ТА) К
3. О подпространствах, дополняющих множество производных цепо
чек до всего пространства. В предыдущих утверждениях гл. I I делались заключения о конечности коразмерности многообразия ^(L(X); (?i(A,), . . .
. . ., Qm(h)] Q) + 91 в некотором пространстве, причем подпростран
ство 91 определялось из условий этих утверждений. Естественно поставить вопрос об оценке этой коразмерности либо более общий вопрос:
для какого конечномерного подпространства ЭЕ замыкание линейной оболоч
ки его с ^(L(k); <?i(A,), . . ., Qm(X); Q) и 91 совпадает со всем пространством?
Ответ на этот вопрос можно получить из теоремы 8.1 с учетом замечаний 7.1 и 8.1 в терминах малости норм операторов Tk. Отметим, что, к а к следует из замечания 3.2, такого рода утверждения нельзя получить для производ
ных цепочек, отвечающих краевой задаче на конечном отрезке. Поэтому здесь остановимся на некоторых возможных обобщениях теоремы 10.1 и ее следствий.
Т е о р е м а 11.3. Пусть о.-ф. L(X) задана равенством (9.4) и удовлетво
ряет условию А или Б . Предположим, что для о.-ф. Qi(k, г), введенных в фор
мулировке теоремы 10.1, выполнены все требования этой теоремы с операто
рами Хг t = 0. Обозначим через Pq ортопроектор на линейную оболочку собственных векторов оператора Н, отвечающих характеристическим числам с номерами, большими q, причем весь спектр о.-ф. p(XPqH) лежит в области Фц = {К: | К | > Г[}. Тогда найдутся такие постоянные сг, с2, с3 > 0, что коль скоро
(Ц.13) ||
T0PQ\\+. . . + H Z W V K c ! ,
(11.14) | Я |й| | 5 ( Я ) | | < с2, если Хе U (в7-ПФп), а при 0 < 8 < т т ( ? г — т, 6)
т г
(11.15) S \^\6'е\\Р1^)[1+\^\п(Н^Н)п/2Г1\\<с3 ( U U (в,ПФт,)),
1 = 1 3=1
то тогда
г т
$ ( L ( A 0 ; Qifr, e), . . . , Qm(K г); [} (в,П Ф„)) + Ж + З Е - 0 93„
i = i 1=1
т
где ЭЁ состоит из тех векторов пространства © 95 и на которых аннули- руется любой функционал из подпространства
г ns
(11.16) 8=.П П п 8 ( [ Я » - Я » Рд] х
^— 1 г», s: pu 1c ose e . * — !
хМ'Го^К), .-., v^rS* (©.)}*)
140 Г. В. РАДЗИЕВвКИЙ
принадлежащего ф 23*. В определении (11.16) о.-ф. V\ 0(X) = \№Ai t>
1=1 ' t=0
а операторы Нv и числа pv Ф 0 взяты из представления (9.3) оператора Н.
Доказательство теоремы 11.3 повторяет вывод теоремы 9.1 из теоре
мы 8.1. В данном случае вводятся о.-ф. А^ г(к), Njt t(X) и Fj% г(к) (/ = 1, . . ., г), определенные при A, g в7- р Ф ^ и равные о.-ф. 4Х г(Я), iV^ г(к) и / ^ Z(A), задан
ным формулами (9.13), (9.15), (9.17) с операторами Х^ t = Е^ t = В г t —
= Fz t = 0. Поэтому число б, участвующее в формулировке теоремы 8.1 и в замечании 8.1, в данной ситуации равно б — е, где уже б и е из условий теоремы 10.1. Следовательно, неравенство (8.46) в предположениях (11.13), (11.14) и (11.15) примет вид a(q) ^ с(сг + с2 + с3 + с2с3). Отсюда (см. заме
чания 7.1 и 8.1 к теоремам 7.1 и 8.1), потребовав малость чисел сг, с2 и с3, имеем
• ~ т
(11.17) $ ( £ ( Я ) ; & ( Х , е), . . . , Ст е( А , , е ) ; U ( © ; № ) ) + Ж + Ж* = 0 ЯЗ,
7 = 1 Z = l
с подпространством 3£19 состоящим из тех векторов пространства ф 95 г,
i=i
на которых аннулируется любой функционал из
Si = .n n п з {[н% -H%p q ) {AtP ( P ^ O , • • •, 4!~т (Р;Ч)}*).
Заметим, что требование теоремы 11.3 — в области Фл находятся все харак
теристические числа о.-ф. p(kPqH) — совпадает с условием (7.10), участвую
щим в замечании 7.1. Так как операторы Х^ t = 0, то из неравенств, анало
гичных неравенствам (9.24), н о с суммированием по у от 1 до г, заключаем, чта Bi = -8; отсюда и из (11.17) получаем утверждение теоремы 11.3.
Из теоремы 11.3 выводятся утверждения, обобщающие следствие 10.1 и теоремы 11.2, 3.4, 3.5, 3.7 и 3.8. Так, например, обобщением теоремы 11.2 является
С л е д с т в и е 11.4. Пусть о.-ф. L(k) задана равенством (9.4) и удовлет
воряет одному из условий А или Б , a Vi(k) заданы равенствами (11.9) с yi(k)r удовлетворяющими оценке (11.10). Обозначим через Pq ортопроектор на ли
нейную оболочку собственных векторов оператора Н, отвечающих характе
ристическим числам с номерами, большими q, а через ty — такое положитель
ное число, что в углах | arg(+X)| < я/2 —г|} находится весь спектр о.-ф.
p(XPqH), за исключением чисто мнимых точек. Предположим, что весь спектр о.-ф. p(kPqH) лежит в области Фл = {к: \%\ >ц), а ранг матрицы (vz, j(p)}/m,-=i» определенной по корням полинома р(%) и целым числам кг из (11.9) правилом (11.11), равен т при всех р £ o(Pq H*) и р Ф 0. Тогда для произвольных положительных е и б найдутся такие постоянные ск(г, б) > 0, что коль скоро \\ T0Pq \\ + . . . + \\ Tn_xPq | | < сг(г, б), | К \d || 5(Я)||< *а(е, 8), а
т
У\ (1 + | Я \)~hi+6 | У1(Х)\ < с3(г, б) при | a r g ( - ^ ) | < я / 2 - я|> и | A, | > г\,
1=1
то
Tk,+e
%(L(K); УАЦ, - . . , Vm(k); Г,) + Зт( ^ ) = Ф Q ( # l " + / - Я0) . З а м е ч а н и е 11.8. Теорема 3.6 выводится из следствия 11.4, если в условиях этого следствия считать ц = 0, S(k) = 0, & Pq = Н°. Отметим лишь, что, исходя из условий теоремы 3.6, на основании следствий 11.2 и 11.3 имеем: ранг матрицы {vz 7(р)}|п'.Д1 равен т при всех р £ о(Н*) и р Ф 0.
О ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 1 4 1
ЛИТЕРАТУРА
{1] М. С. А г р а н о в и ч . О суммировании рядов по корневым векторам несамосопря
женных операторов.— Функц. анализ, 1976, 10:3, с. 1 —12.
(2] Дж. Э. А л л а х в е р д и е в . О полноте системы собственных и присоединенных элементов несамосопряженных операторов, близких к нормальным.— ДАН, 1957, 115:2, с. 207—210.
[3] Дж. Э. А л л а х в е р д и е в . О полноте системы собственных и присоединенных элементов операторов, являющихся рациональными функциями от параметра.—
ДАН, 1964, 159:5, с. 9 5 1 - 9 5 4 .
[4] Дж. Э. А л л а х в е р д и е в . О полноте системы собственных и присоединенных элементов несамосопряженных операторов.— ДАН, 1965, 160:3, с. 503—506.
15] Д ж . Э. А л л а х в е р д и е в . О полноте системы собственных и присоединенных элементов несамосопряженных операторов, зависящих от параметра к.— ДАН, 1965, 160:6, с. 1231 — 1234.
[6] Д ж. Э . А л л а х в е р д и е в . О многократно полных системах и несамосопряжен
ных операторах, зависящих от параметра Я.— ДАН, 1966, 166: 1, с. 11 — 14.
[ 7 ] Д ж . Э. А л л а х в е р д и е в . О несамосопряженных операторах, рационально зависящих от спектрального параметра.— ДАН, 1969, 186:4, с. 743—749.
18] Д ж . Э. А л л а х в е р д и е в . Оценка резольвенты и теоремы полноты для опера
торов, зависящих от спектрального параметра.— Изв. АН Аз. ССР, сер. физ.-техн.
матем., 1974, № 6, с. 3—36.
[9] Д ж . Э. А л л а х в е р д и е в , Э. Э. Г а с а н о в . Теоремы полноты систем собст
венных и присоединенных элементов операторных пучков в банаховом простран
стве.— Изв. АН Аз. ССР, сер. физ.-техн., матем., 1974, № 5, с. 54—66.
110] Н. Г. А с к е р о в, С. Г. К р е й н, Г. И. Л а п т е в. Об одном классе несамосопря
женных задач.— ДАН, 1964, 155:3, с. 499—502.
{11] В . Н . В и з и т е й , А . С . М а р к у с . О сходимости кратных разложений по системе собственных и присоединенных векторов операторного пучка.— Матем. сб., 1965, 66:2, с. 2 8 7 - 3 2 0 .
[12] А. И. В и р о з у б . Об энергетической полноте системы элементарных решений дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве.— Функц. анализ, 1975, 9:1, с. 52—53.
{13] А. И. В и р о з у б , В. И. М а ц а е в. О спектральных свойствах одного класса самосопряженных оператор-функций.— Функц. анализ, 1974, 8:1, с. 1 —10.
{14] И. И. В о р о в и ч . Некоторые математические вопросы теории пластин и оболо
чек.— Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.— М.:
Наука, 1966, в. 3, с. 116—136.
115] И. И. В о р о в и ч , В. Е. К о в а л ь ч у к . О базисных свойствах одной системы однородных решений.— Прикл. матем., мех., 1967, 31:5, с. 861—869.
{16] Г. А. В о р о п а е в а, В. П. М а с л о в. Кратная полнота по М. В. Келдышу и един
ственность решения соответствующей задачи Коши.— Функц. анализ, 1970, 4:2, с. 1 0 - 1 7 .
{17] М. Г. Г а с ы м о в . К теории полиномиальных пучков операторов.— ДАН, 1971, 199:4, с. 747-750.
[18] М. Г. Г а с ы м о в . О кратной полноте части собственных и присоединенных векто
ров полиномиальных операторных пучков.— Изв. АН Арм.ССР, сер. матем., 1971, 6:2—3, с. 131-147.
[19] М. Г. Г а с ы м о в . Кратная полнота с конечномерным дефектом части собственных и присоединенных векторов операторных пучков.— В сб.: Функц. анализ, теория функций и их приложения.— Махачкала, 1976, в. 3, ч. 1, с. 55—62.
{20] М. Г. Г а с ы м о в . О разрешимости краевых задач для одного класса операторно- дифференциальных уравнений.— ДАН, 1977, 235:3, с. 505—508.
[21] М. Г. Г а с ы м о в . К теории эволюционных уравнений регулярного типа.— ДАН, 1971, 200:1, с. 13—16.
142 Г. В . Р А Д З И Е В С К И Й
[22] М. Г. Г а с ы м о в. Об одной новой спектральной задаче.— Дифф. уравн., 1977, 13:1, с. 23—28.
[23] М. Г. Г а с ы м о в, М. Г. Д ж а в а д о в. Кратная полнота части собственных и при
соединенных функций дифференциальных операторных пучков.— ДАН, 1972, 203:6, с. 1235—1237.
[24] И. В. Г о р ю к. Одна теорема о полноте системы собственных и присоединенных векторов операторного пучка L (к) = Х2С + ХВ + Е.— Вестн. МГУ, сер. матем.- мех., 1970, № 1, с. 55—60.
[25] И. В. Г о р ю к. О полноте системы собственных и присоединенных векторов квад
ратичного самосопряженного пучка.— Матем. исследования, Кишинев, 1972, 7:1.
[26] Г. А. Г р и н б е р г . О методе, предложенном П. Ф. Папковичем для решения пло
ской задачи теории упругости для прямоугольной области и задачи изгиба прямо
угольной тонкой плиты с двумя закрепленными кромками, и о некоторых ее обобще
ниях.— Прикл. матем., мех., 1973, 17:2, с. 211—228.
[27] Р. М. Д ж а б а р з а д е . О разложении по собственным и присоединенным эле
ментам оператора, полиномиально зависящего от к.— Учен. зап. Аз.ГУ, 1964,.
сер. физ.-матем. наук, № 3, с. 75—81.
[28] Р. М. Д ж а б а р з а д е . О полноте системы собственных и присоединенных эле
ментов операторов, квадратично зависящих от спектрального параметра.— Изв.
АН Аз.ССР, сер. физ.-техн., матем., 1977, № 1, с. 41—45.
[29] М. А. Е в г р а ф о в . Аналитические функции.— М.: Наука, 1968.
[30] Г. А. И с а е в . О полноте некоторой части собственных и присоединенных векторов полиномиальных операторных пучков.— УМН, 1973, 28:1, с. 241—242.
[31] М. В. К е л д ы ш . О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений.— ДАН, 1951, 77:1, с. 11—14.
[32] М . В . К е л д ы ш . О полноте собственных функций некоторых классов кесамосопря- женных линейных операторов.— УМН, 1971, 27:4, с. 15—47.
[33] М. В. К е л д ы ш , В. Б . Л и д с к и й . Вопросы спектральной теории несамосопря
женных операторов.— Труды IV Всесоюзного матем. съезда, т. I.— Л.: Изд-во АН, 1963, с. 101—120.
[34] Н. Д. К о п а ч е в с к и й . О существовании поверхностных волн в задаче о нор
мальных колебаниях и идеальной жидкости, вращающейся в частично заполненном сосуде.— Функц. анализ, 1978, 12:2, с. 84—85.
[35] Н. Д. К о п а ч е в с к и й . Нормальные колебания системы тяжелых вязких вра
щающихся жидкостей.— ДАН УССР, сер. А, 1978, № 7, с. 586—590.
[36] А. Г. К о с т ю ч е н к о , М. Б . О р а з о в . О некоторых свойствах корней самосо
пряженного квадратичного пучка.— Функц. анализ, 1975, 9:4, с. 28—40.
[37] А. Г. К о с т ю ч е н к о , Г. В . Р а д з и е в с к и й . О суммировании методом Абеля гс-кратных разложений.— СМЖ, 1974, 15:4, с. 855—870.
[38] М. Г. К р е й н. Введение в геометрию индефинитных /-пространств и теорию опера
торов в этих пространствах.— В сб.: Вторая летняя математическая школа, т. 1.—
Киев: Наукова думка, 1965, с. 15—92.
[39] М. Г. К р е й н , Г. К. Л а н г е р . К теории квадратичных пучков самосопряженных операторов.— ДАН, 1964, 154:6, с. 1258-1261.
[40] М. Г. К р е й н , Г. К. Л а н г е р . О некоторых математических принципах линей
ной теории демпфированных колебаний континуумов.— Труды международного симпозиума по применению теории функций комплексного переменного в механике сплошной среды,— М.: Наука, 1965, с. 283—322.
[41] С. Г. К р е й н. О колебаниях вязкой жидкости в сосуде.— ДАН, 1964, 159:2, с. 262—265.
[42] С. Г. К р е й н . Линейные дифференциальные уравнения в банаховом иростран- стве.— М.: Наука, 1967.
[43] Е. А. Л а р и о н о в . Локализация спектра и двукратная полнота нормальных движений в задаче о движении вязкой жидкости, подверженной силам поверхност
ного натяжения.— ДАН, 1974, 217:3, с. 522—525.
О ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 1 4 3
[44] В. Б . Л и д с к и й. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряжен
ных операторов.— ДАН, 1960, 132:2, с. 275—278.
[45] В. Б. Л и д с к и й . О разложении в ряд Фурье по главным векторам несамосопря
женного эллиптического оператора.— Матем. сб., 1962, 57:2, с. 137—150.
[46] В. Б . Л и д с к и й . О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряжен
ных операторов.— Труды ММО, 1962, И , с. 3—35.
[47] Ш. Д ж. М а м е д о в а. Краевые задачи для эволюционных уравнений на конеч
ном отрезке.— Изв. АН Аз.ССР, сер. физ.-техн. и матем., 1974, № 6, с. 63—66.
[48] А . С . М а р к у с . О кратной полноте и сходимости кратных разложений по системе собственных и присоединенных векторов операторного пучка.— ДАН, 1965, 163:5, с. 1061 — 1064.
[49] А . С . М а р к у с . Некоторые признаки полноты системы корневых векторов линей
ного оператора в банаховом пространстве.— Матем. сб., 1966, 70:4, с. 526—561.
[50] А . С . М а р к у с . К спектральной теории полиномиальных пучков в банаховом про
странстве.— СМЖ, 1967, 8:6, с. 1346—1369.
[51] А. С. М а р к у с . О полноте части собственных и присоединенных векторов для некоторых нелинейных спектральных задач.— Функц. анализ, 1971, 5:4, с. 78—79.
[52] А. С. М а р к у с. О полноте некоторой части собственных и присоединенных век
торов аналитической оператор-функции.— Матем. исследования, Кишинев, 1974, 9:3, с. 105—126.
[53] А. С. М а р к у с, В. И. М а ц а е в. К спектральной теории голоморфных оператор- функций в гильбертовом пространстве.— Функц. анализ, 1975, 9:1, с. 76—77.
[54] А. С. М а р к у с , И. В . М е р е у ц а . О полном наборе корней операторного урав
нения, соответствующего полиномиальному операторному пучку.— Изв. АН, сер.
матем., 1973, 37:5, с. 1108—1131.
[55] А. И. М а р к у ш е в и ч. Теория аналитических функций, т. II.— М.: Наука, 1968.
[56] В. И . М а ц а е в . Об одном классе вполне непрерывных операторов.— ДАН, 1961, 139:3, с. 5 4 8 - 5 5 1 .
[57] В. И. М а ц а е в . Об одном методе оценки резольвенты несамосопряженных опера
торов.— ДАН, 1964, 154:5, с. 1034—1037.
[58] В. И. М а ц а е в . Несколько теорем о полноте корневых подпространств вполне непрерывных операторов.— ДАН, 1964, 155:2, с. 273—276.
[59] В. И. М а ц а е в , Е. З . М о г у л ь с к и й . Некоторые признаки кратной полноты систем собственных и присоединенных векторов полиномиальных пучков операто
ров.— Теория функций, функц. анализ и их прилож., 1971, в. 13, с. 3—45.
[60] С. С. М и р з о е в. Двукратная полнота части собственных и присоединенных век
торов операторных пучков четвертого порядка.— Изв. АН Аз. ССР, сер. физ.-техн.
и матем., 1974, № 6, с. 37—42.
[61] Е. З . М о г у л ь с к и й . О полноте системы собственных и присоединенных векто
ров операторного пучка.— ДАН, 1968, 183:4, с. 755—777.
[62] Е. З . М о г у л ь с к и й . Теоремы полноты системы собственных и присоединенных векторов рационального операторного пучка.— Изв. АН Арм. ССР, сер. матем., 1968, 3:6, с. 427—442.
[63] Е. 3 . М о г у л ь с к и й . О кратной полноте системы собственных и присоединен
ных векторов дробно-линейного пучка операторов.— Изв. АН Молд. ССР, сер.
физ.-техн., матем., 1975, № 2, с. 3—10.
[64] М. А. Н а й м а р к. Линейные дифференциальные операторы.— М.: Наука, 1969.
[65] И. А. Н о в о с е л ь с к и й . Некоторые признаки полноты системы корневых век
торов линейного оператора в пространстве с двумя нормами.— ДАН, 1966, 169:4, с. 747—750.
[66] И. А. Н о в о с е л ь с к и й . О линейных операторах в пространстве с двумя топо
логиями.— Изв. АН Молд. ССР, сер. физ.-техн., матем., 1966, № 4, с. 39—46.
[67] М. Б. О р а з о в , Г. В. Р а д з и е в с к и й . Теоремы полноты и базисности собст
венных векторов гиперболической оператор-функции.—СМЖ, 1975,16:3, с. 572—587-
144 Г. В. Р А Д З И Е В С К И Й
[68] Ю. А. П а л а н т. Об одном признаке полноты системы собственных и присоединен
ных векторов полиномиального пучка операторов.— ДАН, 1961, 141:3, с. 558—560.
[69] Ю . А . П а л а н т . Об одном методе получения признаков кратной полноты системы собственных и присоединенных векторов полиномиального пучка операторов.
Вестн. Харьковского ун-та, сер. мех.-матем., 1970, в. 34, с. 3—13.
[70] Г. В. Р а д з и е в с к и й . Кратная полнота собственных и присоединенных векто
ров некоторых классов оператор-функций, аналитических в круге.— Функц. ана
лиз, 1973, 7:1, с. 84—85.
[71] Г. В. Р а д з и е в с к и й . Кратная полнота корневых векторов пучка М. В. Кел
дыша, возмущенного аналитической в круге оператор-функций.— Матем. сб., 1973, 91:3, с. 3 1 0 - 3 3 5 .
[72] Г. В. Р а д з и е в с к и й . Об одном методе доказательства полноты корневых век
торов оператор-функций.— ДАН, 1974, 214:2, с. 291—294.
[73] Г. В. Р а д з и е в с к и й . О базисности производных цепочек.— Изв. АН, сер.
матем., 1975, 39:5, с. 1182—1218.
[74] Г. В. Р а д з и е в с к и й . О полноте производных цепочек.— Матем. сб., 1976, 100:1, с. 37—58.
[75] Г. В. Р а д з и е в с к и й . О некоторых признаках кратной полноты корневых век
торов, аналитических в угле оператор-функций.— УМЖ, 1976, 28:2, с. 203—212.
[76] Г. В. Р а д з и е в с к и й . К задаче о полноте корневых векторов, отвечающих двум спектральным сериям пучка М. В. Келдыша.— УМЖ, 1976, 28:3, с. 413—418.
[77] Г. В. Р а д з и е в с к и й . Теоремы полноты части корневых векторов пучка М. В. Келдыша.— ДАН УССР, сер. А, 1976, № 7, с. 597—600.
[78] Г. В. Р а д з и е в с к и й . Квадратичный пучок операторов.— Препринт ИМ-76-24.
Изд-во Института матем. АН УССР, Киев, 1976.
[79] Г. В. Р а д з и е в с к и й . Полнота корневых векторов пучка Келдыша, возмущен
ного аналитической оператор-функцией S (к) с S (оо) = 0.— Матем. заметки, 1977, 21:3, с. 391—398.
[80] Г. В. Р а д з и е в с к и й . О полноте части корневых векторов пучка операторов L (X) = I — %~kB — ХпЛ.— УМН, 1979, 34:1, с. 2 4 1 - 2 4 2 .
[81] Г. В. Р а д з и е в с к и й . О полноте производных цепочек, отвечающих краевым задачам на конечном отрезке.— УМЖ, 1979, 31:3, с. 279—288.
[82] Г. В. Р а д з и е в с к и й . О полноте производных цепочек, отвечающих краевым задачам на полуоси.— УМЖ, 1979, 31:4, с. 407—416.
[83] Г. В. Р а д з и е в с к и й . О базисах, состоящих из производных цепочек, отвечаю
щих краевым задачам.—ДАН, 1980, 251:2, с. 283—287.
[84] Г. В. Р а д з и е в с к и й . Теорема об оценке резольвенты оператор-функций.—
Матем. заметки, 1982, 31.
[85] М. Л. Р а с у л о в . Метод контурного интеграла.— М.: Наука, 1964.
[86] Р. X. А. Х а с а н е й н . Полнота части собственных и присоединенных векторов полиномиальных пучков второго порядка.— Учен. зап. Аз. ГУ, сер. физ.-матем., 1976, № 5, с. 43—47.
[87] Р. X. А. Х а с а н е й н . Кратная полнота с конечномерным дефектом части соб
ственных и присоединенных векторов операторных пучков в банаховом простран
стве.— Теория функций, функц. анализ и их прилож., Махачкала, 1976, в. 3, ч. 1, с. 168—178.
[88] Я. Д. Т а м а р к и н. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды.—
Петроград: тип. М. П. Фроловой, 1917.
[89] Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц . Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3.— М.— Л.: Гостехиздат, 1949.
[90] Э. Х и л л е , Р. Ф и л л и п с . Функциональный анализ и полугруппы.— М.; ИЛ, 1962.
[91] С. Я. Я к у б о в . О двукратной полноте собственных и присоединенных элементов квадратичного операторного пучка.— Функц. анализ, 1973, 7:1, с. 92—94.