Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Г. В. Радзиевский, Задача о полноте корневых векторов в спектральной теории оператор-функций, УМН , 1982, том 37, выпуск 2(224), 81–145
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 06:41:20
1982 г. март—апрель т. 37, вып. 2(224) УСПЕХИ МАТ ЕЖАТИЧЕСКИХ НАУК
УДК 517 43+513 881
ЗАДАЧА О ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЙ
Г. В. Р а д з и е в с к и й
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение
Г л а в а I. Производные цепочки. Теорема М. В. Келдыша
§ 2. Постановка задач
§ 3. Обзор результатов
§ 4. Связь полноты производных цепочек с разрешимостью краевых задач
§ 5. Доказательство теоремы М. В. Келдыша
§ 6. Комментарии
Г л а в а I I . Полнота производных цепочек, соответствующих краевым условиям
§ 7. Основная теорема *.
§ 8. Проверка условия 4 основной теоремы
§ 9. Полнота производных цепочек, отвечающих краевым условиям на конеч
ном отрезке
§ 10. Полнота производных цепочек, отвечающих краевым задачам на полуоси
§ 11. Случай скалярных коэффициентов в краевых условиях Л и т е р а т у р а
§ 1. Введение
Под спектральной теорией несамосопряженных операторов принято по
нимать широкий круг вопросов, связанных с изучением спектральных харак
теристик несамосопряженных операторов, например, исследование асимпто
тики и локализации спектра, полноты корневых векторов, базисов, состав
ленных из корневых векторов, изучение возможности суммирования корне
вых векторов методом, предложенным В. Б. Лидским в [44], и другие. Но во многих задачах, встречающихся в дифференциальных уравнениях и при
кладных вопросах, возникает необходимость изучить аналогичные вопросы, но не для оператора, а для некоторой функции, принимающей значения в множестве операторов. Такое обобщение спектральной теории операторов естественно назвать спектральной теорией оператор-функций (о.-ф.). Хотя на необходимость исследования спектральных свойств о.-ф. внимание мате
матиков было обращено еще в начале нашего века, тем не менее первые осново
полагающие результаты в абстрактной теории о.-ф. были получены М. В. Кел
дышем в работе [31], опубликованной в 1951 г., где введено важное понятие тг-кратной полноты корневых векторов и доказана фундаментальная теорема об тг-кратной полноте корневых векторов для полиномиально зависящих от X о.-ф., получивших впоследствии название пучков операторов М. В. Келдыша.
6 Успехи матем. наук, т. 3 7, вып. 2
81 84 84 86 94 101 106 111 111 116 123 131 133 141
82 Г. В . Р А Д З И Е В С К И Й
Эта теорема обосновывает принципиальную возможность применения метода Фурье при решении задачи Коши для широкого класса операторно-диффе- ренциальных уравнений. Исследование же других задач для операторно-диф- ференциальных уравнений диктует изучение кратной полноты корневых векторов, отличное от тг-кратной полноты, рассмотренной М. В. Келдышем.
Не останавливаясь на деталях, поясним сказанное на следующем примере.
На множестве достаточно гладких вектор-функций (в.-ф.) x(t) со значе
ниями в гильбертовом пространстве @ зададим уравнение
(1.1) L(d/dt)x(t) = LQx(t) + Ьгх^Щ + . . . + Lnx(n\t) = О и краевые условия
(1.2)#г [*(*)] ^ 2 [Al,Px^(0) + Bl<pxW(l)] = fl (1 = 1, . . . , / » ) с операторными коэффициентами Lp, A z> р и Вх17), которые для простоты счита
ем ограниченными операторами, действующими в $.
Как и в конечномерном случае, одним из возможных методов решения краевой задачи (1.1), (1.2) является метод нахождения решения x(t) уравне
ния (1.1) в виде суммы
(1.3) *(t) = %ckxk(t),
h
где xk(t) = e^htxh и в. ф. xh(t) — нетривиальные решения уравнения (1.1).
Поэтому векторы xk Ф 0, а так как xk(t) — решение уравнения (1.1), то L(\bk)Xk = 0, где о.-ф.
(1.4) Щ) = Ь0 + ХЬг + . . . + KnLn.
Тем самым xk — собственный вектор L(%), отвечающий характеристическому числу \ik (предполагаем для упрощения, что присоединенных векторов нет).
Выясним теперь, при каких условиях, налагаемых на векторы fh найдут
ся коэффициенты ckl для которых решение (1.3) уравнения (1.1) удовлетворяло бы краевым условиям (1.2). Заметив, что Uiixk(t)] = Ui(\xk)xk с о.-ф.
(1.5) #/(*,)= S Kp(AltP + e^Bl9P) (Z = l, . . . , m ) ,
Р=О
подставим решение (1.3) в краевые условия (1.2). Тогда (1.6) 2 cf ct f , ( | ik) *k = /j (l = i,...,m).
k
Запишем эти т равенств в виде одного равенства. Для этого в гильбертовом пространстве iQm, равном прямой сумме т экземпляров пространства ig, определим вектор / = {Д, . . ., fm) и элементы
(1.7) yk = {иЛр^Хь, . . ., Um(\ih)xk}.
В этих обозначениях равенства (1.6) примут вид 2 chyk = /, поэтому для и
выполнения равенств (1.6) необходимо, чтобы вектор / = {Д, . . ., /т} при
надлежал линейной оболочке векторов yk.
Линейную оболочку векторов yk, построенных по правилу (1.7) по соб
ственным векторам^ о.-ф. L(X), которые отвечают характеристическим числам
\ik 6 Q (где Q — некоторое множество комплексной плоскости С), обозначим через
(1.8) ЩЩ); U&), . . ., Un(k); Q).
Изложенную конструкцию можно трактовать как решение задачи (1.1)г
(1.2) методом разделения переменных, считая при этом гильбертово про-
О ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 8 3
странство JQ пространством функций, зависящих, например, от переменной £, a Lp,AitP и Вг р — операторами, действующими по этой переменной. Следо
вательно, метод разделения переменных при решении задачи (1.1), (1.2) применим лишь для элементов / = {/х, . . ., /т} , принадлежащих замыканию многообразия (1.8), в котором Q = С. Исходя из этого утверждения, пред
ставляется интересным ответить на вопрос, какое место занимает многообра
зие (1.8) в пространстве ^т, чему и посвящены основные результаты данной работы. Поэтому приведенные результаты выясняют насколько богато множество векторов, для которых имеется принципиальная возможность обосновать метод разделения переменных при решении задачи (1.1), (1.2).
Важность ответа на поставленный вопрос заключается еще и в том, что при достаточно общих предположениях относительно L(k) — символа диффе
ренциального выражения (1.1) и С/Д) — символов краевых условий (1.2) удается установить, что замыкание многообразия (1.8) (считаем Q = С) совпадает с замыканием множества тех векторов / = {/1? . . ., /т} , при кото
рых краевая задача (1.1), (1.2) разрешима (см. § 4).
Как видно из построения многообразия (1.8), участвующие в нем о.-ф.
1Д) и Ui(%) можно считать произвольными аналитическими от X 6 Q функция
ми, не обязательно заданными равенствами (1.4) и (1.5). Такое обобщение удобно хотя бы потому, что возникающие в приложениях краевые условия не исчерпываются краевыми условиями вида (1.2), как, впрочем, и сама о.-ф. L(k), по корневым векторам которой строится многообразие (1.8), в при
ложениях не обязательно имеет полиномиальный вид (1.4).
В терминах многообразия (1.8) описываются все известные из литературы задачи о полноте корневых векторов о.-ф. Ь(к\. Так, например, если краевые условия (1.2) совпадают с условиями Коши: Ui[x(t)] = х^1~г) (0) (Z= 1, . . ., п), то символами этих краевых условий являются о.-ф. С/ДА,) = А/"1/, где / — тождественный в ig оператор. Известная теорема М. В. Келдыша, относя
щаяся к этому случаю, утверждает, что
(1.9) $(Ь(к); / Д / , . . . Д " "1/ ; С) = &
(черта над 5$ означает замыкание этого многообразия по норме пространства, стоящего в правой части равенства). Равенство (1.9) в терминологии М. В. Келдыша и означает п-кратную полноту корневых векторов L(k).
Другая постановка задачи о полноте корневых векторов связана с иссле
дованием краевой задачи на полуоси [0, оо). В этом случае, кроме краевых условий
(1.10) VtlxW^j] А1<рзРЦ0) = П (1 = 1, ...,т),
предполагается, что решение x(t) подчинено требованию #(+оо) = 0, т. е.
II #(0 II - ^ 0 при t -> + о о , причем разложение (1.3) решения x(t) задачи (1.1) г
(1.10) ведется лишь по тем элементарным решениям xk{t), для которых хп(-\-оо) = 0. Поэтому в данном случае необходимо изучить полноту много
образия
(1.11) ЩЩ); У Д ) , . . ., Vm(X); Re X < 0)
с о.-ф. Vi(k) = 2 №AtiP. Одним из существенных отличий задачи о полнота многообразия (1.11) от ранее приведенных задач является необходимость исследования кратной полноты не всех собственных векторов L(X), а лишь тех, которые отвечают характеристическим числам \ih с Re \ih <C 0, так как только для этих характеристических чисел ^(-[-оо) = 0.
6*
84, Г. В . Р А Д З И Е В С К И Й
Целью данной работы является обзор результатов, относящихся к различ
ным признакам полноты корневых векторов, возникающих из рассмотрения упомянутых трех краевых задач: задачи Коши и задач на конечном отрезке и на полуоси. В гл. I дано определение многообразия (1.8) без дополнитель
ного предположения о том, что у собственных векторов нет присоединенных;
показана связь многообразия (1.8) или (1.11) с разрешимостью соответствую
щих краевых задач, а также доказана теорема М. В. Келдыша. В § 3 и § 6 гл. I приведен обзор результатов, относящихся к различным признакам полноты корневых векторов для пучка операторов М. В. Келдыша, причем результаты, доказанные в гл. II, сформулированы в § 3 (большинство из них было анонсировано в статьях [81], [82]).
Г Л А В А I
ПРОИЗВОДНЫЕ ЦЕПОЧКИ. ТЕОРЕМА М. В. КЕЛДЫША
§ 2. Постановка задач
1. Определение производных цепочек и обозначения.Готическими буква
ми !Q и S3 обозначаются соответственно гильбертово и банахово пространства.
Если необходимо рассмотреть несколько таких пространств, то они снаб
жаются индексами. Прямая сумма т банаховых пространств 23 \ записывается
т
в виде © 33 z и состоит из элементов х = (хъ . . ., хт}, где векторы хг 6 23*, а норма х задана г) равенством || х ||2 = || хг ||2 + • • • + II хт II2. Если
га
S3/ = S3, то SSm = 0 S3;. Аналогично определяется прямая сумма мно-
i=i
жеств ®z ^ SSz, причем ф @т т z ^ © S3 г- В случае, когда @z = @(^25),
i=i i=i
множество (Sm = © @т z(<= SSm).
i=i
В данной работе рассматриваются лишь линейные операторы. Через [S3i, S32] обозначается множество всех ограниченных операторов, действую
щих из S3i в Э32, а через ©oJSSi, S32] — подмножество множества, [SSi, 252], состоящее из вполне непрерывных операторов, причем [S3] = [S3, 33], а ©«ДЭЗ] = 2>oJS3, S3]. Область определения, область значения и ядро оператора А обозначаются соответственно через ®(Л), ЩА) и 3 ( 4 ) . Если А £ [SSi, SS2], то предполагается, что Ъ(А) = 23i. Для оператора А, дей
ствующего из 23i в Э32, и множества (§ ^ ®(4) определим множество 4(5 =
= {х е S32: х = Ay, ye Щ. Очевидно, что ЩА) - АЩА).
Рассмотрим аналитическую в области Q комплексной плоскости С о.-ф.
L(k) со значениями в [§]. Число \х £ £2 называется характеристическим числом L(X), если существует ненулевой вектор х0 £ $» Для которого L(\i)x0 =
= 0; х0 называется собственным вектором. Пусть найдется такой векторный полином х(%) = х0 + (к — \i)xi + . . . + (К — \i)hxh с элементами xs 6 i§, что || L(X)x(K) \\ = 0(\ X — \i \h+1) в окрестности точки X = \i. Тогда элементы х0, . . ., xh называются цепочкой собственного и присоединенных к нему векто
ров (или корневых векторов) о.-ф. L(%), отвечающей характеристическому числу |ы.
Введем теперь понятие производной цепочки, предполагая, что о.-ф.
L(K) и <2х(Я), . . ., Qm(X) аналитически зависят от A, 6J3, а значения L(^) 6 [$]>
<?г(Я) 6 [g, S3Z] при Я 6 Q.
х) Как правило, в дальнейшем индекс при норме пропускается, так как из самой ваписи ясно, в каком пространстве берется норма элементов хг и х.
О ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 8 5
О п р е д е л е н и е 2 . 1 . Пусть имеется т о.-ф. Qi(X) и х0, . . ., xh — произвольная упорядоченная цепочка элементов из ig, а число \х 6 £2- В про-
т
странстве 0 83* образуем h + 1 элементов z/s по правилу (2.1) z/s = {ylt8, . . ., ym%s) (s = О, . . ., fc), где
s
/? ?\ 7/ _ V 1 d gt f t W g 8 - g ] 1 / / _ 4 W4
q=0 X=\JL
Пусть теперь x0, . . .,xh — цепочка собственных и присоединенных к нему векторов о.-ф. L(X), отвечающая характеристическому числу \х. Тогда упо-
т
рядоченная цепочка элементов (2.1) из 0 931 называется производной по
i=i
Qi(k), . . ., Qm(k) цепочкой, а вектор ys — s-м вектором в производной по Qi{%), . . ., Qm(k) цепочке.
Далее, через ЩЬ(к); Qi(k), . . ., Qm(^ &) обозначим линейную оболочку элементов (2.1), построенных по правилу (2.2) по собственным и присоединен
ным к ним векторам о.-ф. L(X), которые отвечают всем характеристическим числам L(X) из области Q.
2. Производные цепочки и краевые задачи. Все известные из литературы задачи о полноте векторов (о базисах, составленных из векторов), которые построены по корневым векторам некоторой о.-ф., соответствуют тому или иному частному случаю задачи о полноте производных цепочек (о базисах, составленных из производных цепочек). Приведем пример, обобщающий построения, сделанные в § 1. Здесь, как и в § 1, не играет роли, в каком смысле (сильном или слабом) понимается производная от в.-ф. x(t). Аналогич
ное замечание относится и к требованию непрерывности о.-ф.
На множестве достаточно гладких в.-ф. x(t) со значениями в ig рассмот
рим уравнение
(2.3) L(d/dt)x(t) = L0x(t) + LipcP-Щ) + . . . + Lnx^ (t) = О,
где Lp £ [i§], a t£[0, а] с 0 < a ^ oo. Уравнению (2.3) поставим в соот
ветствие о.-ф.
(2.4) Щ) = L0 + XL, + . . . + WLn
(которая является аналогом характеристического многочлена для уравнения с постоянными коэффициентами). Пусть х0, . . ., xh — цепочка собственного и присоединенных векторов о.-ф. L(X), отвечающая характеристическому числу \х. Это равносильно тому, что уравнение (2.3) имеет решения
(2.5) xs(t) = e^(-^-x0+...+^rxs_i + x8) (s = 0, . . . , /г), называемые элементарными решениями.
Пусть заданы выражения
% а
(2.6) Uг [х (*)] ^ 2 j Gu v (t) *( Р ) (t) dat< p(t) (Z = 1, . . ., m),
p=0 0
где GiiP(t) — непрерывные о.-ф. со значениями в [jg, 93г]; OitP(t) — функции ограниченной вариации. Вектор
Л т
(2.7) / = {Ui [х (*)], ...,Um[x (t)}} (6 Ф ЯЗ,)
г = 1
86 Г. В. Р А Д З И Е В С К И Й
назовем граничным значением в.-ф. x(t), а условия вида (2.8) Ul[x(t)] = fl (Z = l, . . . , / п ; / , £ » , )
— краевыми (или граничными) условиями.
Каждому выражению (2.6) поставим в соответствие о.-ф.
т а
Qi W = Е J е*,'я-РС«. р О d 0<. p W (* = ! . • • • > ">)•
р = 0 О
Подставив в.-ф. (2.5) в выражение (2.6), получим
g = 0
Я = | 1
Поэтому для элементарного решения xs(t) уравнения (2.3) граничный вектор (2.7) совпадает с элементом (2.1). Следовательно, справедливо
У т в е р ж д е н и е 2.1. Для всякого вектора
/ = {Л, • • м Ы € ЩЩ); &(Я), . . ., Qm(k); Q)
найдется решение задачи (2.3), (2.8), которое представимо в виде конечной линейной комбинации элементарных решений (2.5), отвечающих характери
стическим числам JLI 6 £2-
З а м е ч а н и е 2.1. Краевые условия (1.2) и (1.10) являются частным случаем краевых условий, заданных выражениями (2.6). Покажем теперь, как т краевых условий вида (1.2) или (1.10) свести к одному краевому усло
вию. Для этого по операторам A z £ [$, 93 z] (Z = 1, . . ., т) определим опера
тор
т
z=i
действующий по правилу: для произвольного вектора х £ ig элемент
m
Ах^вЦ^, . . ., ^4m#} 6 © S3j.
Z = l
По коэффициентам Л г>р и #z,P, входящим в краевые условия (1.2), опре
делим операторы^ = {AL1IP, . .'., Ат,р} и Вр = {BltP, . . ., #т,р} и поло
жим / = {/1? . . ., /т} . Используя эти обозначения, краевые условия (1.2) запишем в виде
U [х (*)] = S [Арх^ (0) + Врх^ (1)] = /.
Аналогично делается сведение т краевых условий вида (1.10) к одному краевому условию.
Отметим еще, что если Qi(k) — аналитические в области Q о.-ф. со значе
ниями в [@, 85 г], то
$ (ОД; &(Л), . . ., 0те(*); Q) = ЩЩ); Ш Ц , . . ., <?mM}; О)-
§ 3. Обзор результатов
1. Пучок операторов М. В. Келдыша. В § 1 были описаны классы о.-ф.
Qi(k), в терминах которых будут получены признаки полноты корневых век
торов о.-ф. L(k). Здесь же остановимся на задании о.-ф. L(%). Для этого вве
дем некоторые обозначения.
О ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 8 7
Везде в дальнейшем предполагается, что гильбертово пространство fe сепарабельно. Пусть оператор С имеет вид
(3.1) с = 2 М О (•,**)**.
к
где {xk} — некоторая ортонормированная система пространства <§, а Х^(С) — не равные нулю комплексные числа. Тогда по определению
(3.2) . С" = 2 ** (О (•,**)*!,
к
при всех вещественных а. Здесь и дальше, если не оговорено противное, Ха = | X \aeia а г^ при X ф О и —я << arg X ^ я . Следует заметить, что оператор С, заданный равенством (3.1), может быть и необратим в обычном смысле, однако при а = —1 равенство (3.2) задает оператор С- 1 и С~ХС = С0, где С0 — ортопроектор на Ж (С).
Пусть А 6 ©оЛ^]; тогда Я&(Л) — собственные числа оператора А, занумерованные в порядке убывания модулей с учетом кратностей. Числа sk(A) = Xk(C), где С = (А^А)1!2, называются s-числами оператора А, При о > О введем множества 3af$L ©al$l и ©ш § 0[^], состоящие из таких операторов А £ ©oJigl, для которых справедливы следующие соотношения:
оо оо
lim ks°k(A) = О, S 4 ( 4 ) < о о и S Л '1^ U X °°- Результаты этого параграфа формулируются для о.-ф.
(3.3) ЦХ) = / + Г0Я° + Я 7 \ # + . . . + ^П-1ТП.1Я7 1"1 + Г ЯП, где Я — нормальный вполне непрерывный оператор, спектр которого распо
ложен на конечном числе лучей, Th £ ©«Jigl И, кроме того, Н я Тк подчине
ны одному из следующих условий.
У с л о в и е А. Я 6 ЗЛ&1- У с л о в и е Б . Tfe 6 ©о iU}l-
У с л о в и е В. Я 6 3a' [£L ? \ = Wh№ с р > 0 и Wk 6 [ £ l . Отметим, что из выполнения условия В следует выполнение условия А.
О.-ф. (3.3) совпадает с пучком операторов М. В. Келдыша [31], [32], а условия А и Б являются именно теми требованиями, при которых была получена тг-кратная полнота корневых векторов L(X) в работах Ю. А. Паланта [69] и В. И. Мацаева, Е. 3 . Могульского [59]. В этих работах получена сле
дующая теорема, относящаяся к полноте производных цепочек, отвечающих задаче Коши х).
Т е о р е м а 3.1. Пусть L(X) задана равенством (3.3) и удовлетворяет слуовию А или Б . Тогда
^ (L (X); I,U, ...Лп-Ч; С) + 3П( Я ) = Г -
Теорема 3.1 является частным случаем доказанной в работе теоремы 3.9.
2. О полноте производных цепочек, отвечающих краевым условиям на конечном отрезке. Д л я формулировки соответствующих признаков полноты понадобится понятие о регулярности краевых условий, заданных выраже
ниями
(3.4) Ul[x(t)] = alxiki)(0) + $lxihi)(l) (1 = 1, . . . , » ) .
г) В работах [69], [59] теорема 3.1 установлена при дополнительных условиях:
Нп самосопряжен, 3(Я) = {0}.
8 8 Г. В. РАДЗИЕВСКИЙ
Пусть cos — корни п-й степени из — 1 , занумерованные так, что для произвольного числа р ^ О с 0 ^ arg р ^ п/п справедливы неравенства
(3.5) Re pco! ^ Re рсо2 <Г . . . ^ Re pcon.
По коэффициентам аг и рь входящим в выражения (3.4), построим два числа v0 и vx, заданные равенствами: если п = 1, то v0 = аъ vx = рх, а при п = 2, 3, . . ., ; = 0, 1 и т = [(п + 1)/2]
(3.6) v7-
а Х1 ... а ^ ч Mm'-i+i ••• М п1
а,ш*» ... а2со^_. M * Li + 1 ... Р.с#
апа>*> ... аЛ«*», pn< Li + 1 ... Рпш*»
О п р е д е л е н и е 3.1. Пусть къ . . ., &п — целые неотрицательные числа меньше п. Краевые условия, заданные выражениями (3.4), называются регулярными, если построенные по их коэффициентам аг и pz числа v0 и vx
удовлетворяют следующим условиям:
а) в случае нечетного п, когда v0v1 Ф 0;
б) в случае четного п, когда v0 Ф 0.
В § 11 (см. замечание 11.6) будет показано, что определение 3.1 эквива
лентно соответствующему определению, данному в книге М. А. Наймарка [64] (с. 66 и 67), хотя дополнительных предположений здесь меньше.
По оператору А, действующему в ig, построим гильбертовы пространства
<д (А, I) и ig (^4), полученные пополнением ®(^4) по нормам || х \\ $(А } =
= (|| Ах ||2 + || х Ц2)1/2 и || х \\$,А) = || Ах || соответственно, причем в опре
делении fe(A) считаем Q(A) = {0}.
Спектром о(А(Х)) о.-ф. А (к), зависящей от К 6 Q, называется множество тех значений ^ f Q , при которых оператор А (к) не имеет ограниченного обрат
ного. Для оператора А, действующего из ig в ig, полагаем о (А) = о (А — XI).
Широкому классу краевых условий на конечном отрезке соответствуют (в смысле § 1, см. также замечание 1 из [81]) о.-ф.
(3.7) «7,(X) = [alX*i + ViW + P , X V ] J (1 = 1, . . . , * ) ,
где кг — целые неотрицательные числа меньше тг, | аг | + | рг | =т^ 0, а yi(k) — такие целые функции, что для произвольного ф 6 (0, л;/2) найдутся положи
тельные постоянные сф и 8<р, для которых | yi(k) | ^ сф(1 + | X |)^^~6Ф X X (1 + exp Re Я), если | arg(+A,) | < ф.
Т е о р е м а 3.2. Предположим, что о.-ф. L(X) определена равенством (3.3), а на мнимой оси имеется лишь конечное число точек спектра о.-ф.
I + ХпНп. Пусть краевые условия, заданные выражениями (3.4) и построен
ные по коэффициентам аг и Pz функций иг(Х), регулярны. Тогда (3.8) со&ШЩЩ); иг(Х), . . ., Un(X); С) + Qn(H)l < ос
п .
в пространстве ф $g(H i + I — Н°), где число г > 0, ес./ш £(Я) удовле- творяет условию А или Б , i£ 8 ^ 0 , £с/ш £(А,) удовлетворяет условию В. i=i
З а м е ч а н и е 3.1. Требование регулярности краевых условий, задан
ных выражениями (3.4) и построенных по коэффициентам аг и рг функций Uг(Х), а также требование конечного числа точек спектра у / + ХпНп, лежа
щих на мнимой оси, в теореме 3.2 существенны. Если снять хотя бы одно из этих требований, то соотношение вида (3.8), вообще говоря, неверно, когда dim ig = оо. Покажем это, для простоты, на примерах, построенных в случае п = 2 и о.-ф. Щ) = I + VH2.
О ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 8 9?
Действительно, если U^X) = [—1 + ek]I, U2(k) = Ml + еЩ', то по
строенные по коэффициентам этих функций краевые условия заданы выра
жениями иг[х(Ь)] = —х(0) + ж(1), U2[x(t)] =x'(0) + х'{\) и не являются регулярными (хотя линейно независимы и нормированы). Если же dim jg =
= оо, то несложно показать, что при любых вещественных хъ т2 в простран
стве g ( # * i + / - Я0) 0 %(№> + 1 — ЕР)
(3.9) codim [ЩЩ); иг(Х), U2(l); С) + 82( # ) ] = оо,
каков бы ни был нормальный вполне непрерывный оператор Я с dim 3 ( ^ 0 <
<С оо.
Поясним теперь требование конечности числа точек спектра о.-ф. / + + АЛЯ71, лежащих на мнимой оси. Пусть {xk}^=\—ортонормированный базис пространства Jg, оператор Я = 2 (2я/с)-1(-, xk)xk. Характеристиче- ские числа о.-ф. L(^) = / + AAff2 равны ±2лй:1, т. е. все лежат на мнимой оси. Функции U^i) = J , U2(X) = ех1 соответствуют разделенным краевым условиям, которые являются регулярными. Но S$(L(A,); £7i(A,), U2(%)\ С) ^ S {х = {хъ х2} 6 i§2- #i = #2}* значит, справедливо соотношение (3.9).
З а м е ч а н и е 3.2. И з конструкции примера, построенного в заме
чании 3 работы [81], видно, что если кроме выполнения условий теоремы 3.2 считать нормы операторов Tk сколь угодно малыми, а функции yi(k) = 0, то утверждение вида
(3.10) $(L(X); U±(K), ...,Un(%);C) + Sn(H) = ® <Q (Hki+& + I~ Я°>
в общем неверно. Поэтому для установления равенства (3.10) приходится накладывать достаточно жесткие ограничения на L(X) и иг(Х) типа требо
вания эллиптичности L(%) и соответствия Ut(X) задаче Дирихле на конечном отрезке.
В случае, когда п нечетно, а спектр а(Я) оператора Я локализован опре
деленным образом, теорема 3.2 допускает обобщение в том смысле, что доста
точно требовать неравенство нулю одного из чисел v0 и vb которые построены по коэффициентам аьи $г функций иг(Х) (в теореме 3.2 предполагалась регу
лярность краевых условий, заданных выражениями (3.4), что в случае нечет
ного п равносильно неравенству нулю двух чисел v0 и v j . Д л я формулиров
ки такого рода обобщений введем области
(3.11) Q, = Vfo:|arg[>exp( - * ( > - ! + » ) ] | ^ J L } ( y = =i) 2) . Т е о р е м а 3.3. Пусть о.-ф. L(k) удовлетворяет условиям теоремы 3.2, а множество о(Н) f| Q2 (или о(Н) f) Qx) содержит не более конечного числа точек. Предположим также, что в случае нечетного числа (п + 1)/2 число v0 ф 0 {соответственно vx Ф 0), а в случае четного (п + 1)/2 число vx Ф О
(соответственно v0 Ф 0). Тогда справедливо утверждение теоремы 3.2.
Доказательства теорем 3.2 и 3.3 даны в § 11 (см. замечание 11.2).
3 . О полноте производных цепочек, отвечающих краевым задачам на полуоси. Через ViCk) обозначим о.-ф.
(3.12) Vx (X) = ф + yi (X)] I (Z = l , ...,m; m < / i ) ,
где кi — не равные между собой целые неотрицательные числа меньше пг a yi(X) — такие аналитические при Re % < 0 функции, что для произволь
ного ф 6 (0, я/2) найдутся положительные постоянные сф и бф, для которых I Y А ) I < <\р(1 + I Ь | ) * ' ~ Ч если | arg (-1) | < <р.
90 Г. В. РАДЗИЕВСКИЙ
Заметим, что функции вида (3.12) соответствуют весьма широкому классу краевых задач на полуоси t ]> 0, например, когда краевые условия заданы выражениями
оо оо
Vt [х (*)] = ж'*»' (0) + j xihiy(t) dot, h ( 0 + 2 j xiP) (t) dalt p (*),
a P<ki °
где a > 0, a OiiP(i) — функции ограниченной вариации. Тогда отвечающие этим выражениям функции Vi(%) имеют вид (3.12) с
с» с»
уг (%) = j A,V« dot, h (t) + 2 J A.V* daz, p (t),
a P<ki ° удовлетворяющими наложенным ограничениям.
Т е о р е м а 3.4. Пусть о.-ф. L(K) задана равенством (3,3), а число
т = [{п _ 1)/2]. Тогда
codim [ $ ( В Д ; V^X), . . ., Fm(X); Re Я < 0) + 8m (Я)] < оо
т
в пространстве @ $Q(Hhi+e + / — Я0), где 8 > 0, гс/ш L(X) удовлетворяет условию А шш Б , г^ 8 ^ 0 , ес/ш L(X) удовлетворяет условию В.
При наложении дополнительных условий на спектр оператора Н тео
рема 3.4 допускает обобщение, которое сформулируем с учетом определе
ния (3.11) областей Q± и Q2.
Т е о р е м а 3.5. Пусть о.-ф. L(%) задана равенством (3.3), причем на мнимой оси имеется лишь конечное число точек спектра о.-ф. I + Xй Нп. В случае нечетного п дополнительно считаем, что если (п + 1)/2 — нечетное (четное) число, то множество G(H) (]Q2 (соответственно о(Н) f| Qx) содержит не более конечного числа точек. Тогда при т =[(п + 1)/2] справедливо утвер
ждение теоремы 3.4.
Доказательства теорем 3.4 и 3.5 даны в § 11 (см. замечание 11.7).
Необходимость ограничения количества функций Vt(X) в теоремах 3.4 и 3.5 при соответствующих условиях на спектр оператора Н вытекает из по
строения многообразия ЩЬ(Х); Уг(Х), . . ., Vm(X); Re X < 0) для о.-ф.
L(X) = I + ХпНп и VX(X) = XhH.
Простые примеры, построенные в одномерном пространстве ig, пока
зывают, что равенство (3.13)
; т ,
^(L(X);Vi(^^-^Vm(X);ReX<0) + Sm(H)=®Q(Hki^ + I^Ho)
i=i
без каких-либо дополнительных ограничений на операторы Tk и функции yi(X) несправедливо. Однако, если потребовать малость норм операторов Tk и функций yi(X), то удается установить равенство (3.13). А именно, спра
ведлива следующая теорема.
Т е о р е м а 3.6. Пусть о.-ф. L(X) задана равенством (3.3) и удовлетво- ряет условию А или Б , а число гр > 0 такое, что в углах | arg (±Х) | < -к *Ф находится весь спектр о.-ф. I + ХпНп, за исключением чисто мнимых точек.
Тогда для произвольных е, б > 0 существуют такие положительные посто
янные сг(г, б) и с2(&. б), что коль скоро \\ Т0 || + || Тг || + . . . + || Тп_г || <
< ^ ( е , б), а
S Г sup ( 1+| Л | Г * «+ в \У1(Х)П<с,(г, б),
' -1 U : | a r g ( - ^ ) K ~ -г|) J
/по равенство (3.13) справедливо при т = [(п — 1)/2].
О ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 9 1
Если же дополнительно считать, что о.-ф. I + Xй Нп обратима на мни
мой оси, а в случае нечетного п, кроме того, о(Н) gz Q1 (или о(Н) с= Q2)i когда (тг -Ь 1)/2 — нечетное (соответственно четное) число, то тогда равен
ство (3.13) справедливо при т = [(п + 1)/2].
Доказательство теоремы 3.6 дано в § 11 (см. замечание 11.8).
4. Полнота части корневых векторов пучка операторов М. В. Келдыша.
При изучении полноты производных цепочек, соответствующих краевым задачам на полуоси, требовалось исследовать кратную полноту корневых векторов L(X), отвечающих характеристическим числам из левой полупло
скости. Естественным обобщением этой задачи является вопрос о кратной полноте корневых векторов Ь(Х), отвечающих характеристическим числам, которые лежат в заданном угле или системе углов. В этом направлении полу
чены следующие утверждения.
Т е о р е м а 3.7. Положим область 8 = {X: | afg(^e^) | < 0}, где в > 2пт/п, a m — натуральное число, для которого 1 ^ т ^ п. Пусть о.-ф. L(X) задана равенством (3.3), а къ . . ., кт — не равные между собой целые неотрицательные числа меньше п. Тогда
c o d i m [ $ ( L ( b ) ; М, . . . . Ь*т1; ©) + Зт (Щ] < °°
т
в пространстве ф <Q(H i -\- I — Н°), где г > О, если L(X) удовлетворяет условию А или Б , и г ^ О, если L(X) удовлетворяет условию В.
В случае, когда оператор Нп самосопряжен, все характеристические числа о.-ф. (3.3), за исключением, быть может, конечного числа, лежат в уг
лах {X: | arg [X exp (inq/n)] | < 9}, где 6 £ (0, п/п), a q = 0, . . ., 2п — 1 (этот факт, установленный М. В. Келдышем в [31], [32], следует, например, из доказанной в § 5 леммы 5.3). В связи с этим утверждением возникает естественный вопрос о полноте корневых векторов L(X), которые отвечают характеристическим числам, лежащим в объединении двух углов
S , , 2= { ^ l a r g [ ^ e x p ^ ] | < e } U { X : | a r g [ X e » p ' " ^ ] | < б } , тем более что для невозмущенного операторного пучка / + ХпНп такая полнота, конечно, имеется.
Т е о р е м а 3.8. Пусть о.-ф. L(X) задана равенством (3.3) с самосопря
женным оператором Нп. Тогда codim [5jS(L(A,); / ; Sqi>g2) + Q(H)] < oo в пространстве !Q(H& + / — H°), где е > 0, если L(X) удовлетворяет усло
вию А или Б , и 8 ^ 0 , если L(X) удовлетворяет условию В . Доказательства теорем 3.7 и 3.8 даны в § 10, п. 2.
5. Обобщение пучка операторов М. В. Келдыша и переход от ограни
ченной к неограниченной записи о.-ф. Если Q — некоторое множество ком
плексной плоскости С, то Q — замыкание множества Q, a Q * = {X: X 6 й } . Через ?[(Q; 93) обозначается совокупность всех аналитически зависящих от X£Q и непрерывных по норме 95 в Q в.-ф., принимающих значения в 93 (в частности, 21 (Q; С) состоит из аналитических функций, непре
рывных в й ) . Пусть у(Х) — числовая функция, заданная при X £Q. Тогда
Шй; 93; тМ) ^ W ) 6 Щй; »): II Л(Х) || < с | У(Х) |, X е Q}.
В области Фу, = {X: \ X \ > г\} рассмотрим о.-ф.
(3.14) ЦХ) = р(ХН) + Г0Я° + ХТгН + . . . + Хп-1Тп^Нп-^ + S(X), где Н — нормальный вполне непрерывный оператор, спектр которого рас
положен на конечном числе лучей, 7 \ 6 ©«>[$], S(X) 6 УЦФ^, 1&) и 5(оо) = 0, а р(Х) — полином степени п, причем р(ХН) = с01 + схХН + . . .
92 Г. В . Р А Д З И Е В С К И Й
. . . + сп%пНп и с0сп Ф 0. Дополнительно считаем, что Н, Tk и S(X) связаны одним из следующих условий.
У с л о в и е А. Я 6 За Ш-
У с л о в и е Б. S(X) = 0, Th £ 2>co,g-i ife] при q, равном максималь
ному количеству корней (с учетом кратностей) полинома р(Х), которые лежат на одном и том же луче, исходящем из начала координат.
У с л о в и е В. Я £ За [£], Тк = Wh№ с р > 0 и Wh 6 [£].
Отметим, что о.-ф. (3.3) получается из о.-ф. (3.14), если в (3.14) положить р(Х) = 1 + Хп, а £(^) = 0. В этом случае условия А, Б или В, наложенные на о.-ф. (3.14), переходят соответственно в условия А, Б или В, наложен
ные на о.-ф. (3.3). Эти условия возникают при оценке резольвенты о.-ф.
L(X) (в частности, они дают достаточные условия справедливости леммы 5.6).
С о.-ф. (3.14) тесно связана о.-ф.
(3.15) М(Х) = р(Х, G) + T0Gn + ХТ^71-1 + . . . + Xn-1Tn^1G+S(X)Gn, где G — нормальный оператор, спектр которого дискретен и расположен на конечном числе лучей, исходящих из точки X = 0, Th 6 @оЛ$], S(X) 6
n
€ ЩФг\\ Ш) и S(oo) = 0, а р{Х, z) = S chXhzn-k — форма тг-й степени
fe=0
от двух переменных X и z, причем с0сп =£ 0 и р(А,, G) = c0Gn + сДС71""1 + • • • . . . + Сп^к71^ + спХп1. Дополнительно считаем, что G, Tk и S(X) связаны одним из следующих условий.
У с л о в и е А'. При некотором а > 0 собственные числа Xm(G) опе
ратора G удовлетворяют соотношению lim m'1 \ Xm(G) |а = оо.
т->оо
У с л о в и е Б ' . S(X) = 0, Tk £ ©со,^-1 [£Я при q, равном максималь
ному количеству корней (с учетом кратностей) полинома р(Х, 1), которые лежат на одном и том же луче, исходящем из начала координат.
У с л о в и е В'. Найдется такое р > 0, что замыкание операторов TkGfi 6 [£)]> причем, оператор G удовлетворяет условию А'.
Пусть А(Х) — функция, зависящая от аргумента X 6 £2 и принимаю
щая значения в множестве неограниченных операторов, действующих из 93х
в 232. Тогда ®(Л) — область определения о.-ф. А(Х) задается равенством
© (А) — П %(А(Х)). О.-ф. А(Х) называется аналитической, если для произ- вольного элемента х £ %(А) в.-ф. А(Х)х — аналитическая от X 6 ^-
Заметим, что ®(Л/) — область определения о.-ф. (3.15) полагается равной ®(6?п). В предположении, что ж0, . . ., xh 6 ®(М) для о.-ф. М(Х) (как и в § 2), вводится понятие корневых векторов х0, . . ., #Л? отвечающих характеристическому числу \i. Если же потребовать, чтобы ®(М) s ® (Ui) для аналитических в области Q (^Фп) о.-ф. С/ДЯ), то, как и в определении 2.1, по о.-ф. М(Х) и f/i(X), . . ., ит(Х) строится многообразие ЩМ(Х); U^K), . . . . . ., Um(X); Q). Используя эти замечания, покажем, как свести задачу о полноте линейного многообразия ЩМ(Х); UX(X), . . ., Um(X); Q) к задаче о полноте линейного многообразия ЩЬ(Х); Q^X), . . ., Qm(X); Q).
Предположим, что иг(Х), . . ., Um(X) — некоторые аналитические от X 6 £2 (сФт]) о.-ф. со значениями в множестве, вообще говоря, неограни
ченных операторов, действующих из пространства ig в 93 z, причем ®(Gn) ^ S ^(Ui). Введем вполне непрерывный оператор Н = G'1 + I — G0
с ®>{Н) = {0}. Для простоты допустим (именно эта ситуация и встречается в дальнейшем), что Qi(X) = Ui(X)Hn — аналитические от X 6 £2 о.-ф. со значениями в [@, 93/]. Положим о.-ф.
(3.16) ЦХ) = М(Х)Нп.
Элементы х0, . . ., xh образуют цепочку корневых векторов L(X) тогда и толь.
