2 Intervale de încredere pentru o singur˘a selec¸tie

Elemente de Teoria estima¸tiei prin intervale de încredere

Conf. dr. habil. Eduard Roten¸stein

1 Considera¸tii asupra mediei ¸si dispersiei de selec¸tie pentru caracteristica unei popula¸tii

Consider˘am spa¸tiul m˘asurabil ( ;F), undeF este o algebr˘a (o submul¸time a luiP( )ce con¸tine pe ¸si este închis˘a la complementariere ¸si la reuniuni num˘arabile). CaracteristicaX urm˘arit˘a poate fi reprezentat˘a de o variabil˘a aleatoare definit˘a pe ( ;F):Construim spa¸tiul selec¸tiilor de volum n;( ⁽ⁿ⁾;F⁽ⁿ⁾); cu ajutorul produsele carteziene:

(n)= ::: ; F⁽ⁿ⁾=F F ::: F:

Elementul!⁽ⁿ⁾= (!₁; !₂; :::; !_n)2 ⁽ⁿ⁾se nume¸ste selec¸tie de volumn:Ovariabil˘a aleatoare de selec¸tie repetat˘ade volumneste definit˘a astfel:

X_i: ( ⁽ⁿ⁾;F⁽ⁿ⁾;P⁽ⁿ⁾)!(R;BR; ); X_i(!⁽ⁿ⁾) =X(!_i); i= 1;2; :::; n:

Aceste variabile aleatoare sunt independente stochastic deoarece X(!_i); i = 1;2; :::; nau aceast˘a proprietate.

De asemenea, din modul lor de definire rezult˘a c˘a sunt identic repartizate cu caracteristica X studiat˘a, mai precis, pentru fiecarei 2 f1;2; :::; ng; FXi : R![0;1]; FXi(x) = FX(x);unde FX este func¸tia de reparti¸tie a caracteristicii X:Prin urmare, vor avea aceea¸si func¸tie de frecven¸t˘a (dac˘a sunt variabile de tip discret) sau aceea¸si densitate de reparti¸tie (dac˘a sunt variabile aleatoare de tip absolut continuu).

Media de selec¸tie repetat˘a de volumneste statistica X(!⁽ⁿ⁾) = 1

n Xn i=1

Xi(!⁽ⁿ⁾); !⁽ⁿ⁾2 ⁽ⁿ⁾:

Pentru fiecare!⁽ⁿ⁾fixat, evaluarea mediei de selec¸tie este media statistic˘a (empiric˘a)x= (Pn

i=1xi)=n:

Propozi¸tia 1.1 Media de selec¸tie are urm˘atoarele propriet˘a¸ti:

(1) E(X) = ; D²(X) =

2

n; D(X) = p

n: (2) X ^a:s:! ; pentrun!+1: Demonstra¸tie. Pentru primul punct avem:

E(X) =E 1 n

Xn i=1

Xi

!

= 1 n

Xn i=1

E(Xi) = ¸si D²(X) =D² 1 n

Xn i=1

Xi

!

= 1 n²

Xn i=1

D²(Xi) =

2

n:

Pentru punctul(2), deoareceE(X) = ; D²(X) = ²;iar variabilele aleatoare de selec¸tie sunt independente în totalitate, atunci conform Legii tari a numerelor mari rezult˘a c˘a

X = 1 n

Xn i=1

X_i ^a:s:!E(X₁) = ; pentrun!+1:

Lema 1.1 Dac˘aX_i N( _i; _i²)sunt variabile aleatoare independente stochastic ¸sia_i2R; i= 1;2; :::; n, atunci variabila aleatoareX =Pn

i=1a_iX_iare urm˘atoarea reparti¸tie:

X N

Xn i=1

a_{i i}; Xn i=1

a²_{i i}²

! :

În particular, pentrua_i= 1=n¸si = _i;pentru oricarei;atunciX N ; ²=n :

Demonstra¸tie. Pentru fiecareX_k N( _k; ²_k);func¸tia caracteristic˘a este '_Xk : R!C; '_Xk(t) = e^{it k 12t2 k2}: Deoarece variabilele aleatoareX_k; k= 1; nsunt independente stochastic, func¸tia caracteristic˘a a luiX are for- mula:

'_Xi(t) =E e^itXk =E e^itPn

k=1akXk = Yn k=1

E e^itakXk = Yn k=1

'_Xk(a_kt) = Yn k=1

e^{it kak}

a2 k 2

kt2 2

= exp

" _n X

k=1

ak k

! it t²

2 Xn k=1

a²_k ²_k

!#

; 8t2R: Teorema de inversiune conduce la faptul c˘aX N Pn

i=1a_{i i};Pn

i=1a²_{i i}² ;iar demonstra¸tia este încheiat˘a.

Dispersie de selec¸tie repetat˘a de volumneste statistica V ar(X; !⁽ⁿ⁾) =S²(!⁽ⁿ⁾) = 1

n Xn i=1

Xi(!⁽ⁿ⁾) X(!⁽ⁿ⁾)

2

; !⁽ⁿ⁾2 ⁽ⁿ⁾:

Pentru fiecare!⁽ⁿ⁾fixat, evaluarea dispersiei de selec¸tie este dispersia statistic˘a (empiric˘a)s²:Abaterea(saude- via¸tia standard)de selec¸tiese define¸ste ca fiindS =p

S²;iardispersia(sauvarian¸ta)modificat˘a de selec¸tie, respectiv abaterea(devia¸tia standard)modificat˘a de selec¸tiesunt:

(S )²= n

n 1S²= 1

n 1

Xn i=1

Xi X ²; respectiv, S =p (S )²:

Dispersia de selec¸tie modificat˘a este un estimator absolut corect al dispersiei teoretice ²;în timp ce dispersia de selec¸tie nu este un estimator absolut corect al acelea¸si cantit˘a¸ti, fiind un estimator deplasat. Pentru selec¸tii de volum mic, dispersia de selec¸tie modificat˘a este deci un estimator mai bun pentru dispersia teoretic˘a. Acest avantaj dispare îns˘a dac˘a volumul de selec¸tie cre¸ste.

Propozi¸tia 1.2 Dispersia de selec¸tie are urm˘atoarele propriet˘a¸ti:

E(S²) =n 1 n

2; E (S )² = ²; S^{2 a:s:}! ²; (S )^{2 a:s:}! ²; pentrun!+1: Dac˘a presupunem, în plus, c˘a exist˘a momentul centrat empiric de ordinul4; ₄⁰ = _n¹Pk

i=1(xi x)⁴al valorilor observate ale caracteristicii, atunci au loc estim˘arile (pentru detalii suplimentare, cititorul interesat poate studia Kendall, [9, Chapter 9, Standard errors]):

D²(S²)' 1 n

40 ( ₂⁰)² ; ¸si D²((S )²) = n²

(n 1)²D² S² ' n (n 1)²

40 ( ₂⁰)² : Demonstra¸tie. Not˘am =E(X);iar propriet˘a¸tile mediei ¸si ale variabilelor aleatoare de selec¸tie conduc la:

E(S²) = E 1 n

Xn i=1

X_i X ²

!

= 1 nE

Xn i=1

X_i + X ²

!

= 1 nE

Xn i=1

(Xi )²+ Xn i=1

X ² 2 X

Xn i=1

(Xi )

!

= 1 n

Xn i=1

E (Xi )² 2nE X ² +nE X ²

!

= 1

n nE (X )² nE X ² =D²(X) D² X

= ²

2

n = n 1 n

2

Ob¸tinem, de asemenea, c˘a

E (S )² =E n

n 1S² = n

n 1E(S²) = n

n 1

n 1

n

2= ²:

În ceea ce prive¸ste convergen¸tele, proced˘am astfel. Cum variabile de selec¸tie sunt idependente ¸si identic repar- tizate, atunci p˘atratele lor au aceea¸si proprietate, iarE X² = ²+ ²<+1:Deoarece

S²= 1

n 1

0

@ Xn i=1

X_i² 1 n

Xn i=1

Xi

!21 A= n

n 1

0

@1 n

Xn i=1

X_i² 1 n

Xn i=1

Xi

!21 A;

iar Legea tare a numerelor mari permite trecerea la limit˘a X ^a:s:! ; ¸si X^{2 a:s:}! ; pentrun ! +1; atunci concluzia dorit˘a este o simpl˘a consecin¸t˘a.

2 Intervale de încredere pentru o singur˘a selec¸tie

Consider˘am o caracteristic˘aX a c˘arei lege de probabilitate estef(x; ) :R!R+, cu parametru necunoscut.

Pentru determinarea estim˘arii valorii reale a parametrului, primul pas îl constituie efectuarea unei selec¸tii de volum n în cadrul popula¸tiei statistice. Aceasta vine înso¸tit˘a de gruparea datelor culese ¸si de determinarea unor caracteristici statistice ale datelor ob¸tinute (media, dispersia, dispersia modificat˘a, eventual func¸tia de reparti¸tie, toate empirice). Pasul urm˘ator revine Teoriei selec¸tiei. Plecând de la variabilele aleatoare de se- lec¸tieX₁; X₂; :::; X_n;gener˘am anumite statistici de selec¸tie^ (X₁; X₂; :::; X_n);despre care demonstr˘am c˘a sunt estimatori punctuali pentru parametrul estimat. Metodele folosite apar¸tin Teoriei estima¸tiei ¸si sunt: metoda verosimilit˘a¸tii maxime, metoda momentelor (a lui Pearson), metoda celor mai mici p˘atrate, metoda minimului lui ²:Cu toate acestea, o estima¸tie punctual˘a nu precizeaz˘a cât de aproape se g˘ase¸ste estima¸tia^ (x₁; x₂; :::; x_n) fa¸t˘a de valoarea real˘a a parametrului estimat .

Defini¸tia 1 Se nume¸ste interval de încredere, cu nivel de încredere , pentru parametrul un interval( ; );unde = '₁(X₁; X₂; :::; X_n)¸si ='₂(X₁; X₂; :::; X_n)care verific˘a

P < < = '1: (1)

Cantitatea = 1 ;suficient de mic˘a (de regul˘a se consider˘a valori precum 0:01;0:02; 0:05), se nume¸ste prag de semnifica¸tie.

Pentru o observa¸tie de volumn,x= (x₁; x₂; :::; x_n);intervalul (determinist) ('₁(x₁; x₂; :::; x_n); '₂(x₁; x₂; :::; x_n))

se nume¸ste valoare a intervalului de încredere pentru parametrul :Prin abuz de nota¸tie ¸si limbaj, se folose¸ste denumirea de interval de încredere atât pentru intervalul aleator propriu-zis, cât ¸si pentru valoarea acestuia. Identificarea precis˘a a no¸tiunii reiese din contextul în care ea este utilizat˘a.

Formula (1) trebuie privit˘a în sensul c˘a intervalul de încredere ( ; ), care are capetele aleatoare, acoper˘a valoarea parametrului :Pentru identificarea acestui interval, dup˘a ce am construit statistica utilizat˘a pentru fiecare situa¸tie în parte, se impune condi¸tia general˘a:

=P(v_s<^ (X₁; X₂; :::; X_n)< v_d) =F_^(X

1;X2;:::;Xn)(v_d) F_^(X

1;X2;:::;Xn)(v_s) = Z vd

vs

f_^(X

1;X2;:::;Xn)(u)du; (2) undeF_{^(X1;X2;:::;Xn)};respectivf_{^(X1;X2;:::;Xn)} reprezint˘a func¸tia de reparti¸tie, rspectiv densitatea de reparti¸tie a statisticii ^ (X1; X2; :::; Xn) folosit˘a. Dac˘a parametrul este necunoscut, se determin˘a, pentru început, un estimator punctual^prin una dintre cele patru metode posibile. Dup˘a aceasta, intervalul de încredere c˘autat are forma:

^ ^

g( )s^;^ + ^_{g( )}s^ ;

undes^este estimarea abaterii medii p˘atratice (empiric˘a) a estimatorului^;iar^

g( )este cuantila de ording( ) pentru statistica^ (X₁; X₂; :::; X_n)folosit˘a. Func¸tiagse determin˘a, de la caz la caz, din prelucrarea rela¸tiei (2)

2.1 Intervale de încredere pentru media teoretic˘a

2.1.1 Intervale de încredere pentru media teoretic˘a, când dispersia teoretic˘a este cunoscut˘a

FieX o caracteristic˘a asociat˘a unei popula¸tii ¸si consider˘am c˘aX N ; ² . Prin urmare, mediaE(X) = ¸si dispersiaD²(X) = ². Presupunem, pentru început, c˘adispersia ²este cunoscut˘a.

Conform Propozi¸tiei1.1,X N ; ²=n , iar variabila aleatoare standardizat˘a va fi atunci repartizat˘a nor- mal standard, adic˘a

Z =X E X

q D² X

=X pn

= pn

X N(0;1): (3)

Pentru a determina intervalul de încredere pentru media teoretic˘a impunem P(z₁< Z < z₂) = (z₂) (z₁) = ; ceea ce este echivalent cu P z₁<

pn

(X )< z₂ = 1 : (4) unde :R![0;1]este func¸tia lui Laplace ¸si reprezint˘a func¸tia de reparti¸tie a unei variabile aleatoare repartizat˘a normal standard. În ceea ce prive¸ste valorile luiz₁ ¸siz₂, intervalul(z₁; z₂)ar trebui s˘a aib˘a lungime minimal˘a, pentru un nivel de încredere fixat, ceea ce este echivalent cu rezolvarea urm˘atoarei probleme de optim, cu restric-

¸tii egalit˘a¸ti:

8>

><

>>

:

min_z1;z2 p

n(z₂ z₁) Z z2

z1

f_Z(z)dz= 1 :

Pentru a putea aplica metoda multiplicatorilor lui Lagrange, consider˘am func¸tiaL:R³!R; L(z₁; z₂; ) = pn(z₂ z₁) +

Z z2

z1

f_Z(z)dz 1 + : Punctele critice sunt ob¸tinute în urma rezolv˘arii sistemului:

8>

>>

>>

<

>>

>>

>:

@L

@z1

= 0

@L

@z₂ = 0

@L

@ = 0 ,

8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

pn fZ(z1) = 0 pn+ fZ(z2) = 0 Z z2

z1

fZ(z)dz= 1 :

Cum func¸tia f_Z este simetric˘a, solu¸tiile suntz₁ = z₂ ¸siz₁ = z₂:Este evident c˘a cea de a doua este solu¸tia acceptat˘a. Condi¸tia (4) devine

P X

=p

n < z = , P(jZj< z) = ; (5)

cu nivelul de încredere cunoscut. Deoarece ( z) = 1 (z)vom ob¸tine 2 (z) 1 = , (z) = 1 +

2 =1 + 1

2 = 1

2 ;

iar valoarea critic˘azse va ob¸tine din tabelele de valori ale distribu¸tieiN(0;1):Folosind nota¸tii intuitive, avem c˘a valoareazde mai sus este cuantila de ordin1 =2¸si folosim scriereaz=z_{1 =2}:Prin urmare,

jZj< z_{1 =2} , X

=pn < z_{1 =2} , X < pnz_{1 =2} , pnz_{1 =2}< X < pnz_{1 =2}: Propozi¸tia 2.1 În cazul în care popula¸tia are caracteristicaX N ; ² iar ²este cunoscut, intervalul de încredere pentru medie este reprezentat prin condi¸tia

X p

nz_{1 =2}< < X+p

nz_{1 =2}; (6)

undez_{1 =2}este valoarea dat˘a de

z_{1 =2} = 1 2:

Din graficul reparti¸tiei normale standard se poate g˘asi interpretarea luiz_{1 =2}:Astfel P jZj< z_{1 =2} = ,

Z z1 =2

z1 =2

p1

2 exp (x )² 2 ²

! dx= :

Observa¸tia 2.1 Fieavaloarea exact˘a a unei m˘arimi. În acest caz = E(a) = a ¸siavaloarea aproximativ˘a a acestei m˘arimi (ob¸tinut˘a cu ajutorul unui aparat). Faptul c˘a este cunoscut reprezint˘a precizia m˘asur˘atorilor (siguran¸ta apara- tului). Intervalul de încredere pentruaeste

a p

nz_{1 =2}< a < a+p

nz_{1 =2}; deoarece a a

=p

n N(0;1):

O problem˘a comun˘a care intervine în practic˘a este aceea de a determinanum ˘arul minim de observa¸tii necesare pentru a ob¸tine o anumit ˘a precizie a rezultatelor. În acest sens utiliz˘am tot rela¸tia (5). Presupunem c˘a sunt date , siguran¸ta estima¸tiei, ¸si (eroarea absolut˘a). Atunci

ja aj< : Deci, din

ja aj< p

nz_{1 =2} ob¸tinem c˘a:

pnz_{1 =2} ) p

n z_{1 =2} ) n z_{1 =2} ²;

adic˘a nmin = h

z_{1 =2} ²i

+ 1. Eroarea absolut˘a reprezint˘a ¸si jumatate din lungimea intervalului de încredere (a z_{1 =2}=p

n; a+ z_{1 =2}=p n).

Propozi¸tia 2.2 În cazul în care volumul selec¸tiein > 30;iar popula¸tia are caracteristica X care urmeaz ˘a o distribu¸tie oarecare, nu neap ˘arat de tip normal, iar ²este cunoscut, intervalul de încredere pentru medie este dat de rela¸tia

X pnz_{1 =2}< < X+pnz_{1 =2}; undez_{1 =2}este valoarea dat˘a de

z_{1 =2} = 1 2:

Aceast˘a afirma¸tie are loc deoarece variabila aleatoare standardizat˘a(X E(X))=D²(X)este repartizat˘a, con- form Teoremei Limit˘a Central˘a, asimptotic normal standardN(0;1).

Lema 2.1 Dat˘a o selec¸tie de volumn¸si variabilele de selec¸tieX1; X2; :::; Xnata¸sate caracteristiciiX;pentru care exist˘a ¸si sunt finite =E(X)¸si06= ²=D²(X);atunci

X

=p n

rep!Y N(0;1); pentrun!+1: Demonstra¸tie. DefinimY_i=X_i=n;pentrui= 1;2; :::; n:Avem:

X = Xn i=1

Yi ¸si i=E(Yi) =E X_i

n =

n; i= 1; :::; n:

Prin urmare, pentrui= 1;2; :::; n;

E (Y_{i i})² = _i²=E X_i n

2!

=

2

n² ¸si E (Y_{i i})³ = _i³=E jX_i j n³

3!

=

3

n³: Fiind verificat˘a condi¸tia lui Leapunov:

n!lim+1

Xⁿ

i=1 3i

1=3

Xⁿ

i=1 2 i

1=2 = lim

n!+1

3=n^{2 1=3}

( ²=n)¹⁼² = lim

n!+1

1 n¹⁼⁶ = 0;

ob¸tinem conform TLC,

n!lim+1P X

=p

n x = 1

p2 Z x

1

e ^z2=2dz; pentru oricex2R; rezultatul fiind astfel demonstrat.

Dac˘a pentru media teoretic˘anu se precizeaz˘a o limit˘a superioar˘a, atunci intervalul aleator din (4) este de tipul( 1; z₂):În consecin¸t˘a,

P( 1< Z < z₂) = (z₂) = = 1 :

Valoarea critic˘a pentru cap˘atul din dreapta al intervalului este cuantila de ordin 1 a reparti¸tiei normale standard ¸si o vom nota cuz1 :Intervalul de încredere, cu pragul de semnifica¸tie , va fi caracterizat prin:

X pnz₁ < <+1:

Similar, dac˘a nunu se precizeaz˘a o limit˘a inferioar˘apentru media teoretic˘a , atunci intervalul aleator din (4) este de tipul(z₁;+1);iar valoarea critic˘az₁ va fi oferit˘a de rela¸tia

P(z₁< Z <+1) = 1 (z₁) = 1 : Intervalul de încredere, cu pragul de semnifica¸tie , va fi:

1< < X+p nz :

2.1.2 Intervale de încredere pentru media teoretic˘a, când dispersia teoretic˘a este necunoscut˘a

În cazul în care volumul selec¸tiein >30,Xare o reparti¸tie oarecare ¸si este necunoscut, consider˘am o aproxi- mare a dispersiei teoretice ²'(S )²;prin dispersia de selec¸tie modificat˘a, dat˘a de:

(S )²= n

n 1S² , S = r n

n 1S:

Propozi¸tia 2.3 Rela¸tia (6) ofer˘aintervalul de încredere pentru medie în cazul în care volumul selec¸tiein > 30;

popula¸tia are caracteristicaX care urmeaz ˘a o distribu¸tie oarecare, nu neap ˘arat de tip normal, iar ²este ne- cunoscut:

X S

pnz_{1 =2}< < X+ S

pnz_{1 =2}:

În cazul în care volumul selec¸tiein 30,X N ; ² ¸si ² este necunoscut prezent˘am leg˘atura dintre distribu¸tia normal˘a ¸si distribu¸tia ²precum ¸si leg˘atura dintre distribu¸tia normal˘a, distribu¸tia ² ¸si distribu¸tia Student,t.

Lema 2.2 Pentru oricea >0;

X ²(n; ) dac˘a ¸si numai dac˘a aX ² n;p

a ; (7)

unden2N ¸si >0:

Demonstra¸tie.Avem, pentru oricex 0,F_aX(x) = 0¸si pentru oricex >0;

F_aX(x) =P(aX x) =P(X x=a) =F_X(x=a): Deci

faX(x) = (FaX(x))⁰ = (FX(x=a))⁰ =fX

x a

1

a = 1

2ⁿ² (p

a )^{n n}₂ x^{n2 1}exp x 2 (pa )²

!

; adic˘aaX ²(n;pa ).

Lema 2.3 Dac˘aX; Y sunt dou˘a variabile aleatoare independente, distribuite normal, de tipulN 0; ² ;unde > 0;

atunci

X^{2 2}(1; ) ¸si X²+Y^{2 2}(2; ): Demonstra¸tie.Avem, pentru oricey 0,F_X²(y) = 0¸si pentru oricey >0;

F_X²(y) =P X² y =P( py X py) =FX(py) FX( py):

Deci

f_X²(y) = (F_X²(y))⁰= (FX(py) FX( py))⁰ =fX(py) 1

2py +fX( py) 1 2py

=f_X(py) 1

py = 1 p2 ²exp

py ² 2 ²

! 1

py = 1

p2 y^{12 1}exp y 2 ² ;

adic˘a X² corespunde unei variabile aleatoare distribuite ²(1; ). Dac˘aX; Y N 0; ² ;atunci X²; Y²

2(1; )¸si, prin urmare, X²+Y^{2 2}(1 + 1; ):

Rezultatul se poate generaliza la cazul anvariabile aleatoare independente.

Lema 2.4 Dac˘aXi; i= 1; n ;sunt variabile aleatoare de selec¸tie corespunz˘atoare unei selec¸tii de volumnasupra caracte- risticiiX N 0; ² ;unde >0;atunci

Xn i=1

X_i^{2 2}(n; ):

Demonstra¸tie.Conform rezultatului anterior,Y_k = ¹2X_k^{2 2}(1);pentru oricek= 1; n;

f_Yk(x) = 1

p2 xe ^x=21_(0;+1)(x)

¸si atunci func¸tia sa caracteristic˘a este'Yk:R!C; 'Yk(t) =E(e^itYk) =

Z +1 0

e^itx 1

p2 xe ^x=2dx= (1 2it) ¹⁼²:

Independen¸ta variabilelor aleatoareYk; k= 1; n;conduce la urm˘atoarea func¸tie caracteristic˘a pentruPn k=1Yk: 'Pn

k=1Yk(t) = Yn k=1

(1 2it) ¹⁼²= (1 2it) ⁿ⁼²; t2R; adic˘aPn

k=1Yk 2(n) = ²(n;1):De aici rezult˘a c˘a Xn

k=1

Yk = Xn k=1

1

2X_k²= 1

2

Xn k=1

X_k^{2 2}(n;1); adic˘a Xn k=1

X_k^{2 2}(n; );

demonstra¸tia fiind, astfel, încheiat˘a.

Lema 2.5 Consider˘amX_i; i= 1; n ;variabile aleatoare de selec¸tie corespunz˘atoare unei selec¸tii de volumnasupra carac- teristiciiX N ; ² ;unde >0:

(a) Dac˘a media caracteristicii este cunoscut˘a, atunci:

H²= 1

2

Xn i=1

(X_i )^{2 2}(n;1) = ²(n):

(b) Dac˘a media caracteristicii este necunoscut˘a, consider˘am media de selec¸tieX= (Pn

i=1Xi)=n¸si vom avea:

Xn i=1

Xi X ^{2 2}(n 1; ) sau, echivalent ²= 1

2

Xn i=1

Xi X ^{2 2}(n 1;1) = ²(n 1):

Demonstra¸tie.Avem c˘a sumaPn

i=1X_i N n ; n ² ¸si apoiX N ; ²=n :Prin urmare, deducem c˘a (Xi ) N 0; ² ¸si X N 0; ²=n :

În consecin¸t˘a,(X_i )^{2 2}(1; )ceea ce conduce la Xn i=1

(Xi )^{2 2}(n; ):

Ob¸tinem c˘a

H²= n

2

1 n

Xn i=1

(Xi )²= 1

2

Xn i=1

(Xi )^{2 2}(n;1) = ²(n)

De asemenea,

X ^{2 2} 1; =p

n ¸si n X ^{2 2}(1; ): Pe de alt˘a parte, avem c˘a

Xn i=1

Xi X ²= Xn i=1

(Xi ) X ²=

Xn i=1

h

(Xi )² 2 (Xi ) X + X ²i

= Xn i=1

(Xi )² 2 X

Xn i=1

(Xi ) + Xn i=1

X ²=

Xn i=1

(Xi )² 2n X ²+n X ²:

Deci Xn

i=1

X_i X ²= Xn i=1

(X_i )² n X ^{2 2}(n; ) ²(1; ) = ²(n 1; ); ceea ce conduce la

2= 1

2

Xn i=1

X_i X ^{2 2}(n 1;1) = ²(n 1): Determin˘am reparti¸tia dispersiei de selec¸tie modificat˘a astfel:

2= n

2

1 n

Xn i=1

Xi X ²= n

2S²= n

2

n 1

n (S )²= n 1

2 (S )²: Rezult˘a c˘a(n 1) (S )^{2 2}(n 1; )¸si, în mod similar,nS^{2 2}(n 1; ):

În final, are loc urm˘atoarea leg˘atura dintre distribu¸tia normal˘a, distribu¸tia ² ¸si distribu¸tia Student.

Lema 2.6 Dac˘aX N 0; ² ¸siY ²(n; );unden 2 N ¸si >0;sunt dou˘a variabile aleatoare independente, atunci distribu¸tia

T = X rY

n

t(n):

Demonstra¸tie.Vectorul aleator(X; Y)are densitatea de reparti¸tie, pentrux2R; y 0;

f_(X;Y)(x; y) = 1

p2 ²exp x² 2 ²

1

2^{n=2 n} (n=2)y^{n2 1}exp y

2 ² = 1

p _n+1

2ⁿ⁺¹² (n=2)y^{n2 1}exp x²+y 2 ² : S˘a consider˘am transformarea

8<

:

u= x p_y

n

; v=y;

cu inversa 8<

:

x= up p v

n ; y=v;

¸si JacobianulJ(u; v) =p v=p

n:

Ob¸tinem astfel densitatea de reparti¸tie a vectorului aleatorf_(U;V):

f_(U;V)(u; v) =f_(X;Y) upv pn; v

pv pn =

vⁿ²¹ exp ₂^v2 u² n + 1 pn ⁿ⁺¹2ⁿ⁺¹² (n=2) : Densitatea marginal˘a este dat˘a de (avemv=y 0)

f_U(u) = 1

pn ⁿ⁺¹2ⁿ⁺¹² (n=2) Z +1

0

vⁿ²¹exp v 2 ²

u²

n + 1 dv:

Facem substitu¸tia ₂^v2 u²

n + 1 =v⁰decidv= 2 ²dv⁰= ^u_n² + 1 ¸si

fU(u) = 1

pn ⁿ⁺¹2ⁿ⁺¹² (n=2) Z +1

0

2 ²

u² n + 1

n 1 2

(v⁰)

n 1

2 e ^v0 2 ²

u² n + 1dv⁰

= 1

pn (n=2) u²

n + 1

n+1 2 Z +1

0

vⁿ²¹e ^vdv= 1 pn (n=2)

u² n + 1

n+1

2 n+ 1

2 : DeciUurmeaz˘a distribu¸tia Student cungrade de libertate.

Lema 2.7 Consider˘amXi; i= 1; n ;variabile aleatoare de selec¸tie corespunz˘atoare unei selec¸tii de volumnasupra carac- teristiciiX N 0; ² ;unde >0;¸si fieX= (Pn

i=1Xi)=n;media de selec¸tie corespunz˘atoare. Atunci s Pn X

i=1 X_i X ² n(n 1)

t(n 1):

Demonstra¸tie.Utilizând rezultatele anterioare ob¸tinem c˘a

X N 0;

2

n ¸si 1

n Xn i=1

X_i X ^{2 2} n 1;p

n ; (8)

de unde deducem c˘a

v X uu t1

n Xⁿ

i=1 Xi X ²

n 1

t(n 1);

iar demonstra¸tia este încheiat˘a.

Aten¸tie. Trebuie subliniat faptul c˘a, dup˘a formula (8), am aplicat rezultatul Lemei2.6, care stabile¸ste o leg˘atura între distribu¸tia normal˘a, distribu¸tia ² ¸si distribu¸tia Student. Dar, înainte de a face aceasta, trebuie remarcat c˘a acest rezultat solicit˘a ca ¸si ipotez˘a c˘a cele dou˘a variabile implicate sunt independente. În cazul nostru, la num˘ar˘ator apareX;iar la numitor(S )²;ambele fiind definite cu ajutorul acelora¸si variabile aleatoare de selec¸tie X₁; X₂; :::; X_n:Prin urmare,prima opinie ar fi c˘a nu este verificat˘aaceast˘a ipotez˘a de independen¸t˘a. O analiz˘a mai atent˘a arat˘a c˘a, în ipoteze de normalitate pentru caracteristicaX N( ; ²);media de selec¸tieX¸si dispersia de selec¸tie S² (deci ¸si dispersia de selec¸tie modificat˘a (S )²) sunt statistici independente stochastic. Aceasta informa¸tie este organizat˘a în cadrul urm˘atorului rezultat.

Lema 2.8 FieX₁; X₂; :::; X_n variabilele aleatoare de selec¸tie corespunz˘atoare unei selec¸tii de volumnasupra unei carac- teristiciX N ; ² a unei popula¸tii statistice. Au loc afirma¸tiile urm˘atoare.

(a) Media de selec¸tieXeste independent˘a deX_i X;pentru oricei= 1;2; :::; n:

(b) Media de selec¸tieXeste independent˘a de dispersia de selec¸tieS²¸si, prin urmare, ¸si de dispersia de selec¸tie modifi- cat˘a(S )²:

Demonstra¸tie. (a) Reparti¸tia vectorului aleator de selec¸tie V = (X₁; X₂; :::; X_n)este, deoarece variabilele de selec¸tii sunt independete estef_V :Rⁿ !R;

f_V (x₁; x₂; :::; x_n) = 1

(2 )^{n=2 n}exp 1 2

Xn i=1

x_i ²! : Consider˘am acum urm˘atoarea transformare a variabilelor aleatoareXi; i= 1;2; :::; n:

8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

Y₁ = X Y2 = X2 X Y₃ = X₃ X

... ... Yn = Xn X

; cu inversa transform˘arii 8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

X = Y₁ X2 = Y2+Y1

X₃ = Y₃+Y₁ ... ... Xn = Yn+Y1

Calculul Jacobianului transform˘arii conduce laJ =n;deci este independent deX ¸si deXi; i= 1;2; :::; n:Avem deci:

fY1;Y2;:::;Yn(y1; y2; :::; yn) =fV(x1; x2; :::; xn) jJj=nfV(x1; y1+y2; :::; y1+yn): (9) Cumx1 x= Pn

i=2(xi x);ob¸tinem 1

2

Xn i=1

(xi )²= 1

2

Xn i=1

(xi x)²+n(x )²

!

= 1

2 (x1 x)²+ Xn i=2

(xi x)²+n(x )²

!

= 1

2

0

@ Xn i=2

(x_i x)

!2

+ Xn i=2

(x_i x)²+n(x )² 1 A= 1

2

0

@ Xn i=2

y_i

!2

+ Xn i=2

y²_i +n(y₁ )² 1 A;

iar formula (9), care d˘a densitatea vectorului aleator(Y1; Y2; :::; Yn);devine,

f_Y1;Y2;:::;Yn(y₁; y₂; :::; y_n) = n

(2 )^{n=2 n} exp 0

@ 1 2 ²

0

@ Xn i=2

y_i

!2

+ Xn i=2

y_i²+n(y₁ )² 1 A

1 A

= n

(2 )^{n=2 n}exp 0

@ 1 2 ²

0

@ Xn

i=2

yi

!2

+ Xn i=2

y_i² 1 A

1 A

| {z }

=h(y2;y3;:::;yn)

exp n

2 ²(y1 )²

| {z }

=g(y1)

= n

(2 )^{n=2 n}h(y_2;y₃; :::; y_n)g(y₁):

Caracterizarea prin intermediul densit˘a¸tii de reparti¸tie a independen¸tei variabilelor aleatoare conduce la faptul c˘a variabilele aleatoareY₁ =X ¸siY_i =X_i X; i= 2; :::; nsunt independente. Pentru finalizarea demonstra¸tiei punctului(a), rela¸tia

X1 X= Xn i=2

Xi X

arat˘a c˘aX1 X este o func¸tie continu˘a deXi X; i= 2; :::; n;deciX1 Xeste ¸si ea independent˘a deY1=X:

(b) Defini¸tiile luiS²¸si(S )²;ca func¸tii continue deXi X; i= 1; :::; n;

S²= 1 n

Xn i=1

X_i X ² ¸si (S )²= 1

n 1

Xn i=1

X_i X ²= n n 1S²

conduc, folosind rezultatul ob¸tinut la punctul(a)la concluzia dorit˘a, iar demonstra¸tia este încheiat˘a.

Având în vedere cele discutate anterior, vom ob¸tinem astfel c˘a ¸si variabila T =

pn

S X =

pn X r nS²

n 1

t(n 1): (10)

Acum avem, conform cu (5) ¸si (10), pentrut 0;

P(jTj< t) = , P pn

S X < t = , P(jTj t) = , 2P(T t) = ; ceea ce implic˘a

P(T t) = =2 , 1 P(T < t) = =2 , P(T < t) = 1 =2:

Valoarea critic˘a a luitva fi cuantila de ordin 1 =2 corespunz˘atoare distribu¸tiei Student cun 1 grade de libertate ¸si va fi notat˘a, într-un mod sugestiv, cut_{1 =2;n 1}:Urm˘atorul rezultat ofer˘a acum forma intervalului de încredere pentru medie.

Propozi¸tia 2.4 În cazul în care volumul selec¸tiein 30;popula¸tia are caracteristicaX N ; ² iar ²este necunoscut, intervalul de încredere pentru medie este dat de

X S

pnt_{1 =2;n 1}< < X+ S

pnt_{1 =2;n 1}; (11)

unde valoareat_{1 =2;n 1}= t _{=2;n 1}este citit˘a din tabelul distribu¸tiei Student de parametrun 1:

Dac˘a pentru media teoretic˘a nu se precizeaz˘a o limit˘a inferioar˘a, atunci intervalul de încredere, pentru un prag de semnifica¸tie este

1< < X+ S

pnt _{;n 1}; iar dac˘a nu se precizeaz˘a o limit˘a superioar˘a, atunci are reprezentarea

X S

pnt _{;n 1}< <+1:

2.2 Intervale de predic¸tie pentru observa¸tii viitoare

O problem˘a care poate fi formulat˘a const˘a în prezicerea unor viitoare valori observate ale unei caracteristici.

Aceasta este o problem˘a diferit˘a de estimarea mediei unei variabile, deci discutarea despre un interval de în- credere pentru parametru nu este oportun˘a. Prezent˘am modul de a ob¸tine un interval de pedic¸tie,cu un nivel de încredere de1 ;pentru o valoare viitoare a unei caracteristiciX N ; ² . Pentru o selec¸tie repetat˘a de volumnîn cadrul popula¸tiei, fieX₁; X₂; :::; X_n variabilele de selec¸tie corespunz˘atoare. Dorim s˘a prezicem valoareaX_n+1a unei observa¸tii viitoare singulare. Un estimator pentru valoare ar trebui s˘a fie media de selec¸tie X;iareroarea de predic¸tie esteX_n+1 X:Valoarea sa medie ¸si dispersia sunt:

E(Xn+1 X) = = 0; ¸si D²(Xn+1 X) = ²+

2

n = ² 1 + 1 n ;

deoarece observa¸tia viitoare, dat˘a de variabila de selec¸tieX_n+1este independent˘a de media de selec¸tie a primelor nvariabile de selec¸tie (independente)X₁; X₂; :::; X_n:DeoareceX_n+1 N ; ² ; X N ; ²=n sunt inde- pendente, atunci eroarea de selec¸tie are reparti¸tia

X_n+1 X N 0; ² 1 + 1

n ; iar normalizata sa Xn+1 X r

1 + 1 n

N(0;1): (12)

Conform Lemei2.5,

(n 1) (S )²

2 = 1

2

Xn i=1

Xi X ^{2 2}(n 1): (13)

Datorit˘a formei reparti¸tiilor date de (12) ¸si (13), Lema2.6ofer˘a distribu¸tia reparti¸tiei urm˘atoare:

T =

Xn+1 X r

1 + 1 s n

(n 1) (S )²

2(n 1)

= X_n+1 X S

r 1 + 1

n

t(n 1):

În aceea¸si manier˘a în care am utilizat statistica T în Sec¸tiunea 2.1.2pentru determinarea unui interval de în- credere pentru media teoretic˘a atunci când dispersia teoretic˘a era necunoscut˘a, ob¸tinem uninterval de predic¸tie pentru valoarea viitoare observat˘a, la un prag de semnifica¸tie .

Propozi¸tia 2.5

x t _{=2;n 1} s r

1 + 1

n< Xn+1< x+ t _{=2;n 1} s r

1 + 1

n; (14)

unde valoareat _{=2;n 1}este citit˘a din tabelul distribu¸tiei Student cun 1grade de libertate.

Observa¸tia 2.2 Intervalul de predic¸tie pentruXn+1 va fi întotdeauna mai lung decât intervalul de încredere pentru me- dia teoretic˘a deoarece exist˘a mai mult˘a variabilitate asociat˘a erorii de predic¸tie Xn+1 X;decât erorii de estima¸tie X :Pentru volumul de selec¸tiensuficient de mare, lungimea intervalului de încredere se mic¸soreaz˘a pân˘a spre zero, concentrându-se în valoarea punctual˘a ;pe când lungimea intervalului de predic¸tie se apropie de2z =2 ;undez =2este cuantila de ordin =2asociat˘a reparti¸tiei normale standard. Cu alte cuvine, pentrunsuficient de mare, incertitudinea în estimarea mediei teoretice dispare, pe când incertitudinea prezicerii valorii viitoare pentru variabila de selec¸tieX_n+1va exista, chiar dac˘a nu este nevoie s˘a estim˘am nici un parametru al reparti¸tiei statisticii studiate.

2.3 Intervale de încredere pentru dispersia teoretic˘a

2.3.1 Intervale de încredere pentru dispersia teoretic˘a când media teoretic˘a este cunoscut˘a

FieX N ; ² o caracteristic˘a asociat˘a unei popula¸tii ¸si efectu˘am o selec¸tie repetat˘a de volumn; X₁; :::; X_n fiind variabilele de selec¸tie corespunz˘atoare. Scopul este acela de a determina un interval de încredere, la un prag de semnifica¸tie ;pentru ²;în ipoteza c˘a media teoretic˘aE(X) = este cunoscut˘a.

În Lema2.5am ar˘atat c˘a statistica H²= 1

2

Xn i=1

(Xi )^{2 2}(n;1) = ²(n)

Pentru determinarea intervalului de încredere, pornim de la condi¸tia

P ²1< H²< ²₂ =P H²> ²₁ P H^{2 2}₂ = ;

iar punctele critice se determin˘a ¸tinând cont c˘a la reparti¸tia ²tabelul cu "cuantilele" con¸tine, ca ¸si la reparti¸tia Student a¸sa numitele "tails", adic˘a ariile por¸tiunii de sub grafic ce se g˘asesc la dreapta argumentului func¸tiei de reparti¸tie. "Cuantilele" se identific˘a prin rezolvarea sistemului:

8>

>>

<

>>

>:

P H²> ²₁ = Z ₁

2 1

f_H²(x)dx= 1

2 = 1 1 2

P H^{2 2}₂ = Z ₁

2 2

f_H²(x)dx= 2 = 1

2 ;

(15)

undef_H² reprezint˘a densitatea de reparti¸tie a unei statisticiiH²;repartizat˘a ²(n;1):Se observ˘a din sistemul (15) c˘aP ²> ²₁ >P ^{2 2}2 ;deci ²₁< ²₂:Vom nota, în mod sugestiv, aceste cuantile cu ²₁= ²_{1 =2;n}¸si

22= ²_=2;n:

În ceea ce prive¸ste cazul în care dispersia este nem˘arginit˘a inferior, respectiv superior, cuantilele se ob¸tin prin impunerea, individual˘a, a urm˘atoarelor condi¸tii:

=P H^{2 2}₁ = 1 P H²> ²₁ , P H²> ²₁ = 1 ; ¸si ob¸tinem ²₁= ²_{1 ;n}:

=P H^{2 2}₂ ¸si ob¸tinem ²₂= ²_;n:

Propozi¸tia 2.6 În cazul în care volumul selec¸tiein 30;popula¸tia are caracteristicaX N ; ² iar este cunoscut ˘a, intervalul de încredere pentru dispersia teoretic ˘a ²este dat de

Xn i=1

(Xi )²

2

=2;n

< ²<

Xn i=1

(Xi )²

2 1 =2;n

; unde valorile critice ²₁= ²_{1 =2;n}¸si ²₂= ²_=2;nsunt cuantilele determinate anterior.

Dac˘a dispersia este nem˘arginit˘a inferior, respectiv superior, atunci intervalul de încredere, pentru un prag de semnifi- ca¸tie este:

0< ²<

Xn i=1

(X_i )²

2 1 ;n

; respectiv

Xn i=1

(X_i )²

2;n

< ²<+1:

2.3.2 Intervale de încredere pentru dispersia teoretic˘a când media teoretic˘a este necunoscut˘a

Presupunem c˘a ne situ˘am în contextul paragrafului anterior, cu singura diferen¸t˘a c˘a media teoretic˘aE(X) = a caracteristiciiXeste necunoscut˘a. Consider˘am dispersia de selec¸tie modificat˘a(S )², pentru care am ar˘atat, în Lema2.5,

H= n 1

2 (S )^{2 2}(n 1;1) = ²(n 1); adic˘a (n 1) (S )^{2 2}(n 1; ):

(În unele c˘ar¸ti de specialitate se utilizeaz˘a, alternativ, statisticaH=nS²= ²despre care am ar˘atat, tot în Lema 2.5c˘a este repartizat˘a ²(n 1):Intervalul de încredere este similar cu cel ob¸tinut prin folosirea dispersiei de selec¸tie modificate în locul celei nemodificate.)

Repet˘am ra¸tionamentul din cazul în care media teoretic˘a este cunoscut˘a ¸si identific˘am cuantilele ²₁= ²_{1 =2;n 1}

¸si ²₂= ²_{=2;n 1}(pentru intervale m˘arginite), ²₁= ²_{1 ;n 1}¸si ²₂= ²_{;n 1}(pentru intervale nem˘arginite), care conduc la urm˘atorul rezultat privind intervalul de încredere dorit.

Propozi¸tia 2.7 În cazul în care volumul selec¸tiein 30;popula¸tia are caracteristicaX N ; ² iar este necunoscut ˘a, intervalul de încredere pentru dispersia teoretic ˘a ²este dat de

(n 1) (S )²

2

=2;n 1

< ²<(n 1) (S )²

2

1 =2;n 1

;

unde valorile critice ²₁= ²_{1 =2;n 1}¸si ²₁= ²_{=2;n 1}sunt cuantilele determinate anterior.

Dac˘a dispersia este nem˘arginit˘a inferior, respectiv superior, atunci intervalul de încredere, pentru un prag de semnifi- ca¸tie este:

0< ²< (n 1) (S )²

21 ;n 1

; respectiv (n 1) (S )²

2;n 1

< ²<+1: Observa¸tia 2.3 Dac˘a volumul de selec¸tie esten >30;atunci putem folosi faptul c˘a

2(m;1)! N(m;2m); pentrum! 1:

Într-adev˘ar, dac˘a o variabil˘a aleatoareX ²(n;1), atunci, conform Lemei 2.1, pentru nsuficient de mare, ob¸tinem, aplicând Teorema Limit˘a Central˘a,

Z_n= X E(X)

pD²(X) =X n

p2n N(0;1); sau, echivalent, X = (p

2nZ_n+n) N(n;2n):

În cazul nostru, pentrunsuficient de mare,

2(n 1;1)' N(n 1;2 (n 1));

iar aceasta sugereaz˘a c˘a putem folosi func¸tia de reparti¸tie a lui Laplace ¸si deducem, având în vedere c˘a am demonstrat reparti¸tia statisticii(n 1) (S )²= ^{2 2}(n 1;1);

=P ²1<(n 1) (S )²

2 < ²₂

!

=

22 (n 1) p2 (n 1)

! 2

1 (n 1)

p2 (n 1)

!

Reamintim c˘a graficul reparti¸tiei normaleN(n 1;2 (n 1))este simetric fa¸t˘a de media reparti¸tiei(n 1)deci

21+ ²₂

2 =n 1 , ²1= 2 (n 1) ²₂ (16)

¸si atunci ob¸tinem:

=

2

2 (n 1)

p2 (n 1)

! 2

2 (n 1)

p2 (n 1)

!

= 2

2

2 (n 1)

p2 (n 1)

! 1,

2

2 (n 1)

p2 (n 1)

!

= 1 2

Folosind tabelul func¸tiei de reparti¸tie ;asociat˘a unei variabile aleatoareZ N(0;1);vom ob¸tine valoarea critic˘a ²₂= z_{1 =2};iar apoi valoarea ²₁se ob¸tine folosind formula (16).

3 Intervale de încredere pentru dou˘a selec¸tii

3.1 Intervale de încredere pentru diferen¸ta a dou˘a medii teoretice

Consider˘am dou˘a popula¸tii statistic˘a pentru care investig˘am câte o caracteristic˘a X1 N ¹; ²₁ , respectiv X2 N ²; ²₂ ; mediile teoretice fiind necunoscute. Efectu˘am o selec¸tie repetat˘a de volum n1 din prima popula¸tie, X11; X12; :::; X1n1 fiind variabilele de selec¸tie corespunz˘atoare ¸si o selec¸tie de volumn2 din a doua popula¸tie, cu variabilele aleatoare de selec¸tieX21; X22; ::; X2n2:Dispersiile de selec¸tie modificate pentru fiecare popula¸tie sunt:

(S₁)²= 1 n1 1

n1

X

k=1

X_1k X₁ ² ¸si (S₂)²= 1 n2 1

n2

X

k=1

X_2k X₂ ²:

Ne intereseaz˘a s˘a determin˘am un interval de încredere pentru diferen¸ta mediilor celor dou˘a caracteristici.

Cazul A.Dac˘a dispersiile ²₁¸si ²₂suntcunoscutea priori, atunci statistica folosit˘a este Z= X1 X2 ( 1 2)

s 2 1

n1

+

22

n2

N(0;1):

Pentru a demonstra c˘a Z urmeaz˘a aceast˘a distribu¸tie, pentru început ar˘at˘am c˘a diferen¸ta a dou˘a variabile aleatoare repartizate normal este tot o variabil˘a aleatoare Gaussian˘a. Putem realiza acest lucru fie prin trans- form˘ari de vectori aleatori, fie cu ajutorul func¸tiei caracteristice. Vom alege cea de a doua variant˘a. În ceea ce prive¸ste distribu¸tiile mediilor de selec¸tie avem:

X₁ N 1;

12

n1

¸si X₂ N 2;

22

n2

;

iar func¸tiile lor caracteristice sunt '_X1; '_X2 : R!C; '_Xi(t) = E(e^itXi) = exp i _it t^{2 2}_i=(2n_i) ; i = 1;2:

Independen¸ta celor dou˘a variabile aleatoare duce, pentru oricet2R;la:

'_{X1 X2}(t) =E e^{it(X1 X2)} =E e^itX1 E e ^itX2 = exp it 1 12t²

2n₁ exp it 2 22t² 2n₂ ;

adic˘aX₁ X₂ N 1 2; ²₁=n₁+ ²₂=n₂ : Normaliz˘am aceast˘a variabil˘a ¸si ob¸tinem c˘aZ N(0;1):Ne încadr˘am astfel în cadrul de lucru prezentat în Sec¸tiunea2.1.1¸si ob¸tinem intervalul de încredere pentru diferen¸ta mediilor:

X₁ X₂ z_{1 =2} s 2

1

n1

+

22

n2

< < X₁ X₂+z_{1 =2} s 2

1

n1

+

22

n2

: Cazul B.Dac˘a dispersiile ²₁ ¸si ²₂sunt necunoscute, statistica utilizat˘a este

T = X₁ X₂ ( _{1 2}) s 2

1

n1

+

22

n2

t(m 1); unde m= s²₁=n₁+s²₂=n₂ ² 1

n1 1(s²₁=n1)²+ 1

n2 1(s²₂=n2)² 2:

Folosind argumentele din Sec¸tiunea2.1.2, intervalul de încredere pentru 1 2;pentru un prag de semnifica¸tie este caracterizat de

X1 X2 t =2;m 1

s (S₁)²

n1

+(S₂)² n2

< < X1 X2+t =2;m 1

s (S₁)²

n1

+(S₂)² n2

:

3.2 Intervale de încredere pentru raportul a dou˘a dispersii teoretice

FieX₁¸siX₂dou˘a caracteristici independente asociate la dou˘a popula¸tii ¸si consider˘am c˘aX₁ N 1; ²₁ ; X₂ N ²; ₂² :Presupunem c˘a mediileE(Xi) = i¸si dispersiileD²(Xi) = ²_i sunt necunoscute,i= 1;2:

Conform Lemei2.5, avem c˘a X= n1S²₁

21

2(n1 1;1) = ²(n1 1) ¸si Y = n2S²₂

22

2(n2 1;1) = ²(n2 1): Dar

(S_i)²= ni

ni 1S_i²; i= 1;2; deci

X= (n1 1) (S₁)²

21

¸si Y = (n2 1) (S₂)²

22

: Consider˘am statistica de lucru

F =X=(n₁ 1) Y =(n2 1):