Обсуждение результатов

Решения (17), (19), (20) и (21) сравниваются далее с численным реше- нием задачи, полученным с помощью пакета «TubeFlow», разработанным при участии одного из авторов. Этот пакет тестировался практически на всех из- вестных экспериментах. Он дает практически ту же точность, что и решение [3]. Сопоставление с данными численных расчетов показали, что уже реше- ния первого приближения (формулы (17) и (20)) дают достаточно высокую точность, обычно вполне достаточную для инженерных расчетов. Точность в общем случае падает с ростом эксцентриситета и отношения радиусов.

В качестве иллюстрации на рисунках 4 и 5 приведено сопоставление поля скоростей на оси симметрии в широкой и узкой частях зазора соответст- венно для очень больших значений ε и Ω. Здесь кривая 1 построена по дан- ным численных расчетов, 2 – по формуле (17), 3 – по формуле (19)). Формула нулевого приближения (17) даёт достаточно правдоподобную качественную картину течения, верно предсказывая форму профиля скорости, но имеет зна- чительную погрешность. Эта погрешность уменьшается с уменьшением экс- центриситета. Так при ε =0.1 и Ω=7.2 максимальная ошибка меньше 6%.

Формула первого приближения (19) хорошо согласуется с данными числен- ных расчетов при любых значениях эксцентриситета и отношения радиусов.

«Ай-Петри», п. Кореиз, Ялта, Украина 20–26 сентября 2010 г.

Рис. 3. Вид функции k1=k1(ε,Ω)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Distance from outer wall, m

Velocity, m/s

1

2

3

9 .

=0

ε Ω=7.2 Рис. 4. Профиль скорости на оси симметрии в широкой части зазора при и

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

0.65 0.75 0.85 0.95

Distance to outer wall, m

Velocity, m/s

1 3

2

9

.

=0

ε Ω=7.2 Рис. 5. Профиль скорости на оси симметрии в узкой части зазора при и

Падение давления является интегральной величиной, и оно будет опи- сываться приближенными решениями (20) и (21) значительно точнее, чем профиль скорости. Это подтверждают и иллюстрации, приведенные на рис. 6 и 7. Здесь представлена зависимость падения давления от эксцентриситета.

Метки соответствуют численному решению, а кривые 2 и 3 – расчетам по формулам (20) и (21) соответственно. Рисунки 6 и 7 отличаются значениями отношений радиусов внешней и внутренней трубы. В первом случае оно рав- но 2, а во втором – 7.2. При малом отношении радиусов достаточно высокая точность получается уже в нулевом приближении. Первое приближение дает точность выше 1%. С ростом отношений радиусов точность несколько падает (рис. 6). Однако и здесь первое приближение дает точность около 3 %.

0 5 10 15 20 25 30

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Eccentricity

Pressure Drop, Pa/m

1

2

3

Рис. 6. Зависимость градиента давления от эксцентриситета при Ω = 2

0 5 10 15 20 25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Eccentricity

Pressure Drop, Pa/m

1 2

3

Рис. 7. Зависимость градиента давления от эксцентриситета при Ω = 7,2

«Ай-Петри», п. Кореиз, Ялта, Украина 20–26 сентября 2010 г.

Таким образом, получены удобные формулы, пригодные для инженер- ных расчетов поля скоростей и падения давления. При невысоких значениях эксцентриситетов ε и отношений радиусов Ω можно пользоваться более про- стыми формулами (17) и (20); формулы (19) и (21) пригодны во всем диапа- зоне значений параметров ε и Ω.

ЛИТЕРАТУРА

1. Becker E. VDI, Heft. 1907, 48.

2. Piercy, N.A.V., Hooper, M.S. and Winny, H. F. Viscous flow through pipes with cores.

Philosophical Magazine, Series 7, Vol. 15, Issue 99, March 1933, pp. 647 – 676.

3. Escudier M.P., Goulson I.W., Oliveira P.J., Pinho F.T. Effects of Inner Cylinder Rota- tion on Laminar Flow of a Newtonian Fluid Through an Eccentric Annulus. Int. J. Heat and Fluid Flow. 2000. Vol.21. p. 92–103.

4. Камке Е. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 1977.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика жидкости, т.6 (2-е изд.), Наука, Москва, 1987.

6. Rao B. Fluid Drag on a Tool. Tech Note CTES. L.S. 1999. p. 1–8.

7. Redberger P.J., Charles M.E. Axial Laminar Flow in a Circular Pipe Containing a Fixed Eccentric Core. Can. J. Chem. Eng. 1962. Vol. 40. p. 148–151.

8. Sestak J., Zitny R., Ondrusova J., Filip V. Axial Flow of Purely Viscous Fluids in Eccen- tric Annuli: Geometric Parameters for Most Frequently Used Approximate Procedures //In book: 3^rd Pacific Rim Conference on Rheology. Montreal : Canadian Group of Rheology, 2001. p. 1–3.

9. Snyder W., and Goldstein G. (1965). “An Analysis of Fully Developed Laminar Flow in Eccentric Annulus.” A. I. Chem. Eng. J., Vol. 11 (3), 462–467.

10. Кисилев П.Г. Гидравлика. М: Наука, 1986.

11. Tao, L.N., and Donovan, W.F. (1955). “Through-Flow in Concentric and Eccentric An- nuli of Fine Clearance with and without Relative Motion of the Boundaries.” Trans.

ASME, Vol. 77, 1291–1301.

12. Гостев Е.А., Риман И.С. Течение жидкости в кольцевом канале, имеющем эксцен- триситет // В кн.: Промышленная аэродинамика, вып. 30. М.: Машиностроение, 1973.

с. 58–64.

13. Ushakov, P.A. (1976). Impact of Eccentricity on Hydrodynamic Characteristics of Ring- Like Channels. High Temperature Thermophysics, Vol. 14, No. 1, p. 106–111.

14. Дреков В.Н., Мазур В.Ю., Родионов Е.Ю. Ламинарное течение жидкости между поверхностями эксцентрично расположенных круговых цилиндров. Механика жид- кости и газа, №1, 1984, с. 16 – 20.

РАЗВИТИЕ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ АНАЛИЗА

ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Боровин Д.И., Епифанов С.П., Новицкий Н.Н.(ИСЭМ СО РАН, г. Иркутск)

С содержательной точки зрения все множество задач математического моделирования трубопроводных и гидравлических систем (ТПС) различного типа и назначения можно разделить на три основных класса: анализа, синтеза и управления. С методической точки зрения при решении любой из этих за- дач неизбежно возникают вопросы о влиянии значений одних параметров моделируемой системы на другие, о степени такого влияния, методах его ко- личественной оценки. Особую актуальность этим вопросам придают факто- ры структурной и параметрической неоднородности ТПС как сетевых много- связных объектов.

В [1,2] была предпринята попытка систематического рассмотрения проблематики чувствительности как относительно самостоятельного и по- тенциально перспективного аппарата теории гидравлических цепей [3]. В том числе, была предложена методика построения матриц чувствительности (МЧ) гидравлических цепей (ГЦ). На основе узловой модели потокораспре- деления в ГЦ с сосредоточенными параметрами получены конечные выраже- ния для таких матриц, конкретизирующих модели чувствительности первого порядка для разных сочетаний входных и выходных параметров.

На фоне краткого обзора этих результатов здесь рассматриваются во- просы их дальнейшего развития в направлениях привлечения контурной мо- дели потокораспределения, поблочного построения МЧ, получения моделей чувствительности второго порядка, применения таких моделей при поиске управляющих воздействий для ввода режима в допустимую область.

Матрицы чувствительности

Рассмотрим модель потокораспределения с сосредоточенными пара- метрами, которую можно представить «узловой» системой уравнений [3]:

T 0

A P y− = 0

Ax Q− = , , y− f(x,s) H+ =0, (1) A

где – полная -матрица инциденций расчетной схемы ГЦ; A – усечен- ная (по строке m) (m–1)×n-матрица инциденций; Q – (m–1)-мерный вектор узловых расходов;

n m×

P−m-мерный вектор узловых давлений (с компонентами

j j j

P = p + ρ gz_j, где p_j,ρ_j, z_j – манометрическое давление, плотность, пре- вышение над плоскостью сравнения, соответственно); ,x y – n-мерные век- торы расходов и перепадов давления на ветвях; (f x,s) – n-мерная вектор- функция с компонентами f x s_i( , ),_{i i} i=1,n, которые отражают зависимости потерь давления от расхода xi и гидравлического сопротивления si на i-й ветви; s – n-мерный вектор с компонентами s; H – n-мерный вектор прира-

«Ай-Петри», п. Кореиз, Ялта, Украина 20–26 сентября 2010 г.

В обобщенном виде модель (1) можно представить как ( , ) 0

F v u = , (2) F

где v u, – векторы входных и выходных переменных; – вектор нелиней- ных функций.

Эффективным методом анализа чувствительности исследуемой модели является использование МЧ, или первых производных в точке решения сис- темы (1), которые являются частными производными вектора по отноше- нию к изменению вектора .

u v

В соответствии с терминологией [4], введем некоторые определения.

Совокупность соотношений, позволяющих вычислить МЧ исследуемой сис- темы, называют уравнениями чувствительности. Элементы МЧ – частные производные ∂ ∂u_i v_j называются также функциями чувствительности перво- го порядка, или локальной чувствительностью выходной переменной к входной переменной . Совокупность входных переменных называется полной, если ее задание однозначно определяет все выходные переменные . Часть переменных полной совокупности входных переменных (подвектор

ui i v

v

u v вектора ) назовём определяющей совокупностью, если значения выходных переменных определяются только изменением переменных этой совокупно- сти. Остальную часть входных переменных полной совокупности назовём дополняющей (сопряженной).

v

Особенностью системы (1) является блочная разреженность матрицы производных, что позволяет получить достаточно компактные аналитические выражения для МЧ. Для наиболее важных с содержательной точки зрения сочетаний входных и выходных переменных эти выражения приведены в таблице. В таблице E_n – единичная матрица порядка ; n M = A f

( )

x′ ⁻¹A^T;

( )

x ^{1 T 1}

C = f′ ⁻ A M⁻ . Для сокращения записи здесь и в дальнейшем аргументы у диагональных матриц (порядка )n f_x′ ′, f_s не показаны. Прочерки означают, что соответствующие сочетания входных и выходных переменных недопус- тимы. Рядом с обозначениями дифференциалов определяющей совокупно- сти переменных в скобках указаны дифференциалы дополняющей совокуп- ности переменных.

В случае привлечения второго закона Кирхгофа в контурной форме за- писи можно получить МЧ, в которых присутствует c n× -матрица контуров

B [3], где 1 – число линейно независимых (главных) контуров

расчетной схемы. Так, например, c n m= − +

T 1

s s

x′ = −B K B f⁻ ′, ( )x_{h s}′ = −K Bf⁻¹ _s′,

T 1

x′ =H B K B⁻ , y_s′ = f x_{x s}′ ′ + f_s′, x_s′ = B x^T( )_{h s}′.

T

K = Bf Bx′ – матрица порядка c;

Здесь x_к – вектор расходов на хордах.

Применение таких МЧ может быть полезно, когда . Кроме того, сами выражения МЧ существенно проще, что позволяет выполнять с ними

c m

необходимые преобразования, в том числе, и дифференцирование, с мень- шими вычислительными затратами, например, для получения дифференциа- лов второго и более высоких порядков.

Т а б л и ц а Матрицы чувствительности первого порядка узловой модели потокораспределения

Выходные переменные u

Определяющие (дополняющие)

входные

переменные v ^{dQ dx( ) dx dQ( ) dP dx( ) dx dP( ) dy}

( )

dQ ds – – _M⁻¹ C A M^{T −1}

( )

dP ds _M

( )

fx′ ⁻¹A^T – – _A^T

( )

ds dQ – – C f^T s′ ⁽CA E− n⁾

( )

fx′ ⁻¹ f_s′ A C f^{T T} _s′ ( )

ds dP −A f

( )

x′ ⁻¹ fs′ −

( )

fx′ ⁻¹ fs′ – – 0

( )

fx′ ^−1[En−A C^{T T]} ( )

dH dQ – – −C^T En−A C^{T T}

На основе декомпозиции векторов и матриц ГЦ по признаку принад- лежности ветвям остовного дерева или хордам, возможно поблочное вычис- ление некоторых матриц, приведенных в таблице, полученных на основе уз- ловой модели потокораспределения и имеющих наиболее громоздкие выра- жения. Рассмотрим, для примера, МЧ x_s′, которая может быть представлена в блочном виде как

skk skd

s

sdk sdd

x x

x x x

′ ′

⎡ ⎤

′ = ⎢⎣ ′ ′ ⎥⎦,

где индексы и относятся к хордам и ветвям остовного дерева соответст- венно. Основные матрицы ГЦ и производных имеют вид

k d

[

k d

]

A= A A B=

[

Ek Bd

]

k d

x x x

f′= f′ ⊕ f′

k d

s s s

f′= f′ ⊕ f′

, , , ,

где символом ⊕ обозначена прямая сумма соответствующих диагональных матриц [5].

x′s можно вычислить по формулам:

Тогда блоки матрицы

( )

^{1( T 1 )}

( )

¹

skk xk k k k xk sk

x′ = − f′ ⁻ E − A M A⁻ f′ ⁻ f′ ,

( )

^{1 T 1 )}

( )

¹

skd xk k d xd sd

x′ = f′ ⁻ A M A⁻ f′ ⁻ f′ ,

T

sdk d skk

x′ = B x′ , x_sdd′ = B x_d^T _skd′ .

Таким образом, вычисление матрицы большого размера можно свести к вычислению четырех матриц меньшего размера и часть из них по простым формулам. Аналогичный прием можно использовать и при вычислении мат- рицы x_H′ .

«Ай-Петри», п. Кореиз, Ялта, Украина 20–26 сентября 2010 г.

Модели чувствительности

Будем называть моделью чувствительности соотношения, позволяю- щие исследовать чувствительность выходных переменных к изменению входных. Простейшая модель первого порядка, в общем случае, имеет вид

u u vV′

Δ ≈ Δ (3) или

Δ ≈u du (3’)

*

V

v v

u u

v ₌

′ = ∂

где ∂ – матрица чувствительности, – точка решения системы (2).

v*

При решении некоторых задач потенциально возможно использование моделей чувствительности более высоких порядков. Назовем приближением -го порядка для приращения выходной переменной u в точке v^* величину l

1

(1 !)

l l t

u t

=

Δ =

∑

^{d ut} [4], которая присутствует в тейлоровском разложении функции ( )u v :

( ) ( ) 1 2 2 ... 1 ! ^l _u(

u v+ Δ =v u v +du+ d u+ + l d u r+ Δv) ,

где d u^t – дифференциал функции ( ) -го u v t порядка, r_u(Δ →v) 0 при 0

Δ →v .

Тогда модель чувствительности произвольного -го порядка можно представить как или

l

( )l

Δ ≈ Δu u

( ) 1

(1 !) ( )

l t

t

u t d u

=

Δ ≈

∑

^v . (4) Так, в случае l=1, du u v= Δ_v′ и (3) будет частным случаем (4).

Уравнения чувствительности 2-го и 3-го порядков

Возможны два способа построения моделей чувствительности второго и более высоких порядков, соответственно, в терминах производных или дифференциалов.

В первом случае необходимо дифференцирование производных -го порядка по каждой переменной для получения производных +1-го порядка.

k k

xs′ s_j

Так, например, продифференцируем матрицу по переменной :

( ) ( )

1 1

1

1 1

2

( ) [ ( ) ]'

s sj s sn j

j j j

s sj s sn

n x x s s s s

j

n n

x x

x CA E f f x f

s s x x

−

′′ ′

⎛ ⎞

⎜ ⎟

∂ = − ′ ′ ′ ′ + ′ = ⎜ ⎟

∂ ∂ ⎜ ⎟

′

′′ ′

⎜ ⎟

⎝ ⎠

L L L L

L

1,..,

′

, j= n.

2

j

x s s

∂

∂ ∂ j

k -я строка матрицы является -м столбцом матрицы Гессе для и x_k

1 1 1

1

2

s s s sn

s sn s sn n

k k

T k

k k

x x

d x ds ds

x x

′′ ′′

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ′′ ′′ ⎟

⎝ ⎠

L

L L L

L

1,.., k = n

, .

Во втором случае можно находить -й дифференциал, взяв дифферен- циал от ( 1 -го дифференциала. Именно таким образом были получены некоторые важные дифференциалы второго и третьего порядков. Так,

k k − )

2 T( _{x s} )

d P C df dx df ds= ′ + ′ , (5)

3 T( 2 _x 2 _x 2 2 _s

d P C d f dx= ′ + df d x d f ds)′ + ′ ,

2 T

d P C df CdQ= x′ ,

2 ( _n)( ) (_x 1 _{x s}

d x= CA E− f′ ⁻ df dx df ds′ + ′ ),

2 ( _n)( )_x 1 _x

d x= CA E− f′ ⁻ df CdQ′ ,

x, s

df df′ ′− дифференциалы матричных функций f_x′ ′, f_s . где

Из этих соотношений (уравнений чувствительности второго и третьего порядка) можно получить соответствующие производные (МЧ) второго и третьего порядка.

Для примера приведём вывод соотношения (5).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1

2 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

T 1 T 1 T T

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x s x s x s

x s x s x x x s

s x x s x x s

d P d M A f f ds d M A f f ds M Ad f f ds

M A f d f ds M d M M A f f ds M A f d f f f ds C d f ds M Ad f A M A f f ds C d f f f ds C d f ds M A

− − −

− − −

− − −

− − − −

− − −

− −

−

′ ′ ′ ′ ′ ′

= = + +

′ ′ = − ′ ′ − ′ ′ ′ ′ +

′ = − ′ ′ ′ − ′ ′ ′ + =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1 T 1 1 T 1 T

1 1

T T T

T 1 T T

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ( ) ).

x x x x s x x s s

x x s x x s s

x x s s x s

f d f f A M A f f ds C d f f f ds C d f ds C d f CA f f ds C d f f f ds C d f ds

C d f CA E f f ds C d f ds C d f dx f ds

− − − − −

− −

−

′ ′ ′ ′ ′ − ′ ′ ′ + ′

′ ′ ′ − ′ ′ ′ + ′ =

′ − ′ ′ + ′ = ′ + ′

1

s

−

′

=

2

Используя найденные соотношения можно, например, получить третье приближение для ΔP s ds( , ):

T T 2 2

( , ) 1/ 2 ( _{x s} ) 1/ 6 ( _x 2 _{x s} )

P s ds C df dx df ds′ ′ C d f dx′ df d x d f ds′ ′

Δ ≈ + + + + .

Так же, как и в случае моделей чувствительности первого порядка, можно получать модели чувствительности второго порядка, в которых ис- пользуется матрица B. И здесь дифференциалы имеют более простую форму записи, чем при использовании матрицы A. Так, например,

2 ( _{x s s}) ,

d x= −D df x′ ′ +df ds′ где D=B K B^{T −1} .

При моделировании ТПС часто используется квадратичная зависи- мость потери давления от расхода транспортируемой среды:

«Ай-Петри», п. Кореиз, Ялта, Украина 20–26 сентября 2010 г.

Ниже приведены некоторые производные и дифференциалы для при- веденного вида зависимости потери давления от расхода.

(

1 1

)

diag 2 ,...,2

x n n

f′ = s x s x ,

(

1 1

)

diag ,...,

s n n

f′ = x x x x ,

(

1 1 1 1 1

)

diag 2( sgn( ) ),...,2( sgn( ) )

x n

df′ = ds x +s x dx ds x_n +s_n x dx_{n n} ,

(

1 1

)

diag 2 ,...,2

s n n

df′ = x dx x dx ,

2 1 1 2

1

2[2[( )( ) ] ( ) ( )( ) ] ( ) sgn( )]

n

i x ii i s ii x ij s ji i i i

j

d x CA E f ⁻ x x CA E f ⁻ x s x ds

=

′ ′ ′ ′

= − +

∑

− ^2,

2 T T 2

1

2[2 ( ) ⁿ ( ) sgn( )] ²

j ii i s ii ji s ji i i i

i

d P C x x C x s x ds

=

′ ′

= +

∑

^,

где − диагональная матрица, содержащая на диаго- нали.

(

1

diag a,...,a_n

)

a a1, 2,...,a_n

Необходимо отметить, что применение приближений второго и более высокого порядков следует обосновывать в каждом конкретном случае.

Задача поиска управляющего воздействия

Продемонстрируем перспективность применения модели чувствитель- ности второго порядка для решения задачи поиска управляющего воздейст- вия, позволяющего ввести режим в допустимую область. Ранее такая задача рассматривалась в [1,2] и для ее решения использовалась модель чувстви- тельности первого порядка.

Пусть режим работы трубопроводной системы описывается системой уравнений (2)–(4), и давление в (r r≤m) узлах схемы меньше допустимого, то есть P_j⁰ <P_j, j J∈ _r, где P P_j⁰, _j − расчетные и минимальные требуемое давление в j-м узле; множество узлов, в которых нарушены ограниче- ния по давлению снизу. Будем считать, что управляющими воздействиями могут быть только изменения гидравлических сопротивлений участков (дросселирование). Требуется определить место управления (ветви) и подоб- рать (возможно, за несколько итераций) такие возмущения сопротивлений, чтобы давление во всех узлах стало не меньше минимально допустимого, т.е.

чтобы вектор

Jr −

P1−P, где – вектор давления в узлах после внесения воз- мущения , стал неотрицательным.

P1

ds

В общем случае существует множество наборов управляющих воздей- ствий для достижения поставленной цели.

В работах [1,6] для достижения поставленной цели использовалась за- дача линейного программирования

0 _s 0,

P − +P P ds′ %≥ c ds^T →min,

где – вектор коэффициентов целевой функции, полученный с использовани- ем элементов МЧ (функций чувствительности)

c

P′s [1]. Решение этой задачи – вектор , компоненты которого – величины необходимых изменений гид- равлических сопротивлений ветвей, на которых возможно управление.

ds

Полученное решение, в связи с нелинейностью исходной задачи, явля- ется только приближением точного решения. В некоторых случаях, чтобы достигнуть желаемого результата, требуется несколько раз решать такую за- дачу оптимизации.

Использование модели чувствительности второго порядка потенциаль- но может привести к решению за одну итерацию. В этом случае управляю- щие воздействий можно найти решив задачу квадратичного программирова- ния:

T 1 2 T min

r

j j J

c ds ds G ds

∈

+

∑

→ ^{, P0 − +P P dss′ ≥0,}

j j G

где – матрица Гессе -й компоненты вектор-функции , а вектор получен так же, как и для предыдущей задачи линейного программирования.

( ) c P ss

Необходимо заметить, что использование вторых производных (диф- ференциалов) при относительно небольших возмущениях позволяет более точно аппроксимировать вектор изменения реакций.

Численный пример

Рассмотрим (на примере сети, схема которой приведена на рисунке) применение моделей чувствительности для поиска ветвей, изменение сопро- тивлений которых позволяет повысить давление в узлах, с давлением ниже требуемого.

1

7

6

2

4 9

8

5

3

2

1

6

5 4

3

Рис. Тестовая схема гидравлической цепи 1 – номер ветви; 3 – номер узла.

«Ай-Петри», п. Кореиз, Ялта, Украина 20–26 сентября 2010 г.

По возможности необходимо добиться того, чтобы давление в таких узлах стало больше или равно требуемому.

Граничными условиями в данном примере являются:

Q=( –120,0; –90,0;–90,0; –210,0; –150,0) ,м^T 3/ч, =60,0 м. P₆

Начальные условия: диагональные матрицы и Х, такие, что S y SXx= , и диагональные элементы матрицы Х равны x i_i , =1,...,n.

S= (0,0000623; 0,00124; 0,00934; 0,00801; 0,00872; 0,000203; 0,00155;

0,0106; 0,012) , (54,1; 38,7; 34,5; 40,8; 48,1) ,

diag

T P= T P= (34,1; 18,7; 19,5; 20,8;

52,6) , ^{T x =}(307,2; 111,4; 21,4; 28,2; 91,6; 241,6; 111,2; 35,4; 40,6) . ^T

В пятом узле давление ниже требуемого на 4,5 м. По формуле из таб- лицы вычислим матрицу чувствительности

88199 224, 8,2 24,4 314,4 2187 346 43,6 20,6

75859 8904 128,8 153,9 941 6553 1038 3 144

58025 4173,0 153,6 341 1848 12862 2038 55,6 383

23825 866,0 31,9 94,0 3587 24960 3955 168 79

9064 329,4 12,1 35,8 1826,5

− − − − −

− − − − − − −

− − − − − − − − −

− − − − − − − −

− − − 45655 1504 64 30,2

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ − − − − ⎥

⎣ ⎦

P′ =

s _.

Вектор избыточных давлений в узлах ГЦ равен:

(20,0; 20,0; 15,0; 20,0; 4,5)T

P P P

Δ = − = − . Требуется подобрать вектор

таким образом, чтобы выполнялось неравенство:

ds

s 0 P P ds′

Δ + % ≥ , а вектор из- быточных давлений после внесения управления стал неотрицательным.

P′s

Учитывая, что в пятой строке матрицы положительны 4-й и 5-й элементы, то дросселирование можно осуществлять только на 4-й и 5-й вет- вях. Тогда задача оптимизации имеет вид:

4 5

35,8ds +1826,5ds →min, Δ +P P ds% %_s′ ≥0, ds%≥0^, P′%s получена из матрицы P′_s

где матрица удалением всех столбцов кроме 4-го и 5-го; ds%=(ds ds4, 5). Решение задачи – ds%_l =(0,0343;0,0018)^T.

После изменения сопротивлений на 4-й и 5-й ветвях вектор давлений равен: (53,3; 35,5; 27,0; 36,1; 51,1) . Нужно отметить, что давление в 5- м узле осталось ниже требуемого, и можно продолжить решение поставлен- ной задачи с помощью модели чувствительности первого порядка, исходя из вновь полученных начальных условий.

1

Pl = ^T

Далее для решения поставленной задачи применим модель чувстви- тельности второго порядка. Вычислим матрицу Гессе пятой компоненты вектор-функции

G5

P′s согласно выше изложенного первого способа. Для по- строения квадратичной целевой функции необходимы элементы:

G = G = −

5 4,4

( )G = −3802,1;( )_{5 5,4} ( )_{5 4,5} 20764;( )G_{5 5,5} = −0,15195 10 .⋅ ⁷ Квадратичная задача оптимизации примет вид:

2 7

4 5 4 4 5 5

35,8ds +1826,5ds −0,5(3802,1(ds ) + ⋅2 20764ds ds +0,1519510 (ds ) )² →min;

0, 0

P P dss′ ds Δ + % %≥ %≥ ^.

Решение задачи: . После увеличения сопро- тивлений 4-й и 5-й ветвей на соответствующие величины, вектор давления равен: (53,2; 35,4; 27,2; 32,9; 52,1) . Используя шаг корректировки

(0,03034;0,00843)T

ds%q =

1

Pq = ^T λ,

для найденного решения можно улучшить полученный результат. Так, при

ds%q

λ=1,5 после внесения полученной поправки в сопротивления 4-й и 5-й ветвей вектор давления равен: P_q² = (53,1; 34,9; 25,8; 31,6; 52,6) , то есть во всех узлах давление больше или равно требуемому давлению.

T

Можно отметить, что хотя вычислительные затраты при использовании квадратичной модели чувствительности несколько больше, но полученное решение с ее использованием качественно лучше, чем при применении ли- нейной модели чувствительности.

Таким образом, здесь изложены результаты развития аппарата анализа чувствительности ГЦ как относительно самостоятельного и потенциально перспективного направления теории гидравлических цепей. В том числе, представлены следующие результаты.

1. Приведены наиболее значимые для практики матрицы чувствитель- ности для «узловой» и «контурной» моделей потокораспределения первого, второго и третьего порядков, отвечающие различным сочетаниям входных и выходных переменных.

2. Продемонстрированы возможности поблочного вычисления матриц чувствительности большого размера.

3. На основе моделей чувствительности второго порядка сформулиро- вана задача ввода параметров режима в допустимую область.

4. Приведен численный пример, иллюстрирующий технику применения модели второго порядка для решения задачи управления параметрами режи- ма.

ЛИТЕРАТУРА

1. Епифанов С.П., Новицкий Н.Н. Модели чувствительности гидравлических цепей с сосредоточенными параметрами и их применение для анализа управляемости тру- бопроводных систем // Трубопроводные системы энергетики. Методы математического моделирования и оптимизации: сб. науч. тр. – Новосибирск: Наука, 2007.– C. 27–47.

2. Епифанов С.П., Новицкий Н.Н. Методы построения матриц чувствительности гидравлических цепей // Моделирование технических и природных систем: Тр. XIII Бай- кальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». – Иркутск: ИСЭМ СО РАН. – 2005. – Т.5. – С. 125–129.

«Ай-Петри», п. Кореиз, Ялта, Украина 20–26 сентября 2010 г.

3. Меренков А.П., Хасилев В.Я. Теория гидравлических цепей. – М: Наука. – 1985. – 278 с.

4. Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Чувствительность систем управления. – М.:

Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1981.– 464 с.

5. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. –М: Мир. –1989. –655 с.

6. Новицкий Н.Н., Алексеев А.В., Епифанов С.П. Расчет технологически допус- тимых гидравлических режимов трубопроводных систем // Изв. РАН. Энергетика. – 2006.

– № 5. С. 128–138.

УДК 621.311.22

РАСЧЕТ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В КВАЗИСТАЦИОНАРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Левин А.А., Чистякова Е.В. (ИСЭМ СО РАН, г. Иркутск), Чистяков В.Ф. (ИДСТУ СО РАН, г. Иркутск)

Введение

При моделировании динамических процессов в котельных и турбин- ных установках движение воды, пара, воздуха и газа совершается по трактам различного сечения и длины, имеющим узлы соединения и разделения пото- ков, запорно-регулирующие органы, источники напора (насосы, вентилято- ры). Для моделирования потокораспределения в сложных системах, обла- дающих заданной топологией размещения элементов и одномерным характе- ром движения среды, удобно воспользоваться положениями теории гидрав- лических цепей (ГЦ) [1-6].

Обобщенная гидравлическая цепь характеризуется узлами, представ- ляющими фиксированные точки слияния или разделения потоков, и ветвями, по которым совершается движение массы вещества между соседними узла- ми. В настоящее время в указанных выше работах исчерпывающе исследова- на стандартная задача потокораспределения в ГЦ.

Стандартная теория в основном ориентирована на изучение равновес- ных состояний, но современная ситуация выдвинула требование перехода к анализу динамических процессов, где существенную роль играет время, в ча- стности, задачи управления, синтеза управляющей аппаратуры, развития систем, живучести систем в экстремальных условиях.

В настоящей работе значительное внимание уделено анализу неста- ционарных ГЦ, описываемых совокупностью алгебраических и дифференци- альных уравнений и поиску подходов к построению численных методов их решения. Методы исследования базируются на подходах, сформулированных в [7,8].

Стационарные ГЦ (стандартная постановка задачи)

Пусть имеется ГЦ (плоский граф) с произвольной схемой соединений из m узлов и n ветвей и произвольно заданными направлениями потоков на ее ветвях. Строится полная матрица A соединений ГЦ с элементами по сле- дующему правилу:

aij

0, если ветвь не имеет связи с узлом ; 1, если поток на ветви вытекает из узла ;

1, если поток на ветви втекает в узел ;

ij

j i

a j i

j i

⎧⎪

= ⎨⎪−⎩

Вводятся также следующие величины: D=

( )

^–

1, ,

i= m j=1, .n d₁

, ,..., d

₂

d

_n ^F

где

«Ай-Петри», п. Кореиз, Ялта, Украина 20–26 сентября 2010 г.

(

1

, ,...,

2 _m

)

P=

p p p

^F

вектор расходов на ветвях; – вектор давлений в узлах, причем последняя компонента вектора P задана:

p

_m

= p

^*_m; Y=

( y y

1

, ,...,

2

y

_n

)

^F

– вектор перепадов давления на ветвях; Q=

( q q

1

, ,...,

2

q

_m

)

^F – вектор расходов в узлах; S=

( s s

1

, ,...

2

s

_n

)

^F – вектор сопротивлений на ветвях;

(

1

, ,...,

2 _n

)

H =

h h h

^F – вектор действующих напоров на ветвях. Компоненты вектора расходов связаны соотношением

0 m

0

j j

q

=

∑ =

^{. Обычно} принимают (см.

[1-6]), что на каждой ветви с номером ^ν∈

[

^1,2,...,n

]

^{перепад давления в зави-}

симости от расхода по ветви, напора на ветви и гидравлического сопротивле- ния имеет вид

( ) ( )

,

_{i j}

y

_ν

+ = h

_ν

s d d

_{ν ν ν}

y

_ν

= p

_ν

− p

_ν , (1)

( )

ν

( )

j

i ν i( ), ( ) 1, 2,...,ν jν ∈

[

m

]

где и – входной и выходной узлы ветви, . Уравне-

ния (1) называют замыкающими соотношениями. Вывод замыкающих соот- ношений для некоторых случаев течения сжимаемой и несжимаемой жидко- сти можно найти, например, в работе [8].

Согласно первому и второму законам Кирхгофа с учетом соотношений (1), распределение расходов и давлений по всем элементам ГЦ описывается следующими уравнениями:

, ,

AD Q = A P Y

^F

= Y H S DD + =

, (2)

(

1

, ,...,

2 _m 1

)

P = p p p

₋ D

с неизвестными векторами и . В формуле (2) – символ транспонирования,

T

{

^{1 2}

} ^{

^{1 2}

^}

diag , ,...,

_n

, diag , ,...,

_n

D = d d d S = s s s

. (3)

A для уравнивания числа уравнений и числа неизвестных, в матрице вы- черкнем последнюю строку (обозначим новую матрицу A) и, исключив в системе (2) вектор Y, получим систему

,

AD Q= A P H SDD^F + = , (4)

где Q=

( q q

1

, ,...,

2

q

_m−1

)

^F,

H H = + A p

_{m m}^*,

A

_m

−

последний столбец матрицы

A

T. Поиск потокораспределения в ГЦ сведен к решению υ уравнений с υ неизвестными, υ=m+n–1. Ранг матрицы A полный: rankA m= −1 и, более того, показано [1], что решение системы (4) существует и оно единственно.

Нестационарные ГЦ

Опираясь на результаты монографии [7], замыкающие соотношения (1) для одной ветви стационарных ГЦ заменим на нестационарные замыкающие

соотношения вида

(5)

2

( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) / ,

( )

t r d t s d t s d t

,

d t dd t dt

y t

_ν

− h

_ν

=

_{ν ν} + _ν + _{ν ν} =

s0,_ν

где r_ν −характеристики инерционности участков, , s_ν – гидравлические сопротивления. Для простоты будем считать их постоянными величинами.

Используя (5), запишем систему (2), и исключим вектор . Кроме то- го, по аналогии с (1), заменим в формуле (5) на

( ) Y t

2( )

d t_ν d t d t_ν( ) _ν( ), что даст возможность учитывать переключение напоров на противоположное направ- ление. Получим нестационарный аналог системы (4):

0 ( )

( , , , , ) 0 0

0 0 0 0 ( )

H t

D D

R S A SDD

F D P D P t

P Q t

P A

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + ^F + − =

= … > …

, (6) где R diag{ , , }, 0, 1, , ,r₁ r_n r_i i= n S₀ =diag{ , ,s_0,1 … s_0,n}, 0,s_0,i >

diag{ , , }, 0, 1 _{n i} > (( 1) )

S = s … s s A− m− ×n -матрица из (4), rank A m= −1 – пол- ный, H t( ) ( ( ), ( ), , ( ))= h t h t_{1 2} … h t_n ^F– напоры, – притоки, – вектор расходов по ветвям,

1 2 1

( ) ( ( ), ( ), , _m ( ))^T Q t = q t q t … q ₋ t

1 2

( ) ( ( ), ( ), , ( ))_n D D t= = d t d t … d t ^F

1 1 2 2

( , , , _{n n}

DD= d d d d … d d ) , ^F – вектор дав-

лений в узлах. Для упрощения записи, указание зависимости от t может опускаться, как, например, в (6), если это не вызывает путаницы.

1 2 1

( ) ( ( ), ( ), , _m ( )) P P t= = p t p t … p ₋ t ^F

Следует отметить, что система (6) содержит взаимосвязанные алгеб- раические и дифференциальные уравнения. Такие системы принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Сложность ДАУ принять характеризовать целым числом, называемым индексом [9,10]. Под индексом понимается минимальное число дифференцирований ДАУ, необ- ходимых для приведения исходной системы к системе дифференциальных уравнений в нормальной форме.

R⁻1

Вычислим индекс системы (6). Умножим первые n строк (6) на и продифференцируем m последних строк. Получим

1

1 1 1 1

0

( )

( )

0 0.

0 0 0 0 ( )

, , , ,

n

F

R H t

E D R S R A D R SDD

A P P Q t

D P D P t

− − − −

=

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎝ ⎟⎠⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠+⎝ ⎟⎠⎜ ⎟⎝ ⎠+⎜⎝ ⎟⎠− ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠

F

= ⁽⁷⁾ Эти действия эквивалентны действию на (6) оператором

1 1

0 0

0

0 0 0 n

R d

dt E

⎛ − ⎞ ⎛ ⎞

Λ =⎜ ⎟+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠ ^,

то есть

1(

, , , ,

) 1 (

, , , ,

).

F

D P D P t

= Λ F

D P D P t

A

Умножим первые n строк в формуле (7) на и вычтем из m последних. В итоге получим

«Ай-Петри», п. Кореиз, Ялта, Украина 20–26 сентября 2010 г.

1 1

0

1 1

0

1 1

1 1

1

0

0 0

( ) 0

( )

En D R S R A D

AR S AR A P P

R SDD R H t

AR S DD Q t AR H

− −

− −

− −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ − − ⎜

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+⎜⎜⎝− ⎟ ⎜⎟⎠−⎜⎝ − ⎟⎟⎠ =

F

F ⎟

⎠ (8)

Продифференцируем в (8) последние m строк:

1 1

0

1 1

0

1 1

1

0

0 0

( ) 0,

( ) ( )

En D R S R A D

AR S AR A P P

R SDD R H t D D Q t AR H D

− −

− −

− −

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜− − ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟

+⎜⎜⎝∂∂ Ψ ⎟⎟ ⎝⎠−⎜⎜ − ⎟⎟⎠=

F F

(9)

1

( )D AR S D⁻ 1

Ψ = − D

где . Описанные выше действия эквивалентны действию на (8) оператором

1

0 0

0

0 0

n

m

E d

dt A E

⎛ ⎞

⎛ ⎞

Λ =⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝− ⎟⎠^. Собирая члены с производными в (9), получим

2(

, , , ,

) F

D P D P t

=

1 1

0

1 1

0

1 1

1

0

( ) 0 0

( ) 0,

0 ( )

En D R S R A D

A R S D A R A P P D

R H t R SDD

Q t AR H

− −

− −

− −

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟

=⎜⎝− + ∂∂ Ψ − ⎟⎠⎜ ⎟⎝ ⎠+⎜⎝ ⎟⎜ ⎟⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎛ ⎞

+⎜⎝ ⎟ ⎜⎠ ⎝−⎜ − ⎟⎟⎠=

F

F F +

(10)

Таким образом,

1 .

1(

, , , ,

) 1 (

, , , ,

)

F

D P D P t

= Λ Λ F

D P D P t

AR A⁻1

− ^F

Так как ранг матрицы А полный, то блок неособенный. Следова- тельно, в (9)

1

1 1

0

0

det ( ) det det 0

( ) En

D A

AR S D AR A

D

− − −

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ≠

− + ∂ Ψ −

∂

F

A = F R A

и (10) можно преобразовать к виду

1

1 1 1

1 0

1

( )

0 0 0 ( )

( ) ^{R H t}

D R S R A D R S D D

P D P Q t AR H

−

− − −

−

−

⎡ ⎛ ⎞⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − ⎢ + −⎜ ⎟⎥

⎜ ⎟ ⎢⎜⎝ ⎟⎜ ⎟⎠⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜ − ⎟⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦

A F ^.

Следовательно, оператор имеет второй порядок и мы заключаем, что исходная система (6) имеет индекс 2.

1 1

Λ Λ

⎟

Вопрос о нелокальной разрешимости системы (6) пока не решен и по- этому предположим, что решение ( ) существует на полуоси [

( ) D t P t

⎛ ⎞

⎜⎝ ⎠ ^{0, )∞ . Рас-}

смотрим скалярное произведение

, ( , ) ( , ) ( , 0 ) ( , ) ( , ) ( , )

D F D P D RD D S D D A P D SDD P AD

P

⎛⎛ ⎞ ⎞= + + + + −

⎜⎜⎝− ⎟⎠ ⎟

⎝ ⎠

F ,

при предположении, что ( ) 0, ( ) 0Q t ≡ H t ≡ . Получим равенство

2 2

0,

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n

i i i i i i i i

i i i

rd t d t s d t s d t d t

= = =

= − −

∑ ∑ ∑

^,

(

²

( ) ( ) 1 ( )

i i 2 i

d t d t d d t

= dt

)

запишем в виде

которое с учетом соотношения

2 2

0,

1 1 1

( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )

n n n

i i i i i i i

i i i

d rd t s d t s d t d t

dt _{= = =}

⎛ ⎞ = − −

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

∑ ∑

² (11)

2( ) 0, 1, , d ti → i= n t→

Следовательно, ∞. Далее, из второго блочного уравне- ния (8) получаем

1 1

1 0

(AR A P A R S DD AR S D⁻ ) ^{− 1}

− ^F = ^F + ⁻ ,

( ) 0, 1, , p ti → i= m t → ∞

и приходим к выводу, что , так как

( ) 0, 1, , d ti → i= n t→ ∞

≡

s t

) . Таким образом, нулевое решение системы (6) при является асимптотически устойчивым по Ляпунову.

( ) 0, ( ) 0 Q t ≡ H t

В общем случае, как отмечается в [7], параметры в соотношении (5) зависят от состояния среды:

0, 2

( ) ( , , )

( )

( , , )

( )

( , , )

( ( )

t

r

T G t

d t s

T G t T G t

) , y

_ν

t − h

_ν

=

_{ν ν}

+

_ν

d t +

_ν

d

_ν

где T −температура среды, которая связна уравнением состояния T =φ( ,P ρ с давлением и плотностью. Индекс системы (6) сохраняется, если нет зави- симости от T. Если коэффициент сопротивления зависит от T (и тем самым зависит и от P в силу уравнения состояния), то гарантировать сохранение ин- декса мы не можем. Асимптотическая устойчивость нулевого решения со- храняется при:

( , , ) 0,

0,

( , , ) 0, ( , , ) 0 r T G t

_ν

> s

_ν

T G t > s T G t

_ν

>

. Это следует из формулы (11).

Численные эксперименты

Рассмотрим двухконтурную ГЦ вида из [8]

No documento «Ай-Петри», п. Кореиз, Ялта, Украина 20 – 26 сентября 2010 г. (páginas 96-124)