ης Creative ου τύπου άδ λαίσια του ημαϊκά Μ ρηματοδοτή ογράμματο ό την Ευρω Commons

Σήματα

Μαθημ

Κωνσταντί Τμήμα Πλη

α‐Συστή

ματική α

ίνος Κοτρόπ ηροφορικής

Θεσσαλ

ήματα

αναπαρά

πουλος  ς 

λονίκη, Ιούν

άσταση

νιος 2013 

 σημάτω ων‐συστ

τημάτων 

Άδ

Το  π εκπ άδε

Χρ

Το  έργο Αρισ ανα

Το  έ και  (Ευρ

δειες Χρή

παρόν  εκπα αιδευτικό υ εια χρήσης α

ηματοδό

παρόν  εκπ ου  του  δ στοτέλειο  αδιαμόρφωσ

έργο  υλοπο Δια  Βίου  ρωπαϊκό Κο

ήσης 

αιδευτικό  υ υλικό, όπως αναφέρετα

ότηση 

παιδευτικό  διδάσκοντα

Πανεπιστ ση του εκπα

οιείται  στο  Μάθηση»

οινωνικό Τα

Θεσσαλ υλικό  υπόκ ς εικόνες, π

ι ρητώς.  

υλικό  έχει α.  Το  έργ ήμιο  Θεσσ αιδευτικού 

πλαίσιο  το

»  και  συγχ αμείο) και α

λονίκη, Ιούν ειται  σε  άδ που υπόκειτ

ι  αναπτυχθ γο  «Ανοικ

σαλονίκης»

υλικού.  

ου  Επιχειρη χρηματοδοτ από εθνικού

νιος 2013  δειες  χρήση ται σε άλλο

θεί  στα  πλ κτά  Ακαδη

»  έχει  χρ

σιακού  Προ τείται  από ύς πόρους.

ης  Creative  ου τύπου άδ

λαίσια  του  ημαϊκά  Μ ρηματοδοτή

ογράμματο ό  την  Ευρω

Commons.

δειας χρήση

εκπαιδευτ αθήματα  ήσει  μόνο 

ος  «Εκπαίδε ωπαϊκή  Έν

.  Για  ης, η 

ικού  στο  τη 

ευση  ωση 

•

–

–

–

–

–

–

•

–

+%

–

•

" %

! .%-( ! %

,

/ ' , ,

!' ' *

*

'( 0 " %

'( %% '

1 '( % '(

•

-% ! " , 2 %% !

" " ,0 2

.% & ' 3 "

4' '%

–

(stock market avera- ges)

–

–

•

•

Fourier,

•

–

–

%

/ ' , ' , '

•

" " %

•

= %%

) * + " " '

4 , " %

•

.%-+%

.%-( $ %

•

Dow Jones

>" ?' " ' 4' ' 4' %

•

–

x ( t )

t ∈ R

–

x [ n ]

n ∈ N

, ' 4%

-% ).%.+(

x ( t ) ⇒ x ( −t )

x [ n ] ⇒ x [ −n ] .

t x(t)

x ( t )

*: *. *- A - . : A

A%.

A%@

A%B A%8 - -%.

-%@

-%B -%8 .

t x(−t)

x ( − t )

*: *. *- A - . : A

A%.

A%@

A%B A%8 - -%.

-%@

-%B -%8 .

.%.( ! %

.% ; ).%:+(

x ( t ) ⇒ x ( t/ 2)

x (2 t )

x ( t ) = 0 |t| < t 0 ⇒ x ( t

2 ) = 0

| ₂ ^t | < t 0

⇔ x ( t

2 ) = 0

|t| < 2 t 0 .

t x(t)

x (t )

*: *. *- A - . : A

A%C - -%C .

t x(t/2)

x ( t/ 2)

*C *@ *: *. *- A - . : @ C A

A%C - -%C .

t x(2t)

x (2 t )

*: *. *- A - . : A

A%.

A%@

A%B A%8 - -%.

-%@

-%B -%8 .

.%:( ! %

:% D' ) .%@+(

x ( t ) → x ( t − t 0 )

x [ n ] → x [ n − n 0 ] .

t x(t)

x ( t )

*: *. *- A - . : A

A%C - -%C .

t x(t −2)

x (t − 2)

*- A - . : @ C A

A%C - -%C .

t x(t + 2)

x (t +2 )

*C *@ *: *. *- A - A

A%C - -%C .

.%@( ! ' %

!"

-% (

x ( −t ) = x ( t ) ∀t.

.% (

x ( −t ) = −x ( t ) ∀t.

:% (

x e ( t ) = 1

2 [ x ( t ) + x ( −t )] .

@% (

x o ( t ) = 1

2 [ x ( t ) − x ( −t )] .

C% ,4 (

x ( t ) = x e ( t ) + x o ( t ) .

# $%

-% #$

x ( t )

∃T = 0 : x ( t ) = x ( t + T ) ∀t.

.% $

x ( t )

T

∃m ∈ Z : x ( t ) = x ( t + mT ) ∀t.

:% F

T 0

T

).%B+%

@% #$ 4' ' ' %

& ' !%( %!

x ( t ) = C ea t a, C ∈ R

•

a

" % " ' ,

RC

a

_RC ¹

/ '

RC

•

a > 0

•

a < 0

t exp(t)

x ( t )

*: *. *- A - . : A

.

@ B 8 -A -.

-@

-B -8

t exp(−t)

x ( t )

*: *. *- A - . : A

.

@ B 8 -A -.

-@

-B -8

.%C( ! 4 %

' '

Euler

x ( t ) = e ^{jω 0 t} = cos ω 0 t + j sin ω 0 t.

•

◦

•

∃T : ej ω ⁰ t = ej ω ⁰ ( t + T ) ⇔ ∃T : ej ω ⁰ T = 1 ⇔ T = ρ 2 π

|ω ₀ | , ρ ∈ Z

;

ρ = 1

T 0 = 2 π

|ω ₀ | .

'4 ' %

!

x ( t ) = A cos ( ω 0 t + ϕ ) = A Re {ej ( ω 0 t + ϕ ) }.

' 4 ' 3

x ( t ) = C ea t a, C ∈ C.

' 4'

C

C = |C| ej ϕ

a

a = r + j ω 0

' ).%-:+

C ea t = |C|ert ej ( ω 0 t + ϕ ) = |C|ert cos ( ω 0 t + ϕ ) + j|C|ert cos ( ω 0 t + ϕ − π

2 ) .

&4" ' " ).%-@+ " , "

r <

0

±|C| e ^rt (envelope)

' .%B%

!

/

Heaviside

u ( t ) =

⎧ ⎨

⎩

0 t < 0 1 t > 0 .

).%-C+

!, '

u ( t )

t = 0

u ( t ) =

_t

−∞ δ ( λ ) dλ ⇔ δ ( t ) = du ( t )

dt

x ( t )

t

C = 1, r = 1/2, ω 0 = 2π, φ = π/6

*- A - . : @ C B E

*.C

*.A

*-C

*-A

*C A C -A -C .A .C

x ( t )

t

C = 1, r = −1/2, ω 0 = 2π, φ = π/6

*- A - . : @ C B E

*.

*-%C

*-

*A%C A A%C - -%C .

.%B( ! ,

r < 0

r > 0

%

0 δ(t)

t

.%E( / "*

Dirac.

'

δ ( t )

Dirac.

δ ( t )

"% !' '

% ' 3

(distribution function).

' .%E%

#$ '

δ ( t )

δ ( t ) = lim

Δ→0 δ Δ ( t )

'

δ Δ ( t ) =

⎧ ⎨

⎩

Δ 1 |t| < ^Δ ₂

0

).%-8+

, "'

δ Δ ( t )

! ' 3 '

δ ( t )

'* 3 ' '

"

δ ( t )

•

u ( t )

u ( t ) = _t

−∞ δ ( τ ) dτ

0 δ Δ (t)

t

− ^Δ ₂ ^Δ ₂ Δ 1

.%8(

δ Δ ( t )

σ=t−τ

= −

₀

∞ δ ( t − σ ) dσ = _∞

0 δ ( t − σ ) dσ.

, ').%-9+% !,'

t < 0

"

δ ( τ )

t > 0

δ ( τ )

-% / 3 .%9%

0 δ(τ)

τ t>0

t 0

δ(τ)

τ t<0

t

.%9( ? '

_t

−∞ δ ( τ ) dτ

' ).%.A+ , .%-A%

; ' , (

_∞

−∞ f ( τ ) δ ( t − τ ) dτ = f ( t )

'

t

τ

δ ( t − τ )

•

x ( t ) δ ( t ) = x (0) δ ( t )

x ( t ) δ ( t − t 0 ) = x ( t 0 ) δ ( t − t 0 ) .

0

δ(t−σ)

t

t>0

σ 0

δ(t−σ)

t

t<0

σ

.%-A( ? '

_∞

0 δ ( t − σ ) dσ

) ' *%( +%!

" #

53 (

u [ n ] =

⎧ ⎨

⎩

0 n < 0 1 n ≥ 0 .

).%.@+

/

u [ n ]

u [n ]

n u [ n ]

*@ *. A . @ B 8 A

A%.

A%@

A%B A%8 - -%.

-%@

-%B -%8 .

.%--( , '%

" !

53 (

δ [ n ] =

⎧ ⎨

⎩

0 n = 0 1 n = 0 .

).%.C+

/

δ [ n ]

δ [n ]

n δ [ n ]

*@ *. A . @ B 8 A

A%.

A%@

A%B A%8 - -%.

-%@

-%B -%8 .

.%-.( %

x [ n ] δ [ n ] = x [0] δ [ n ] .

/

δ [ n ]

u [ n ]

δ [ n ] = u [ n ] − u [ n − 1] .

7,(

u [ n ] = n m=−∞

δ [ m ] ^k=n−m = ∞ k=0

δ [ n − k ] .

" $

' 4 ' , ' )%<%+ 3

x [ n ] = C a ⁿ | _a=e ^β = C e ^{β n} C, a ∈ R.

/

Ca ⁿ

" "

a

|a| < 1

|a| > 1

a > 0

a < 0

a = 1

x [ n ] = C

a = − 1 x [ n ] = ±C

x [ n ]

n (1.5) ⁿ

*C A C A

- . :

@ C B

x [ n ]

n (0.5) ⁿ

*C A C A

.

@ B 8 -A -.

-@

-B

x [ n ]

n (−0.5) ⁿ

*C A C

*-A

*C A C -A -C .A

.%-:( ! 4 , '%

! 3 .%-:%

' 4 '3

x [ n ] = e ^{jΩ 0 n} = cos Ω ₀ n + j sin Ω ₀ n.

!" " # $ "

•

(Ω ₀ + 2 π )

e ^{j (Ω 0 +2π)n} = e ^{j2π n} e ^{j Ω 0 n} = e ^{j Ω 0 n}

" '

Ω ₀

,' '

e ^{j ω 0 t}

ω 0

F 4 3 4 "

2 π

"

Ω ₀

0 ≤ Ω ₀ < 2 π

−π ≤ Ω ₀ < π

0 < Ω ₀ < π

π < Ω ₀ < 2 π

•

e ^{j Ω 0 (n+N)} = e ^{j Ω 0 n} ⇔ e ^{j Ω 0 N} = 1 ⇔ Ω ₀ N = 2 π m , m ∈ Z.

#

Ω ₀

2 π = m

N .

e ^{j Ω 0 n}

Ω ₀

Ω ₀ 2 π

' 4'% $

x [ n ]

N

2 π

N

x [ n ] = e ^{j Ω 0 n}

Ω ₀ = 0

N = m

2 π

Ω ₀ .

5!.%.03 " 4 , ,

'%

! .%.( " ,

e ^{j ω 0 t} e ^{j Ω 0 n}

e ^{j ω 0 t} e ^{j Ω 0 n}

ω 0

' "

2 π

!

ω 0

Ω ₀ = 2 π m

N

N > 0

m ∈ Z ^†

F '

ω 0

†

(

Ω ₀ m

F (

ω 0 = 0

ω 0 = 0 2 π ω 0

F

†

(

Ω ₀ = 0

Ω ₀ = 0 m 2 π

Ω ₀

† N m

•

' " 4

φ k ( t ) = e ^{j k ( 2π T ) t} k = 0 , ± 1 , . . .

$ , " "

k

φ k [ n ] = e ^{j k ( 2π N ) n} .

!, '

φ k+N [ n ] = e ^{j (k+N) ( 2π N ) n} = e ^{j k ( 2π N ) n} = φ k [ n ] .

% '

N

φ 0 [ n ] , φ 1 [ n ] , . . . , φ N −1 [ n ]

•

' , '% ' 0

4 (

x [ n ] = e ^{j ω 0 t} | t=n T s = e ^{j (ω 0 T s ) n} = e ^{j Ω 0 n} , Ω ₀ = ω 0 T s

%<% ' '

ω 0 T s

2 π

& ' ()#$

x ( t ) = cos(2 π t )

T s

, %<%

x [ n ] = x ( n T s ) = cos(2 π T s n )

T s

, %<% , '%

%

T s = ₁₂ ¹

x [ n ] = cos(2 π ₁₂ ¹ n )

₁₂ ¹

%

T s = ₃₁ ⁴

x [ n ] = cos(2 π ₃₁ ⁴ n ) = cos( ^{8π n} ₃₁ )

₃₁ ⁴

%

T s = _12π ¹

x [ n ] = cos(2 π ( _12π ¹ ) n ) = cos( ⁿ ₆ )

_12π ¹

4'% '

, ' 0%

, %<% ! .%- , .%-@%

t cos(2πt)

x ( t )

n

x [ n ]

T s = 1 12

*-A *C A C -A

*C A C

*-

*A%C A A%C -

*-

*A%C A A%C -

n

x [ n ]

T s = 4 31

n

x [ n ]

T s = 1 12π

A -A .A :A @A A -A .A :A @A

*-

*A%C A A%C -

*-

*A%C A A%C -

.%-@( 0 , " ' *

, (

$ " '' % "(

x ( t ) −→ y ( t ) x [ n ] −→ y [ n ] y ( t ) = T{x ( t ) } y [ n ] = T{x [ n ] }.

, 4, ' .%-C%

H

H 1 H 2

H 1

H 2

+

.%-C( " %

& ' ((> , 3 ' "

'*'

y [ n ] = (2 x [ n ] − x ² [ n ]) ² .

/ .%-B%

2[ ]

[ ] ²

+ [ ] ²

x [ n ]

+

−

y [ n ]

.%-B( , ! .%.%

, 4, % <*

& ' (*

RC

,

i ( t )

R

i 2 ( t )

i 2 ( t ) = v ( t )

R

v ( t )

"

v ( t ) = 1 C

_t

−∞ i 1 ( τ ) dτ.

i 1 ( t ) = i ( t ) − i 2 ( t )

' , " 3 %

+ v ( t ) = _C ¹ _t

−∞ i 1 ( τ ) dτ

i 2 ( t ) = v ( t ) /R

i ( t ) + i 1 ( t ) v ( t )

− i 2 ( t )

R i 2 ( t )

%

C i 1 ( t ) i ( t )

− +

v ( t )

.%-E( %

% & '

-+ $ ( / " 4 '

' %%

y ( t ) = a x ( t ) .

" ' %%

y [ n ] = _n

k=−∞ x [ k ] y ( t ) = x ( t − 1)

.

:+ +$( " , "').%-8+

%%

$4,(

y ( t ) = 2 x ( t )

z ( t ) = ¹ ₂ y ( t )

z ( t ) = x ( t )

$4,(

y [ n ] = _n

k=−∞ x [ k ]

z [ n ] = y [ n ] − y [ n − 1]

z [ n ] = x [ n ]

H H ⁻¹

x [ n ] y [ n ] z [ n ] = x [ n ]

.%-8( , 4" %

@+ "

(causality):

' , 4'%

! .%:( ! * %

!

y ( t ) = x ( t − 1) y [ n ] = x [ n ] − x [ n + 1]

y ( t ) = _C ¹ _t

−∞ x ( τ ) dτ y ( t ) = x ( t + 1)

y [ n ] = _2M ¹ _{+1 M}

k=−M x [ n − k ]

C+ #

(stability):

" ', "" '%% '

y ( t )

' ,

x ( t )

x ( t )

y ( t )

4" $4"

x ( t )

y ( t )

.%-9( 4 4%

' " % $

|x [ n ] | < B |y [ n ] | <

C

(BIBO:

Bounded input-bounded output).

B+ "

(time-invariance):

' ' '

y [ n ] = T{x [ n ] }

y [ n − n 0 ] = T{x [ n − n 0 ] }

E+ "( #$ ," ' , , '(

-% !4 '(

x 1 ( t ) → y 1 ( t ) x 2 ( t ) → y 2 ( t )

x 1 ( t ) + x 2 ( t ) → y 1 ( t ) + y 2 ( t )

T{x 1 ( t ) + x 2 ( t ) } = T{x 1 ( t ) } + T{x 2 ( t ) }

.% 5 " (

x ( t ) → y ( t ) a = 0

ax ( t ) → ay ( t )

T{ax ( t ) } = aT{x ( t ) }.

! (

y ( t ) = x ² ( t )

y ( t ) = sin[ x ( t )]

; " , #

(superposition),

x [ n ] =

k

a k x k [ n ]

'

y [ n ] = T{x [ n ] } = T{

k

a k x k [ n ] } =

k

a k T{x k [ n ] } =

k

a k y k [ n ] .

( , (

→

,

y [ n ] = 2 x [ n ] + 3

' ,

(incrementally linear system).