Kefemodell alapú dinamikai szimulációs modell felépítése

meg a valóságnak, hiszen a gumiabroncs nem csak a tapadási felületen belül deformáló- dik, hanem azon kívül is deformálja gumielemeket. Azonban ez a gumimodell ezt az úgynevezett relaxációs hatást nem veszi figyelembe.

4.5. ábra: Kerék forgása következtében kilépő és újonnan belépő gumielemek értelmezése

(4.11)

 

 

 

 

, , , ,

1

, , , ,

1

, , , , , ,

1

, , , , ,

, ,

1

1

k

k

i g i w

i k

i g i w

i k

j i w i x i y i y i x

i

ke v i g i u g i u h i

k

ko w i z k

i

M F F F

M F F F

J T p F p F

J r F F T i k

J T T

  



  



 



   

   

   

    

  









A fenti egyenletekben M a jármű tömege, J_j, a jármű függőleges tengely körüli tehe- tetlenségi nyomatéka, J_{ke v,} a kerék forgástengely körüli tehetetlenségi nyomatéka, J_{ko w,} a teljes kormányrendszernek (beleértve a kormányzott kerekeket is) az első tengely közép- pontjába, a függőleges tengelyre redukált tehetetlenségi nyomatéka, r_g pedig a kerék gördülési sugara. Az egyenletek bal oldalán szereplő változók adják az egyes koordináták szerinti gyorsulásokat. A jobb oldalon pedig a gyorsulásokat kifejtő erők, nyomatékok szerepelnek. F_i adja az i-edik kerék által kifejtett erőt, pontosabban annak valamelyik koordinátatengely irányú vetületét (az erők és a nyomatékok esetében a második index adja a koordináta tengely jelét). A menetellenállások közül F_w a légellenállást, F_g pedig a gördülési ellenállást adja. A külső erők, amelyek segítségével a járművet irányítjuk: T_h a hajtó- és fékezőnyomaték, amely az egyes kerekekre hat, míg T_k a kormányzási nyoma- ték, amely a kormányrendszerre hat. Az összegzéseknél k a kerekek száma, illetve k_k a kormányzott kerekek száma.

A kerékerők számításához elsőként a gumiabroncs deformációját kell meghatározni az egyes koordináták változásának a függvényében. A (4.12) vektor adja meg az egyes ko- ordináták, azaz a jármű egyes szabadságfokainak adott időlépésbeli megváltozását. Ez alapján először meg kell határozni, hogy az egyes keréktárcsáknak az elmozdulása ho- gyan alakul (4.13), azután már az új keréktárcsa pozíció segítségével a kialakult gumiab- roncs deformáció számítható (4.14).

(4.12)



     1 2 3 4



(4.13) ⁱ



 i i  i i



 i i ¹

i

u i k

v

 

   

                  

  

  R R pⁱ R

Az adott keréktárcsa elmozdulását a kerék saját , ,u v w koordinátarendszerében kap- juk meg. A nem kormányzott kerekek esetében a  és a  értékek zérusok.

(4.14)

 

, ,

, , , ,

1 ; 1

1 ; 1

i j i j g i

u i j

u i j i

v i j

v i j i

c c r j n i k

e e u

j n i k

e e v







    

     

      

     

     

  R

Ez még nem a végleges gumiabroncs deformáció, hiszen a gumiabroncs esetleges meg- csúszását is figyelembe kell venni. A (3.8) alapján meghatározható az egy keréken belüli

terheléseloszlás, amelynek segítségével mind a tapadósúrlódási mind pedig a csúszósúrlódási erők szélső értékei számíthatóak (2.4). Ezeket a határértékeket össze kell vetni az aktuális gumideformációhoz tartozó erőkkel, és a következő logika szerint eldön- teni, megcsúszik-e a gumiabroncs. Elsőként ennél a modellnél is szükség van egy mátrix felállítására, amely megadja, hogy az adott gumielem megcsúszott-e már az előző időpil- lanatban. Ha ez adott gumielem már csúszásban volt, akkor a csúszósúrlódási erővel kell összehasonlítani az aktuális gumierőt, ha viszont tapadásban volt az adott gumielem, ak- kor pedig a tapadósúrlódási erővel kell összevetni. Ha az adott gumielem nem csúszik meg, akkor az előzőekben meghatározott deformáció értékét meghagyjuk. Ha viszont megcsúszik, akkor a gumiabroncs sörteelemének deformációját addig csökkentjük, amíg az a csúszósúrlódási erőnek megfelelő erőt nem fejt ki. Természetesen a gumielem de- formációjának irányát nem változtatjuk (3.8. ábra). Az előző fejezethez hasonlóan még azt is meg kell vizsgálni, hogy a keréktárcsa forgásának következtében egyes gumielemek nem lépnek-e ki a tapadási felületből. Amennyiben bármelyik irányban kilép egy gumi- elem, a tapadási felület ellenkező oldalán egy újabb gumielem belép, igaz deformáció nélkül. A gumiabroncs deformációjának meghatározása után számítani lehet a deformáció hatására kialakuló kerékerőket (4.1).

(4.15)

   

 

, , , ,

,

1 , 1 ,

, , ,

1

n n

u u i j i j u u i j i j

u v i

j v vi j j v vi j

n

i i j v vi j v vi j

j

b e c d e c

b e d e

T c b e d e

   

 

 

  



     

   

 

 

   

   

   

 



F

Az egyenletben b a rugómerevség, d pedig a csillapítási tényező. A gumielemek de- formációjának sebességét pedig az előző időlépésbeli, és az aktuális időlépésbeli defor- máció alapján határozzuk meg, egyszerű differencia számítással. Ezek az erők a kerék lokális koordináta-rendszerében vannak meghatározva, vagyis egyszerű koordináta transzformáció segítségével átszámíthatjuk ennek az erőnek a komponenseit a jármű loká- lis koordináta-rendszerébe, illetve a globális koordináta-rendszerbe is. A gumiabroncs deformáció okozta függőleges tengely körüli forgatónyomaték (mivel mind a három ko- ordináta-rendszer függőleges tengelye párhuzamos) mindhárom koordináta-rendszerben azonos.

A kormányrendszer modellezése az előzőhöz hasonlóan történik (4.1. ábra), azaz a kormányrendszer működtetését a járműmodell hosszanti középsíkjába helyezett virtuális kerékpár első kerekének szögelfordulása jellemzi, vagyis az egész kormányrendszert az ebbe a pontba helyezett függőleges tengelyre kell redukálni. Az előző modellnél csak kinematikai kormányrendszer volt, így ott elegendő volt a középső virtuális kerék szögel- fordulása () és az egyes kerekek szögelfordulásai ( ₁, ₂) közötti kapcsolat felírása (4.3). Esetünkben már dinamikai modellt alkalmazunk, vagyis a nyomatékok, és a szög- sebességek közötti konverziót is meg kell határozni. A kormányrendszer nem lineáris áttétellel rendelkezik, ezért a szögsebességek közötti kapcsolatot a (4.3) egyenlet derivá- lásával kapjuk meg (4.16).

(4.16)

     

   

1,2

4

2 2

tan tan

1

1 tan

B B L

L

  

   

  

A nyomatékok áttételét pedig a szögsebességek alapján határozhatjuk meg, hiszen egy mechanizmusban a nyomatékmódosítás a fordulatszám-áttétel reciproka.

A gördülési ellenállás számítása a (2.9) és (2.11) szerint történik. Ezt a gördülési ellen- állás modellt nagyobb sebességgel történő haladás esetére alkalmazzák, jelen esetben a kissebességű manőverekre is ki kell terjeszteni. Ha figyelembe vesszük, hogy a jármű csak kis sebességgel halad akkor a sebességfüggő tag hatványát elhanyagolhatjuk, vagyis a sebességtől csak első fokon függ a gördülési ellenállás. A másik gond az eredeti model- lel, hogy a nulla sebesség esetén a gördülési ellenállást a gumiabroncs deformációjából ébredő hosszirányú erővel korlátozni kell. Ugyanis (2.9) és (2.11) szerint nulla sebesség mellett is van gördülési ellenállás. Amely igaz is de ennek a gördülési ellenállásnak ma- ximum csak akkora része jelenik meg, amekkora a kerék hosszirányú erőkomponense.

Ellenkező esetben egy álló, erő- és nyomatékmentes kerék a gördülési ellenállás miatt gyorsulni kezdene.

A légellenállást figyelembe lehet venni, de a kis sebességre való tekintettel el is lehet hanyagolni. Légellenállást a jármű hossztengelyének megfelelő irányban számítjuk (4.17) alapján.

(4.17) ^{, 2}

2

x y

w c Avw x

F

Az egyenletben c_w a jármű alaktényezője, A pedig a homlokfelület haladási irányra merőleges vetülete.

A (4.11) alapján nyolc másodrendű differenciálegyenletet kell megoldani valamilyen numerikus módszer segítségével. A másodfokú egyenletek numerikus megoldásának első lépéseként a Cauchy-átírás segítségével a 8 másodrendű differenciálegyenletet átírjuk 16 elsőrendű differenciálegyenletté. Ehhez elsőként be kell vezetni egy állapotvektort (4.18).

Ennek az állapotvektornak a deriváltját ismerjük a felírt elsőrendű differenciálegyenletek alapján (4.19), és ezt szeretnénk valamilyen numerikus megoldó segítségével meghatá- rozni.

(4.18) q          ₁ ₁ ₂ ₂ ₃ ₃ ₄ ₄

(4.19) ^{q = f q}

 

Az egyik leggyakrabban alkalmazott megoldó algoritmusok a Runge–Kutta-féle mód- szerek. Többféle módszert is tartalmaznak a megoldók a közönséges, elsőrendű differen- ciálegyenletek megoldására. Ennek a módszernek az alkalmazása azért is elterjedt, mert pontosabb, mint egy közönséges elsőrendű Euler módszer, de ugyanakkor még egy ala- csonyabb teljesítményű számítógéppel is viszonylag gyorsan elvégezhető a differenciál- egyenletek numerikus megoldása. A legtöbb fizikai szimulációs probléma megoldására alkalmasak a Runge–Kutta-féle megoldó algoritmusok. A Runge–Kutta-féle numerikus módszerek különböző precizitást tesznek lehetővé. Létezik elsőrendű algoritmus is, a harmad és a negyedrendű módszerek a legelterjedtebbek, de ma már sokszor alkalmaznak

különböző kombinált, ráadásul változó lépésközű megoldókat is. Esetünkben elegendő egy egyszerű harmadrendű Runge-Kutta algoritmus, azok közül is a Kutta-féle harmad- rendű formulát alkalmazzuk. (Szidarovszky, 1974) (Szabó, 2008a)

4.3 Többtest dinamikai gumimodellre épülő szimulációs jármű-

No documento G UMIABRONCSOS JÁRMŰVEK KISSEBESSÉGŰ PÁLYA- MOZGÁSÁNAK ÉS A GUMIABRONCS DEFORMÁCIÓJÁNAK (páginas 56-60)