Пусть гг (t), ш..9г*+ Щ — решения, отвечающие / = S+_1(D) б (t), /=l,...,rf+. Функции Zj(t) линейно независимы и принадле
жат ядру оператора рфсопА. Обратно, можно показать, что любой элемент ядра р@сопА является линейной комбинацией zh Таким образом, при d+>0 уравнение (67) имеет й+-мерное ядро. Чтобы сделать задачу однозначной, надо наложить до
полнительные (граничные) условия на и:
Bj{u)^ch /=l,...,rf+,
где В,- —линейные функционалы, cj — произвольные констан
ты. Условие разрешимости полученной задачи (условие Лопа- пинского) состоит в том, что
detllB^JH^O. (91) Если
В3(и)-(В§(О)и)(0)у
где BjiD) — псевдодифференциальные операторы, то условие Лопатинского (91) примет вид
det | В j(a) a^A+t (a) da ¥-0.
b) Пусть d+< 0 . При г —0 теорема п. 4.3 утверждает, что по любой правой части /бФ1+1 можно подобрать такое ивФ^\К что A*u—fb(0')^ Каждое распределение ибФ^*
имеет вид а « йЖ + 2 cplb(t)> йЖе Фж* Таким образом, по
лучается разрешимость задачи с потенциалами A*(H+I
+ s *Р/а $) - /е(^)--
Отсюда вытекает, что
Mc+]+2ciJD^e(0SBSG+»e+(G-»/). *
Коэффициенты сл равны нулю тогда и только тогда, когда
(W(M))(+o)=o,j=o,.., KI-1.
Таким образом, при i+< 0 уравнение (67) имеет решение ат0 Ф1 м тогда и только тогда, когда правая часть/ удовлетво
ряет | d+| дополнительным условиям, т. е. задача имеет
\йл |-мерное коядро.
Г лава 2
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ М / КОРРЕКТНОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ \J
КГ
Классический факт состоит в том, что для уравнения тепло
проводности задачу Коши можно решать с начальными дан
ными, растущими как схр(а|лг|2). Для волнового уравнения (ввиду конечной области зависимости) вообще нет ограниче
ний на рост начальных данных. С другой стороны, для урав
нения Шрёдингера при решении задачи Коши нельзя выйти за пределы начальных данных степенного роста. Как это раз
личие проявляется в символах дифференциальных операторов?
Первоначально проблема об описании максимального экс
поненциального роста, допустимого для данных Коши, иссле
довалась для параболических уравнений и систем [14], [20}.
1\ Е. Шилов [9J исследовал общую проблему о классах кор
ректности задачи Коши вида exp (a|#|2) для произвольных- систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффи
циентами. Он ввел характеристику символа (род), ответствен
ную за характер класса корректности. Анализ показывает, что тга характеристика неустойчива и классы Г. Е. Шилова су
щественно связаны со случаем постоянных коэффициентов.
Ниже принята иная схема определения классов корректно
сти. Па уровне постоянных коэффициентов отличие в том, что?
наряду с задачей Коши, рассматривается задача с правой частью экспоненциального роста и контролируется характер
4* 51
изменения экспоненциальной асимптотики со временем. В ре
зультате получаются более устойчивые классы и оказывается возможным переход к переменным коэффициентам так, что в частном случае воспроизводится параболическая теория. Дру
гое отличие заключается в том, что исследуются анизотропные классы, содержащие существенно разные оценки по разным направлениям (обычно ограничиваются изотропными класса
ми вида exp(A(|x|)), где Л —выпуклая функция от одного пе
ременного или чаще exp(a\Х\Р).
За класс корректности задачи Коши отвечает поведение символа дифференциального оператора в комплексной обла
сти (по всем переменным, а не только по переменному, двой
ственному времени, как в теории И. Г. Петровского). В приня
том варианте всё определяется максимальной трубчатой об
ластью, в которой отличен от нуля символ. Схема рассмотре
ния экспоненциальных классов корректности та же, что и в случае степенных классов (гл. 1): исследуются сверточные уравнения на пространствах основных и обобщенных функций с экспоненциальной асимптотикой. В частности, мы исследуем подпространства в i?"(Rn) распределений с носителем на не
котором фиксированном выпуклом множестве или двойствен
ный вопрос о пространствах типа Харди голоморфных функ
ций в трубчатых областях, принимающих обобщенные гранич
ные значения в ф*. Эти вопросы, подробно исследовались для случая светового конуса и труб будущего — прошлого (а фак
тически для произвольных конусов и радиальных трубчатых областей) в связи с задачами математической физики ГЗ], 135].
§ 1. Сверточные уравнения
в пространствах функций и распределений экспоненциального убывания
Мы будем ориентироваться на задачу Коши в функциях (распределениях) экспоненциального убывания (роста). При этом каждая из четырех возможных комбинаций содержатель
на. Соображения сопряженности группируют их по две. Нач
нем с функций экспоненциального убывания. Этим рассмотре
ниям мы предпошлем некоторые напоминания из теории вы
пуклых функций.
1.1. Выпуклые функции. Пусть \х(х) —функция на Rxn, ко
торая принимает или конечные значения, или значение 4*00- причем domjx'—замыкание множества х, в которых \х(х) ко
нечна (носитель |х). Через £{mu} обозначим ее надграфик в Rx^x: множество {(х0>х) : х0>\i(x)}. Будем предполагать в дальнейшем, что функция \х является выпуклой, т. е. ^ — вы
пуклое множество, и что £{mu} — замкнутое множество (т. е. \i полунепрерывна снизу).
Асимптотическим конусом V» для £{mu} или просто для функ
ции \х будем называть максимальный выпуклый конус, сдвиг которого содержится в £„. Если У—замкнутое множества в Rn, то его индикаторной функцией \iV будем называть функ
цию, равную нулю в точках x£U и равную +оо в точках xW. Функция [Лц- будет выпуклой, dom \xv=U.
Пусть Rsn — двойственное пространство к Rxn и форма
<Х,х) устанавливает двойственность. Обозначим через \х{\) функцию, двойственную по Юнгу к \i(x):
| i © = sup (_^(*)+<£,*.>). (1)
jrgdomH
Эта функция будет выпуклой. Имеем: jx=={i. Заметим, что если [л/7—индикаторная функция, то ^ (I) — sup < | , х ) —однородная функция степени 1 и, следовательно, Е$ —конус-
Относительно двойственности по Юнгу понятия асимптоти
ческого конуса Уц и носителя domix двойственны. Именно, если £v = ^ i то V—индикаторная функция domjl.
Мы будем использовать еще два конуса, с вязанных с выпук
лыми функциями: dom VV (проекция VV на R5 ^ и V (dom p.) — асимптотический конус domja. Очевидно, что V (dom^):z)domVn«
Если v —индикаторная функция V (dom JA), то \?—индикаторная функция dom fl/^). Заметим, что если V —конус, то ^ я в л я е т ся индикаторной функцией конуса — !/, где дуальный конус V состоит из | , для которых < | , х > > 0 при всех xgl/.
Обозначим через ДА максимальное подпространство, сдвиг которого содержится в Ец (или, что то же, в V»). Тогда L»
обязательно содержится в подпространстве R£ (xQ=^0). П^сть 1^. — ортогональное подпространство к L^ в двойственном прост-' ранстве Щ. Тогда d o m ^ c l ^ и L» порождается domjl. Итак, domji имеет полную размерность тогда и только тогда, когда Е» не содержит прямых.
Примеры: 1) Пусть \х(хъ...,xn)=-(xl + ...+xl)lAx1 ПРИ
JCI > 0 и р,=- + оо при х[ < 0. Тогда Е»—конус, dom р--•- полу
пространство {Х!>0}. Двойственная по Юнгу функция р, будет индикаторной функцией параболоида {£-.< — (1\+ • • • +.!*)•
2) Пусть p==jAa, где £/ задается условиями хх>0, -х^ — _ J C2— . . . — х2> 0 , т. е. f/—одна пола шарового конуса.
Тогда рц также будет индикаторной функцией одной полы ша - рового конуса Щ — Ц—... — Ъ2п > 0 , £ i < 0.
Опишем запас функций ц, на которые можно ориентироваться в применениях к задаче Кощи.
5а
3) Пусть % (п) •— выпуклая функция и v[%] (р, т))— индикатор
ная функция множества {р< —-%(ц)}, (/-^—двойственные пере
менные. Тогда двойственная по Юнгу функция v [%]=<» при f < 0 и v[%] = t%(ylt) при 2.>0, где функция % двойственна по Юнгу к %.
4) Обрежем функцию v[%] при / < а , а>0: рассмотрим функцию у[х» #], совпадающую с v[%] при / > а и равную + °°
при < < а. Тогда dom v [%, а]=dom v [%] и v [%, а] (р, ц) = а(р + X (л)) при р<—х(П)-
1.2. Гёльдеровские шкалы, отвечающие экспоненциально растущим весам. Пусть ji(x) —выпуклая функция, удовлетво
ряющая условиям п. 1.1, причем domjx имеет полную размер
ность. Рассмотрим пространство С[/},ц с нормой
1Ф1Й.И- sup \exp(v(x))(l+\x\)lD*<f(x)\, (2) функции из этого пространства равны нулю при x^domtx.
Положим
^.==С( о о ) й==: П С(/),Д. (3) Если р,==0, то получается ^(R*); если \х(х)==0 при X i > 0 ,
|х(х)= + оо при хг<0, то получаем £%.. Пусть ^—выпуклое
. def
множество, jx^—его индикаторная функция. Тогда 9*^=9*11 Состоит из элементов 9? (Rn) с носителями в U. Для \л (х) из примера 1 ([i(x)=(x| + . . . + х 2 ) / 4 хх при x i > 0 ) функции из #V при фиксированном хх убывают как ехр (—а(х\-\-... + х2п))г
Норма (2) эквивалентна норме (ср. (20), гл. 1)
def
sup | ехр ( - , i ®) ехр (< g, x >) (1 + 1 х | )<£>> (x) | - ,..xGRff.W<-*-SG--oniii
def
= SUp ехр <_ (1 (i)) t Ф (20
^gdomjA
Те же соображения, что и в п. 2.2, гл. 1, приводят к следую
щему предложению.
П р е д л о ж е н и е . Пространство 9** двойственно относи
тельно преобразования Фурье пространству 9>* функций ip(g), бесконечно дифференцируемых на трубчатом множестве
D M-fteC'1, Imgeddmfi, jl 0m g) < oo),
голоморфных по комплексным направлениям в Z) (p) (они отве
чают 1^) э причем для любых а, N и некоторого с:
. | Л > © | < г е х р . ( ^ ( ^ Ж 1 + | Б 1 ) \ - - 66D ад. (4)
Если (EV не содержит прямых и только в этом случае про - странство 9* состоит из голоморфных функций по всем пере-
мсииым. Гак, в частности, будет для &F =9>*и, если: U не содержит прямых. Если при этом ^ V"— асимптотический псонус U (он не содержит прямых), то D Q) является замыканием ради
альной трубчатой области R*— IV, где V —конус, дуальный к V. Пели конус V» совпадает с лучом {«х0>0, х = 0}, то тогда
(и только тогда) <y^1 состоит из целых функций.
1.3. Гильбертовы шкалы, отвечающие экспоненциально растущим весам. Наложим еще одно ограничение на класс функций ц. Будем требовать, чтобы конус domVp, имел полную размерность. Это усиление ранее наложенного ограничения:
dim (clomp.) п. Наложенное условие эквивалентно тому, что domp. (или V (clomp,)) не содержит прямых. Отсюда следует, что аффинным преобразованием clomp, можно отобразить в пря
мое произведение некоторого числа полупрямых.
Л е м м а . При наложенных выше условиях на р существует такой полином Л (5), что 6(9^-0 при 1Ф (р) и |б (|) \>сJ1+UI)
при Щ1) (ii).
В силу замечания перед формулировкой леммы, ее доказа
тельство сводится (при помощи аффинного преобразования D{\i)) к случаю прямого произведения R& на (п—k) эк
земпляров полуплоскостей, а в этом случае многочлен строит
ся непосредственно.
Очевидно, (У (£) при всех 5 является мультипликатором на
^*\ а потому псевдодифференциальный оператор б* (D) сохра
няет i>V Рассмотрим пространства #{о,ц с нормой
11<Р III?}.* • (J I в* IP) ФIM1 +1 х I2)* ехр (2р (х)) dx)ll\ (5) П р е д л о ж е н и е . Шкалы С((/Ц и # $ , » эквивалентны.
В частности, Г/V / О Д . * - П //ДО,*.
л*, /
Положим
Мы пользуемся обозначениями ««со штрихами», чтобы уста
новить соответствие с аналогичными обозначениями из гл. 1 и пока не будем обсуждать вопрос о реализации этих про
странств как сопряженных (а также вводить 0^. Естественно определяется пространство М"\ состоящее из частично голо
морфных функций, допускающих оценку (4) с ЛГ, зависящим от а. Относительно преобразования Фурье имеется • двой
ственность:
Несколько слов о доказательствах. Оценка гильбертовских норм через гёльдеровские получается элементарна (причем без использования специфики веса expjx). Н е т р и в и а л ь н ы м обстоятельством является возможность оценить гёльдеровские нормы через гильбертовские. Введем эквивалентную гёльде- ровскую норму1}
1Ф № ц - S UP I <ехР V (*» (1 + 1 * D1 S* (D) ЧР (*> I"
Это можно сделать, поскольку С§]#с:(9>% (по у ж е доказанной части эквивалентности). При ggdomfi положим
/ H ^ a - ' l * l f ( U . * > - ;11Ф11{?{в,-11Ф|1й.<в.х>- Д л я некоторого А имеет место оценка
с константой с, н е зависящей от | . Положим
l . ? P ] l b t i is sup ^exp (—ji (g» || Ф Ц ^ .1 Б Г <7>
Очевидно, что
1.[ф]||?и<1|ф|||?и- (8>
Из (8) и.(6) непосредственно следует, что
•.ЧЩ.»<с\[Щ%$<с\Щ%$. (9>
1.4. Свертыватели н а пространствах 9?^ и (О')*. Р а с с м о т рим операторы сдвига T-h<p(x)iS=s}v(x—ti), где А — в н у т р е н н и е точки конуса dom V\i. Напомним, что в силу сделанного пред
положения, скмпУц- имеет полную размерность. Эти о п е р а т о р ы сохраняют пространства 5 ^ , (и'')?,. Отметим, ч т о они д в о й ственны операторам умножения на ехр(—1<|, А » . Н е п р е р ы в ные операторы на SP^ (0')» 'перестановочные с у к а з а н н ы м и сдвигами, называются операторами свертки на соответству
ющих пространствах. К а к и в гл. 1, доказывается, что к а ж д ы й оператор свертки на SP» представим в виде (1.10), и в с я к и й оператор вида (1:10) является оператором свертки. В соответ
ствие с этим вводится пространство свертывателей fi(^{mu}).
Описание пространства свертывателей мы получим е щ е при одном ограничении на функцию \i(x). Будем н а з ы в а т ь функцию \х(х) почти конической, если д л я некоторого с верх
няя грань в (1) д л я всех | достигается при | x | < c . Совокуп
ность таких \i обозначим через 9?.
v Для этих норм затруднительно доказать монотонность по sf L Однако из сказанного здесь следует, что существует такое е, что ' | \fl)ixоцени
вается через аналогичную норму с индексами s + e , t+г. Все наши рассмот
рения автоматически обобщаются на шкалы банаховых пространств с таким свойством, в частности, корректно определены предельные пространства.
56
Примером функции объявляется такая функция \x=>p[V9a], что EVL совпадает со сдвигом конуса V в точку а. При этом sup достигается при х = а ' , а«-(ао.я'). Функция ^& представ
ляется в виде i n f i l l / , а], где К компакт, V=V». На языке а это означает» что ограничение jl на domp, можно продолжить до выпуклой функции, конечной на всем R" и, более того, асимптотический конус продолженной функции должен проекти
роваться на все R" (не иметь вертикальных образующих).
Пусть ^ ( ^ — индикаторная функция dom^i, v(x) —двойствен
ная к ней по Юнгу функция. Надграфик Ev является асимпто
тическим конусом иадграфика £>«
Т е о р е м а . Пусть JJI62\ Тогда операторы свертки на #V продолжаются по непрерывности до операторов свертки на (0%*
Имеем:
&&А-&((0'М-(0Ъ-' ао) При этом ((?')v—кольцо относительно свертки0.
Схема доказательства остается прежней. Включение в од
ну сторону следует из того, что элементы кольца по умноже
нию Ж"9 являются мультипликаторами на 9^. Доказательство обратного включения использует продолжение оператора свертки на {0')» и равномерную оценку на семействе S(^~F) U>(y)> гда параметр у пробегает dom p,,
1,5, Сверточные уравнения на $V, {б')». По схеме гл. 1 до
казывается
Т е о р е м а * Уравнение Л * Ф « = ^ однозначно разрешимо наS?V, (0% тогда'Ци только тогда, когда у него существует фунда
ментальное решение QG(0%: A*G«-б (х). Это равносильно тому, что для преобразования Фурье-свертывателя (символа) А (I) при некоторых £•>(), N имеет место оценка
| X ( S | > * ( l + U I ) ^ 660 ДО- (") В частности, должно быть А (1)ф0 на D (р).
С л е д с т в и е . Дифференциальное уравнение Р (D) <р =• «ф на
#V» <#')** одндзначно разрешимо тогда и только тогда, когда расстояние d(l) от £6-0 (|л) до поверхности нулей {Р ® —О}- допускает снизу степенную оценку (через c t l + l l l ) ^ -
Редукция получается при помощи оценки модуля полинома снизу через расстояние до поверхности нулей (см. [26, лемма 4Л.11).
Если D (р)— полуалгебраическое множество (т. е, оно за
дается системой алгебраических уравнений и неравенств), то нужная оценка следует из условия Р (%)=?*О по' теореме
*> Ограничение цб-S" не нужно для доказательства включения (О* )VC C S ! ( S J ' .
57
Зайденберга —Тарского. Так было в случае D(\x)~Rn (т.е.
для пространства & (R")) и в случае, когда Р (jx) = R*"1 X С_, С_ — нижняя полуплоскость (^(Rn»+). Важным примером по
луалгебраического множества является максимальное трубча
тое множество, на котором отличен от нуля заданный поли
ном.
1.6. Связь с задачей Коши. Пусть Лот р,— неограниченное множество. Тогда оно содержит некоторый луч. Можно вы
брать переменные £= (р, о) так, чтобы луч задавался усло
вием G>=0, р > 0 . В двойственной картине асимптотический конус V» будет содержаться в полупространстве { ^ а } , где
(tyy)—переменные, двойственные (р, о>). Если при этом dom \x содержится в некотором полупространстве t^a, то сверточное уравнение в 5^, (С?7).-- можно интерпретировать как однород
ную задачу Коши в пространствах функций с соответствующей экспоненциальной асимптотикой.
Если луч (со=-0, р > 0 } совладает с асимптотическим кону
сом множества dom jx, то ^ — полупространство {t^O} и в общем положении dom (x является полупространством. Случай же dom jx=Rn естественно интерпретировать как однородную задачу Коши с нулевыми данными при t=—оо.
Содержательный набор примеров получится, если мы рас
смотрим сверточные уравнения Л*ф = г|) на пространствах i?V при \i=v[%, а] (см. пример 4). Если при этом А—обратимый элемент (C?')v[xi, то все эти уравнения разрешимы. Напомним, что при этом мы имеем дело с функциями, которые при фикси
рованном t>a убывают как ехр(—c%(y/t)).
Если асимптотический конус V (dom \i) отличен от луча, то любое из его направлений можно принять за направление, двойственное времени. Соответственно, dom Уй будет лежать в пересечении двойственных полупространств. В этом случае, когда dim V(dom \x) =n, свертыватели из 8(£V) естественно называть гиперболическими. При этом domjx в общем положе
нии будет пространственноподобной областью относительно ко
нуса dom V».
Пусть символ дифференциального оператора P[Dt, Dy) удовлетворяет однородному условию корректности по Петров
скому: .Р(т, г\)фО при р = 1 т т < с , T|£Rn_1. Обозначим через QpdR^p.co) максимальное множество, для которого (i) .Р(т, Ъ,)Ф фО при (Imx, Im^)6QP; (ii) {(р, о>) : р < с , o)=0}czQP.k Пусть Dp = Rn + iQP — соответствующее трубчатое множество в Сп
(в котором символ отличен от нуля). Множество QP выпукло, оно имеет вид: {р<Хр(ю).Ь ГД- Х-?— выпуклая функция.
Т е о р е м а . Если носитель domjx с QP находится от границы QP на расстоянии, допускающем степенную оценку снизу, то уравнение Р (D„ Dy)u= f однозначно разрешимо в 9*». Если 58
JA6,2?, то указанное условие на р, необходимо для разрешимости дифференциального уравнения в SV В частности, уравнение разрешимо в ^ при dom^=={p< — %Р (со) —е}, е > 0 .
В последнем утверждении использована полуалгебраич- ность Qp. Важнейший класс \xt для которых имеется разреши
мость в ^ это
\i(t>g) = v[%P,a]--et=t%p{yit) — et9 t>a, е > 0 . П р и м е р ы : 1) Рассмотрим уравнение теплопроводности, т. е. оператор с символом Р(т, ц) =т—£(гц)2 Чл-1)2- Дл я
него область QP является параболоидом р < — Ы2. Значит, уравнение теплопроводности разрешимо, в частности, в прост
ранствах £?V для |л(*, y)=—&t+\y\2j4t при t>0; [х=°° при 1^0. Разрешимость сохранится, если мы сделаем сдвиг по t и, например, рассмотрим \k(t, y)=st+\y\2/4(t+a) при *>0; р,=оо при i^O.
2) Рассмотрим волновое уравнение: Р(т, г\) =т2—2r]jl Тогда QP —одна пола шарового конуса: р2—1©|2>0, р<0.
Обозначим V^{t2— \у\2>0, />0}. Через PV>8 обозначим прост
ранство функций, полученных из 9>Y (функций из &, сосредото
ченных на V) умножением на expef.'Пусть 0V,e[0, оо) —под
пространство функций, равных нулю при t^a. Применительно к волновому уравнению, сформулированные результаты утверж
дают, в частности, разрешимость в пространствах i?V,e[#> оо), а>0, в>0,
3) В случае Р(т, т])=т+2г|/ (символ оператора Шрёдин- гера) Qp совпадает с лучом, а потому не удается вы^ти за пре
делы степенных весов по пространственным переменным.
1.7. Замечания о задаче в .полосе и неоднородной задаче Коши. Свойство выпуклости сохранится, если вне HeKOfoporo выпуклого множества мы заменим значения р, на +оо («обре
жем»). Пусть £—(р, о)), (t, у) —двойственные переменные и F(dom^) содержит луч {о)==0, р=0}. Функция jx[a, со) полу
чается обрезанием р, при t^.a. Например, v[%, ^]=v[x] [я, оо).
Полагаем $V[a, Ь) =S^{mu}[a, оо)/^[й, оо). В частности, ^v[x][a, 6)«5^vtx,a]/^vu»6)- Аналогично определяется (0/)v[aJb). В та
ких факторпространствах можно развить теорию свертывателей по схеме п. 2.6, гл. 1,
В частности, в обозначениях теоремы 1.4, (0')l\fb,b—a)c:
cr8(0V[a, &))cr(^)v[0, 6—а), В частности, это так при [х=
« v [ x ] . Если domji имеет вид р<— %(ю) и полином Р(х;£)¥*0 при 1 т т < — с—x(Im£) для некоторого с, то уравнение Р(А, Dv)u—f однозначно разрешимо в ^{mu}[a, b). Если множество domf/полуалгебраично, то &то условие на |х, Р необходимо для разрешимости. В частности, имеется разрешимость при %=х*>.
По аналогии с § 3 гл. 1, введем пространства, связанные с неоднородной з'адачей Коши (для экспоненциально, убывающих
59»
данных). Пусть.ц(a) = \i\t~a< Обозначим ч е р е з " ^ °°>[а, Ъ) про- странство распределений вида ^+2d^kDtb(t), где •$+=
*=Q+(t-:(tlfy №&»№№ °°Ь Ы&ИаУ ПУСТЬ Р (?С, Г)) ~~ ПОЛИНОМ,
разрешенный относительно старшей степени ft, и уравнение P(Pt,Dy)a-=f разрешимо в 9>»[а,Ь). Тогда оно разрешимо
в у{-°°}[а, Ь). При у&& условия разрешимости в ^^[а, b)t
git"**} [a, b) совпадают. Это утверждение можно интерпретиро
вать как разрешимость задачи Коши с данными убывающими как ехр(—\х(а, $). Сформулируем эти результаты для ix=*v[%].
Т е о р е м а. Пусть Р (t, rj) —корректный по Петровскому полином, х (ч) —такая выпуклая функция, что % (г|) > %Р (Ц) — £, О < а < й < оо. Тогда уравнение Р (Dt, Dy)u^f разрешимо в пространствах $Цэс][я. ft). (#Ovrxj[ft *).' ^ 7 x ? - -f l' ^ ' Б ЧаСТ"
ности, можно взять %=-%р. Обратно, если имеется разрешимость в каком-то из этих пространств и % — полуалгебраическая функ
ция, то выполняется указанное условие на %.
I •
§ 2. Сверточные уравнения в функциях (распределениях)
экспоненциального роста ^ 2Л. Пространства функций (распределений) экспоненциаль
ного роста. В то время как с экспоненциальным убыванием мы связывали нормы, содержащие веса вида exp fx, где (х — выпуклая функция, с экспоненциальным ростом мы будем связы
вать веса, логарифмы которых вогнуты. Мы сохраним стандарт
ное обозначение j|x для выпуклых книзу функций. Тогда функ
ции— |х будут вогнуты; они могут принимать, наряду с конеч
ными значениями, значение —оо. Сохраним на протяжении это
го параграфа ограничения на \х из предыдущего параграфа:
асимптотический конус Уй имеет полную размерность (скоти
не содержит прямых) и р, — почти коническая (jx6i?).
Введем пространства С$._ц с нормой | |[/),--JX- определяе
мой по формуле (1.2). Положим ^ « П С ^ , ^ . В этих прост- ранствах по значениям функций вне domjx происходит фактори
зация. Гильбертовы нормы || ]!$,_,* (пространства # $ , - д ) определим как сопряженные к нормам || ||(_:$,д. Положим (^')~л.= U #(/).-*• По определению, (^^'^(Щ^
s ,1
Предложение. При р б ^ шкалы | |Ю м и II ||W«M
эквивалентны.
Как мы уже отмечали, нетривиальный момент состоит в оценке сверху гёльдеровских норм через гильбертовские. Дока-
60
зательство проводится последовательным расширением запаса р,, для которых имеет место вложение. На первом шагу рас
сматриваются \х вида 1лг+<£, х>, где \xv — индикаторная функ
ция некоторого /г-гранного угла. Этот случай легко получается из классических теорем вложения. Далее рассматривается случай, когда Е» — произвольный многогранный угол: при по
мощи конечного разбиения он сводится к предыдущему. После этого можно рассмотреть случай, когда ^ — произвольный ко
нус и, наконец, когда jx£i?. На двух последних шагах мы поль
зуемся тем, что если вложение уже доказано для \ia (равномер
но по а) и |х = inf |Ха, то вложение имеет место и для JA.
а
С л е д с т в и е .
Теория операторов свертки и сверточных уравнений на {^'J-n строится по сопряженности:
где Ev^Vy, — асимптотический конус £{mu} (ср. теорему 1.4). Мы не будем более подробно останавливаться на этом случае.
2.2. Свертыватели в .£_.„, (i?'){mu}. На пространствах 5 % дей
ствуют операторы сдвига Tht>h — внутренние точки Уц. Опера
торы свертки — это непрерывные операторы, перестановочные с этими сдвигами. На #_{mu} они представляются в виде (1.10).
Имеем: fi((i?")n) =8(S?7~i{mu}). Описание свертывателей существен
но зависит от того, содержит ли надграфик £"{mu} прямые, или нет (иначе, будет ли dompi иметь полную размерность или нет).
Обозначим через 3?° множество весов •|лб2?, для которых Е^ не содержит прямых.
Т е о р е м а . При (хб^0 имеем:
е ( ^ , ) = й ( ( ^ ) ^ ) = ( ^ ) ^ (12) где £'v=1l/{mu}. В частности, если конус EV=VV не содержит прямых
(v*— индикаторная функция выпуклой области, не содержащей прямых), то {Ф')* — кольцо относительно свертки.
Обсудим связь с мультипликаторами и преобразованием Фурье. Функции из 9*^ быстро растут и регулярного преобра
зования Фурье иметь не могут. Напротив, распределения из
(9>,)VL, в частности, свертыватели из (9?f)v имеют в качестве
преобразований Фурье голоморфные функции в трубчатых областях D (ji) =- R" + i (dom \x).
П р е д л о ж е н и е . При ^ б ^0 пространство (и277)** двойственно относительно преобразования Фурье пространству функций-яр.(g), голоморфных во внутренних точках D (и) и для которых при некоторых £>0, k} N имеем:
где d(D — расстояние от g до границы D (|А)..
61
2.3. Сверточные уравнения.
Теорема. Уравнение Л*ф=гр, АЩ9-*) = (£")JV на 9-^
(или сопряженное уравнение /Л#ф='ф на (SP')iv) однозначно разрешимо тогда и только тогда, когда существует фундамен
тальное решение GGf^O'-v. Это равносильно тому, что для не
которых Си С2>0, ku-fa* Nh N2
во внутренних точках D (/£)-== Z) (/v), Л —преобразование Фурье Л.
Здесь правое неравенство означает, что -/t (I) — мультиплика
тор (А—свертыватель), а левое обеспечивает обратимость А в кольце мультипликаторов.
Следствие. Дифференциальное уравнение Р (D)u= f на S*_.ii, (^О/л однозначно разрешимо тогда и только тогда, когда -Р(—g)-^0, если g—-внутренняя точка D(\x).
Как мы видим, в случае экспоненциально растущих весов для дифференциальных уравнений стандартное упрощение условия разрешимости сверточных уравнений происходит без всяких дополнительных ограничений на область D (ji).
Коротко опишем, как трансформируются эти результаты для весов, не удовлетворяющих условию S 4 Пусть RWl — максимальное подпространство, сдвиг которого содержится в Ец, R*2— какое-то дополнительное подпространство; X = (JC1,X2) —
соответствующее разделение переменных: х&Н n\ A^R"*. Заме
ним в (2)"вес (\ + \х\)1 ^на (1 -+-1-^i[)/х (1 -+-1^с21)/2 и соответствен
но введем пространства СЙ,/,)^, а также N[Jlh)tlL. Положим ЯГд-Л U//(?U).n.
П р е д л о ж е н и е . S(^_{mu}) =8((£"Ц) =XIv.
Частным случаем этого предложения является описание Щ9')+) (см. п. 2.4, гл. 1). Для &(9-у) проходит вся схема
построения сверточных уравнений, но мы не будем формули-
* ровать соответствующие результаты.
2.4. Замечания о задаче в полосе и неоднородной задаче . Коши. Конструкции п. .1.7 автоматически переносятся на слу
чай экспоненциально растущих весов. В тех же обозначениях и условиях на \х (dom (I содержит луч {р<0, 0 = 0}) определим
£-и (а, Ь]г=9-н-*>. ы/&-щ-а. ah a<Ь.
Имеем:
Пусть \i*2?. Тогда S(^L{mu}(a, &],) = 8 ( ^ ( 0 — 6 - 0]). В частности, при \хе&0 имеем: i(^(afb])^(9^)^(a^b90] (в обозначениях
теоремы 2.2). Не будем обсуждать общие сверточные уравне
ния, а ограничимся дифференциальными. Пусть domjx имеет вид {р<—х(о>)} и символ Р(т, £) не обращается в нуль при 1тт>с+%(1т£;) для некоторого с. Тогда имеется разреши
мость в ^ ( а , Ь].
В полуалгебраическом случае это условие на % является также и необходимым.
Как и в п . 1.7, Определяется пространство S^00) (a, b\, со- стоящее из распределений вида ^+^^kDkt8(t), где ^ =
—,ц(оо, л]> ^€-5^—м.(&). Если символ диффе
ренциального оператора разрешен относительно старшей степе
ни * и уравнение P(Dt1 Dy) ф—=-ф разрешимо в ^-ц(а, 6J, то оно разрешимо в ^ ^ ^ [ а - 6). При (лб^ условия разрешимости в этих пространствах совпадают. В случае \х вида v [%] получаем:
Т е о р е м а . Пусть Р (т, Q—корректный по Петровскому по
лином; %(Щ — такая выпуклая функция, что Х И > Х Р И - ^ Д Л Я
некоторого с, — со < а < 6 < 0 . Тогда уравнение Р (£),, Dy)u=f разрешимо в пространствах &-кщ[а,Ь), (£Pf)~.Iym\a, b),
£Рt/Грс} la> *)• В частности, можно взять %==%р. Обратно, если % полуалгебраична, то из разрешимости в одном из этих прост
ранств следует указанное условие на %•
Это утверждение можно интерпретировать на языке одно
родной и неоднородной задачи Коши с экспоненциально расту
щими данными. Чтобы решить задачу Коши в положительном направлении, мы в формулировке теоремы изменили направле
ние времени (перешли к /v[|x]). В случае неоднородной задачи мы задаем данные при t—a, a < 0 , растущие как ехр(\а\%(у/а)).
Сделав сдвиг, по i, можно задавать такие данные при t = 0. От
метим, что решение рассматривается на интервале времени длины, не превосходящей \а\ (в &хч%\ по значениям при £>0 происходит факторизация). Это отвечает известному факту, что решение задачи Коши с экспоненциально растущими начальны
ми данными имеет решение.с контролируемым ростом лишь на конечном интервале времени.
Мы получим предельно допустимый рост при Х=ХР- В ч а с т"
ности, лля уравнения теплопроводности (при * = 0) допустим рост e x p ( | y |v/cb c>0» причем при t<cc решение растет как т>(\у\2/£—*)<
Укажем как получаются в этой схеме классические резуль
таты об изотропных классах корректности. Пусть dom %р=R7*"1 и р наименьшее число, для которого существует мажоранта <?ih|*> +
+ с2*>%Р(ч\)* Будем называть р родом символа Р (это понятие
63