EKF έλαληη ηνπ UKF ... 71

Δηθφλα 14 Απεηθφληζε Σίγκα Σεκείσλ ... 76

Δηθφλα 15 Αζπκκεηξία κεηαβιεηήο θχθινπ ... 93

Δηθφλα 16 Τάζε γξακκηθνχ KF γηα   1,9*, ι=0,8976 θαη ξ=0,8 . 100 Δηθφλα 17 Κχθινο γξακκηθνχ KF γηα   1,9*, ι=0,8976 θαη ξ=0,8 ... 100

Δηθφλα 18 Κχθινο γξακκηθνχ KF γηα   1,9*, ι=0,8976 θαη ξ=0,8 ... 102

Δηθφλα 19 Τάζε γξακκηθνχ KF γηα    , ι= 0,8976 θαη ξ=0,8 ... 103

Δηθφλα 20 Κχθινο γξακκηθνχ KF γηα    , ι=0,8976 θαη ξ=0,8 .... 103

Δηθφλα 21 Κχθινο γξακκηθνχ KF γηα    , ι=0,8976 θαη ξ=0,99 . 104 Δηθφλα 22 Τάζε ηνπ EKF γηα ι=0,8976, γ=2 θαη ξ=0,8 ... 108

Δηθφλα 23 Κχθινο ηνπ EKF γηα ι=0,8976, γ=2 θαη ξ=0,8 ... 109

Δηθφλα 24 Τάζε ηνπ EKF γηα   1,9*, ι=0,8976, γ=2 θαη ξ=0,8 .... 110

Δηθφλα 25 Κχθινο ηνπ EKF γηα   1,9*, ι=0,8976, γ=2 θαη ξ=0,8 ... 110

Δηθφλα 26 Τάζε ηνπ UKF γηα ι=2, γ=2 θαη ξ=0,8 ... 112

Δηθφλα 27 Κχθινο ηνπ UKF γηα ι=2, γ=2 θαη ξ=0,8 ... 113

Δηθφλα 28 Κχθινο ηνπ UKF γηα ι=2, γ=2,2 θαη ξ=0,8 ... 114

Δηθφλα 29 Κχθινο ηνπ UKF γηα ι=2, γ=2,2 θαη ξ=0,7 ... 115

ΠΡΟΛΟΓΟ΢

Η ζπγγξαθή ηεο παξνχζαο εξγαζίαο ήηαλ απνηέιεζκα εθηελήο κειέηεο ηεο ππάξρνπζαο βηβιηνγξαθίαο ζηελ επηζηεκνληθή πεξηνρή αλάιπζε ρξνλνζεηξψλ ελψ παξάιιεια επηδηψρζεθε λα απνδεηρζεί ε ρξεζηκφηεηα ηεο ππφ κειέηεο κεζφδνπ θαη ζηηο πεξηπηψζεηο κειέηεο κηαο νηθνλνκηθήο ρξνλνζεηξάο.

Δηζαγσγή

Γνκή ηεο εξγαζίαο

Σην πξψην απφ ηα ζπλνιηθά πέληε θεθάιαηα απφ ηα νπνία δνκείηαη ε παξνχζα εξγαζία, επηρεηξείηε ε ε πεξηγξαθή ηνπ ηνπηθνχ level κνληέινπ ην νπνίν απνζπλζέηεη κηα νηθνλνκεηξηθή ρξνλνζεηξά ζε δηάθνξεο δηαθξηηέο ζπληζηψζεο. Σπγθεθξηκέλα αλαθέξνληαη νη δηάθνξεο εθδνρέο πνπ κπνξεί λα έρεη ην κνληέιν αλάινγα κε ηελ ζρεδηαζηηθή επηινγή σο πξνο ηελ απνζχλζεζε ηεο νηθνλνκηθή ρξνλνζεηξάο ζηηο ζπληζηψζεο ηεο ηάζεο, ηεο επνρηθφηεηαο θαζψο θαη ηνπ θχθινπ. Δπηπιένλ επηρεηξείηε λα δνζεί ε ζπζρέηηζε ηνπ ηνπηθνχ κνληέινπ, ζηελ κε-ζηνραζηηθή κνξθή ηνπ, κε ηα κνληέια ARIMA.

Σην δεχηεξν θεθάιαην δίλεηαη κηα ζχληνκε πεξηγξαθή ηνπ αιγνξίζκνπ ηνπ θίιηξνπ Kalman ελψ αλαθέξνληαη νη πξνυπνζέζεηο ζηηο νπνίεο ην θίιηξν Kalman ζα δίλεη ηελ βέιηηζηε ιχζε.

Σηα επφκελα ηξία θεθάιαηα επηρεηξείηε ε κειέηε ησλ κε-γξακκηθφηεηαο θαη ην πσο απηή επεξεάδεη ηελ απφδνζε ή θαιχηεξα ηελ ζχγθιηζε πνπ ζα επηηχρεη ν αιγφξηζκνο ηνπ θίιηξνπ Kalman.

Σπγθεθξηκέλα ζην θεθάιαην 3 θάλνληαο ρξήζε ηεο πηζαλνζεσξηάο θαη ζπγθεθξηκέλα ηνπ αιγνξίζκνπ ηεο αθνινπζηαθήο Bayesian εθηίκεζεο, πεξηγξάθεηαη ε εχξεζε ηεο βέιηηζηεο ιχζεο γηα ην πξφβιεκα ηεο εθηίκεζεο ησλ θαηαζηάζεσλ ηνπ ζπζηήκαηνο.

Σηελ ζπλέρεηα ζηελ ελφηεηα "Μεηαζρεκαηίδνληαο ηελ Αβεβαηφηεηα" γίλεηαη κηα εθηελή αλαθνξά ζην θαηά πφζν επεξεάδνληαη ηα ζηαηηζηηθά κεγέζε ηεο κέζεο ηηκήο θαζψο θαη ηεο ζπλδηαθχκαλζεο κηαο κεηαβιεηήο φηαλ απηή κεηαζρεκαηηζηεί κέζσ κηαο κε-γξακκηθήο ζπλάξηεζεο, ε νπνία ζα πξνζνκνηάδεη είηε ηελ ζπλάξηεζε κέηξεζεο, είηε ηελ ζπλάξηεζε εμέιημεο ηνπ ζπζηήκαηνο. Σπγθεθξηκέλα αλαθέξνληαη ιεπηνκεξψο ηα πιενλεθηήκαηα θαη ηα κεηνλεθηήκαηα ηνπ Γξακκηθνπνηεκέλνπ θαη ηνπ Unscented κεηαζρεκαηηζκνχ ελψ ηαπηφρξνλα επηρεηξείηε λα απνδεηρζεί ε αλσηεξφηεηα ηνπ ηειεπηαίνπ.

Σηελ ζπλέρεηα δίλεηαη κηα εθηελήο αλαθνξά ζην ηξφπν επηινγήο ησλ ζεκείσλ ζίγκα σο πξνο ηηο δηάθνξεο εθδνρέο ηνπ Unscented κεηαζρεκαηηζκνχ θαζψο θαη ηνπ ηξφπνπ κε ηνλ νπνίν κεηεμειίρζεθε.

Καηφπηλ ζηελ εθαξκνγή πνπ αθνινπζεί, ζηελ νπνία απαηηείηαη ν ηζρπξφο κε- γξακκηθφο κεηαζρεκαηηζκφο ησλ κεηξήζεσλ πνπ ιακβάλνληαη ζηηο πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο (radius, angle) ζε θαξηεζηαλέο ζπληεηαγκέλεο

 

^{x y, ζην ρψξν}

θαηάζηαζεο, απνδεηθλχεηαη θαη γξαθηθά ε αλσηεξφηεηα ηνπ Unscented κεηαζρεκαηηζκνχ έλαληη ηνπ αληίζηνηρνπ Γξακκηθνπνηεκέλνπ.

Σην θεθάιαην 4 ην νπνίν απνηειεί ηελ θπζηθή ζπλέρεηα ηνπ θεθαιαίνπ 3, αλαθέξνληαη θαη αλαιχνληαη νη δπν πην δηαδεδνκέλνη κε-γξακκηθνί αιγφξηζκνη ηνπ Φίιηξνπ Kalman, ν Extended Kalman Filter (EKF) θαζψο ν Unscented Kalman Φίιηξν (UKF) αιγφξηζκνο.

Σπγθεθξηκέλα γηα ηνλ EKF αιγφξηζκν αλαθέξνληαη νη πεξηνξηζκνί ηνπο νπνίνπο πθίζηαηαη, ελψ θαηφπηλ παξνπζηάδεηαη έλα ραξαθηεξηζηηθφ παξάδεηγκα ζην νπνίν ην EKF κπνξεί λα νδεγεζεί ζε απφθιηζε.

Σηελ ζπλέρεηα αλαιχεηαη κεζνδηθά ν UKF αιγφξηζκνο θαη ηδηαίηεξα αλαθέξεηαη ν αιγφξηζκνο επηινγήο ησλ Γεληθεπκέλσλ Σίγκα-Σεκείσλ ζηα δηάθνξα ζηάδηα πξνζδηνξηζκνχ ηνπο.

Σην θεθάιαην 5 αξρηθά επηρεηξείηαη ε εθαξκνγή ηνπ θίιηξνπ Kalman ζηελ γξακκηθή κνξθή ηνπ local level κνληέινπ φπνπ ε κεηαβιεηή θχθινο έρεη ζπκκεηξηθφ ζρήκα. Σηελ ζπλέρεηα κεηαηξέπνπκε ην πξνεγνχκελν κνληέιν ζε κε-γξακκηθή κνξθή ψζηε λα κπνξεί λα πεξηγξάςεη θαη λα αλαιχζεη ρξνλνζεηξέο νη νπνίεο ζπληίζεληαη απφ κεηαβιεηή θχθινπ πνπ αθνινπζνχλ αζχκκεηξν ζρήκα. Σηελ ζπλέρεηα πηνζεηείηαη ε είζνδνο αζπκκεηξίαο κφλν σο πξνο ζην κέγεζνο ηεο πξψηεο παξαγψγνπ ηεο κεηαβιεηήο ηνπ θχθινπ _t, δειαδή ηνπ _t (steepness) θαη εθαξκφδνληαη νη ηερληθέο ηνπ Extended θαη ηνπ Unscented Kalman Filter πνπ αλαπηχρζεθαλ ζην πξνεγνχκελν θεθάιαην.

Κεθάιαην 1 Σνπηθό level κνληέιν

Δηζαγσγή

Σηελ δηεζλή βηβιηνγξαθία παξαηεξείηαη φηη θαηά ηελ επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ εθηίκεζεο νηθνλνκηθψλ κεγεζψλ έρεη θπξηαξρήζεη ε Box- Jenkins κεζνδνινγία, ε νπνία παξνπζηάζηεθε ζην βηβιίν "Time Series Analysis: Forecasting and Control" κε ζπγγξαθείο ηνπο Box θαη Jenkins ην 1970.

Η Box-Jenkins πξνζέγγηζε ζεσξεί φηη νη παξαηεξήζεηο πξέπεη λα είλαη ζηάζηκεο κε απνηέιεζκα λα πξνθχπηεη ε αλάγθε λα ρξεζηκνπνηεζνχλ δηάθνξνη κέζνδνη κεηαζρεκαηηζκνχ ησλ παξαηεξήζεσλ ψζηε λα κεηαηξαπνχλ ζε ζηάζηκα δεδνκέλα. Σπγθεθξηκέλα γηα ηελ επίηεπμε ηεο ζηαζηκφηεηαο ζπλήζσο εθαξκφδεηαη είηε ε κέζνδνο δηαθνξψλ, είηε κεηαζρεκαηίδνληαη ηα δεδνκέλα κε ρξήζε δηάθνξσλ ζπλαξηήζεσλ κε ραξαθηεξηζηηθφ παξάδεηγκα ηελ ινγαξηζκηθή, ελψ ζηελ ζπλέρεηα ζηα κεηαζρεκαηηζκέλα θαη ζηάζηκα πιένλ δεδνκέλα εθαξκφδνληαη autoregressive moving average (ARMA) κνληέια.

Σε απηήλ ηελ ελφηεηα πεξηγξάθεηαη ε πξνζέγγηζε ηεο αλάιπζεο ησλ ρξνλνζεηξψλ κε ρξήζε ηνπ local level κνληέινπ θαη αλαπαξάζηαζή ηεο ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο. Δπηπιένλ ζα επηρεηξεζεί λα αλαιπζεί ε ζρέζε πνπ ππάξρεη κεηαμχ ησλ κνληέισλ ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο θαη ηνπ autoregressive integrated moving average ARIMA κνληέινπ.

Τν ηνπηθφ level κνληέιν πνπ ζα αλαιπζεί εθηελέο ζηε ζπλέρεηα απνηειεί έλα θιαζζηθφ παξάδεηγκα εθαξκνγήο κνληέισλ ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο. Τν θχξην ραξαθηεξηζηηθφ απηνχ ηνπ κνληέινπ εζηηάδεηαη ζην φηη ε ιεγφκελε level ζπληζηψζα ηνπ δχλαηαη λα είλαη ρξνληθά κεηαβαιιφκελε, ζε αληηδηαζηνιή κε ηελ επζεία γξακκή πνπ πξνθχπηεη απφ ηελ εθαξκνγή ηνπ κνληέινπ γξακκηθήο παιηλδξφκεζεο (linear regression), ε νπνία παξακέλεη πάληα ζηαζεξή.

Αλ ζεσξεζεί φηη ε level ζπληζηψζα είλαη ζηαζεξή, δειαδή φηη ππάξρεη κηα θαζνιηθή level ζπληζηψζα, ηφηε πξνθχπηεη φηη απηή είλαη ηζνδχλακε κε ηελ επζεία γξακκή (intercept) πνπ πξνθχπηεη κε ηελ εθαξκνγή ηνπ κνληέινπ γξακκηθήο παιηλδξφκεζεο. Αλ ε level ζπληζηψζα είλαη ρξνληθά κεηαβαιιφκελε ηφηε ε level ζπληζηψζα ζα εθαξκφδεηε ηνπηθά, νπφηε θαη γηα απηφ ηνλ ιφγν ην κνληέιν ζα αλαθέξεηαη σο ηνπηθφ (local) level κνληέιν.

1.1 Σνπηθό κνληέιν ηάζεο

Η καζεκαηηθή αλαπαξάζηαζε ηνπ ηνπηθνχ level κνληέινπ ζα δίλεηαη απφ ηηο ζρέζεηο:

   

2 2 1

, (0, ) 1.1

, (0, ) 1.2

t t t t e

t t t t n

y e e N

n n N

 

_  

 

  



Όπνπ

 

et θαη

 

nt είλαη δπν αλεμάξηεηεο Gaussian ιεπθνχ ζνξχβνπ ρξνλνζεηξέο.

Ωο κεηαβιεηή y_t ζεσξνχκε φηη αλαπαξηζηά ηηο πξαγκαηηθέο κεηξήζεηο νη νπνίεο ιακβάλνληαη αλά ηαθηά ή κε ρξνληθά δηαζηήκαηα ελφο νηθνλνκηθνχ κεγέζνπο φπσο είλαη π.ρ. νη δηαθπκάλζεηο ηεο ηηκήο κηαο κεηνρήο. Δπηπιένλ ε κεηαβιεηή y_t ππφθεηηαη ζε ζφξπβν πνπ παξηζηάλεηε κέζσ ηεο κεηαβιεηήο

et(observational noise).

Θεσξψληαο φηη ε κεηαβιεηή _t αλαπαξηζηά ηελ ηάζε(trend) ηεο πνξείαο ηεο ηηκήο κηαο κεηνρήο ηφηε ην ηνπηθφ level κνληέιν φπσο αλαπαξηζηάηε ζηηο παξαπάλσ ζρέζεηο ζα νλνκάδεηαη εηδηθφηεξα σο ηνπηθφ κνληέιν ηάζεο.

Σχκθσλα κε ηελ νξνινγία ησλ κνληέισλ ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο ε ζρέζε (1.1) ζα νλνκάδεηαη σο εμίζσζε ιήςεο κέηξεζεο(observation equation), ελψ ε ζρέζε (1.2) σο εμίζσζε εμέιημεο ηεο θαηάζηαζεο ηνπ ζπζηήκαηνο (state transition equation).

΢πζρέηηζε ηνπ ηνπηθνύ κνληέινπ ηάζεο κε ην ARIMA κνληέιν

Απφ ηελ ζρέζε y_t _te_t (1.1) πξνθχπηεη φηη:

Αλ ηζρχεη _e 0ηφηε πξνθχπηεη φηη ε (1.1) κεηαβάιιεηαη ζηελ y_t _t ε νπνία αλαπαξηζηά ARIMA(0,1,0) κνληέιν.

Αλ ηζρχεη _e 0, δειαδή ππάξρνπλε ιάζε κέηξεζεο ηφηε ε y_t αλαπαξηζηά ARIMA(0,1,1) κνληέιν ην νπνίν ηθαλνπνηεί ηελ εμήο ζρέζε:



¹B y



t  



¹ B a



t (1.3)

Όπνπ

 

at είλαη Gaussian ιεπθνχ ζνξχβνπ ζεηξά κε a_t N(0,_a²).

Σηελ ζπλέρεηα ζεσξψληαο φηη είλαη γλσζηέο νη ηηκέο ησλ _eθαη _n ζα πξνζδηνξηζηνχλ νη ηηκέο ησλ ζ θαη _a.

Ιζρχεη:

     

1 1 1 1

1 1

1 1 1

t t nt B t nt t nt t nt

B B

_     _  _    _

 

Τφηε απφ ηελ (1.2) πξνθχπηεη:

 

^{ }

   

 

1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

B

t t t t t t t t t

t t t t

y e y n e B y n B e

B B y n e e

 _ ^{ } _

 

          



    

Οξίδνληαο σο wt  



¹ B y



t ηφηε έρνπκε:

1 1

t t t t

w n_  e e_ (1.4)

Δχθνια πξνθχπηεη φηη ηζρχνπλ ηα εμήο:

(α) Η κεηαβιεηή w_t είλαη Gaussian.

(β) Var w( _t)2_e²_n² (γ) Cov w w( _t, _t1) _e² (δ) Cov w w( _t, _{t j} )0, j1

Απφ ηα παξαπάλσ πξνθχπηεη φηη ε κεηαβιεηή w_tαθνινπζεί ΜΑ(1) κνληέιν θαη κπνξεί λα γξαθζεί θαη σο:



¹



t t

w  B a (1.5)

Γειαδή ηειηθά ηζρχεη: w_t  



1 B a



_t n_t1 e_t e_t1

Τφηε γηα wt  



¹ B a



t πξνθχπηεη:

2 2

2 1

( ) (1 )

( , )

t a

t t a

Var w Cov w w

 

 

  

  



Δμηζψλνληαο ηηο πξνεγνχκελεο ζρέζεηο Var w( _t) θαη Cov w w( _t, _t1) φπσο πξνέθπςαλ απφ ηελ ρξήζε ηεο εμίζσζεο (1.5) κε ηηο αληίζηνηρεο πνπ πξνέθπςαλ απφ ηελ εμίζσζε (1.4) πξνθχπηνπλ ηα εμήο:

2 2 2 2

2 2

(1 ) _a 2 _{e n}

a e

   

 

   

   

 (1.6)

Με ηελ πξνυπφζεζε φηη είλαη γλσζηέο νη ηηκέο ησλ _eθαη _n κπνξεί λα ιπζεί ε (1.6) σο δεπηεξνβάζκηα εμίζσζε σο πξνο ζ. Απφ ηηο δπν ιχζεηο γηα ην ζ ζα επηιερζεί ε ιχζε γηα ηελ νπνία ηζρχεη  1. Καηφπηλ ε ηηκή γηα ην _a² κπνξεί εχθνια λα πξνζδηνξηζηεί.

Απφ ηελ παξαπάλσ αλάιπζε πξνθχπηεη φηη ην κνληέιν ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο πνπ πεξηγξάθεηε απφ ηηο εμηζψζεηο (1.1) θαη (1.2) αλαπαξηζηά ARIMA(0,1,1) κνληέιν.

Σνπηθό level κνληέιν ηάζεο επαπμεκέλν κε θιίζε ηνπ επηπέδνπ ηεο ηάζεο

Σηελ ζπλέρεηα ζηα πιαίζηα ηεο αλαβάζκηζεο ηεο ζρέζεο (1.2) πνπ πεξηγξάθεη ηελ ζηνραζηηθή κνξθή ηεο ηάζεο _t, εηζάγνπκε κηα επηπιένλ κεηαβιεηή ε νπνία ζα επηρεηξεί λα πεξηγξάςεη ή θαιχηεξα λα κνληεινπνηήζεη θαη ηηο δηαηαξαρέο ηεο θιίζεο ηνπ επηπέδνπ ηάζεο.

Όπσο θαη πξνεγνπκέλσο, ε αλάιπζε μεθηλάεη απφ ηελ κε-ζηνραζηηθή κνξθή ηεο ηάζεο θαη ζηελ ζπλέρεηα πξνζζέηνπκε ηελ ζηνραζηηθφηεηα.

Θεσξνχκε φηη ε κε-ζηνραζηηθή ηάζε δίλεηαη απφ ηελ ζρέζε:

  _t   t (1.7)

Δλψ αθνινπζηαθά κπνξεί λα γξαθζεί σο εμήο:

1

t t

 _  (1.8)

Όπνπ ₀ .

Δηζάγνληαο ηελ ζηνραζηηθφηεηα ε ζπληζηψζα ηεο ηάζεο ζα δίλεηαη απφ ηηο ζρέζεηο:

1 1

1

t t t t

t t t

   n

 ^_ ^

  

  

 (1.9)

Όπνπ n_t θαη _t είλαη ακνηβαία αζπζρέηηζηεο ιεπθνχ ζνξχβνπ δηαηαξαρέο κε κεδεληθή κέζε ηηκή θαη δηαθχκαλζε _n² θαη _² αληίζηνηρα.

Η επίδξαζε ηνπ φξνπ n_t είλαη ζην λα επηηξέπεηαη ην επίπεδν ηεο ηάζεο λα κεηαθηλείηαη είηε πξνο ηα πάλσ είηε πξνο ηα θάησ, ελψ ε επίδξαζε ηνπ φξνπ

t είλαη ζην λα επηηξέπεη λα αιιάδεη ε θιίζε ηεο ηάζεο.

1.2 Σνπηθό level κνληέιν κε επνρηθόηεηα

Σε απηήλ ηελ ελφηεηα επηρεηξείηε ε αλαβάζκηζε ηνπ ηνπηθνχ level κνληέινπ ψζηε λα δχλαηαη λα πεξηγξάςεη πην απνηειεζκαηηθά ρξνλνζεηξέο νη νπνίεο ραξαθηεξίδνληαη θαη απφ πεξηνδηθφηεηα κηθξήο δηάξθεηαο.

Η είζνδνο ηεο επίδξαζεο ηεο πεξηνδηθφηεηαο ζηελ κεζνδνινγία αλαπαξάζηαζεο κνληέισλ ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο επηηπγράλεηαη κε ηελ είζνδν κηαο λέαο κεηαβιεηήο ζην ηνπηθφ κνληέιν ηάζεο πνπ αλαιχζεθε ζηελ πξνεγνχκελε ελφηεηα.

(α) Υξήζε πιαζκαηηθώλ (dummy) ζπληειεζηώλ επνρηθόηεηαο

Σηελ ζπλέρεηα ζεσξψληαο φηη νη ιακβάλνληαη κεηξήζεηο αλά ηεηξάκελν αλαπηχζζεηε έλα ηνπηθφ level κνληέιν κε πξνζκέηξεζε επνρηθφηεηαο.

2 2 1

2

1, 1 1, 2, 3,

2, 1 1,

3, 1 2,

, (0, )

, (0, )

, (0, )

t t t t t e

t t t t n

t t t t t t

t t

t t

y e e N

n n N

N _

  

  

      

 

 









   

  

    

 

 



(1.10)

„Όπνπ σο _t _1,t, νξίδεηαη ε ζπληζηψζα ηεο επνρηθφηεηαο.

Δπηπιένλ εηζάγεηαη ζην κνληέιν ε δηαηαξαρή _t ψζηε λα πεξηγξάθεη ε κεηαβιεηφηεηα ηεο επνρηθφηεηαο θαηά ηελ ρξνληθή δηάξθεηα.

Απφ ηηο ζρέζεηο ηνπ πξνεγνχκελνπ κνληέινπ αλαδεηθλχεηαη φηη γηα ηελ πεξηγξαθή ηεο πεξηνδηθφηεηαο απαηηνχληαη (s-1) επηπιένλ εμηζψζεηο θαηάζηαζεο, φπνπ σο s νξίδεηαη ε πεξηνδηθφηεηα ηεο επνρηθφηεηαο. Σηελ πεξίπησζε πνπ ππάξρνπλ ηεηξάκελσλ κεηξήζεσλ φπσο ηζρχεη θαη ζην ππφ κειέηε παξάδεηγκα, ην κνληέιν ζα απαηηεί ηελ είζνδν 3 λέσλ εμηζψζεσλ.

Αλ νξίζνπκε φηη _{i t,} είλαη ε επνρηθφηεηα ηνπ i-ηεηξάκελνπ ηελ ρξνληθή πεξίνδν t, ηφηε ε ηέηαξηε εμίζσζε _{2 ,t 1} _{t1 ,}κπνξεί λα εξκελεπζεί απιά φηη ην i- ηεηξάκελν ηελ επφκελε ρξνληθή πεξίνδν (t+1) είλαη ην (i+1)-ηεηξάκελν ζηελ ηξέρνλ ρξνληθή πεξίνδν t.

1,t 1 1,t 2,t 3,t t t 1 t t 1 t 2 t

 _       _    _ _  (1.11) Όπνπ t= s-1,…,n.

Δπηπιένλ φπσο πξνθχπηεη απφ ηηο ζρέζεηο (1.7) ζα ηζρχεη:

1 1,1

2 1,2 2,1

3 1,3 2,2 3,1

 

  

   

 

  

   



Λακβάλνληαο ππφςε φηη νη  ₁, ₂, ₃ είλαη ζηαζεξέο ζπληειεζηέο πξνθχπηεη φηη νη εμηζψζεηο (1.10) είλαη έγθπξεο γηα t= s-1,…,n.

Αλ ζεσξήζνπκε φηη _ 0, δειαδή φηη ε επίδξαζε ηεο επνρηθφηεηαο δελ επηηξέπεηαη λα κεηαβάιιεηαη ρξνληθά ηφηε ηζρχεη:

1

0

0

s t j j

 

 





Σε θάζε πεξίπησζε ην άζξνηζκα ησλ ζπληζησζψλ επνρηθφηεηαο γηα ηα 4 ηεηξάκελα ζην ηέινο ηεο ρξνληάο ζα ηζνχηαη κε ην κεδέλ.

(β) Υξήζε ηξηγσλνκεηξηθώλ ζπληειεζηώλ επνρηθόηεηαο

Δλαιιαθηηθά νη ζπληειεζηέο επνρηθφηεηαο δχλαηαη λα κνληεινπνηεζνχλ κε ηελ βνήζεηα ηξηγσλνκεηξηθψλ φξσλ, νη νπνίνη ζα ιακβάλνληαη ζηηο εμήο επνρηαθέο ζπρλφηεηεο:

2 / , 1,...,[ / 2]

j j s j s

   

Όπνπ:

[ / 2] / 2

( 1) / 2

s s ά

s s s ό



 

  

Τφηε ε επίδξαζε ηεο επνρηθφηεηαο ζε ρξφλν t ζα δίλεηαη απφ ηελ ζρέζε:

 

[ / 2]

* 1

cos sin

s

t j j j j

j

t t

    







 ^(1.12)

Αλ ην s είλαη άξηηνο αξηζκφο ηφηε γηα j= [s/2] ν φξνο ηνπ εκίηνλνπ ζα είλαη ίζν κε ην κεδέλ, νπφηε ν ζπλνιηθφο αξηζκφο ησλ _j θαη ^*_j ζα είλαη ίζνο κε (s1) / 2, δειαδή ζα ηζνχηαη κε ηνλ αξηζκφ ησλ ζπληειεζηψλ επνρηθφηεηαο

1, 2, 3,...

   πνπ πξνέθπςαλ απφ ηελ ρξήζε ηεο κεζφδνπ ησλ πιαζκαηηθψλ ζπληειεζηψλ επνρηθφηεηαο.

Η ζρέζε (1.12) νπζηαζηηθά αλαπαξηζηά ην άζξνηζκα [s/2] θπθιηθψλ φξσλ, φπνπ ην θαζέλα έρεη ξ=1 θαη φηη κπνξεί λα εμειίζζεηαη ρξνληθά κε ηνλ ίδην ηξφπν φπσο θαη ε ζπληζηψζα ηνπ θχθινπ πνπ ζα αλαιπζεί ζηελ επφκελε ελφηεηα.

Με βάζε ηα παξαπάλσ ην κνληέιν πνπ πεξηγξάθεη ε ζρέζε (1.12) κπνξεί λα γξαθζεί σο εμήο:

[ / 2]

, 1 s

t j t

j

 







^(1.13)

Όπνπ

, , 1 ,

* * *

, , 1 ,

cos sin

sin cos

j t j j j t j t

j t j j j t j t

    

    





      

 

      

       (1.14)

Δλψ νη κεηαβιεηέο _{j t,} θαη ^*_{j t,} , κε j1,...,[ / 2]s αθνινπζνχλ δηαδηθαζία ιεπθνχ ζνξχβνπ κε κεδεληθή κέζε ηηκή. Δπηπιένλ είλαη αζπζρέηηζηεο κεηαμχ ηνπο θαη έρνπλ θνηλή δηαθχκαλζε ².

Σεκεηψλεηαη φηη γηα s άξηην θαη j= s/2 ζα ηζρχεη φηη ε ζπληζηψζα _{j t,} ζα κεηαπίπηεη ζηελ εμήο ζρέζε:

, , 1cos ,

j t j t j j t

  _   (1.15)

1.3 Σνπηθό level κνληέιν κε πξνζκέηξεζε θύθινπ θαη επνρηθόηεηαο

Σε απηήλ ηελ ελφηεηα επηρεηξείηε ε εθ λένπ αλαβάζκηζε ηνπ ηνπηθνχ level κνληέινπ ψζηε λα κπνξεί λα πεξηγξάςεη ρξνλνζεηξέο νη νπνίεο απνηεινχληαη απφ ηηο ζπληζηψζεο ηεο ηάζεο, ηεο επνρηθφηεηαο θαζψο θαη ηνπ θχθινπ.

Η είζνδνο ηεο επίδξαζεο ηεο θχθινπ ζηελ κεζνδνινγία αλαπαξάζηαζεο κνληέισλ ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο επηηπγράλεηαη κε ηελ είζνδν κηαο λέαο κεηαβιεηήο _t ζην ηνπηθφ κνληέιν ηάζεο

Η καζεκαηηθή αλαπαξάζηαζε ηνπ αληίζηνηρνπ ηνπηθνχ level κνληέινπ ζα δίλεηαη απφ ηελ ζρέζε:

, 1,...,

t t t t t

y     e t T (1.16)

Όπνπ φπσο θαη πξνεγνπκέλσο σο y_tαλαπαξίζηαληαη νη κεηξήζεηο πνπ ιακβάλνληαη π.ρ. αλά ηεηξάκελν, σο _t ε ζπληζηψζα ηεο ηάζεο, σο _t ε ζπληζηψζα ηνπ θχθινπ, σο _tε επνρηαθή ζπληζηψζα θαη σο e_t ν ζφξπβνο κέηξεζεο.

Οη 4 ζπληζηψζεο   _t, _t, _t θαη e_t ζα είλαη ζηνραζηηθέο ελψ νη δηαηαξαρέο ζηηο νπνίεο πθίζηαληαη ζεσξνχκε φηη είλαη ακνηβαία αζπζρέηηζηεο.

Θεσξνχκε φηη ε κεηαβιεηή _tείλαη κηα θπθιηθή ζπλάξηεζε ηνπ ρξφλνπ κε ζπρλφηεηα _t, ε νπνία ζα κεηξηέηαη ζε radians, ελψ ε πεξίνδνο ηνπ θχθινπ ζα είλαη 2

t

 ^.

Σπγθεθξηκέλα κνληεινπνηνχκε ηνλ θχθιν ψζηε λα εθθξάδεηαη σο άζξνηζκα εκηηφλνπ θαη ζπλεκίηνλνπ εμαξηψκελν απφ ηνπο παξακέηξνπο α θαη β.

Γειαδή ζα δίλεηαη απφ ηελ ζρέζε:

cos sin

t ct ct

     (1.17)

Όπνπ ην απφιπην κέγεζνο ηεο κεηαβιεηήο _tπξνθαλψο ζα είλαη:



^{2 2}



^{1/ 2}

t    , ελψ θάζε ηεο ζα είλαη:^tan1



^{ /}



^.

Όκνηα κε πξηλ θαηά ηελ εχξεζε ηεο ηάζεο ν θχθινο κπνξεί λα πξνζδηνξηζηεί αθνινπζηαθά κε βάζε ην εμήο ζηνραζηηθφ κνληέιν:

, 1

, 1

cos sin

sin cos

j t c c t t

j t c c t t

    

     





      

 

       

  (1.18)

Όπνπ ηα _t θαη _t είλαη ακνηβαία αζπζρέηηζηα κεηαμχ ηνπο, ελψ επηπιένλ ραξαθηεξίδνληαη απφ ηελ ίδηα ζπλδηαθχκαλζε ² ²

Δπίζεο σο ξ νξίδνπκε έλαλ απνζβεζηηθφο (damping) ζπληειεζηήο γηα ην νπνίν ηζρχεη: 0  1.

Τν παξαπάλσ κνληέιν ζα πεξηγξάθεη ζηάζηκε δηεξγαζία θαζφζνλ ηζρχεη απζηεξά 0  1.

Δπηπιένλ εάλ ηζρχεη _t 0 ή  _t  ηφηε ην κνληέιν ζα κεηαπίπηεη ζε πξψηεο ηάμεο autoregressive δηαδηθαζία.

Δάλ ππνζέζνπκε φηη νη ππέξ-παξάκεηξνη (hyper-parameters)



^n2,  ^2, ^2,   ^{w2, ,} ^2,  ^{c, e2}



αθνινπζνχλ θαλνληθή θαηαλνκή ηφηε ζα κπνξνχλ λα εθηηκεζνχλ κε ρξήζε ηεο κεζφδνπ maximum likelihood. Η εθηίκεζε ησλ ππέξ-παξακέηξσλ κπνξεί λα γίλεη είηε ζηνλ πεδίν ηνπ ρξφλνπ κε ρξήζε ηνπ θίιηξνπ Kalman, είηε ζην πεδίν ησλ ζπρλνηήησλ φπσο πεξηγξάθεηαη ζηελ εξγαζία ηνπ Harvey(Κεθ. 4, 1989). Σηελ ζπλέρεηα ηεο εξγαζίαο ζα αλαθεξζεί ε πξψηε πξνζέγγηζε ηεο εθαξκνγήο ηνπ θίιηξνπ Kalman.

Δθφζνλ επηηεπρζεί ε εθηίκεζε ησλ ππέξ-παξακέηξσλ ηφηε απηνί ζα δχλαηαη λα ρξεζηκνπνηεζνχλ ζηελ απεηθφληζε ηνπ κνληέινπ ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο ψζηε λα επηηεπρζνχλ νη πξνβιέςεηο ησλ κε άκεζα παξαηεξνχκελσλ θαηαζηάζεσλ ηνπ ζπζηήκαηνο.

Κεθάιαην 2 Απεηθόληζε ησλ γξακκηθώλ κνληέισλ ζηνλ ρώξν θαηάζηαζεο θαη ην Φίιηξν Kalman

Δηζαγσγή

Οη εθαξκνγέο ηνπ θίιηξνπ Kalman ζηελ νηθνλνκεηξία αξρηθά επηθεληξψλνληαλ ζηελ εθηίκεζε παιηλδξνκηθψλ κνληέισλ κε ρξνληθά κεηαβαιιφκελνπο παξακέηξνπο. Σηελ βηβιηνγξαθία αξρηθά εκθαλίζηεθαλ άξζξα εχξεζεο ηεο maximum likelihood εθηίκεζεο ζε Gaussian κνληέια ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο (Schweppe, 1965) θαζψο θαη άξζξα ηα νπνία επηρεηξνχζαλ λα ζπλδέζνπλ ηελ κέζνδν ηεο γξακκηθήο παιηλδξφκεζεο κε ην θίιηξν Kalman (Duncan and Horn, 1972) πξνζθέξνληαο ηελ απαξαίηεηε ζεκειίσζε γηα ηελ ρξήζε ησλ ηερληθψλ εθηίκεζεο ηεο θαηάζηαζεο ελφο ζπζηήκαηνο ζε νηθνλνκεηξηθά κνληέια. Σηα ηέιε ηεο δεθαεηίαο ηνπ 70 αιιά θαη ζηηο αξρέο ηνπ 80 εκθαλίζηεθαλ αξθεηά άξζξα ζηελ νηθνλνκεηξηθή βηβιηνγξαθία φπσο ζην

"Annals of Economic and Social Measurement" ( Berg, volume 2, issue 4, 1973), Bayesian filtering ησλ Harrison θαη Stevens (1976), ηνπ ππνινγηζκνχ ηεο likelihood ησλ ARMA κνληέισλ κε ρξήζε ηνπ θίιηξνπ Kalman ησλ Harvey and Phillips (1979), ηεο αλάπηπμεο ησλ structural ρξνλνζεηξψλ, θαζψο θαη ησλ unobserved components κνληέισλ ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο Harvey θαη Todd (1983) θαη Harvey (1984). Πην πξφζθαηα κε αξσγφ ηελ αλάπηπμε ηεο ππνινγηζηηθήο ηζρχο θαζψο θαη ηεο ζπιινγήο ηζηνξηθψλ ζηνηρείσλ, εκθαλίζηεθαλ νηθνλνκεηξηθέο εθαξκνγέο ζηνλ ρψξν θαηάζηαζεο φπσο ε εθηίκεζε ησλ capital asset pricing models (Wells, 1996), stochastic volatility (Ruiz, 1994), commodity prices (Schwartz, 1997), durations models (Bauwens and Veredas, 2004) θαη dynamic term structure models (Koopman θ.α., 2010).

2.1 Φίιηξν Kalman

Όπσο ήδε πξναλαθέξακε ην θίιηξν Kalman απνηειεί ηελ βέιηηζηε ιχζε πνπ πξαθηηθά κπνξεί λα εθαξκνζηεί εθφζνλ ηζρχνπλ νη παξαθάησ πξνυπνζέζεηο:

(a) Οη ζπλαξηήζεηο ηεο ρξνληθήο εμέιημεο ηνπ ζπζηήκαηνο θαη ιήςεο ηεο κέηξεζεο, είλαη γξακκηθέο, δειαδή:

1 1

( , , )

( , )

k k k k k k k

k k k k k k

x f x u w x Ax Bu

y h x v y Cx Du

 

  

 

     

  (2.1)

(b) Οη κεηαβιεηέο θαηάζηαζεο x_k, u_k θαη v_k αθνινπζνχλ θαλνληθέο θαηαλνκέο.

Αλ δελ ηθαλνπνηείηαη ε πξνυπφζεζε νη κεηαβιεηέο λα αθνινπζνχλ θαλνληθέο θαηαλνκέο ηφηε εθαξκφδεηαη ην θίιηξν Kalman κφλν πνπ ηφηε δελ ζα απνηειεί ηελ βέιηηζηε ιχζε αιιά κηα πξνζέγγηζε ηεο ιχζεο.

Παξαηεξήζεηο

Σπρλά ζηελ δηεζλή βηβιηνγξαθία ην Kalman θίιηξν πξνβάιιεηαη σο απνηέιεζκα εθαξκνγήο θαλφλσλ Bayes, ππφ ηελ πξνυπφζεζε φηη φια ηα ιάζε ζηηο εθηηκήζεηο έρνπλ Gaussian θαηαλνκή σο ππθλφηεηα πηζαλφηεηαο θαη ηζρχεη ε αλεμαξηεζία κεηαμχ ησλ θαηαζηάζεσλ x_k. Απηφ έρεη σο απνηέιεζκα λα δίλεηαη ε ιαλζαζκέλε εληχπσζε φηη ην Kalman θίιηξν εθαξκφδεηαη κφλν φηαλ ηζρχεη ε Gaussian πξνζέγγηζε.

Όκσο ν ίδηνο ν Kalman φηαλ παξνπζίαζε ηελ εξγαζία δελ εθάξκνζε θάπνηνλ θαλφλα Bayes θαη επηπιένλ δελ έθαλε θάπνηα ππφζεζε ζρεηηθά κε ην είδνο ηεο θαηαλνκήο δειαδή αλ είλαη Gaussian ή φρη. Η κφλε ππφζεζε πνπ έθαλε ζρεηηθά κε ηηο θαηαζηάζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο ήηαλ φηη απηέο έπξεπε λα είλαη ηπραίεο κεηαβιεηέο. Ο αιγφξηζκνο πνπ παξνπζίαζε ν Kalman, καο δίλεη εθηηκήζεηο γηα ηελ αθνινπζηαθή εμέιημε ηεο ηηκήο ηεο θαηάζηαζεο ηνπ ζπζηήκαηνο θαζψο απηφ εμειίζζεηαη ρξνληθά, ελψ ζπγρξφλσο ιακβάλνληαη νη κεηξήζεηο.

Η εθηίκεζε επηηπγράλεηαη κέζσ ηεο αθνινπζηαθήο ελεκέξσζεο ηεο κέζεο ηηκήο (πξψηεο ηάμεο ξνπή) θαη ηεο ζπλδηαθχκαλζεο (δεχηεξεο ηάμεο ξνπή) ησλ θαηαζηάζεσλ ηνπ ζπζηήκαηνο. Ο αιγφξηζκνο πνπ πξφηεηλε ν Kalman απνδεηθλχεηαη φηη εθηηκάεη βέιηηζηα ηηο θαηαζηάζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο κφλν φηαλ ην ζχζηεκα είλαη γξακκηθφ θαη ηζρχεη ε Gaussian πξνζέγγηζε.

Απηφ ηζρχεη επεηδή κηα Gaussian θαηαλνκή κπνξεί λα πεξηγξάθεη πιήξσο απφ ηελ γλψζε πεξί ηελ κέζε ηηκή ηεο θαη ηελ ζπλδηαθχκαλζή ηεο, θαζψο επίζεο θαη απφ ην γεγνλφο φηη κηα Gaussian θαηαλνκή αλ κεηαζρεκαηηζηεί γξακκηθά παξακέλεη Gaussian.

2.2 Ο Αιγόξηζκνο ηνπ Kalman Φίιηξνπ

Η κεηαβνιή ηεο ηηκή ηεο θαηάζηαζ εο x ηνπ ζπζηήκαηνο απφ ρξφλν

1

tk_ ζηνλ ρξφλν t_k ζα πξαγκαηνπνηείηαη ζε δπν ζηάδηα:

(α) ΢ηάδην πξόβιεςεο

Σην ζηάδην πξφβιεςεο ην ζχζηεκα εμειίζζεηαη ρξνληθά, ζην ρξνληθφ δηάζηεκα t



t_k1,t_k



, κε ρξήζε ηνπ κνληέινπ ηνπ ζπζηήκαηνο f x( _k1,u w_k, _k). Η εθηίκεζε ηεο θαηάζηαζεο ζα ζπκβνιίδεηαη σο xˆ_k^ θαη ζα νλνκάδεηαη σο a prior θαηάζηαζε.

(β) ΢ηάδην ιήςεο ηεο κέηξεζεο

Λακβάλεηαη ε κέηξεζε y_k ηεο θαηάζηαζεο ε νπνία ζα ζπκβνιίδεηαη σο xˆ_k θαη ζα νλνκάδεηαη σο a posterior θαηάζηαζε.

Τπνζέζεηο

Σπγθεθξηκέλα o Kalman έθαλε κφλν ηηο εμήο ππνζέζεηο:

(α) Αξθεί ε ρξνληθή εμέιημε (propagation) θαη ελεκέξσζε (update) κφλν ησλ δπν πξψησλ ηάμεσο ξνπψλ κηαο ηπραίαο κεηαβιεηήο, δειαδή ηεο κέζεο ηηκήο θαη ηεο ζπλδηαθχκαλζεο γηα ηελ πεξηγξαθή ηεο θαηάζηαζεο.

(β) Η εχξεζε ηεο a posterior θαηάζηαζεο xˆ_k ζα γίλεηαη κέζσ ηεο γξακκηθήο ζπλάξηεζεο

ˆ ) ˆ (

ˆ_k  x_k^ K_k y_k y_k^

x (2.2)

Όπνπ K_k είλαη ην θέξδνο ηνπ θίιηξνπ θαη yˆ_k^ είλαη ε πξφβιεςε ηεο κέηξεζεο y_k.

(γ) Η πξφβιεςε xˆ_k^γηα ηελ θαηάζηαζε ηνπ ζπζηήκαηνο, κε ρξήζε ηνπ κνληέινπ ηνπ ζπζηήκαηνο f x( _k1,u w_k, _k) θαη ηεο πξφβιεςεο yˆ_k^ ηεο κέηξεζεο, κε ρξήζε ηνπ κνληέινπ ηεο κέηξεζεο h x( _k1,v_k) κπνξνχλ λα ππνινγηζηνχλ κε αθξίβεηα δεχηεξεο ηάμεο θαη ζα δίλνληαη απφ ηηο ζρέζεηο:

ˆ_k [ ( _k 1, _k, _k)]

x^ E f x _ u w yˆ_k^  E h x[ ( _k^ ,v_k)]

Αιγόξηζκνο

1. Αξρηθνπνίεζε

 

  

  

  

0 0

0 0 0 0 0

0

0

ˆ

ˆ ˆ ^T

T

T

x E x

P E x x x x

Q E w w w w R E v v v v



 

    

 

    

 

    

(2.3)

2. Πξόβιεςε

1 1

ˆ_{k k} ˆ_{k k k}

T

k k k k k

x A x B u

P A P A Q









  

    (2.4)

3. Λήςε Μέηξεζεο

 

1

ˆ innovation

S covariance of innovation

optimal Kalman gain ˆ ˆ ( ˆ ) measurement update

updated

k k k k

T

k k k k k

T

k k k k

k k k k k

k k k k

y y C x C P C R K P C S x x K y y P I K C P





 

 



  

   

  

  

    covariance

(2.5)

2.3 Πεξηνξηζκνί ηνπ Φίιηξνπ Kalman

Τν θίιηξν Kalman απνδίδεη θαιά εθφζνλ ηζρχνπλ νη παξαθάησ πξνυπνζέζεηο:

(α) Σε θάζε ρξνληθή ζηηγκή t_k πξέπεη λα γλσξίδνπκε ηελ κέζε ηηκή ησλ ζνξχβσλ δηεξγαζίαο w_k θαη κέηξεζεο v_k, θαζψο θαη ηεο κεηαμχ ηνπο ζπζρέηηζε.

(β) Πξέπεη λα είλαη γλσζηέο νη ηηκέο ησλ ζπλδηαθπκάλζεσλ ζνξχβνπ δηεξγαζίαο Q_k θαη ζνξχβνπ κέηξεζεο R_k. Τν θίιηξν Kalman ρξεζηκνπνηεί ηηο Q_k θαη R_k ζαλ παξακέηξνπο ζρεδίαζεο, νπφηε ζε πεξίπησζε πνπ δελ είλαη γλσζηέο επέξρεηαη κηα ζεκαληηθή δπζθνιία ζηελ επηηπρή ρξήζε ηνπ θίιηξνπ.

(γ) Η επηηπρία ηνπ θίιηξνπ Kalman βαζίδεηαη ζην φηη είλαη έλαο εθηηκεηήο ν φπνηνο καο παξέρεη ηελ κηθξφηεξε ηππηθή απφθιηζε (standard deviation) ζ, γηα ηα ιάζε εθηίκεζεο. Έηζη ινηπφλ, αλ νη ζφξπβνη αθνινπζνχλ θαλνληθέο θαηαλνκέο ην θίιηξν Kalman ζα είλαη ν ειάρηζηεο δηαθχκαλζεο ( minimum variance) εθηηκεηήο, ελψ ζηελ αληίζεηε πεξίπησζε, ζα είλαη ν γξακκηθφο ειάρηζηεο δηαθχκαλζεο εθηηκεηήο. Αλ επηζπκνχκαη κπνξνχκε λα ειαρηζηνπνηήζνπκε δηαθνξεηηθή ζπλάξηεζε θφζηνπο J, φπσο λα ειαρηζηνπνηήζνπκε ην ρεηξφηεξν ιάζνο εθηίκεζεο νπφηε κεηαπίπηνπκε ζην H_ θίιηξν, γηα ην νπνίν δελ ρξεηάδεηαη λα θάλνπκε ππνζέζεηο γηα ηελ θχζε ησλ ζνξχβσλ.

(δ) Πξέπεη λα είλαη γλσζηνί ν πίλαθαο Α ηνπ κνληέινπ ηνπ ζπζηήκαηνο θαη ν πίλαθαο C ην κνληέινπ κέηξεζεο.

Κεθάιαην 3 Με-Γξακκηθά Μνληέια- Δύξεζε ηεο Βέιηηζηεο Δθηίκεζεο-Μεηαζρεκαηηζκόο ηεο

Αβεβαηόηεηαο

3.1 Βέιηηζηε Με-Γξακκηθή Δθηίκεζε

΢πκπεξαζκόο Πηζαλόηεηαο (Probabilistic Inference)

Ωο ζπκπεξαζκφο πηζαλφηεηαο νξίδεηαη ην πξφβιεκα εθηίκεζεο ησλ κε-θαλεξψλ κεηαβιεηψλ, φπσο είλαη νη θαηαζηάζεηο ή νη παξάκεηξνη ηνπ ζπζηήκαηνο, κε ρξήζε ηεο πηζαλνζεσξηάο, φηαλ ιακβάλνληαη κεηξήζεηο νη νπνίεο, είηε είλαη ζνξπβψδεηο, είηε γεληθφηεξα αηειείο. Σην ζρήκα πνπ αθνινπζεί απεηθνλίδεηαη ην γεληθφ πιαίζην ηεο παξαπάλσ κεζφδνπ.

Δηθόλα 1 ΢πκπεξαζκόο Πηζαλόηεηαο

Σηελ ζπλέρεηα ε κέζνδνο ηνπ ζπκπεξαζκνχ πηζαλφ ηεηαο ζα εθαξκνζηεί ζηελ πεξίπησζε πνπ έρνπκε έλα κε -γξακκηθφ ζχζηεκα ζε δηαθξηηφ ρξφλν t_k ην νπνίν ζα πεξηγξάθεηαη απφ ηηο εμήο εμηζψζεηο:

) , , ( _{k1 k k}

k f x u w

x  _ ) , ( _{k 1 k}

k h x v

y  _

Όπνπ σο x_k ζπκβνιίδνπκε ηελ κε-θαλεξή (hidden) κεηαβιεηή θαηάζηαζεο ηνπ ζπζηήκαηνο, ε νπνία ζεσξνχκε φηη έρεη αξρηθή πηζαλφηεηα p(x₀). Η κεηαβιεηή x_k ζεσξνχκε φηη εμειίζζεηαη ρξνληθά αθνινπζψληαο 1^{ε ο} ηάμεο Markov δηαδηθαζία αθφκα θαη αλ είλαη έκκεζε ή ηκεκαηηθά παξαηεξήζηκε, ελψ ε εμέιημή ηεο ζα πεξηγξάθεηαη απφ ηελ δεζκεπκέλε ππθλφηεηα πηζαλφηεηαο

)

| (x x _

p .