А НАЛИЗ Р ЕЗУЛЬТАТОВ

При старте из изотермического состояния системы при температуре Т = +10 ºС после внезапного охлаждения правой стенки до -10ºС жидкость, имеющая температуру в основном объеме существенно выше +4ºС в точном соответствии зависимости плотности воды от темпера- туры в ближайшей окрестности холодной стенки начи- нает опускаться. В нижней части полости формируется уходящий от холодной стенки поток воды. Т.е. ситуация аналогична поведению жидкости с нормальной зависи- мостью плотности от температуры вблизи внезапно ох- лажденной стенки. В слое толщиной 50мм с жесткой адиабатической верхней границей одновихревая цирку- ляция жидкости по контуру (по часовой стрелке) и ре- жим монотонного роста толщины слоя льда наблюдается в промежуток безразмерного времени до t ≤ 0,425 [10]. В этом промежутке времени перегретая вода, обладающая избыточной плавучестью, накапливается в верхней части слоя и здесь скорость роста корки льда снижается из-за натекания горячей жидкости. Эта ситуация монотонного роста толщины слоя льда с гладкой поверхностью сохра- няется до момента выхолаживания критического объема воды. Количество переохлажденной воды неуклонно растет со временем в придонной области у фронта кри- сталлизации. В момент времени t = 1,25 из массы воды охлажденной до температуры ниже +4ºС формируется вихрь с циркуляцией по контуру против часовой стрел- ки. Поток воды вдоль фронта направлен навстречу ос- новному течению, охватывающему весь объем жидко- сти. И форма фронта резко меняется вследствие измене- ния распределения локального теплового потока вдоль фронта.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.5 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.5 1

Рис. 1. Изолинии полей температуры и функции тока в режиме тепло- вой гравитационно-капиллярной конвекции при -10°C≤ T ≤10°C в мо- мент времени t = 26,16

В данной работе исследован процесс кристаллизации воды со свободной верхней границей и в слоях меньшей толщины. На Рис. 1, 2 показаны поля изолиний функции тока и изотерм в моменты времени, близкие к устано- вившимся, когда фронт кристаллизации практически остановился. Высота слоя воды – 12,5мм². В режиме теп- ловой гравитационно-капиллярной конвекции (см. Рис.1) рост слоя льда на вертикальной стенке происходит моно-

XIV Международная научно-техническая конференция АПЭП – 2018

44

тонно до момента времени t ≈ 8,94. В дальнейшем тече- ние теряет устойчивость и на границе встречных потоков возникает система дрейфующих вихрей. Поле темпера- туры становится нестационарным и на фронт кристалли- зации натекает поток нагретой жидкости с пульсирую- щей температурой. В верхней части фронта наблюдается периодическая кристаллизация и плавление. В нижней части фронта продолжается монотонный рост кристалла.

К концу процесса формирования вторичных вихрей рост кристалла вновь принимает монотонный характер.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.5 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.5 1

Рис. 2. Изолинии полей температуры и функции тока в режиме термо- капиллярной конвекции при -10°C≤ T ≤10°C в момент времени t = 24,04

В режиме термокапиллярной конвекции (см. Рис.2) оп- ределяющую роль играет распределение температуры вдоль свободной поверхности. Зарождение течения про- исходит вблизи холодной стенки из-за градиента темпе- ратуры вдоль свободной поверхности. После формиро- вания течения, захватывающего всю длину слоя, также возникает неустойчивость на границе встречных пото- ков. Возникает система дрейфующих конечно амплитуд- ных вихрей. На фронт натекает пульсирующий поток нагретой жидкости. С течением времени частота пульса- ций температуры растет, а длина вторичных вихрей уменьшается.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.5 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.5 1

Рис. 3. Изолинии полей температуры и функции тока в режиме тепло- вой гравитационно-капиллярной конвекции при -10°C≤ T ≤10°C в мо- мент времени t = 6,665

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.5 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.5 1

Рис. 4. Изолинии полей температуры и функции тока в режиме термо- гравитационной конвекции при жесткой верхней границе при -10°C≤ T

≤10°C в момент времени t = 6,665

При увеличении высоты слоя до 25мм (см. Рис.3) неус- тойчивость течения на границе двух встречных потоков исчезла. Вблизи нижней части фронта кристаллизации образуется конвективная ячейка, как в слое толщиной 50мм. Физическая причина заключается в накоплении достаточной массы воды с температурой от 0°С до +4°С в придонной части слоя вблизи фронта кристаллизации.

В нижней части у фронта возникает восходящий поток холодной жидкости. А в верхней части на фронт натека- ет поток нагретой жидкости. Влияние термокапиллярно- го эффекта состоит в том, что кроме увеличения скоро-

сти циркуляции жидкости по контуру крупномасштабно- го течения, формируется компактный поток нагретой жидкости натекающий на фронт кристаллизации вдоль свободной поверхности. В результате локально резко замедляется рост кристалла (см. Рис. 5).

Рис. 5. Положение и форма фронтов кристаллизации в режиме тепло- вой гравитационно-капиллярной конвекции при -10°C≤ T ≤10°C в мо- менты : 1 – t = 0,035; 2 – 0,2; 3 – 0,45; 4 – 0,85; 5 – 1,7; 6 – 3,4; 7 – 5,175;

8 – 7,165

В случае жесткой верхней границы (см. Рис. 4 и 6) скорость потока нагретой жидкости вблизи верхней гра- ницы ниже из-за эффекта прилипания жидкости к верх- ней границе.

Рис. 6. Положение и форма фронтов кристаллизации при –10≤T ≤10 при жесткой верхней границе в моменты времени: 1 – t = 0.3; 2 – 1; 3 – 2.2; 4 – 5; 5 – 8.2; 6 – 12; 7 – 18; 8 – 28.8

В режиме термокапиллярной конвекции в слое с H = 25мм c плоской адиабатической границей наблюдается формирование вторичных вихрей. Картина течения и мгновенная форма изотерм на Рис. 7 качественно

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.5 1

0 0.5 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Рис. 7. Изолинии полей температуры и функции тока в режиме капил- лярной конвекции при -10°C≤ T ≤10°C в момент времени t = 6,065 аналогична наблюдаемым в слое меньшей толщины на Рис. 2. Увеличение высоты слоя не изменило закономер- ностей развития течения. Можно сделать вывод, что формированию и развитию вторичных вихрей способст- вует локальная неоднородность температуры на свобод- ной поверхности и развитие вихрей изначально гидроди- намической природы усиливается локальным влиянием термокапиллярного эффекта.

При кристаллизации гептадекана скорость роста кри- сталла наименьшая в режиме тепловой гравитационно-

45

капиллярной конвекции вследствие наиболее эффектив- ного подвода тепла с нагретой левой стенки (см. Рис. 8а).

В режиме термогравитационной конвекции снижается воздействие разогретой жидкости на верхнюю часть кристалла (см. Рис. 8б). Интенсивность течения наи- меньшая в режиме термокапиллярной конвекции (см.

Рис. 8в).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.5 1

а

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.5 1

б

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.5 1

в

Рис. 8. Поля изотерм в момент времени t = 640,1 при 14°C ≤ T ≤ 24°C:

а - при свободной верхней границе с учетом термокапиллярного эф- фекта; б - без учета термокапиллярного эффекта; в - в режиме термока- пиллярной конвекции

На качественном уровне результаты совпадают с дан- ными эксперимента (см. Рис.9). Расхождения вызваны наличием в эксперименте теплоотдачи со свободной по- верхности и зон менисков. Влияет также конечная теп- лопроводность стенок полости. В дальнейшем эти эф- фекты будут учтены при постановке задач численных исследований.

14 12 10 8 6 4 2 0

0 2 4 6 8 10 12

8

7 6

5 4 3 2

l, мм h, мм

1

Рис. 9. Форма фронта в разные моменты времени после начала кри- сталлизации гептадекана: 1 - 4,4 мин.; 2 - 9,6 мин.; 3 - 23,9 мин.; 4 - 51,4 мин.; 5 - 98,4 мин.; 6 - медная стенка, 7 - дно, 8 - уровень жидкости без мениска

IV.

В

ЫВОДЫ И

З

АКЛЮЧЕНИЕ

Изучен сопряженный конвективный теплообмен в прямоугольной полости заполненной водой или гептаде- каном со свободными верхними границами после вне- запного охлаждения правой вертикальной стенки до температуры ниже температуры кристаллизации. Усло- вия на верхней границе существенно влияют на интен- сивность конвективного течения, на формы фронтов кристаллизации и на темп роста массы затвердевшего вещества. Полученные численные результаты качест- венно совпадают с данными физического эксперимента, проведенного параллельно с численным моделировани- ем.

С

ПИСОК

Л

ИТЕРАТУРЫ

[1] Багдасаров Х.С., Горяинов Л.А. Тепло- и массоперенос при вы- ращивании монокристаллов направленной кристаллизацией. М.:

Физматлит. 2007. 224 с.

[2] Berdnikov V.S., Zabrodin A.G., Markov V.A. // Fluid Mech. Soviet Research., 1986: V.15, N 3. С. 118-133.

[3] Бердников В.С., Гапонов В.А., Коврижных Л.С. // Инженерно- физический журнал. – 2001. – T. 74, № 4. С. 116-121.

[4] Бердников В.С., Забродин А.Г. // Теплофизические процессы при кристаллизации веществ. – Новосибирска, 1987. С. 67-99.

[5] Эйзенберг Д., Кауцман В. Структура и свойства воды. Ленинград:

Гидрометеоиздат, 1975. 280 с.

[6] Глазов В.М., Павлова Л.М., Станкус С.В., Хайрклин Р.А. Эффект образования градиента концентрации в сплавах КРТ в жидкой фазе // ДАН. 1997, Т.354. № 2. С. 207 – 210.

[7] Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. // Журнал вычислительной мате- матики и математической физики. 1965. Т.5, №5, с.816 – 827.

[8] Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. 720 с.

[9] Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных эле- ментов для решения скалярных и векторных задач. Новосибирск : НГТУ, 2007. – 896 с.

[10] Бердников В.С., Кислицын С.А., Митин К.А. Численное моделиро- вание процессов роста кристаллов методом горизонтальной на- правленной кристаллизации из расплавов с различными числами Прандтля // Известия Российской академии наук. Серия Физиче- ская. 2017. Т. 81, № 10. С. 1389–1394.

Бердников Владимир Степанович, заведующий лабораторией свободноконвективного теплооб- мена Института теплофизики СО РАН, доктор физико-математических наук, профессор кафед- ры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета.

Область научных интересов – свободная и сме- шанная конвекция в задачах технологии роста кристаллов, в технических и природных систе- мах.

Митин Константин Александрович научный сотрудник лаборатории свободноконвективного теплообмена Института теплофизики СО РАН.

Выпускник факультета прикладной математики и информатики Новосибирского Государствен- ного Технического Университета. Область науч- ных интересов – численное моделирование со- пряженного конвективного теплообмена, метод конечных элементов.

Кислицын Степан Александрович аспирант кафедры прикладной математики. Инженер- исследователь лаборатории свободноконвектив- ного теплообмена Института теплофизики СО РАН. Область научных интересов – численное моделирование сопряженного конвективного теплообмена, в том числе и в процессах кри- сталлизации.

Гришков Виталий Афанасиевич ведущий инже- нер лаборатории свободноконвективного тепло- обмена Института теплофизики СО РАН. Об- ласть научных интересов – экспериментальные исследования процессов конвективного тепло- обмена.

XIV Международная научно-техническая конференция АПЭП – 2018

46 978-1-5386-7054-5/18/$31.00 ©2018 IEEE

Интервал возможных значений суммы двух независимых случайных величин. Композиция

закона нормального распределения с законом равной вероятности

Евгений Л. Крейдик

ОАО «АГАТ-СИСТЕМ», Минск, Беларусь

Аннотация – Для композиции нормального закона с зако- ном равной вероятности установлена связь между интерва- лом возможных значений случайной величины, симмет- рично расположенным относительно ее математического ожидания, и вероятностью, с которой непрерывная слу- чайная величина, которая будет находиться в пределах этого интервала. Указанная случайная величина определя- ется как сумма двух других независимых случайных вели- чин.

Ключевые слова – композиция закона нормального распре- деления с законом равной вероятности

I.

В

ВЕДЕНИЕ

ЛЯ предварительной оценки ряда параметров соз- даваемых радиоэлектронных средств необходимо выполнить теоретико-вероятностные расчеты, связанные с системой независимых случайных величин, которые распределены по известным законам.

Особое практическое значение имеет случай, когда складываемые случайные величины

( , )

X Y независимы [2, с. 272]. В дальнейшем рассмотрим систему непре- рывных независимых случайных величин

( , )

X Y , кото- рые подчиненные соответственно законам нормального распределения f x₁

( )

и равной вероятности f y₂

( )

.

В некоторых случаях представляет интерес связь меж- ду интервалом возможных значений случайной величи- ны ZXY, симметрично расположенным относи- тельно ее математического ожидания, и вероятностью

p, с которой случайная величина будет находиться в пределах этого интервала [1, с. 63].

Закон распределения суммы независимых случайных величин называют композицией законов распределения.

Композиция разнотипных законов распределения может иметь достаточно сложный вид распределения не всегда удобный для практических расчетов. При суммировании случайных величин их законы распределения сущест- венно деформируются, т.е. форма закона суммы может резко отличаться от формы закона распределения со- ставляющих [3, с. 38], [4, с. 106], как, например, при композиции нормального закона и закона равной веро- ятности. Произвести композицию двух законов распре- деления – это значит найти закон распределения суммы

двух независимых случайных величин, подчиненных этим законам распределения.

Вопросы композиции нормального закона и закона равной вероятности изложены [2], [5] – [10] посредством дифференциального закона распределения (плотности распределения). В примерах [8, с. 143], [11, c. 188], [12, c. 349] приведены решения посредством интеграль- ного закона распределения (функции распределения). В указанных примерах рассмотрена вероятность попадания случайной величины ZX Y

,

где независимые слу- чайные величины X и Y, подчиненные соответственно законам распределения f x₁

( )

и f y₂

( )

, и имеющие об- щий центр распределения в начале координат (см.

Рис. 1).

Рис. 1. Частный случай для определения вероятности попадания слу- чайной величины ZX Y

,

где независимые случайные величины

X и Y , подчиненные соответственно законам f x₁( ) и f y₂( ), и имеющие общий центр распределения в начале координат

По мнению авторов [7, с. 136], [8, с. 142], частным яв- ляется случай композиции закона нормального распре- деления с законом равной вероятности, имеющих общий центр распределения в начале координат.

В дальнейшем случайные величины обозначены боль- шими буквами X Y Z

, ,

, а их возможные значения – со- ответствующими малыми буквами x y z

, ,

.

Д

47

II.

П

ОСТАНОВКА

З

АДАЧИ

Рассмотрим общий случай для определения вероятно- сти попадания на заданный участок случайной величины

ZX Y , где независимые случайные величины X и Y, подчиненные соответственно законам распределения

1

( )

f x и f y₂

( )

, и имеющие произвольные центры рас- пределения (см. Рис. 2).

Рис. 2. Общий случай для определения вероятности попадания на за- данный участок случайной величины ZX Y , где независимые случайные величины X и Y , подчиненные соответственно законам распределения f x₁( ) и f y₂( ), и имеющие произвольные центры распределения

Установим связь между интервалом возможных значе- ний случайной величины ZX Y

,

симметрично рас- положенным относительно ее математического ожида- ния, и вероятностью p, c которой случайная величина

Z будет находиться в пределах этого интервала

.

III.

Т

ЕОРИЯ

Интегральный закон распределения G z

( )

полностью характеризует случайную величину Z с вероятностной точки зрения. Функция g z

( )

G z

( )

называется плот- ностью распределения случайной величины Z.

Композиция нормального закона с параметрами ζ – среднее квадратическое отклонение (СКО), m – матема- тическое ожидание

 

^{ }

2 2ζ2 1

1

ζ 2π

x m

f x e

 

 и закона равной вероятности

2

 

1

f y β α

 ^при α y β выражена через g z

( )

[2, c. 273]

:

   

* *

( ) 1

z m z m

g z           

         

.

Нормальную функцию распределения, обозначенную

* при аргументе



, выразим через интеграл вероятно- стей [13]:

 

2

*

1

2

1

1 erf

2π 2

2

t

e dt







^



  

      

 

 



^,

где ²

2

0

erf 2

2

π

e t dt





_

  

 

 



– интеграл вероятностей.

В дальнейшем применим обозначение интеграла вероят- ностей [14, с. 30], при аргументе

2



:

2 2 0

2

2

π

e t dt





_

 

 



^.

Тогда

  1    

2( ) 2 2

z m z m

g z           

         ^{. (3)} Вероятность попадания на интервале от γ до ε не-

прерывной случайной величины Z определяется выра- жением [2, с. 81], т.е. отбрасывается знак равенства



^{γ ε}



P  Z :



γ ε



( )

P Z g z dz





  



^.

Откуда ^P



^{γ  Z ε}



^G

 

^{ε G}

 

^{γ . Тогда}

 

²



¹



P     Z 

  

   

2 2

z m z m

dz





        

     

 

    

 



^{. (1)}

Графики законов f x f y g z1

      ,

2

,

и ^{G z}

 

приведены:

– при α  3,β 3, m

0

, ζ 1 , γ 1, ε 1 – на Рис. 1;

– при α  6 3,β  6 3, m

2

, ζ 1 , γ 4, ε 2 – на Рис. 2.

С геометрической точки зрения вероятность попадания случайной величины Z (1) на участок

(γ, ε)

равна пло- щади кривой распределения, опирающейся на этот уча- сток (на Рис. 1, 2 эта площадь заштрихована).

Так как определенный интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций, формула (1) преобразована в виде



^{γ ε}



_{2(β α)}¹

P  Z  



   

ε ε

γ γ

1 2

β α

2ζ 2ζ

z m z m

dz dz

 

         

 

     

     

 

 

 

 

. (2)

XIV Международная научно-техническая конференция АПЭП – 2018

48

При решении 1-го и 2-го интеграла (2) по формуле [15, с. 138]:

(

az b dz

)

  



  ¹

^{ 2}

 

π

az b b

z az b e az b

a a

 

      

(3)

введены обозначения величин a,b:

   

ζ

2

;

β ζ

2 1

1 1

b m

a   

и

_{   }

ζ

2

;

α ζ

2 1

2 2

b m

a   

.

По формуле (3) получено решение 1-го интеграла (2):

  2

^β _2ζ^{γ 2 β} _2ζ^{ε 2}

πζ

2

m m

z m dz e e

   

   

    

   



 

      

      





^{β γ}



^{β γ}



^{β ε}



^{β ε}

2ζ

2ζ

m m

m     m    

         и решение 2-го интеграла (2):

 

^{α γ 2 α ε 2}

ε

2ζ 2ζ

γ

α

2

πζ

2ζ

m m

z m dz e e

   

   

   

 

     

     





^{α γ}



^{α γ}



^{α ε}



^{α ε}

2ζ

2ζ

m m

m     m    

        

   

.

Преобразуем формулу (2) с помощью решений 1-го и 2- го интегралов [16]:



^{γ ε}

 ¹

2(β α)

P  Z  

 (4)



^{β γ}



^{β γ}



^{β ε}



^{β ε}

2ζ

2ζ

m m

m m

        

        



^{α γ}



^{α γ}



^{α ε}



^{α ε}

2ζ

2ζ

m m

m     m    

        

2 2 2 2

β γ β ε α γ α ε

2ζ 2ζ 2ζ 2ζ

2

ζ π

m m m m

e e e e

       

       

       

       

 



 

   

 

 

получим формулу вероятности попадания на участок от γ до ε случайной величины ZX Y , где случайные величины X и Y, подчиненные соответственно законам распределения f x₁

( )

и f y₂

( )

, и имеющие произвольные центры распределения (см. Рис. 2).

В результате замены переменных в формуле (4)

z





,

ε

γ получим интегральную функция распре- деления G

(

z

)

P

(

Zz

)

P

(

Zz

)

[16]:

2 2

β α

2ζ 2ζ

1 2

( )

β α ζ

2(β α)

π

m z m z

G z e e

   

   

   

   

  

  

     

  

   



^β



^β



^α



^α

2ζ

2ζ

m z m z

m z m z

    

   

        

.

В результате замены переменных в формуле (4) βl, α l m, 0, и εh

,

γh, подобно решению в примерах [11, c. 188], [12, c. 349], получена формула вероятности попадания на участок от h до h случай- ной величины ZX Y , где случайные величины X и

Y, подчиненные соответственно законам распределения

1

( )

f x и f y₂

( )

, и имеющие общий центр распределения в начале координат (см. Рис. 1):

  ¹  

2 2ζ

P h Z h l h l h l

   

       

 

2 2

2ζ 2ζ

2

ζ

2ζ

l h l h

h l l h e e

 

   

   

   

 



   

        . Формула (4) применена в расчете интервала возмож- ных значений случайной величины

Z

.

IV.

Р

ЕЗУЛЬТАТЫ

Э

КСПЕРИМЕНТОВ

Так как интеграл вероятностей не может быть выражен комбинацией элементарных функций, то дальнейший анализ (4) проведен только численным и приближенным методами [17, c. 93].

Одним из параметров, определяющий форму плотно- сти распределения g z

( )

(см. Рис. 3) [18, с. 159], являет- ся C_unif – показатель относительного содержания закона равной вероятности в композиции закона нормального распределения и закона равной вероятности

β α

2 3ζ

unif

Cunif  

 



,

где ζ_unif – СКО случайной вели- чины Y ,: β α

ζ^unif

2 3

  . СКО суммы независимых слу- чайных величин ( , )X Y

 

²

2 2 2

unif

12



  

        . (5) По аналогии с нормальным законом [2, c. 320] введем множитель t C_p

(

_unif

)

, который определит число СКО суммы независимых случайных величин _, которое нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания случайной величины Z, чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна вероятности p.

49

Рис. 3. Плотность вероятности g z( ) при C_unif, ζ=1

Выразим интервал возможных значений I Z_p  слу- чайной величины Z через границы возможных значе- ний:

 

 

^{ζ ;}

 

^ζ

p p unif p unif

I Z m_t C _ m_t C _

(6),

где m_ – математическое ожидание суммы случайных

величин

( , ) X Y

, α β m_ m

2

 ;

( )

p unif

t C

– множитель, зависящий от p и C_unif;

( )ζ

p unif

m t C

  – границы возможных значений, для которых вероятность попадания случайной ве- личины Z в заданный интервал, равна p.

Тогда вероятность попадания случайной величины Z в интервал I Z_p  определена формулой:

 

^ζ

 

^ζ

p unif p unif

P m _t C _  Z m_t C _ p^. В результате преобразований формул (5) и (6), полу- чим интервал возможных значений

( )

I Z_p в виде:

 

₂  

²

^ ₁₂ ^

²

^;

p p unif

I Z m t C

      

    

 

²

^{ }

²

2

^{p unif}

12

m  t C      

^{. (7)} Решение уравнения (4) в виде табличных значений

( )

p unif

t C (см. Рис. 4) получено для p0,9; 0,95; 0,99;

0,9973; 0,999,



m_t C_p

(

_unif

)ζ

_,



m_t C_p

(

_unif

)ζ

_.

Рис. 4. График зависимости множителя t C_p( _unif), p0,9; 0,95; 0,99;

0,9973; 0,999

Определим длину интервала возможных значений

p 

I Z через разность границ возможных значений

p  I Z

:

 

²   ²  

²

^ ₁₂ ^

²

p p p unif

I Z E Z t C   

     ,

где E Z_p

( )

– вероятностное отклонение случайной вели- чины Z (см. Рис. 5).

Рис. 5. Длина интервала возможных значений I Z_p( ) случайной величины Z,C_unif ^5, ζ=1, p0,99; 0,9973

Наибольшее применение из вероятностных отклонений нашло вероятное (срединное) отклонение, соответст- вующее вероятности p0,5.

XIV Международная научно-техническая конференция АПЭП – 2018

50

Следует отметить, что в соответствии с работой [19, c. 11], допустимо использовать рекомендованное значение вероятности p0,9±0,03 для практических расчетов при любых исходных распределениях и их де- формации при образовании композиции (см. Рис. 4).

Определим вероятность

p

, при которой изменение Cunif от 10^-1 до 10² приведет к минимуму дисперсии

( )

p unif

t C

(см. Рис. 6).

Рис. 6 График зависимости множителя t C_p( _unif), p0,863; 0,87; 0,9 Отметим, для вероятности p0,9 изменение (от 1,55 до 1,65 [20, c. 5])

t C

_p

(

_unif

)

относительно среднего состави- ло t_0,9

(

C_unif

)

1,6±2,9 % (см. Рис. 6). При вероятности

p=0,87 (нижняя граница p0,9±0,03 – прим. авт.) из- менение относительно среднего составило

0,87

(

_unif

)

t C 1,505±0,9 %. В результате дальнейшего ана- лиза, проведенного численным методом, определена ве- роятность p0,863, при которой изменение относи- тельно среднегосоставило t_0,863

(

C_unif

)

1,486±0,6 %.

Выбор значения p в каждом отдельном случае опре- деляется спецификой задачи и необходимой точностью решения.

Для упрощения оценки границ интервала возможных значений I Z_p  (7) выполнена аппроксимация [16] за- висимостей множителя t C_p

(

_unif

)

(Рис. 4). Результат по- лучен (см. Табл.) в виде приближенных формул

( )

p unif

t C для типовых значений вероятности p0,9;

0,95; 0,99; 0,9973; 0,999. Предельные отклонения δ (t C_{p unif})_{, Δp} характеризуют точность аппроксимации.

ТАБЛИЦА

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ МНОЖИТЕЛЯ t C_p

(

_unif

)

Множительt C_p( _unif), предельные отклоненияаппроксимации δ (t C_{p unif})

,

Δp

( )

p unif

t C , p=0,9; 0,95; 0,99; 0,9973; 0,999 δ (t C_{p unif}) Δp

   

0,9 _unif 1,6 0,045 1,15 lg _unif 1

t C    e C  ^±0,3%

±0,0023

     

0,95 _unif 1,8 0,16 0,8 lg _unif 1

t C    e C  ^±1,0%

±0,0032

     

0,99 _unif 2,148 0,43 0,62 lg _unif 1

t C    e C  ^±1,5%

±0,0020

     

0,9973 _unif 2,38 0,65 0,53 lg _unif 1

t C    e C  ^±2,5%

±0,0015

     

0,999 _unif 2,511 0,78 0,46 lg _unif 1

t C    e C  ^±5,0%

±0,00085 График зависимостей t C_p

(

_unif

)

и t C_p

(

_unif

)

приведен для

p0,99; 0,9973 на Рис. 7.

Рис. 7. График зависимостей t C_p( _unif) и t C_p( _unif), p0,99; 0,9973 Следует отметить, уровень вероятности p0,9973 обычно применяется для закона нормального распреде- ления.

Когда случайные величины X и Y имеют общий центр распределения в начале координат

(β

l, α l m, 0):

 

 

²

₃

²

^;  

²

₃

²

p p unif p unif

l l

I Z  t C t C 

      

 ^,

откуда p 

²

p



unif



²

₃

²

I Z t C l

    , где

unif

3

C  l



.

51

В приближенных оценках I Z_p , I Z_p , когда зна- чение C_unif составляет от 10^-1 до 10², целесообразно применять (см. Табл.) t C_p

(

_unif

)

_.

V.

О

БСУЖДЕНИЕ

Р

ЕЗУЛЬТАТОВ

В результате настоящей работы получены множители

( )

p unif

t C и

t C 

_p

(

_unif

) ,

которые необходимы для вычис- ления интервала возможных значений случайной вели- чины (вероятностного отклонения случайной величины)

Y X Z  .

Необходимо отметить, что в 1946 г. Бородачев Н.А. в работе [20] опубликовал результаты анализа технологи- ческих процессов на основе методов математической статистики и теории вероятностей. В указанной работе [20, c. 83] были исследованы кривые распределения при наличии равномерно возрастающего доминирующего фактора

(2 )

l (вызывающего производственные погреш- ности) для различных отношений _l

  _3ζ

. Автор привел пределы изменения коэффициента k от 2 до 3 в зависи- мости от того, какой закон (равной вероятности или Га- усса) имеет преобладающее значение [20, c. 173]

.

Таким образом, коэффициент k является упрощенным аналогом множителей

t C

_p

(

_unif

)

и

t C 

_p

(

_unif

)

, получен- ных в результате данного теоретического исследования.

VI.

В

ЫВОДЫ И

З

АКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрен общий случай для определения вероятно- сти попадания на заданный участок случайной величины

ZX Y , где независимые случайные величины X и Y, подчиненные соответственно законам нормального распределения и равной вероятности, и имеющие произ- вольные центры распределения. Для указанной непре- рывной случайной величины ZX Y получен инте- гральный закон распределения.

Установлена связь между интервалом возможных зна- чений случайной величины ZX Y , и вероятностью

p, с которой случайная величина будет находиться в пределах этого интервала. Интервал возможных значе- ний при этом должен быть симметрично расположенным относительно математического ожидания указанной не- прерывной случайной величины.

С

ПИСОК

Л

ИТЕРАТУРЫ

[1] Лившиц, Н.А. Вероятностный анализ систем автоматического управления. Т. 1. Вероятностные и статистические характеристики воздействий и процессов. Линейные стационарные и нестационар- ные системы / Н.А. Лившиц, В.Н. Пугачев. – М. : Сов.радио, 1963.

– 896 с.

[2] Вентцель, Е.С. Теория вероятностей : учебник для вузов / Е.С. Вентцель. – Изд. 6-е, стер. – М. : Высш. школа, 1999. – 576 с.

[3] Новицкий, П.В. Оценка погрешностей результатов измерений / П.В. Новицкий, И.А. Зограф. – Л. : Энергоатомиздат : Ленингр. от- деление, 1985. – 248 с.

[4] Сергеев, А.Г. Метрология, стандартизация и сертификация : учеб.

для вузов / А.Г. Сергеев, В.В. Терегеря. – М. : Юрайт, 2011. – 820 с.

[5] Абезгауз, Г.Г. Справочник по вероятностным расчетам / Г.Г. Абезгауз [и др.]. – Изд. 2-е, доп. и исправ. – М. : Воениздат, 1970. – 536 с.

[6] Длин, А.М. Математическая статистика в технике / А.М. Длин. – Изд. 3-е, перераб. – М. : Сов. наука, 1958. – 466 с.

[7] Балдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. – 2-е изд. – М. : Изд.-торговая корпорация «Дашков и К°», 2016. – 472 с.

[8] Унковский, В.А. Теория вероятностей / В.А. Унковский. – М. : Воен.-мор. изд-во, 1953. – 320 с.

[9] Смирнов, Н.В. Курс теории вероятностей и математической стати- стики для технических приложений / Н.В. Смирнов, И.В. Дунин- Барковский. – 3-е изд., исправ. – М. : Наука, 1969. – 512 с.

[10] Свешников, А.А. Основы теории ошибок / А.А. Свешников. – Л. : Изд-во Ленингр. университета, 1972. – 124 с.

[11] Володин, Б.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математиче- ской статистике и теории случайных функций / Б.Г. Володин [и др.] ;под общ. ред. А.А. Свешникова. – Изд. 2-е, доп. – М. : Наука, 1970. – 656 с.

[12] Ганин, М.П. Теория вероятностей и ее применение для решения задач ВМФ / М.П. Ганин, А.А. Свешников ; Воен.-мор. ордена Ле- нина и Ушакова акад. – Л. : [б. и.], 1968. – 649 с.

[13] Математическая энциклопедия. / глав. ред. И.М. Виноградов. : в 5 т. Т. 2 Д-Коо. – М.: СЭ, 1979. – 1104 с.

[14] Лебедев, Н.Н. Специальные функции и их приложения / Н.Н. Лебедев. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.; Л.: Физматгиз, 1963.

– 358 с.

[15] Хаджи, П.И. Функция вероятности (интегралы, ряды и некоторые обобщения) / П.И. Хаджи ; Под ред. канд. физ.-мат. наук С. А. Москаленко ; АМН СССР. Ин-т прикл. физики. – Кишинев : АН МССР, 1971. – 397 с.

[16] Крейдик, Е.Л. Методика расчета доверительного интервала оценки случайной величины, подчиненной композиции нормального и равномерного законов распределения / Е.Л. Крейдик // Доклады БГУИР. – 2017. – № 7 (109). – С. 25–31.

[17] Новицкий, П.В. Основы информационной теории измерительных устройств / П.В. Новицкий. – Л.: Энергия, 1968. – 248 с.

[18] Сергеев, А. Г. Метрология : Учеб. пособие для студентов вузов / А.Г. Сергеев, В.В. Крохин. – М. : Логос, 2002. – 406 с.

[19] Новицкий П.В. Об особых свойствах 95 %-ной квантили большого класса распределений и предпочтительных значениях доверитель- ной вероятности при указании погрешностей приборов и измере- ний / П.В. Новицкий // Метрология. 1979. – №2. – С. 18-24.

[20] Бородачев, Н.А. Анализ качества и точности производства / Н.А. Бородачев, д-р техн. наук. – М. : Машгиз, 1946. – 253 с.

Крейдик Евгений Леонидович. В 1993 г.

окончил Белорусский государствен- ный университет информатики и радиоэлек- троники (до 1993 года – Минский радиотехни- ческий институт) по специальности радиотех- ника. Заместитель начальника отдела ОАО

«АГАТ-СИСТЕМ», г. Минск, Беларусь. Об- ласть научных интере- сов – средства радио- связи.

E-mail: kreidik@rambler.ru

XIV Международная научно-техническая конференция АПЭП – 2018

52 978-1-5386-7054-5/18/$31.00 ©2018 IEEE

Нестационарный свободноконвективный теплообмен в вертикальном плоском слое

жидкости после внезапного нагрева дна

Константин А. Митин

^1,2

, Владимир С. Бердников

^1,2

, Алина В. Митина

²

1

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Россия

2

Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, Новосибирск, Россия

Аннотация – Представлены результаты численного моде- лирования развития течения и нестационарного сопряжен- ного свободноконвективного теплообмена в высокой вер- тикальной полости с массивными стенками конечной теп- лопроводности после внезапного нагрева дна области.

Внешние поверхности вертикальных стенок теплоизолиро- ваны. На внутренних поверхностях стенок задано условие идеального теплового контакта, т.е. неразрывность полей температуры и равенство тепловых потоков. После подвода тепла к основанию полости формируется восходящий по- ток горячей жидкости, который колеблется между стенка- ми, поочередно касаясь и отражаясь от них. Навстречу восходящему потоку так же периодически и во времени, и в пространстве проваливаются вихри холодной жидкости. В результате в массивных вертикальных стенках начинает бежать тепловая волна.

Ключевые слова – Метод конечных элементов, свободная конвекция, сопряженный теплообмен

I.

В

ВЕДЕНИЕ

ЕСТАЦИОНАРНЫЙ сопряженный теплообмен в режиме термогравитационной конвекции в высокой вертикальной полости с толстыми вертикальными стен- ками конечной теплопроводности после внезапного под- вода тепла под основания служит простейшей моделью природных и техногенных систем, таких как разломы и трещины в земной коре, глубокие впадины на дне океа- нов, глубокие карьеры и выборки [1-3]. Среди геодина- мических систем, в которых возникают течения из-за подогрева снизу, важное место занимают вулканы и кимберлитовые трубки [1, 2]. Хорошо разработанных теплофизических моделей вулканов и кимберлитовых трубок, образования даек и аналогичных интрузивных тел, до настоящего времени нет [2, 4, 5]. Обзор имею- щихся результатов исследований кимберлитовых трубок показал, что подавляющее большинство имеющихся ра- бот имеет геологический и петрологический характер [4, 5]. Работ касающихся комплексного моделирования теп- лофизических процессов в кимберлитовых трубках не обнаружено. Поэтому необходимо создать физическую модель образования очага и каналов протокимберлито- вой магмы до выхода еѐ на земную поверхность в неста- ционарных режимах проплавления и сопряженного теп- лообмена с окружающим неоднородным твердым масси- вом, определить скорости движения кимберлитового

расплава из верхней мантии до нижнекорового уровня.

Энергетическим источником процесса формирования кимберлитовых трубок является поток тепла из верхней мантии к земной поверхности. Поскольку трубки лока- лизованы в пространстве, то наиболее вероятно, что ус- ловием их формирования является локализованный на- грев снизу за счет выхода головной части плюма и взры- вообразного выброса вещества через разломы в земной коре.

В ИТ СО РАН были выполнены работы, направленные на экспериментальное и численное исследование про- цессов формирования и выхода на дневную поверхность плюмов, развивающихся над линейными источниками тепла [6, 7]. В работах изучена эволюция во времени пространственной формы течения, полей температуры и скорости в зависимости от подводимой мощности. Воз- можные сценарии формирования кимберлитовой трубки многовариантны и зависят от локальной обстановки в земной коре в области выхода головной части плюма.

Если имеется разлом-трещина, заполненная однородной текучей средой или пористой средой, насышенной теку- чей средой, то возможно развитие конвективного тече- ния при подогреве снизу. В качестве первого шага есте- ственно рассмотреть развитие нестационарного конвек- тивного течения в прямоугольной полости внезапно на- гретой снизу (как первый шаг в исследовании процессов в разломе земной коры).

Получить данные о распределении нестационарного поля температуры внутри твердых стенок при проведе- нии физического моделирования крайне затруднительно.

Актуально применение математического моделирования.

В работе представлены результаты численного модели- рования в двухмерной постановке нестационарного со- пряженного теплообмена в режиме термогравитацион- ной конвекции в высоком вертикальном слое жидкости, заключенном между двумя параллельными массивными стенками с конечной теплопроводностью, после внезап- ного подогрева снизу. Методом конечных элементов [8]

решены уравнения термогравитационной конвекции в приближении Буссинеска в переменных температура, вихрь и функция тока. Полученные численно результаты будут использованы для планирования и оптимизации экспериментальных исследований в максимально близ- кой постановке задачи.

Н

No documento 2018 14 TH INTERNATIONAL SCIENTIFIC- TECHNICAL CONFERENCE ON ACTUAL PROBLEMS OF ELECTRONIC INSTRUMENT (páginas 43-57)