Nicolae Muguroia Dana Heuberger Gheorghe Boroica
Florin Bojor Vasile Pop
MnTTMATICA DE EXCELENIA
pentru concursuri, olimpiade gi centre de excelenli
Clasa a lX-a
Edigia a ll-a,
revizuitd, gi addugitd
CUPRINS
TESTE INITIALE ... 9
Sor,uprr,r rEsrELoR
INITIALE...
....'..".'."...'.'...l0
L PRrNCrprur, TNCLUDERTT $r EXCLUDERII (GUroncHe Bonolce $l VA5ILE POn) ...,..,...,...122. Mur-nm DE NUMERE (GHaoncur
BoRolcA)
...313. Dtvlztutl,nerce iN
Z
lcmorucaaBonotce)...
...,.'.'444. GeouprruecoMBtNAroRIcA
(VnsllaPoP)..,... .,,,'.""""'57
5. Rrlarr ereNa (VestlnPon)...'...
...""""72 6. Ecuell otoneNnce (GHEoRGHEBoRolcA)...
..."...'...'.877. IrccnlrrAlt (FlozuN
Boton)
....'.'. 1008. Tlpuru oe nouclte (DANA
HEUBEncrn)...".
...'... I l5 9. gnuru nrcuRENrE $t PRocRESn (FLoRINBoJon)...".'...
.." 140 10. FuNclrt (DANAHeusencrn).
... 153I 1 . Tsongile cELEBRE DE GE6METRIE rlaNA (FlontN BoJoR $I NlcoLAE Mu$uRote)... 183
1 2. Vecronl (DeNe Heuoe ncen 9l NICoLAE
Mugunote)...
'...20113. Anllcelrr ALE rRlcoNoMrtruet iN elcpsnA (NICoLAE
Mugunore)
..-.,...22814. Anlrcelt ALE rRlcoNoMerrusl iN GE9METRIA PLANA (NIC6LAE Mugunote)'.. ..'...,243
15. Pnoousut scet an (Ntcornr MuSunole)
."...""....
...',....261Tusrr FrNALE...
...276Sot
ululn
rEsrELoRFINALE...
...'...278 BlsLtocRArIE"""""""" """"""""'
284Prezentim in continuare o tehnic[
util[
in rezolvareaunor probleme de numlrare.1.1. Teoreml (Principiul includerii qi excluderii)
Daci
multimile A1, Az, ...,A,
sunt finite, unden € N, n > 2 $i l4l
reprezintlnumdrulde elemente din mullimeaA*(k
. t,r),
atunci:lurl
=p, l-,2
14n 4l**,Pr*14 n,e,^ 4
I -... *r-r-
lno
IDemonstrafiie: Vom demonstra formula anterioari prin inductie matematici. Pentru n = 2, avem de demonstrat ce:
ly'w Arl=leJ*l+l-ll, nlrl.
intr-adevdr, numdrul elemen- telor mulfimii A1w A2 este egal cu suma numdrului elementelor lui A1 qi A2, din care se scadenumIrul
elementelor comune celor doudmullimi,
elemente care au fost numirate de dou6 ori. Presupunemci
formula de demonstrat este adeviratd pentrur
eN*
gi o demonstrdm pentrur
+l.
Fie mullimile finite 11, A2, ..., A,,A*t.
Cu notalia B =Atw
A2W ...W An, avem:lA,u 4u...\J A*,|=lnv
.1,.,1=lnl+1,t,.,1-lna4.)
(r) Deoarece opera{ia de intersectie este comutativ[, asociativ[qi distributivl fati
de reuniune, avem: ln n,q,.,l=lt4 a 4.,) v
(,4,a
A,u) w ...v(4., 4., I''i i V n
4.,1- - Z lo,aA,nA,*rl+...+(-l)*, .l,lrr-r,lr^...n
A,.,1. t)tiliziind rela(ia(l),
ipotezal<i<j3n
induc{iei pentru mullimile Ar, Az, An qi relatia
anterioari,vom
obtine:14 u
+
w ...v4ul =Zl,tl -,A,ln, n n,l*,=,A.,14 n
n,a
Aol- ... +(-r)*'
.1,4 n4 a
. (, --, \
a... a
4l+14.,
I -J
lla a 4,ul- Z
14a
A,a,\ul+...
+(-l),-, .lq n An...
n,4., I i =\ i=t t<i<j<n' - ""'
n+l )
=Zle,l-
,=,1=,,,1n,
a
A,l+,=,.Z=,*,ln,n A,
n Ar.,l-...+ (-t)'
.lA,a
A,o...n
A*,1,ceea ce trebuia demonstrat.
1.2. Consecinftr. Dacd A, B, C sunt multimi finite, atunci sunt utile urmltoarele cazuri particulare:
g lav al=lal+lnl-la a al;
b)
l; u
B wcl
= l,el +lal +lcl -
(laa
nl+lan
cl +lr n
cl)+len
Bn cl.
Notiim cu rp(n) func{ia indicatorul lui Euler, adic[ numirul de numere naturale mai mici decit n gi care sunt relative prime cu n, unde n e N',
n) 2,iar e(t)
= f .12 | m.t.-atictr
de excetenfi. Clasa a tX-a1.3. Observatie. Formula din teorema anterioarl rlmdne valabili dacl se inlocuiegte
,V"
cu rrA" $i rrn" cu rru". Afunci oblinem:lA,aArn...^ A,l=flA,l-
j=l l<i<I
j<nle,u,a,l+ I le,u.t,w Aol-...+
*(-t)^'
.lA,u,q,
w...v
A,l.1.4. Propozifie. Daci descompunerea
in
factori primi a numirului natural nenul neste,?= pi,.pi,...p';,
atunciq(n):, [,-f.] [,-fl \ P,)\ P,) \ [,-fl P,)
Demonstrafie..
Vom
calculanumirul n - q(n).
Acest numdr reprezinti numIrul numerelor naturale mai mici decdt n gi care sunt divizibile cu cel pufin unul din nume-rele pi, i e G.
Oace notlm cul;
mulfimea numerelor naturale mai mici decdt n gi divizibile cv p; t atunci avem:n
- q(r)
=lA,u g
w ...wA,l=iln,l- Z
lA,n,e, | +... + (-r\'"'lA, a
A, a...a A,l,
i=l lsi<j<n
deci q(n)
=, -tt*,,n,h-...+(-r)''
l<i<j<k<n
h'Pz'...'P,
=,[,-};*,,a,*-...+(-l),#)=,[,;)(,;)[,-*),
ceea ce trebuia demonstrat. La ultima egalitate s-a folosit faptul c6:
(r-r, )(*-*r)...(r- xn)=x" -(r, * xz*...+xn)'xn-t + I xi'xj'x'-2 -
l3i<i3n
-...+(-l)' .xr.xz...xn,
relatie ce se poate demonstra prin inductie matematici, unde X, X1, X2r..., Xo €lR, n e N*.1.5. Consecinftr. Dac6p este un num6r natural prim, atunci:
a)<p(p):p-l;
b) ,p(p') = pr
-
pr-t,& e N'. Demonstratia rezultl imediat din proprietatea anterioarlsau din defini1ie.
PRtNcrptut LUt DtRtcHtET
Daci vei dori sd pui trei bile in doui cutii, in mod sigur vei pune cel pufin doud bile in aceeaqi cutie. De asemenea, nu se pot aranja patru cutiu{e in cele 3 sertare ale unui birou
fdrl
a pune cel pufin doud cutiu{ein
acelaEi sertar. Distribuind cinci iepuri'in patru cugti, proprietarul acestora vafi
nevoit sd pun6 cel pu{in doi iepuriin
aceeagi cugc[.Aceste observafii simple stau la baza unui principiu care poate
fi
formulat astfel:dac[ introducemn
+ I
obiecte in n cutii, atunci va exista o cutie care va confine cel putin doul obiecte.Matematici de excelen!tr. Clasa a
lx-a I
t 3(Principe de tiroirs
-
principiul sertarelor,in
francezd; Pigeonhleprincipti -
princi-piul
cugtilor de porumbei,in
englezd). Principiul cutiei este legat de numele mate- maticianului german Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859),cu
toatec6
era bine cunoscut cu mult inaintea acestuia. Meritul lui Dirichlet este acela de afi
aplicat acestprincipiu in multe probleme de teoria numerelor.
Acest rafionament extrem de simplu are marea calitate de a putea
fi
stlp6nit deelevi de
la
cea mai fragedl v6rst[ qi, dacd profesorul qties[ le
ofere probieme cu enunfuri variate, le poate dezvolta copiilor pasiunea pentru rationamente matematice care urneazl afi
folosite in situalii mai complicate.Vom da in continuare unele formul6ri ale principiului cutiei in algebrl sau geome- tria combinatoric6.
PnrNcrplur t-ut DtRtcHrET iN ALGEBRA
Dim in continuare doud formuldri in algebrd are principiurui cutiei.
I. Daci
tepattizdmn
. k+ I
obiectein
& cutii, atunci va exista o cutiein
care se aflE cel putinr
+I
obiecte.II.
FieI
o multime nevid6 gi A1, A2, ...,A,
(neN')
o partilie a mullimiiA,
adicd,Au Azu...
\JA,=
A qiA;a4:A
pentrui,j e {1,2,...,n},i*j.
Dacd avem n
* I
elemente dinA,
atunci va exista o multime A;gi
caresi
confin6 cel pufin doui dintre cele n* I
elernente considerate.Acest principiu stabileqte existenta unei cutii cu anumite proprieti{i, fiind aqadar un principiu de existentl Ei nu unul constructiv, deoarece nu stabileqte un algoritm de aflare a cutiei cu proprietitile dorite. Diversitatea gi frumusefea proLlemelorln
.ur. ,.
poate utiliza principiul cutiei face ca, la numeroase concursuri iau in diverse c6r[i de specialitate, acest tip de probleme sE fie mereu prezent.
1.6. Exemplu.
Arltali
c5, oricum am alege7
pdtrate perfecte distincte, exist6 cel pufin doud a ciror diferenld se divide prin 10.Solulie: Restul
imp[(irii
lal0
a unui numdr este egal cu ultima cifra a numirului. Un p6trat perfect poate avea ultima cifrd egalr cu 0, I , 4, 5, 6 sau 9. Cum avem 7 pltrate$i-doa1 6 posibilitnli pentru ultima cifr6, vor exista
doul
pdtrate care au aceeagi ultim6 cifrd. Diferenla acestora se divide cu 10.1.7. Exemplu.
Aritati
c6, oricare arfi
7 puncte intr-un disc de razdl,
existl dou6 puncte intre care distanfa este cel multl.
Solulie: impS4im discul
in
6 sectoare congruente. intr-unul dintre cele 6 sectoare se g6sesc cel pufin doui dintre cele 7 puncte. Atunci distanta maximi dintre dou6 puncte aflate intr-un astfel de sector estel.
14 | matematici
de excetenti. Clasa a tX-aPntuctptut
t-ulDtRtcnlrr iu
GEoMETRIAcolaatNlrontcA
O varianti geometricl a principiului lui Dirichlet care ne apropie de geometria com- binatoric[ ar
fi
dacl pe supiafala unei mese de arie .S se aqazl foi de h6rtie avdnd suma ariilor,f
> S, atunci existi cel putin doul foi suprapuse'O priml generalizare a principiului cutiei ar
fi:
daci in n cutii introducem m obiecte$ m>
p.n,p
e N', atunci existl o cutie care con{ine celpufinp* I
obiecte'Se observi c[ in varianta discretd, algebricd, esential este si cunoa$tem numIrul obiec- telor gi num6rul cutiilor, iar in varianta geometrici sI cunoagtem aria mesei qi aria obiec- telor, adic[ o misuri a lor.
Cadrul teoretic care permite studiul problemelor
in
care seaplici
principiul.lui Dirichlet gi generalizarile luiil
constituie spatiile mtrsurabile, formate din submullimi ale unei mullimi date (submullimi m6surabile) qi de o,,misur6" pentru fiecare dintreaceste mullimi.
Fie
Xo
mul(ime, P(,Y) mullimea p6(ilor sale qi m : P(X)+
[0, co) o functie numitimlsurl
pe X, cu proprietlfle:l) m(O):O;
2) m(A tY B) = m(A)+
m(B)-
m(Aa
B)'1.8. Observafie. ln teoria mdsurii, in loc de P(X) se ia o submullime
P,(n
formati dinmullimi miiurabile (in
sens Lebesgue sau Jordan), dar pentru aceasti lucrare consider-lmc[
nu trebuiesI
dezvoltlm teoria cea mai generalS, av6ndin
vederecI
toate mullimile cu care se lucreaz[ in gcoalI sunt mullimi normale (misurabile).
Fie At, Az, ...,
A,
e P(X). SEnotlm: It: U
(Ana
A,n."Ai*),
k=G'
l<r1 <,..<r1 <n
1.9. Propozifie. Pentru oilce A6 A2, ...,
A,
e P(X) este verificatS egalitatea:f*Ur>=fmQr).
t=lk=l
Demonstralie: Demonstra[ia este un
util
exerciliu de aplicare a principiului induc(iei matematice.Pentru n -- 2, oblinem:
m(A)
+ m(Az) = m(A1w
A2) + m(A1a A)
adev6rat6 din proprietatea 2) din definitia mlsurii.irresupunem relafia adev[rati pentru n gi o demonstrdm pentru n
* l.
Fie I'r= U (A,,AA,,A.,Al,r). Avem: Il=Irv(A*rn1*-,)
9i oblineml<ti <...<il <r+l
m(I
i)
= m(I)
+ m(A,*r A 1r-r )-
m(l r A A,*t), k = 2,n,
aqadar:m(li';= m(I,)+ m(A*,)-
m(I,o A*,)
m(l'r) =
m(lr)+
m(1,a A*,)- m(lr^ A*,)
m(l',\ = m(l ,) + m(I ,-,
n
A*,)-
m(I , A A*r).Atunci
oblinem: frg)
/r=l=fmQ
*=l o) + m(A*,)-
m(An*ra
I,),
Matematici
de excelen!tr. Clasa a lX-aI
t 5avem: Z*(I)=Z*(A).
l=t1.I0. Corolar.
Daci
lp*r: A,atunci:l,*rrr,
=O *(12Or)
(Dacd orice element din reuniune apa(ine la cel mult
p
submullimi, atunci suma mdsurilor lor nu deplgegte de p ori mlsura reuniunii.)Demonstralie.. Avem, evident,
11) I2l
...f
lo+r) ...3
ln, aqadar m(I)
> m(I z) > ... >_ m(I p) Z. m(I p*)
> ... > m(t,),deci
lpt : A >
m(I*) = 0, Yk > p +l.
Folosind relatia din propozi{ia anterioar[, oblinem:
t*rnrr=t*r,rr< p.m(I)= o *(2or)
1.11. Corolar (Principiul cutiei generalizat)
Dace
fm(A)> p -(2U),
existe ir, iz,...,
ip+rcul
< ir<
iz<it
< ...I
ip,r 3 n, astfelinc6t
A,,i
A,,n...n
A,.,*A.
(Dacd suma mrsurilor submultimilor At,
...,1,
depigeqte dep
ori masura reuniunii lor, atunci existi puncte in reuniune care sunt acoperiie de cer pulinp* I
submultimi.)1.12. Observafie.
a)
Dacixeste finitI,
se poatelm m(A):
numdrul elementelor mul{imiil.
b)
DaclX
e IR., pentru a < D definim m([a, b]):
b-
a.c) Dacd
X
e lR2, putem lua ca misu rd aria.d) DacnX e IR3, putem lua ca mdsurl volumul.
1.13. observafie. Pentru cazurile geometrice b), c), d), putem enunfa cele dou6 corolare sub forma:
b) Pe un segment de lungime
I
se pun n segmente de lungimi L1, L2, ..., Ln.o Dacr Lr
* Lz*
...L,>
z, atunci exist[ dou6 segmenteil
qi Llcare au cel pu{in un punct comun.o Daci Lr
*
Lz*
... Ln <r,
atunci existi pe segmentul de lungimez
un punct care nu se afl6 pe niciunul dintre segmentele L1, L2, ..., L,.o
DaciLr * Lzn
... Ln>p'
L, atunci existd [p]* r
segmente care au un punct comun.c) Pe o suprafa{l de arie S se agaz6 n suprafele de arii ,Sr,
&,
...,&.
o Daci sr + sz + ...
&
<,s, atunci existr pe ,s un punct care nu seafl[
in nicio su_prafafi&,i= l,i.
16 | matematici
de excelenti. Clasa a tX-ao Dac6 Sr + Sz + ...
& >p
.,S, atunci existi [p]+ I
suprafefe car€ au un punct co- mun.d) in interiorul unui corp de volum Z se deseneazA n corpui de volurne Yv Vv
-
Yno Dac6 V1
*
V2*
...vn> v,
atunci exista dou6 corpuri vt $i Yi care auFffi s
mune.
o DacE V1
*
V2*
... Vn<
V, atunci existdin
Z puncte care nu se afl6 in niciun corpY;,i:fi,
oDac6\*V2*...Vn>p'Y,atunciexistdp]*lcorpuricareauunpunctcomun'
1.14. Exemplu. Oricare ar
fi
funcfiaf : {1,2, "',
mn+ l} + {1,2""' z}'
exist[i t, i2, ..., i,+r astfel incdtfli 1)
: fli) :
...:.fli*)'
fululie:
FieAr:
{/(k)\, k:
l,mn+L Atunci,'l)t
or c' {1, 2,"',
m\)lz[ij'
er)<^;
t *@S=mn+l, deci Z*U)r,[,(!=j',-)] ei din
cororarurr'rl'
existlAn, A,r, ..., A,,n,
atA,,11A,r..,,...A,*,*A,
deci/(11)= f (i)E"'E f (iru)'
1.15. Exemplu. Punctele de pe suprafata unui hexagon regulat de
latur[ 1
se coloreazd cu 6 culori. Ar6tati cd exist6 dou6 puncte de aceeaqi culoare inffe care distanfa este cel putinL
blulie:
Distan(a intre oricare douf vfirfuri ale hexagonului este) l,
deci dacl dou6dintre v6rfuri ar
fi
de aceeaqi culoare am terminat. Daci cele 6 vdrfuri sunt de culori di- ferite, atunci oricum am colora centrul cercului distan{a de la el la varful de aceeaqi culoare este 1.1.16. Exemplu. intr-un teren pltrat cu latura de
I
km se g[seqte o p[dure cu 4500 sejari de diamitrul 50 cm.Arita{i cI
se poate sipa in pldure un lac del0
m x 20 mflrl
a tdia niciun copac.hlulie:1mp[(im
pldurea in suprafe(e dreptunghiulare de dimensiuni 10,5 m x 20,5 m.Formam astfel 48 x 95 = 4560 dreptunghiuri. Cel pu[in unul dintre dreptunghiuri nu con{ine niciun copac. in acest dreptunghi putem sipa lacul'
1.17. Observa{ie. Bordarea dreptunghiurilor de dimensiuni 10
m x
20 m este ne-cesarfl,
c[ci,
dacd centrul unui copac se afl6in
afar6, dar foarte aproape de margine, copacul intrd in dreptunghi'1.18. Exemplu.
in
interiorul unui ffiunghi se consider6 7 puncte. Ar[ta(ici
se potalege trei dintre ele care s[ formeze un triunghi de arie mai
micl
sau egal6 cu1'
Matematici de
excelenli.
Clasa a tx-aI
t 7I
,.
Cel putin una dintre cele trei zone confine cel pu{in trei dintre punctele date. DacI ele suntin
triunghiuri, am terminat. Dac6 avemtrei
punctein
paralelogram, ele fotmeazd un triunghi de arie cel mult jumitate din aria paralelogramulri, deci cel mult esald cu1.
"4
PROBLEME DE ANTRENAMENT
1.A.1. Cdte numere naturale mai mici sau egale cu 2013 sunt divizibile sau cu 2, sau cu 3?
Solulie:FieA= {2nln
eN,2r<2013} 9iB: {3nln
eN, 3n<2013}.Cum(2,3)= l,
avem cd
A a B:
{6nIn e
N, 6ns2013}.
Evident, numdrul cdutat estellugl=
= l,nl
+lrl -le
^.Bl=
looz + 672 -336 = 1343.1,4.2.
Toli
locuitorii dintr-un orag vorbesc fre franceza, fie germana.Dacd 64%o vor- besc franceza gi 58% gerrnana, c6(i vorbesc ambele limbi?Solulie: Deoarece datele din ipotezl sunt exprimate procentual qi nu se cunoaqte nu- m[ru] locuitorilor oragului, este bine
si luim
ca numlr de locuitori ai oraqului 100 girezultatul va
fi
un procent. Notdm cu E mullimea locuitorilor oragului, cu F mullimea vorbitorilor delimbl
francezd gi cu G mullimea vorbitorilor de limbd german6. Atunci vom avea:lfl=lfuGl=card(F)+card(G)-card(F nG),
deci card(FaG)=64 I
+ 58
-
100 = 22. Aqadar, 22Yo dintre locuitori vorbesc ambele limbi.1.A.3. Cdte numere compuse din z cifre exist6, qtiind
ci
acestea contin doar cifrelel,
2,3, dar pe fiecare dintre acestea cel putin o dat6?
Solulie: Este necesar ca
n
Z. 3,n e N.
Un astfel de num6r are forma ata2...an ctt aoe{1,2,3}, k =li.
D"ourece fiecarecifri
dintr-un astfel de num6r se poate alege in trei moduri, cu principiul produsului, vor exista in total 3'numere de n cifre formate doar cu cifrelel,
2 gi 3. Notdm in continuare cu A;mullimea numerelor de n cifre ca qimai sus care nu contin pe i, i € {1, 2, 3}. Avem de
calculat numIrul:l4 ^4 ^41
=t'
- l.r,v
A, wgl
= z'-
(l4l
*l+l
* Iql)
* Ia n,El
*la n
e,l +l e,n 4l -
-ll, n
A,a Arl,
unde,1
reprezintd mullimea numerelor den cifre
care confine pe i. Deoarecel,l,l=lArl=llrl=Z'
(pentru fiecare cifr6 din numdr sunt 2posibilitlli
de alegere),
lat
n,l2a4l=y -2.2,
+3.18 | Matematici
de excelenftr. Clasa a tX-a1A.4. Fiecare dintre cele treisprezece drepte distincte impart nrprafap unui pdtrat
in doui
patrulatere cu raportul ariilor eqalcu 1. eret4i
cE cel putin patru dintre dreptele consi--4
derate trec prin acelaqi punct.
Solulie: SI observ6m
c[
dreptele date nu pot intersecta dou[Iaturi vecine ale pltratului ABCD dat,
c[ci, in
caz contrar,D
PA
a
B pentru o astfel de dreaptl s-ar forma un triunghi qi un pen-
[agon sau doul triunghiuri. Fie atunci o dreapti care intersecteazi laturile AB 9i CD in
punctele E, respectiv F.
-
Trapezel" )gfO
qi EBCF auinalfimile
egalecl AD qi
atunci raportul ariilor lcestora..1" srur,
-f,teu
* on'no
=
P]-=],
adica acesta este egal cu raportul
Srr.,
L, nn+
FC\.BC RQ 4'
2'
iiniilor mijlocii.
Atunci dreaptaEF
impafte segmentulPQ
cate uneqte mijloacele .arurilorAD
qi BCin
raportul,4 ]. D.ou...e
existd patru puncte care impart liniile rnijlocii ale pIhatuluiin
raportuf] t.at.
dou[ pe fiecarelinie
mijlocie) qi fiecare dintre cele treisprezece drepte trece prin unul dintre aceste puncte, cu principiul cutiei,5a rezulta
ci
existE cel pulin patru diepte dintre cele date care trec prin acela6i punct.1.A.5. Se considera n un num[r natural nenul. Se coloreaz6 fiecare punct al planului cu ma dintre cele n culori. Ardtafi cd existh un dreptunghi cu vdrfurile de aceeaqi culoare.
fululie:Fie in plan un sistem de axe ortogonale' Considerlm punctele de coordonate
1i,7) cu ie{1,2,...,n*l},le \r,r,...,nn*t +r}.cumpentrufiecarepunctdinplan
avemn posibilitili de
colorare,punctele de pe linie se pot colora in
n*r
moduri. Curnuuern n'*t +
Ilinii,
cu principiul cutiei, deducemci exist[ liniile k qi /
colorateidentic, unde
&*/.
Deoarece Pe o astfel de linie avemr + I
puncte 9i doar n culori, cel putin doul Punctede pe aceste
linii
au aceeaqi culoare;i fie
(a, &) gi (b,/)
aceste Puncte.nr*l +l I k 2
I
1234a b n n+l-
xAruncidreptunghiul.determinat de punctele (a, k), (b, k),
(b,l),
(a, I) arc vdrfurile la fel colorate.1.A.6. gase colegi de clasl particip[ la un concurs de tir. Arita{i
ci
cel pufin doi dintre ei au lovit de acela{i numir de ori 1inta, in condiliite in care linta a fost atins[ de 14 ori.Matematici de excelenfi. Ctasa a lX-a
