Пусть упругая среда заполняет область Z)+, рассмотренную в предыдущем пункте. Напряжения и смещения в плоской задаче теории упругости описы
ваются потенциалами Колосова — Мусхелишвили Ф(^), Q(z), связанными равенствами [114]
(8.21) ax- > - oy- 4 R e O ) ( z ) , z = x + iy?
(8.22) су - ixxv - Ф (z) -f Q (z) - (z - z) Ф' (z), (8.23) 2lx(^\-i^)^KO(z)~QCz)+Cz-z)^)-
Здесь ax, ayi xxy — компоненты тензора напряжений, и и и — компоненты вектора смещений, \х и к — константы. Однозначные аналитические функции Ф^) и Q(z) при z—> оо имеют следующие разложения:
(8.24)
Ф ( з ) = - 2л (1 J- х)
n ( z )
.
= ;£ i + ^ - ^ 7
A"
2- ^ - *
2л (1 + и) lx+tY) { И Успехи матем. наук, т. XXVI, вып. 1162 Э. И. З В Е Р О В И Ч
где X + iY — главный вектор внешних сил, приложенных к краям сово
купности разрезов, Nt и N2 — значения главных напряжений на бесконеч
ности, а — угол, который ось, соответствующая N±, образует с осью х.
Пусть каждый разрез [r27*-i, r2j], рассматриваемый как замкнутая кри
вая а;, произвольным образом разбит на конечное число участков. На одной части Li участков границы области D+ заданы граничные значения функции ву — i^xy (напряжения), а на остальных участках L2 — функции -г- + i~
(производные смещений). Предполагая, заданными X, Y, Ni, N2, ос, требует
ся найти напряженное состояние тела, обеспечив при этом однозначность вектора смещений и 4- iv.
Поставленная задача может быть сведена к краевой задаче Римана на гиперэллиптической] поверхности Ш, введенной в предыдущем пункте. С этой целью построим новую неизвестную функцию F(z, w), (z, w) £ Ш, полагая
Г Ф(я) на верхнем листе поверхности 9J,
(8.25} F(z,w) = \ } Р Р '
( 11 (z) на нижнем листе поверхности т.
Если в (8.22) и (8.23) у = Im z ->- О, то последние слагаемые правых частей этих равенств исчезают, и, учитывая обозначение (8.25), получим для функ
ции F(z, w) краевую задачу Римана:
(8.26) F+ (x, u) = G (х, v) F- (x, v) + g (х, v), (х, v)^L^L,\] L2, где
г lim (Oy — iTXy) на Lu
(8.27)] G (Х, v) = { " ™L g ^ V) ' УТ° (du^.dv^ T Коэффициент G(x, v) задачи — кусочно-постоянный. Из условия интегри
руемости потенциалов <p(z) и Q(z) вытекает, что решения задачи (8.26) долж
ны быть кратными дивизору fl1 f i \ где fi = (ru0) . . . (г2л+2» 0), а в ^2
входят с кратностью 1 все точки*
ff
\
с W а Ъ
- < = ! ^ Э Г 1 Г ^ С 1 ^ Г (3.1').
где меняется тип краевого усло
вия. Таким образом, задача (8.26) у_ ь u является частным случаем задачи ' В заключение этого параграфа
рассмотрим пример [42], в котором р , вычисления удалось довести до
расчетных формул только благо
даря применению указанного здесь метода. Пусть упругая среда заполняет плоскость с двумя разрезами [—ilk, —1], [1, ilk], где 0 < & < 1 (см. рис. 4).
Дважды проходимые отрезки [—ilk, —1] и [1, ilk] обозначим через е й Ь со
ответственно. Предположим, что на контуре с отсутствуют напряжения,, а на контуре b равны нулю производные смещений. При этих условиях требуется найти напряженное состояние.
Применяя предыдущие рассуждения, сведем задачу к однородной задаче Римана
(8.28) F+ (я, v) = G (x, v) F~ (я, г;), (х, и) £ с U Ь, на поверхности 9ft рода 1 (на «торе»), заданной уравнением
u ;2- ( l - s2) ( l - / i :2z2) ; при этом
К } \ 1/х, (х,и)£Ъ.
Искомая функция в задаче (5.28) должна быть кратна дивизору, в который все 4 точки ветвления поверхности 3{ входят с кратностью (—1). В силу теоремы 1 задача (8.28) имеет 4 линейно независимых решения. Общее реше
ние задачи (8.28) проще всего построить с помощью ядра (8.4) методом, изло
женным в § 4. Опуская промежуточные выкладки, выпишем это решение:
zo X F(z, u?) = cp(z, w)y -jz^
1/fe 1/k (zo,w0) 1
Г Г 1 Г dx . l n x f dx . 1 ' f <£r ( f da: "II 1 1 (0, 1) - 1
(z, wKffi, (a:, v)£W,
где штрих перед интегралом означает, что путь интегрирования не пересекает канонических сечений а и b поверхности 9ft (см. рис. 4). Функция ср (z, и;) находится по формуле
Ф ( 2
, «,) = <?, ( - * — М + С
8( - - ^ ) -4-С, ( - ^ - - * ) !-С
4( J £ ± l _ i f « L ± l \ ,
где Си С2, С3, С4— произвольные постоянные, а точка (z0, i#0)£9ft и целые числа пят находятся из проблемы обращения Якоби:
(zp.^o) .£' In —
— dx , = . = — + iK'-2iK'm-\Kn,
J У(1—Х2)(1—№Х2) П
где К и if' — полные эллиптические интегралы 1-го рода в форме Лежандра.
Решая проблему обращения, находим, что т = 0, а целое число п одно
значно определяется из неравенства К' In —
_ З Я < АКп^К.
Числа z0, w0 находятся по формулам
/ К'In — \ ( К'\п — \ ( К'\п — где sn(-), cn(-), dn(-) — эллиптические функции Якоби. Постоянные Си
С25 С3, С4 однозначно определяются из системы линейных уравнений, кото
рая получается, если сравнить разложения функции F(z, w) в окрестности точек (оо, ± оо) с разложениями (8.24). После этого условия однозначности смещений оказываются выполненными.
И*
164 Э. И. З В Е Р О В И Ч
§ 9. Задачи на поверхностях с краем.
Метод перехода к дублю. Метод склеивания
Пусть ЯК — конечная ориентируемая риманова поверхность рода /^
с краем Г, состоящим из (р + 1) замкнутых кривых х). Положительное направление на Г оставляет ЯК — {Г} слева. Обобщая задачи, поставленные в § 3, на случай поверхностей с краем, необходимо задать на Г дополни
тельные краевые условия. В качестве последних естественно взять краевые условия типа краевых условий задачи Гильберта. Предположим, что на ЯК задан сложный кусочно-гладкий контур L, имеющий с краем поверхности не более конечного числа общих точек, образующих дивизор Л ^ На откры
той римановой поверхности ЯК — {Г} ставятся краевые задачи (3.1), (3.2), (3.1'), (3.2'). Требуется среди решений этих задач найти все те, которые Н-непрерывно продолжимы на Г — Л4 и удовлетворяют там соответственно следующим краевым условиям:
(9.1) Ф+а) = 0±У)фГЩ, К Ч ( Ф ) . * € Г ; (9.2) dW^(t)^Gi(t)dW+(t), fi\\(dV), teT;
(9.1') Ф Ч О ^ а д Ф ^ + л Ф * Кг\т, * € Г ; (9.2') dxP+(t) = Gi (t) dW+ (t) + dht (*), fi || (dW), t £ Г.
Коэффициенты этих условий заданы аналогично коэффициентам соответствую
щих условий (3.1) — (3.2'). Дивизор J^i порядка mt построен из точек диви
зора Л4. Постановки задач будут содержательными лишь в том случае, если дополнительные краевые условия (9.1) — (9.2') не изменяются при переходе в них к сопряженным значениям. Это требование приводит к тождествам
(9.3) в^)^Щ = 19 g i ( 0 + ^ ( 0 ^ ( 0 = 0, d M 0 + Gi(*)dM*) = 0, которые будем считать выполненными.
Идея метода перехода к дублю состоит в том, что поставленные на поверх
ности с краем задачи сводятся к краевой задаче Римана на замкнутой рима
новой поверхности ffi7 являющейся «дублем» [140] поверхности ЯК. Чтобы построить дубль поверхности ЯК, возьмем «симметричную к ЯК» поверхность с краем ЯК. Последняя определяется как поверхность ЯК, в которой все локальные параметры заменены комплексно-сопряженными значениями.
Функции, аналитические в конформной структуре поверхности ЯК, будут сопряженными к аналитическим в конформной структуре поверхности ЯК, и наоборот. Символом « ~ » сверху будем обозначать объекты поверхности ЯК, симметричные соответствующим объектам поверхности ЯК, и наоборот.
Дублем называется замкнутая ориентируемая риманова поверхность Ш рода h = р + 2/&1? состоящая из поверхностей ЯК и ЯК, симметричные точки краев
г) Поверхность Ш гомеоморфна сфере с /г4 ручками, на которой вырезано р + 1 отверстий. Край Г будем считать аналитическим. Предположим, что локальные параметры полуокрестностей точек края поверхности Ш выбраны так, что образы этих полуокрестно
стей совпадают с полукругами в плоскости локального параметра. Диаметры всех этих полукругов лежат на вещественной оси, ориентированы в положительном направлении оси и являются образами точек края, попадающих в соответствующие полуокрестности.
которых отождествлены, а конформные структуры — объединены. Про
демонстрируем метод перехода к дублю на примере краевой задачи (3.1), (9.1). Д л я остальных задач все рассуждения проводятся аналогично.
В задаче (3.1), (9.1) введем новую неизвестную функцию F(q), кусочно- мероморфную на дубле 9?, по правилу
9-4) F(q) = \ —^ _
\ ф ( д ) , qtm, из которого следует «условие симметрии»
(9.5) F(q) = F(q).
Переходя в краевом условии (3.1) к комплексно-сопряженным значениям и используя обозначение (9.4), получим краевое условие
(9.6) F-(t) = G(t)F+(t), f-HD^KF), t£L,
для функции F (q) на поверхности ЗЛ. Условие (9.1) переписывается в виде (9.7) FHt)=-Gdt)F-{t), ??\(F), t£T.
Таким образом, на Ш мы получили краевую задачу Римана для функции F(Q)I удовлетворяющей краевым условиям (3.1), (9.6), (9.7) соответственно на контурах L, L, Г. Чтобы решения этой краевой задачи давали решения исходной задачи (3.1), (9.1), нужно, чтобы еще выполнялось условие симмет
рии (9.5). Учет этого условия легко проводится и дает следующий результат:
Число произвольных вещественных постоянных, содержащихся в общем решении задачи (3.1), (3.9), совпадает с числом произвольных комплексных постоянных, содержащихся в общем решении соответствующей краевой задачи Римана на дубле.
Это утверждение справедливо и для остальных задач на поверхности с краем, поставленных выше. Значение этого утверждения в том, что оно позволяет получить картину разрешимости краевых задач на поверхности с краем из результатов §§ 4—6.
Рассмотрим кратко вопрос о решении более общих краевых задач, у которых в краевом условии присутствует «функция сдвига» a(t). Пусть на ЯК задан сложный кусочно-ляпуновский контур L. Обозначим через Л и Л4 введенные выше дивизоры. Предположим, что множества {L} — А и {Г} — Ai распадаются на конечное число связных компонент, каждая из которых есть простая кривая Ляпунова Lu L2, . . ., LN, Г1? Г2, . . ., Тм>
причем ориентация на всех этих кривых задана. Задан гомеоморфизм a(t) совокупности этих кривых на себя (функция сдвига). Предполагается, что на каждой кривой дифференциал da(t) Н-непрерывен и Н-непрерывно про
должается на концы кривой. Сужение гомеоморфизма a(t) на кривую Lf
или Tk будем обозначать символом а+(£) или а_(£), смотря по тому, сохраняет или изменяет это сужение первоначальную ориентацию в образе (при со
хранении положительной ориентации в прообразе). Допустим, что сужение гомеоморфизма а(£) на кривые края Г удовлетворяет условию Карлемана
166 Э. И. З В Е Р О В И Ч
ala(t)] == t. Рассмотрим обобщенную введением сдвига постановку задач (3.1), (9.1) *).
Ищется кусочно-мероморфная на Ш — {L} — {Г} функция Ф(д), крат
ная там дивизору 3~г, Н-непрерывно продолжимая на кривые Lj и Tk, на каждой из которых должно выполняться одно из следующих краевых условий:
(9.8) <D+(t) = G(t)<b+[a+(t)], (9.9) <D+(t) = G(t)0+[a-(t)], (9.10) <D+(t) = G(t)0-[a+(t)],
(9.11) Q>+(t)=G(t)0-la-(t)].
На разных кривых Lj или Г^ могут выполняться разные краевые условия (9.8) — (9.11), требуется только их непротиворечивость (согласованность).
Последнее достигается введением условий типа тождеств (9.3), а также тре
бованием, чтобы на каждой кривой было только одно краевое условие.
В точках дивизоров Л и Ai искомая функция должна быть кратной дивизору J^"1^"1. Последнее требование также должно быть непротиворечивым.
Например, дивизор ty'1^1 н е должен изменяться при преобразованиях сдвига.
К краевой задаче в такой постановке может быть применен метод кон
формного склеивания, который является обобщением рассмотренного выше метода перехода к дублю. Рассмотрим совокупность поверхностей с краем, которые получатся, если разрезать исходную поверхность Ш вдоль всех кривых контура L. Полученные поверхности с краем склеиваются по опре
деленным правилам в новую поверхность с таким расчетом, чтобы новая поверхность стала опять римановой, а краевая задача стала краевой задачей Римана. Склеивание производится в два этапа. Зафиксируем все те кривые, краевые условия на которых не содержат знаков комплексного сопряжения.
Произведем первый этап склеивания. Отождествим точки t и a(t), лежащие на разных берегах поверхностей с краем, так, чтобы полуокрестности точек t и a(t) (с учетом ориентации) образовали в совокупности целую окрестность.
Это склеивание можно осуществить локально конформно [36]. Этим опреде
ляется конформная структура на поверхностях, полученных после первого склеивания, и, таким образом, эти поверхности становятся римановыми.
При этом в краевых условиях, не содержащих знаков сопряжения, исчезает функция сдвига, так как сдвинутые точки были отождествлены. Эти краевые условия приобретают вид условия (3.1). Второй этап склеивания произво
дится между поверхностями, полученными после первого склеивания, и симметричными к ним поверхностями. Отождествляются точки t и a(t), лежащие на разных берегах тех кривых, краевые условия которых содержат знаки комплексного сопряжения. Это склеивание опять можно осуществить локально конформно. Получается замкнутая риманова поверхность, а исход-
*) Ниже излагается примерная постановка краевой задачи со сдвигом, на которой поясняется идея метода склеивания. Более точные постановки имеются в [36], [37].
я а я краевая задача переходит в краевую задачу Римана на этой поверхнос
ти. Вычисляя^ род полученной замкнутой поверхности и индекс коэффициента полученной задачи Римана, можно выяснить картину разрешимости задачи со сдвигом, используя результаты § 4.
Вопрос о построении самих решений задачи со сдвигом сводится (см.
результаты § 4) к вопросу о нахождении функционалов (т. е. мероморфных функций и абелевых дифференциалов) на новой римановой поверхности. Так как функционалы исходной поверхности (с краем) естественно считать извест
ными, то встает вопрос о выражении функционалов новой поверхности через функционалы исходной поверхности. Это классическая проблема вариации римановых поверхностей и их функционалов ([140], гл. 7). Следует отметить,
что эта проблема почти не изучалась применительно к краевым задачам на римановых поверхностях.
§ 10, Задача Гильберта для многосвязной области
Пусть D — конечная (т + 1)-связная область, ограниченная контуром Ляпунова L, состоящим из кривой Lo, охватывающей все остальные кривые Lu L2, . . ., Lm. Пусть k(t) Ф 0, c(t) — заданные Н-непрерывные функции точек контура L.
Краевая задача Гильберта состоит в нахождении всех функций, одно
значных и аналитических в D, ^-непрерывно продолжимых на L, где должно выполняться краевое условие
(10.1) Re [ Щ ^+ (*)] = с (*), t£ L.
Эта задача, сочетающая в себе простоту постановки, большое приклад
ное значение и большие трудности для исследования и решения, привлекала внимание многих авторов: [45], [21], [22], [26] - [28], [33], [48], [49], [141, [15], [8], [80], [83], [97], [129], [132] и других.
Первым и основным методом исследования задачи (10.1) был метод интегральных уравнений. Подробное изложение результатов, полученных этим методом, имеется в монографиях Ф. Д. Гахова [28] (§ 36) и И. Н. Векуа [22] (гл. IV с добавлением Б . В. Боярского), поэтому мы их не при
водим.
К задаче (10.1) применялся метод перехода к дублю [48], [49]. При этом задача оказывалась равносильной краевой задаче Римана на замкнутой рима
новой поверхности рода т (на дубле области D) с дополнительным условием симметрии вида (9.5). Эта равносильность дает возможность все результаты, полученные в §§ 4—6, переформулировать применительно к задаче (10.1).
Остановимся подробнее на применении к задаче (10.1) метода регуляри- зующего множителя ([28], § 28). Идея этого метода состоит в замене задачи
(10.1) равносильной ей задачей Гильберта, имеющей более простое краевое условие, путем умножения равенства (10.1) на специально подобранную функцию p(t) (регуляризующий множитель). Простота нового краевого усло
вия задачи Гильберта открывает перспективы для конструктивного построе
ния ее решения.
168 Э. И. З В Е Р О В И Ч
Будем считать заданными многозначные аналитические в D функции («комплексные гармонические меры»)
(10.2) WJ iz) o)(z, Lj) + to(z, Lj)
, z£D (j=l, 2, . . . , m ) .
где (o(z, Lj) — гармоническая в D функция, граничные значения которой тождественно равны 1 на кривой Lj и 0 на всех остальных кривых, ~a(z, Lj) —
функция, гармонически сопряженная к co(z, Lj). Проведем в области D сечения так, как указано на рис. 5. Через D обоз
начим рассеченную область D. В области D можно выделить однозначные ветви Wj(z) функций Wj(z). Эти ветви мы зададим усло
вием
Рис.
(10.3) wj(z)^'^dWj(T) (/ = 1, 2, . . ., /я),
где путь интегрирования целиком лежит в Ь. Под точкой too понимается точка to, рассматриваемая как общая начальная точка кривых L0 и а{. Дифференциалы
(10.4) diVi (z), dw2 (z), . . ., dwm (z)
являются однозначными и аналитическими всюду в D и удовлетворяют крае
вому условию
(10.5) Re{dwj(t)} = 0, t£L ( / = - ! , 2, . . . , m ) .
Последнее следует из того, что функции Re Wj(t) постоянны на каждой кри
вой Lk по определению. Построим дубль Ш области] D (по этому поводу СхМ. § 9). Будем геометрически представлять этот дубль в виде двулистной поверхности наложения области D, причем края экземпляров области D склеены. Симметричные объекты дубля имеют одну и ту же проекцию на плоскость z. Дифференциалы (10.4) можно аналитически продолжить на весь дубль, полагая в симметричных точках
dwj(z) -dwj(z), z ED (/ =--- 1, 2, . . ., m).
При таком продолжении дифференциалы (10.4) образуют базис абелевых диф
ференциалов 1-го рода на дубле. Проведем теперь на дубле канонические сечения (1.1). В качестве линий bi, b2, . . ., Ът берем соответственно линии Li, L2, . . ., Lm. В качестве линий аь а2, . . ., ат дубля берем в области D кривые аи а2, . . ., ат, изображенные вместе с ориентацией на рис. 5, а в симметричной области D — симметричные им кривые аи а2, . . ., атУ
ориентированные по направлению к точке to- При таком выборе канониче
ских сечений базис дифференциалов (10.4) является комплексно-нормиро-
ванным на Si. В самом деле,
J dwk (t) + j { — dwh (t)} = 2 Re J dwk(t)=-.6kj (Л, y = l , 2, . . . , m ) . Отсюда и из свойства (10.5) следует, что все интегралы
(10.6) iBkj=^dwk(t) (Л, ; = 1, 2 , . . . , иг)
являются чисто мнимыми, а матрица || Bkj || симметрична и положительно определена. Если подставить в 9-функцию (5.17) вместо ее аргументов интегралы wv (z) — ev, а в качестве параметров использовать матрицу перио- дов (10.6), то получим Q-функцию Римана дубля области D: Q(wv (z) — ev)r обладающую всеми свойствами функции (5.22). Через эту 9-функцию Римана можно явно выразить оператор Шварца области D , если использовать идею Б . Римана о представимости абелевых интегралов через 9-функцию ([79], стр. 135). Под оператором Шварца мы, как обычно, понимаем оператор, решающий краевую задачу
(10.7) ReF+(t)-=• с (t) (задача Шварца).
Упомянутый оператор Шварца имеет вид х)
(10.8) F (z) - —^~ [ с (т) d In 9 (mwy (т) - • wv (z) ! fcv), z £ D.
ft L J l ь ^
L
где интеграл понимается, вообще говоря, в смысле главного значения "), а kv — римановы константы дубля, вычисляемые по формулам (5.2). которые в обозначениях настоящего параграфа имеют вид
in
(10.9) V - - у f y £vv - 2 i l m ^ \ Wv(t)dwj(t) ( v - 1 , 2, . , .. т).
3=1 а..
Зфх J
Проверим, что функция (10.8) дает решение задачи (10.7) (в классе многознач
ных функций). Функция (10.8) однозначна и аналитична в D и имеет разрывы вдоль линий #!, а2, . . ., ат. Функция Q(mwv(T)—wv(z) + kv) имеет при т = z нуль кратности т в силу тождества (5.30). Поэтому ядро интеграла (10.8) имеет при т — z простой полюс с вычетом т, а сам интеграл можно рассма
тривать как удвоенный интеграл типа Коши. Применяя к нему формулу Сохоцкого, когда z ->- t 6 L, получим
(10.10) F+{t) = c(t)^—{-~ \ c(r)dh\d(mwv(T)--wv(t) f&v), t£L.
L
x) Формула (10.8) обобщает известную формулу Вилла — Дини, дающую явное выражение оператора Шварца для кругового кольца.
2) Это связано с тем, что выражение Q(mwx (т) — wv (z) + kv), рассматриваемое как функция от т, может иметь нули, отличные от т = z. Можно показать, что положение этих нулей не зависит от z и эти нули совпадают с точками Вейерштрасса [109] дубля, которых имеется лишь конечное число. Однако не исключена возможность, что некоторые точки Вейерштрасса лежат на L, и тогда ядро d In Q(mwv (т) — и\, (z) ~ ky) интеграла (10.8) имеет в них простые полюсы.
170 Э. И . З В Е Р О В И Ч
где интеграл понимается в смысле главного значения. Функция Q(mwv(x) — wv(t) + kv) при т £ L и t 6 L принимает чисто вещественные значения, что легко проверяется непосредственным вычислением. Поэтому вто
рое слагаемое правой части (10.10) — чисто мнимое. Выделяя в (10.10) вещест
венные части, получаем (10.7).
Итак, формула (10.8) дает разрывную ветвь многозначной функции F(z).
удовлетворяющей краевому условию (10.7). В силу свойства (5.19) 6-функ- ции, при обходе точки z кривой Lj функция (10.8) получает чисто мнимое приращение, равное
±2 I c(x)dwj(%) (; = 1, 2, . . . , т).
L
Отсюда следуют известные «условия однозначности»:
(10.11) J c(x)dwj(r) = 0 (/ = 1, 2, . . . , m ) .
L
Выполнение этих условий необходимо и достаточно для того, чтобы решение (10.8) задачи Шварца (10.7) было однозначным всюду в D.
Применяя к задаче Гильберта метод регуляризующего множителя, естественно пытаться свести задачу Гильберта к задаче Шварца. Мы рассмо
трим здесь только тот частный случай задачи (10.1), когда приращение функции arg X(t) при обходе кривой L0 равно 2лт, а при обходе всех осталь
ных кривых Lu L2, . . ., Lm — нулю. Будем подбирать положительную функцию p(t) и точки zi, z2, . . ., zm £D так, чтобы выполнялось равенство
(10.12) Р ( * ) М 0 = - ^ >
где u(t) + iv(t) — Н-непрерывная функция, являющаяся предельным зна
чением на L однозначной аналитической в D функции u(z) + iv(z). Выделяя в (10.12) аргументы, получим
т т
(Ю.13) —axgX(t) = v(t)- 2 mg(zh-t) -J-2JI 2 nh<o(t, Lh),
fe=i k=i
где nk — неопределенные целые числа, а ветви аргументов arg X(t) и arg (zk — t) зафиксированы произвольно с единственным требованием, чтобы эти ветви были разрывны только в точке to. Последняя сумма в (10.13) возник
ла от того, что ветви аргументов выбраны на каждой кривой L4, L2, . . ., Lm
произвольно и независимо друг от друга. Потребуем теперь, чтобы для функ
ции v(t), входящей в (10.13), выполнялись условия однозначности (10.11).
Д л я этого умножим (10.13) на ^—: dwj(t) и, учитывая равенства I v(t)dwj(t) = ь
••= 0, проинтегрируем по L:
(10.14) — ^ r j a r g ^ ( * ) r f ^ ( * ) =
L
т га
= —1ST 2 J
аг8(**
—*)<*«;>(*)+ 2
га*
д*' ^'
==1'
2» ••"''»)»
где Wkj — числа (10.6). После несложных преобразований равенствам (10.14) можно придать вид
т т
(10.15) 2 1 т ^ Ы + 2
п*
ви = ~4й J **gb(t)dwj(t)
= 1 fe=l " L
( / = 1 , 2, . . . , / и ) . Обозначая
~ "2^- J a r£ ^ (*) ^ . ; 00 - I m ej —I m A'/ (/ = 1 , 2 , . . . , /n),
L
где &7-— римановы константы (10.9), перепишем равенства (10.15) в виде следующей системы сравнений:
т
(10.16) 2 Im u?v (яь) = Im ev — Im ftv (по модулю чисел Bkv)
k==i
(v = l , 2, . . . , m ) .
Эта система сравнений может быть получена из проблемы обращения Якоби (5.3), если в последней формально выделить мнимые части. Тогда из разре
шимости проблемы обращения Якоби следует, что система сравнений (10.16) всегда разрешима и имеет бесконечное множество решений. Мы назовем систе
му (10.16) «вещественным аналогом проблемы обращения Якоби». Д л я наших целей достаточно построить хотя бы одно решение проблемы (10.16). С этой целью подставим в 6-функцию (5.17) вместо аргументов uv соответственно функции 2wv(z) — 2i Im е^, а в качестве параметров (3^v Э-функции ис
пользуем числа 2iB[lv. Полученная в результате подстановки функция d(2wv(z) — 2i Im ev) является однозначной и аналитической в области Z), а при z 6 L — строго положительной, что можно легко проверить непосредствен
но. Из положительности функции Q(2wv(z)— 2i Im ev) на L следует ее нетри- виалъностъ в области D. Используя же вытекающие из (5.19) краевые усло
вия, которым удовлетворяет функция Q(2wv (z) — 2i Im ev) на кривых аь а2, . . ., ат, можно показать, что она имеет в D точно т нулей (с учетом кратностей) Zi, z2, . . ., zm, которые лежат строго внутри области D
и образуют решение проблемы обращения (10.16). Нахождение этих нулей сводится к квадратурам и к решению системы алгебраических уравнений, аналогичной (8.8').
Подставляя нули функции Q(2wv(z) — 2i Im ev) в равенства (10.15), получаем систему линейных алгебраических уравнений для нахождения целых чисел nk. Тогда из равенства (10.13) можно найти функцию v(t). Под
ставляя найденную функцию v(t) в оператор Шварца (10.8), получим одно
значную аналитическую в D функцию v(z) — iu(z). Подставляя эту функцию в правую часть (10.12) и выделяя в этом равенстве модули обеих частей, находим положительный регуляризующий множитель p(t). Умножая краевое условие (10.1) на этот регуляризующий множитель и вводя новую неизве
стную функцию
O f z ) - f ( z ) . ^ ) + ^ ) ,
172 Э. И. З В Е Р О В И Ч
сведем краевую задачу (10.1) к равносильной ей краевой задаче Гильберта с краевым условием
R e
|
т Ф + (" ]=P(t)c(t), teL.
I П <*-oJ
Построение общего решения этой задачи, как впервые показал И. Н. Векуа [22], может быть элементарно сведено к вычислению конечного числа опера
торов Шварца.
Незначительно изменяя проведенные рассуждения, можно показать, что любую задачу (10.1) можно методом регуляризующего множителя свести к задаче Гильберта с рациональным коэффициентом [33] и тем самым решить ее в операторах Шварца. Метод регуляризующего множителя позволяет решить задачу (10.1) для областей с негладкими границами.
§ 11. Обзор других результатов
Рассмотрим кратко содержание работ, в которых краевые задачи,, поставленные нами в § 3, обобщаются в различных направлениях.
В работе Р . Н. Абдулаева [9] рассматривается разрывная задача Римана для аналитических функций на замкнутых римановых поверхностях. Реше
ние задачи ищется в классах Харди II р. Результаты являются обобщением соответствующих результатов Б . В. Хведелидзе, И. И. Данилюка, И. Б . Си- моненко для краевой задачи Римана на плоскости. В работах Ю. Л. Родина 182], [85] рассматривается задача Римана для дифференциалов размерностей, не обязательно равных 0 и 1. Вычислен индекс и найдены условия разреши
мости неоднородных задач. В работах Л . И. Чибриковой и Г. В. Маркова 1136], Ю. Л. Родина [94] рассматриваются краевые задачи типа задачи Рима
на на конечных неориентируемых римановых поверхностях. Основным мето
дом исследования здесь является метод перехода к дублю и изучение полу
ченной краевой задачи на дубле. В работах А. И. Сербина [103], [104], [106] — [108] рассматриваются краевые задачи для аналитических функций на конеч
ных ориентируемых римановых поверхностях с различными обобщенными линейными краевыми условиями. Например, в краевые условия могут вхо
дить производные от искомой функции и интегральные операторы от нее.
Основным методом исследования здесь является метод интегральных урав
нений.
В работах И. Д. Пехлецкого [68] и А. В. Мерлина [57] рассматриваются задача Римана в классе многозначных функций и сингулярные интегральные уравнения с многозначным на римановой поверхности ядром. В работе Э. А. Феттера [112] рассматриваются сингулярные интегральные уравнения с аналитическими ядрами, автоморфными относительно группы преобразо
ваний, порожденной алгебраической функцией. Уравнения сводятся к крае
вой задаче Римана для автоморфных функций, подробно изученной ранее в работах Л . И. Чибриковой [119] — [134]. В работах Л. И. Чибриковой [135], [137] развивается метод симметрии для конструктивного решения крае-
БЫХ задач в случае алгебраических контуров, несущих краевые условия.
Этим методом некоторые обобщенные задачи можно свести к краевой задаче Римана на римановых поверхностях. Например, в работе Л . И. Чибриковой и Л. Г. Салехова [138] метод симметрии применяется к краевой задаче А. И. Маркушевича. Более подробный обзор работ этого направления и библиография (42 названия) имеются в обзорном докладе Л . И. Чибрико
вой [139].
В работах Р . Н. Абдулаева [4] — [6], Г. В. Маркова [54], Ю. Л . Роди
ла [96] рассматривается краевая задача Римана на открытых (некомпактных) римановых поверхностях. Это направление представляется весьма перспек
тивным, но пока еще здесь сделано мало. Основное отличие некомпактной римановой поверхности от компактной состоит в наличии на ней идеальной границы. Поэтому основной трудностью при рассмотрении краевых задач на открытых поверхностях является разумный выбор ограничений, накла
дываемых на искомые функции в окрестности идеальной границы. Кроме того, открытая риманова поверхность может иметь бесконечный род, а кон
тур, несущий краевое условие, может не быть компактным, и потому возмо
жен случай, когда индекс коэффициента задачи Римана является бесконеч
ным или неопределенным. Все это создает дополнительные трудности. В свя
зи с этим направлением отметим обзорный доклад Ф. Д. Гахова [25], где наряду с библиографией (50 названий) имеется обзор работ Н . И. Ахиезера, Н . В. Говорова, В. А. Пааташвили, С. А. Фрейдкина, П. Г. Юрова по крае
вой задаче Римана с бесконечным индексом. В этих работах речь идет о о краевой задаче Римана на простейшей из открытых римановых поверх
ностей — на открытой плоскости, идеальной границей которой служит точка оо. Результаты естественным образом связаны с теорией целых функций.
Краевые задачи Римана и Гильберта для кусочно-мероморфного вектора на римановых поверхностях изучались в работах В. Коппельмана [48], [49], Г. Д. Мерзляковой и Ю. Л . Родина [55]. Основным результатом этих иссле
дований является теорема об индексе и об условиях разрешимости неодно
родных задач. К этому же кругу вопросов относятся работы А. В. Месис [60], 161], Б . В. Боярского [16], X . Рёрля [97] — [101], причем в работах послед
них двух авторов систематически используются методы топологии и теории пучков.
Большое количество работ посвящено рассмотрению краевых задач на римановых поверхностях в классах обобщенных аналитических функций, т. е. краевых задач для эллиптических систем дифференциальных уравне
ний, обобщающих систему Коши — Римана. К этому кругу вопросов отно
сятся работы Б . В. Боярского [17], В. Коппельмана [50], Г. Д. Мерзляковой [56], Н. Т. Мишнякова [62], [63], В. И. Показеева 170] — [77], Ю. Л . Роди
на [81], [86] - [96], А. И. Сербина [105] и другие.
Подробный обзор большинства результатов этих работ можно дать толь
ко в связи со знаменитой теоремой М. Атьи — И. Зингера об индексе эллиптических операторов на многообразиях, что не является темой на
стоящей статьи.