E. I. Zverovich, Boundary value problems in the theory of analytic functions in H¨older classes on Riemann surfaces, Uspekhi Mat. Nauk, 1971, Volume 26, Issue 1(157), 113–

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

E. I. Zverovich, Boundary value problems in the theory of analytic functions in H¨older classes on Riemann surfaces, Uspekhi Mat. Nauk, 1971, Volume 26, Issue 1(157), 113–

179

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 139.59.245.186

November 6, 2022, 01:35:01

УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

УДК517.948.32:517:544

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ГЁЛЬДЕРОВСКИХ КЛАССАХ НА РИМАНОВЫХ

ПОВЕРХНОСТЯХ Э. И. З в е р о в и ч

Эта статья написана по материалам работ, выполненных в основном за последнее десятилетие и посвященных исследованию и решению краевых задач теории аналитических функций на конечных ориентируемых римановых поверхностях. Во введении дается краткий обзор основных работ по этой тематике, начиная с классических работ Б . Рима- на и до исследований современных авторов.

Основное содержание работы составляет материал, изложенный в §§ 2—6. Здесь найдены явные выражения для аналогов ядра Коши, построено общее решение и дана полная картина разрешимости краевой задачи Римана для одной неизвестной кусочно- мероморфной функции в случае сложного контура на замкнутой ориентируемой римановой поверхности. В связи с этим дается новый вариант решения проблемы обращения Якоби.

В §§ 7, 8 рассматривается случай римановых поверхностей алгебраических функ­

ций, подробнее изучается гиперэллиптический случай и даются приложения. § 9 посвящен краевым задачам на римановых поверхностях с краем. Излагаются идеи методов перехода к дублю и склеивания. В § 10 дан обзор результатов по краевой задаче Гильберта для многосвязной области и приведены некоторые новые результаты автора.

В § 11 дается обзор работ, посвященных излагаемой тематике, но не нашедших отражения в основной части статьи.

СОДЕРЖАНИЕ

В в е д е н и е 114

§ 1. Некоторые обозначения, определения и предварительные сведения 119

§ 2. Аналоги ядра Коши 123

§ 3. Постановки краевых задач Римана 129

§ 4. Решение однородных задач 131

§ 5. Проблема обращения Якоби и особый случай 137

§ 6. Неоднородные задачи 146

§ 7. Задача Римана на римановых поверхностях алгебраических функций

и ее приложения 150

§ 8. Гиперэллиптический случай и его приложения 154

§ 9. Задачи на поверхностях с краем. Метод перехода к дублю. Метод

склеивания 164

§ 10. Задача Гильберта для многосвязной области 167

§ 11. Обзор других результатов 172 Л и т е р а т у р а , . . . . 174

8 Успехи матем. наук т. XXVI» вып. 1

114 Э. И . З В Е Р О В И Ч

Введение

Краевая задача Римана впервые была сформулирована в 1857 г.

Б . Риманом -1). В 1869 г. Ф. Прим ввел в рассмотрение однозначные функции W, аналитические на рассеченной римановой поверхности, предельные зна­

чения которых W+ и W~ при переходе через сечения претерпевают линейную подстановку

(0.1) W+ - mvW~ + рУ9

где m^v, p^v — заданные константы на сечении C^v. П. Аппель [12] предпринял систематическое изучение таких функций на основе теории алгебраических функций и абелевых интегралов. В дальнейшем Ф. Прим и Г. Рост изложили теорию функций (0.1) в монографии [78]. Задача, поставленная Б . Риманом, несущественно отличается от задачи нахождения функций И⁷ по условию (0.1).

Мы будем под краевой задачей Римана понимать задачу нахождения меро- морфных функций W по краевому условию (0.1), где вместо Cv взята произ­

вольная конечная совокупность гладких кривых, а вместо постоянных mv

и pv заданы Н-непрерывные 2) функции точек этих кривых.

В 1904 г. Д. Гильберт свел задачу Римана к интегральным уравнениям дал тем самым первое доказательство существования ее решения 3) . В 1907 г. К. Газеман методом Д . Гильберта рассмотрел краевую задачу Рима­

на со сдвигом 4) . И. Племель [69] впервые применил к краевой задаче Римана интеграл типа Коши. Эта идея оказалась настолько плодотворной, что и в настоящее время интеграл типа Коши является основным средством для исследования и решения краевых задач. Следующий этап развития теории задачи Римана связан с именами Н. Винера, И. И. Привалова, Э. Хопфа, Т. Карлемана. Начиная с 30-х годов теория краевых задач развивается особенно бурно в связи с приложениями к механике. Это развитие обеспечи­

вается главным образом трудами советских математиков Ф. Д. Гахова [28],

х) Работа Б. Римана, содержащая постановку краевой задачи, осталась неокончен­

ной и была впервые опубликована лишь в 1876 г., после смерти Б. Римана. Имеется рус­

ский перевод этой работы [79], стр. 176—186. В постановке Б . Римана краевая задача состоит в нахождении решений линейного дифференциального уравнения тг-го порядка с рациональными коэффициентами по следующим данным: порядок уравнения, положе­

ние его особых точек, образующие его группы монодромии. При этом коэффициенты урав­

нения, естественно, не заданы. Б . Риман исследовал характер поведения решений на плоскости, но доказательства существования решений дать, по-видимому, не успел.

В этой же работе Б. Риман предполагал поставить задачу шире, рассматривая диффе­

ренциальные уравнения с алгебраическими коэффициентами. Иначе говоря, Б. Риман имел в виду рассматривать краевую задачу на замкнутых римановых поверхностях.

2) Здесь и в дальнейшем под Н-непрерывными функциями будем понимать функции, удовлетворяющие условию Гёльдера.

3) См. [28], стр. 160, где имеются исторические сведения. Добавим только, что в [78]

имеется «теория функций Прима тг-го порядка», которые, по существу, являются решения­

ми задачи Римана для п пар функций (задачи «матричной факторизации») с кусочно- постоянной матрицей.

4) Современному состоянию теории задач со сдвигом посвящен обзор [37]. Добавим, что на возможность рассмотрения задач со сдвигом указывал еще Б. Риман в 1851 г.

([79], стр. 79).

Н. И. Мусхелишвили [64], И. Н. Векуа [21], [22] и их многочисленных уче­

ников. Наиболее характерными достижениями этого периода являются:

выяснение роли индекса коэффициента задачи для подсчета числа ее реше­

ний, вывод явных формул для решения некоторых краевых задач, разработ­

ка методов регуляризации сингулярных интегральных уравнений, различ­

ные обобщения.

Начиная с работ Д. Гильберта и до недавнего времени краевые задачи исследовались только на плоскости, хотя до появления работ Д. Гильберта речь шла и о краевых задачах на римановых поверхностях. Произошедшее

«сужение» постановки задачи легко объяснить. Во-первых, И. Племель, по существу, показал, что за счет увеличения порядка матрицы можно свести задачу факторизации на римановой поверхности к задаче матричной факто­

ризации на плоскости *). Во-вторых, понятие римановой поверхности долгое время не было достаточно строго обоснованным, и первое аксиоматическое обоснование было дано лишь в 1913 г. Г. Вейлем [20]. В-третьих, приложе­

ния к плоским задачам механики стимулировали развитие теории краевых задач только на плоскости. Однако среди краевых задач на плоскости давно встречались такие, картина разрешимости которых стала прозрачной и более понятной лишь после сведения этих задач к краевой задаче Римана на рима­

новой поверхности и изучения последней. Примером является краевая задача Гильберта для многосвязной области, изученная в работах Д. А. Квесела- ва [45], И. Н. Векуа [21], [22], Ф. Д. Гахова и Э. Г. Хасабова [26], [27], Б. В. Боярского [15], Э. И. Зверовича [33] и других. Вторым примером являются интегральные уравнения с автоморфными ядрами, рассмотренные в работах Ф. Д. Гахова и Л. И. Чибриковой [24], [25], Л. И. Чибриковой [119] — [123], И. А. Парадоксовой [66], [67]. Еще одним примером могут служить краевые задачи со сдвигом, исследованные в работах Д. А. Квесела- ва, Г. С. Литвинчука, Э. Г. Хасабова, Э. И. Зверовича, В. А. Чернецкого и многих других [31], [34] — [37], [117], [44].

Первой попыткой изучить краевую задачу Римана на римановых поверх­

ностях 2) явились работы А. В. Месис [58] — [61]. Эти исследования были неполными, так как автор ограничилась случаем алгебраических коэффи­

циентов и не пользовалась техникой интеграла типа Коши на римановой поверхности. Выражения, которые можно использовать в качестве аналогов ядра Коши на римановых поверхностях алгебраических функций, содержа­

лись уже в классических трудах Б. Римана (нормированный абелев дифферен­

циал 3-го рода) и К. Вейерштрасса («элементарная» алгебраическая функция).

Дальнейшее развитие теории краевых задач на римановых поверхностях связано с понятием абстрактной римановой поверхности и опирается на современную теорию функций и функционалов на них ([10], [11], [19], [20],

х) И. Племель [69] доказал более частное утверждение: нахождение функции, меро- морфной всюду на ?г-листной поверхности наложения плоскости, сводится к задаче матрич­

ной факторизации. В связи с этим см. §§ 7 и 8 настоящего обзора, где даются приложения.

2) Исторические сведения о работах по краевым задачам на римановых поверхнос­

тях, выполненных за период 1950—1967 гг., имеются в [43], стр. 250—252.

8*

116 Э. И. ЗВЕРОВИЧ

[29], [52], [65], [79], [102], [109], [ И З ] , [140]). Абстрактную риманову поверх­

ность не обязательно представлять себе в виде многолистной поверхности наложения плоскости или ее частей; важно лишь, чтобы она была двумерным многообразием (поверхностью), снабженным «конформной структурой», позволяющей инвариантным образом задавать на поверхности аналитиче­

ские функции и дифференциалы. Реализациями римановых поверхностей могут служить: плоские области, фундаментальные области автоморфных функций, поверхности в пространстве и т. д. Рассмотрение краевых задач на абстрактных поверхностях дает, таким образом, выигрыш в общности.

Различные аналоги ядра Коши на римановых поверхностях были построены в работах Г. Бенке и К. Штейна [13], X. Титца [110], М. Ваккаро [18], В . Коппельмана [49], С. Я . Гусмана и Ю. Л. Родина [30]. В основе этих построений лежат известные ([109], [140]) теоремы существования на поверх­

ностях мероморфных функций и дифференциалов с заданными особенностями.

Краевые задачи Римана и Гильберта на абстрактных поверхностях были почти одновременно рассмотрены в работах различных авторов: В. Коппель­

мана [48], [49], X . Р ё р л я [97] - [101], Ю. Л . Родина [80] - [89], где получе­

ны теоремы об индексе, числе решений однородных задач в неособых случа­

ях, условиях разрешимости неоднородных задач. В работах Р . Н. Абдулае- в а ' [ 3 ] , [7], [8] исследуется особый случай однородной задачи. В работах Э И. Зверовича [32], [36] найдена точная оценка для числа решений одно­

родной задачи в особом случае. Здесь же рассмотрены основные краевые задачи со сдвигом и доказана их равносильность краевой задаче Римана на некоторой абстрактной поверхности, что дает картину разрешимости задач со сдвигом. Н. Т. Мишняков [62] применил к исследованию особого случая теорему Клиффорда — Чеботарева [ И З ] . Исследования по краевым задачам на абстрактных поверхностях начали проводиться в нашей стране по инициативе Л . И. Волковысского [23].

Продолжая исследования по краевым задачам в классах автоморфных функций, Л . И. Чибрикова [124] — [139] предприняла изучение краевых задач для автоморфных функций в случае групп с двумя инвариантами, что в силу теоремы об униформизации [65] равносильно рассмотрению краевых задач на абстрактных римановых поверхностях ненулевого рода. Результаты Л . И. Чибриковой по теории краевых задач Римана и Гильберта, по суще­

ствуете же, что и у В. Коппельмана, и у Ю. Л . Родина. В работе [127], по-видимому, впервые установлена связь между краевой задачей Римана и проблемой обращения Якоби. Л. И. Чибрикова поставила вопрос о кон­

структивном построении решения краевой задачи Римана для автоморфных функций, однако полученные ею формулы представляют конструктивную ценность лишь в случае римановых поверхностей родов 0 и 1. В остальных случаях остается открытым вопрос о конструктивном построении автоморф- ного аналога ядра Коши, входящего во все формулы.

В настоящее время ведутся работы по конструктивному построению аналогов ядра Коши и решений краевых задач на конкретных реализациях римановых поверхностей. Ю. И. Черский [118] построил решение задачи Римана на двулистной поверхности. В работах автора [38] - [41] дается

конструктивное построение аналогов ядра Коши и решения краевой задачи Римана на римановых поверхностях некоторых алгебраических функций.

Из работ прикладного характера отметим статьи [46], [47], [53], где строятся и используются аналоги ядра Коши в двоякопериодическом случае (на римановых поверхностях рода 1). Приложения к задачам теории упру­

гости даются также в работах Л . И. Чибриковой [137] и автора [42]. В рабо­

тах Г. П. Черепанова [114] — [116] рассматриваются задачи, сводящиеся к краевой задаче Римана на римановых поверхностях.

Остановимся кратко на содержании этой статьи. Центральным здесь является построение общего решения краевой задачи Римана для одной пары неизвестных функций или дифференциалов в случае сложного контура на замкнутой ориентируемой римановой поверхности. Остальной материал статьи имеет либо вспомогательный, либо прикладной, либо чисто обзорный характер. При изложении мы не придерживались ни одной из цитированных выше работ, сохранняя и, возможно, обобщая и уточняя только основные их результаты. К сожалению, приходится констатировать, что для ряда работ, выполненных по краевым задачам на римановых поверхностях, харак­

терным является разнобой в терминологии, повторения одних и тех же результатов в работах различных авторов, наличие большого количества необоснованных утверждений, неясных мест и ошибок ¹) . Эти недостатки затрудняют развитие и изучение краевых задач на римановых поверхностях и в некоторой степени препятствуют использованию этих задач в приложе­

ниях. В этой статье автор стремился дать по возможности полное и строгое изложение решения краевой задачи Римана, свободное от указанных недо­

статков, и показать ее прикладное значение, а также связь с другими клас­

сическими проблемами теории функций на римановых поверхностях.

В § 1, имеющем вспомогательный характер, приведены нужные для дальнейшего определения и факты из теории функций на римановых поверх­

ностях. Новыми здесь являются понятия квазидивизора, квазикратности и псевдократности. В § 2 на основе теорем существования абелевых диффе­

ренциалов с заданными особенностями строятся аналоги ядра Коши на рима­

новых поверхностях. При этом результаты работ [18], [30], [49], [110] обобще­

ны и одновременно упрощены, так как нами найдены явные выражения ана­

логов ядра Коши через нормированные дифференциалы. Постановки решае­

мых нами краевых задач даны в § 3, быть может, слишком основательно.

Это сделано для того, чтобы объединить все встречающиеся у разных авторов различные частные варианты постановок краевой задачи Римана в одну общую постановку. В § 4 строятся общие решения однородных задач в явном виде, доказываются результаты об индексе, числе решений и об устойчиво­

сти 2). В формулы для общих решений краевых задач входит частное решение вспомогательной проблемы обращения Якоби. Последняя рассматривается в § 5, где дается ее новое решение, являющееся одним из вариантов решения,

которое дал впервые Б . Риман. Наше решение основано на доказываемой

х) См., например, [30], стр. 531; [83], стр. 438, 440; [84] стр. 79; [129], стр. 6 9 / 7 1 ; [131], стр. 5; [72], стр. 50; [137], стр. 106.

2) Результаты § 4 являются новыми.

118 Э. И . З В Е Р О В И Ч

нами равносильности проблемы обращения одной краевой задаче частного вида, краевое условие которой задано на канонических сечениях. Краевая задача оказывается разрешимой, а ее решение можно построить в виде 6-функции Римана или ее частных производных. Это дает алгоритм для конструктивного построения решения проблемы обращения. Здесь же рас­

сматривается обобщенная проблема обращения и в связи с ней даны в исправ­

ленном виде результаты Р . Н. Абдулаева [8] относительно особого случая однородной задачи Римана. В § 6 доказываются теоремы об условиях раз­

решимости неоднородных задач и строятся их частные решения. Оказалось, что эти частные решения имеют различные аналитические выражения в зави­

симости от того, разрешима сопряженная однородная задача или нет.

В § 7 рассматривается случай, когда риманова поверхность является конеч- нолистной поверхностью наложения плоскости. Указывается связь проблемы конструктивного решения задачи Римана на такой поверхности с обратной задачей теории Галуа. Приводятся сведения из теории алгебраических функций и рекомендации, которые нужны для построения решения задачи Римана на римановых поверхностях алгебраических функций. Дается при­

ложение. В § 8 без доказательств приведены результаты об аналогах ядра Коши и краевой задаче Римана на частном случае поверхностей § 7 — на двулистных (гиперэллиптических) римановых поверхностях. В качестве приложений рассматривается краевая задача Гильберта и смешанная задача теории упругости для плоскости «со щелями». Д л я этой области, в частности, построен в явном виде оператор Шварца. В § 9 рассматриваются некоторые обобщенные краевые задачи (искомая функция является кусочно-мероморф- ной на римановой поверхности с краем, а краевое условие может содержать функцию «сдвига»). Излагаются идеи методов «перехода к дублю» и «склеива­

ния», позволяющих свести эти обобщенные задачи к краевой задаче Римана на замкнутых римановых поверхностях. Указывается связь проблемы кон­

структивного построения решений обобщенных задач с классической пробле­

мой вариации римановых поверхностей и их функционалов [140]. В § 10 рассматривается классическая задача Гильберта для многосвязной области и дается обзор посвященных ей работ. Излагаются результаты автора о при­

менении метода регуляризующего множителя и аппарата 6-функции Римана к рассматриваемой задаче. Здесь возникает и получает решение проблема, аналогичная проблеме обращения Якоби. Дается явное выражение оператора Шварца для многосвязной области через 0-функцию Римана от комплексных гармонических мер. В § 11 дается краткий обзор методов и рзультатов работ, выполненных на близкие темы, но не нашедших отражения в основном тексте статьи. В этих работах рассматриваются в основном различные обобще­

ния краевой задачи Римана на римановых поверхностях.

Пользуюсь случаем выразить глубокую благодарность Г. С. Литвинчуку за большую помощь при написании этой статьи. Выражаю глубокую благо­

дарность И. Н. Векуа, Л . И. Волковысскому, Ф. Д. Гахову, И. И. Дани- люку, М. Г. Крейну, А. И. Маркушевичу, Г. Я . Попову за полезное обсуж­

дение результатов этой статьи, а также Л. Ф. Зверович, Л. Н. Коробовой, Э. С. Раковой за большую помощь при оформлении рукописи статьи.

§ 1. Некоторые обозначения, определения и предварительные сведения

Пусть 9ft — замкнутая ориентируемая риманова поверхность рода /г, т. е. замкнутое (компактное) двумерное аналитическое многообразие, гомео- морфное сфере с h ручками. Точное определение понятия (абстрактной) римановой поверхности имеется, например, в [10], [20], [65], [109], [140].

Мы будем придерживаться некоторых обозначений, принятых в [109], [140].

Точки поверхности 9ft будем обычно обозначать символами р, g, t, т, . . . В дальнейшем будут встречаться, в частности, функции ф (р) и (линейные) дифференциалы d,ty (p), мероморфные на 9ft или на ее частях. Мероморфность понимается как мероморфность в обычном смысле функций q>lp(z)]

и dty[p(z)]/dz, где z — комплексная локальная координата точки р, а р =

= p(z) — любой из фиксированных в определении поверхности 9ft гомеомор­

физмов окрестности точки р на плоскую область (параметрическое отобра­

жение). Каждый раз, говоря о локальных свойствах некоторых объектов на поверхности 9ft, мы будем иметь в виду, что эти свойства имеют место в плоскости локального параметра z (в локальных координатах) и не зависят от выбора локального параметра. Пусть точке ро в плоскости некоторого локального параметра z соответствует значение z = 0, т. е. ро = р(0). Выче­

том в точке ро мероморфного в окрестности этой точки дифференциала dty(p) будем называть вычет функции d^[p(z)]/dz в точке z — 0. Понятие вычета дифференциала не зависит от выбора локального параметра. В дальнейшем мы будем часто ради упрощения вида формул обозначать точку и ее локаль­

ную координату одной и той же буквой. Будут особо отмечены те случаи, где важно различать точку и ее локальную координату. Через

(1.1) а4, а2, . . . , а^, Ь4, Ь2, . . . , Б/,

обозначим канонические сечения поверхности 9ft, т. е. совокупность 2h простых гладких ориентированных кривых, проведенных на поверхности 9ft и обладающих свойством: между собой пересекаются только пары кривых afe и Ък (к = 1, 2, . . ., К), притом только в одной точке £ол» в окрестности которой они образуют левый репер (кривая ak пересекает кривую Ък слева направо). Через 9ft или Ж будем обозначать поверхность 9ft, разрезанную всеми сечениями (1.1) или только линиями ai, а2, . . ., а^. В соответствии с общепринятыми обозначениями будем отмечать индексом « + » («—») сверху объекты, ассоциированные с левым (правым) берегом ориентированных кри­

вых. Например, а£ (а£) будет означать кривую afe с положительным (отрица­

тельным) направлением обхода. При последовательном обходе кривых

ai ^ tai b r • • • аЖа^Ьд, образующих границу <99ft поверхности 9ft, последняя остается слева. Если t £ aft, то под t+ (t~) будем понимать предельное положе­

ние точки р £ 9ft, когда р ->• t, оставаясь слева (справа) от кривой a^fe. Ана- логичный смысл имеют символы £$ь» Wk, Чь, £оь, если условиться верхние знаки относить к aft, нижние — к Ьк (см. рис. 1, где изображен кусок поверх­

ности 9ft в окрестности точки £0ь)-

120 Э. И . З В Е Р О В И Ч

Далее, полагаем

Ф⁺(*) = ф(*⁺)> Ж|>⁺(*) = *|>(*⁺) (Ф"(*) = ф(*~)> # " ( 0 = ^ ( О ) для предельных значений слева (справа) на кривой функции ф (р) и диф­

ференциала dty (p) соответственно. Через

(1.2) dw^x (p), d^² (р), • • •, е*и?^Л (р)

будем обозначать комплексно-нормированный базис абелевых дифференциа­

лов 1-го рода на ffi, т. е. совокупность h всюду на ffi аналитических дифференциалов, обладаю­

щих свойством:

J dw^v(p)r=,b^kv (к, v = l , 2, . . . , й), где 6&v —символ Кронекера. Указанное свой­

ство выражают еще так: А -периоды базиса (1.2) образуют единичную матрицу. При] ука­

занном выше выборе канонических сечений В-пе­

риоды базиса (1.2)

(1.3) B^kv--= f dw^v(p) (к, v = l , 2 , . . . , h)

\

образуют, как известно [79], [109], [140], симметричную матрицу (Bkv = Bvk)y

мнимая часть которой положительно определена. Обозначим

(1.4) d(o^qqo(p)

комплексно-нормированный (т. е. имеющий нулевые А-периоды) абелев дифференциал 3-го рода на Ш с двумя простыми полюсами в точках р = q

и Р — Qo, с вычетами в них, равными + 1 и —1 соответственно, аналитиче­

ский в остальных точках р £ 9?. Существование и единственность базиса (1.2) и дифференциала (1.4) обеспечиваются соответствующими теоремами сущест­

вования Б . Римана [140]. В дальнейшем будем считать фиксированными канонические сечения (1.1), а дифференциалы (1.2) и (1.4)— известными.

Из закона перестановки аргумента с параметром для интеграла от (1.4) (! -5) co^Qgo (р) — co^qqo (р⁰) - со^РРо (д) — (о^{Р Р о} (д⁰)

следует, что (1.4) является многозначной аналитической функцией перемен­

ной q и имеет единственный полюс при q = р. В дальнейшем потребуется следующее соотношение Б . Римана:

Q

(1.6) §d<o^qqo(p) = 2m^dw^k(t) ( & = 1 , 2, . . . , Л),

ък %

выражающее В-периоды дифференциала (1.4) через интегралы от (1.2). Как следствие перечисленных свойств получаем, что многозначность выражения (1.4) по переменной q описывается равенствами

(1.7) j d^q [dd)^qqo (p)] - 0, J d^q [dco^qqo (p)] =2mdw^k(p) (u = 1, 2, . . ., ft),

aft bk

Рис. 1.

где d^q означает дифференцирование по переменной д. Выделим ветвь du>^qq (р) выражения (1.4), однозначную по g на Ж, удовлетворяющую условию:

d(D^{q q} (p) = 0. Эту ветвь можно определить равенством

Q

(!-8) da

(p) =]d

Ыт

(р)],

где путь интегрирования не пересекает линий ai5 а2, . . ., ад. Из (1.7) с уче­

том введенных выше обозначений следует, что

(1.9) datq⁰ (р) — daj^% (р) = — 2 ш dw^k (p), t£a^k (к = 1, 2, . . . , h).

Аналогично из (1.6) получаем ч

(1.10) coJe⁰(0 —©ag⁰W^{= =} —²ⁿⁱ \ ^du?*C0» * £^а* ( f c = l , 2, . . . , /г),

«о

где путь интегрирования не пересекает линий ai, а2, . . ., ад. В последних двух равенствах было бы точнее поставить индексы « + » и «—» над пере­

менной t, однако такая форма записи не является общепринятой. Так как равенства, аналогичные (1.9) и (1.10), будут в дальнейшем встречаться часто, то отметим, что соотношение t 6 afe, стоящее справа от равенств (1.9) и (1.10), служит указателем того, к какой переменной относятся индексы « + » и «—»

и на какой кривой выполняются соответствующие равенства.

В областях, лежащих на римановых поверхностях, справедливы прин­

цип аргумента и теорема о вычетах. В частности, интеграл по границе облас­

ти от аналитического в ней дифференциала равен нулю (теорема Коши).

Сумма вычетов абелева (т. е. мероморфного всюду на 9R) дифференциала равна нулю. Для мероморфных функций и дифференциалов справедлива теорема об аналитическом продолжении.

Пусть ри р2, . . ., Ри — точки на 9R, а целые числа щ, п2, . . ., nk —

«кратности» этих точек. Символ А = р^р™2 . . . р^ (не зависящий от порядка следования точек ри р2, . . ., Рп) называется дивизором, а число ord A =

k

= 2 nv — порядком дивизора А. Дивизор А называется целым, если все nv ^ 0, в противном случае — дробным. Дивизоры можно умножать и делить друг на друга, при этом кратности соответствующих точек скла­

дываются или вычитаются соответственно. Единичным служит дивизор «(1)», в который все точки входят с кратностью нуль. Говорят, что дивизор А±

кратен дивизору Д² (пишут: А² | Ai, читая эту запись так: «А² делит Ai»), если дивизор Ai : A² целый. Функции ф (р) или дифференциалу dty(p), имею­

щим конечное число нулей и бесконечностей (целых кратностей), можно очевидным образом однозначно сопоставить дивизор (ф) или (dip) соответ­

ственно, составленный из их нулей и бесконечностей с учетом кратностей.

В связи с этим говорят, что функция ф(р) кратна дивизору А, если А | ( ф ) . Аналогичное определение дается и для дифференциала. Порядок функции (дифференциала)— это порядок ее (его) дивизора. Порядок всюду на ffi

122 Э. И. З В Е Р О В И Ч

мероморфной функции равен нулю. Порядок абелева на 9? дифференциала равен 2й — 2.

Через г [А^{- 1}] обозначим размерность (над полем комплексных чисел) линейного пространства мероморфных всюду на 9? функций, кратных диви­

зору А^{- 1}, а через t [А] — размерность линейного пространства абелевых на Ш дифференциалов, кратных дивизору А ^х). Справедлива следующая формула (теорема Римана — Роха):

(1Л1) r[A-1] = ordA + t[A] — h+l.

В случае, когда дивизор А единичный, имеем ord А = 0, i [А] = h, и (1.11) дает теорему Л и у в и л л я : г [(1)] = 1. Если ord А < 0, то t [А"1] = 0; если же ord A > 2h — 2, то г [А] = 0. Из (1.11) следует, что при h > 0 не суще­

ствует мероморфной всюду на ffi функции, имеющей единственный простой полюс, но при h ^ 0 существует отличная от константы мероморфная функ­

ция, допускающая полюсы в h + 1 произвольно заданных точках.

В случае 0 < ; ord A <^ 2h — 2 для числа х [А- 1] имеет место точная оценка (теорема Клиффорда [ИЗ]):

(1.12) 2 r [ A -¹] < o r d A f 2.

Дивизор А назовем минимальным, если ord А — h — 1, х [А""¹] =

= г [А] = 0. Равенство т [А] = 0 влечет ord A ^ h — 1, и в этом случае существует минимальный дивизор Ai такой, что Ai | А. Равенство х [А- 1] =

= 0 влечет ord A ^ h — 1, и в этом случае существует минимальный диви­

зор Ai, кратный А. Действие нахождения по данному дивизору А минималь­

ного дивизора Ai назовем дополнением данного дивизора до минимального.

При указанных условиях дополнение всегда можно произвести, но обычно неоднозначно, и притом с большим произволом.

В дальнейшем будем иметь дело с кусочно-мероморфными на Ш функция­

ми, разрывными вдоль некоторых кривых, и с функциями, заданными на кри­

вых и имеющими там точки разрыва. В связи с этим понятия дивизора и крат­

ности являются для нас недостаточно общими. Символ А = р^р^² . . . p£k, где щ, п2, . . ., nk — вещественные числа, назовем квазидивизором. Это понятие обобщает понятие дивизора, и действия над квазидивизорами определяются так же, как и для дивизоров. Квазидивизор А назовем квази­

целым, если все nv > — 1, и целым, если все nv ^ 0.

Пусть функция ф(р) определена (и, быть может, неоднозначна) в окрест­

ности всех точек дивизора А. Пусть z — локальный параметр окрестностей всех точек p^v, входящих в дивизор А, а р = p^v (z) — соответствующие пара­

метрические отображения, причем pv = pv (0) (v = 1, 2, . . ., к). Будем говорить, что

г) Сделаем замечание относительно другой терминологии, используемой для тех же понятий [ИЗ]. Дивизоры А и Д4 называются эквивалентными, А ~ Аь если существует мероморфная всюду на Ш функция Ф(р) такая, что (Ф) = А : А4. Множество дивизоров, эквивалентных А, называется классом дивизоров. Число г [А-1] называется измерением (dim А) класса дивизоров, содержащего А, а число t [A] — измерением дополнительного класса. Эти термины будут использоваться нами в § 5.

1) функция ф(р) кратна дивизору А (Д|(ф)), если

Я > у ) ]

^

(

= l, 2 Л);

Z V

2) функция ф(р) псевдократна дивизору А (Aj(cp)), если

^^{( g ) 1}- = 0 ( | l n z | ) при z - > 0 (v = l , 2, . . . , & ) ;

z ^v

3) функция ф(р) квазикратна дивизору А (А||(ф)), если при z —> О все функции

- ^ ^ - (v = l , 2 , . . . , f t ) ,

допускают особенность интегрируемого порядка по переменной z.

Аналогичные определения можно дать и для дифференциалов, и по отношению к квазидивизорам. Введенные понятия не зависят от выбора локальных координат. Понятие «квазикратность» является более общим, чем понятие «псевдократность», а последнее в свою очередь обобщает понятие

«кратность».

§ 2. Аналоги ядра Коши

Фундаментальную роль в теории краевых задач для аналитических функций на плоскости играет ядро Коши

(2-1) - ^ Т .

Это ядро обладает следующими свойствами:

1°. По переменной z ядро является всюду мероморфной (рациональной) функцией с единственным полюсом в точке z — т и нулем в точке z — оо.

2°. По переменной т ядро является мероморфным (абелевым) дифферен­

циалом с двумя простыми полюсами в точках т = 2 и т = оо, с вычетами в них, равными + 1 и —1 соответственно г).

Чтобы иметь на римановой поверхности утверждения, аналогичные интегральной формуле Коши и формулам Сохоцкого, необходимо прежде иметь на ней аналог ядра Коши. Обозначим этот аналог через А(р, q)dp, указывая этим, что он должен быть функцией по переменной q и дифферен­

циалом по переменной р. Ясно, что ядро должно быть аналитическим по каждой переменной р и q в областях, замыкания которых совпадают с 9?.

Кроме того, для любого аналога ядра Коши при р —>• q должно выполняться соотношение

(2.2) А(р> q)dp = —--—{-регулярные члены,

следствием которого являются формулы Коши и Сохоцкого. На римановой поверхности рода h > 0 мероморфная функция не может иметь единственный

г) Для вычисления вычета дифференциала (2.1) в точке т = оо нужно, считая z конечным и фиксированным, перейти в (2.1) к локальному параметру о окрестности точки т = оо по формуле о = 1/т, откуда dx = — dolo2. После этого непосредственно вычисляет­

ся вычет полученного дифференциала в точке о = 0.

124 Э. И. ЗВЕРОВИЧ

простой полюс, поэтому не существует аналога ядра Коши, обладающего*

свойствами 1° и 2° ядра (2.1). Такие аналоги существуют только на римано- вых поверхностях рода нуль. Таким образом, при построении аналога ядра Коши на римановых поверхностях следует отказаться от выполнения обоих свойств 1° и 2°, оставив только свойство 2° или, что еще существеннее, свой­

ство (2.2). При таком подходе на каждой римановой поверхности существует бесконечное множество аналогов ядра Коши, поэтому при построении ана­

логов ядра Коши следует руководствоваться соображениями удобства.

Считая известными дифференциалы (1.2) и дифференциал (1.4), обладающий свойством (2.2), мы построим здесь такие аналоги ядра Коши, которые ока­

жутся наиболее удобными при решении краевых задач Римана в постановках следующего параграфа.

1. Разрывный аналог ядра Коши. При построении решения однородной задачи Римана важно, чтобы соответствующий аналог ядра Коши имел как можно меньше полюсов, так как построение решения однородной задачи связано с логарифмированием ее краевого условия. Указанному требованию удовлетворяет выделенная формулой (1.8) ветвь выражения (1.4), разрывная по переменной q вдоль линий av:

(2.3) А(р, q)dp = d(dqqo(p).

Это выражение будем называть разрывным аналогом ядра Коши на 9?. Точ­

ка qo зафиксирована произвольно. Ядро (2.3) обладает свойством (2.2).

Более того, если отвлечься от его разрывности, то получаем, что ядро (2.3) обладает обоими свойствами 1° и 2° ядра (2.1), причем в роли точек т, z, оо выступают соответственно точки р, q, qo»

2. Мероморфный аналог ядра Коши. Решение неоднородной задачи Рима­

на можно свести к задаче «о скачке» для нахождения кусочно-мероморфной функции или дифференциала, (квази)кратных заданному дивизору*

В связи с этим нужен такой аналог ядра Коши, который бы линий разрыва не имел, но зато имел «неподвижные» нули и полюсы, «имитирующие» соот­

ветствующие особенности данной задачи «о скачке». Пусть задан дивизор А, обладающий свойством минимальности, указанным в § 1. Мероморфным аналогом ядра Коши с минимальным характеристическим дивизором А мы назовем выражение А(р, q)dp, которое обладает свойством (2.2) и является по переменной р абелевым дифференциалом, кратным дивизору д_1А, а по переменной q — мероморфной всюду на] 9? функцией, кратной дивизору р ^ Д "1. Чтобы построить мероморфный аналог ядра Коши, зададим дивизор А

в такой форме:

рп1рп2 щ ф я рПк

(2.4) А = +;m 2 1 +' i " * „ .+i (i>0,k>0,nv>0,mv>-l),

k i

причем в силу минимальности имеем ord А = 2 nv — 2 mv — i — I =•

v = l v = 0

= h — 1. Легко видеть, что минимальный дивизор не может быть целым, поэтому в знаменатель дивизора (2.4) хотя бы одна точка (пусть qo) входит с положительной кратностью. Тогда мероморфный аналог ядра Коши

А(р, q)dp с характеристическим дивизором (2.4) можно вычислить по формуле

(2.5)

шад(Р) <я ^(р) ««•-'""(Р) < 'ч 1 . т о ^{0 U} (?) 1, т.

. . . со , 1 . ™*

1, т -

(Р) dw^t (р)

<о'^) °>y(Pi) •••<?(^) < > i ) . . . % : , 7

^ ^ ^ )

. . . dw^h (p) . . . dw^h (pi)

•?ji°(pi) *> *; (PI) • • • %*; ° (PI) %_q0q 4q 4% n (PI) • • - % ' L (PI)^«i«0 d ^ (PI) • • •d lwh (PI)

Ш

У

¥

'' * °V °

®Уо

*' *

«1«о *

'"

coⁿfe' ° (^Pk) ©ⁿfe' ¹ (p^fe) . . . coⁿfe' ^mo (^Pft) ©**• ° (^Pk) . . . ©»*• ⁿi (^Pk) Л >⁴ (^Pk) . . . l*w^h (^Pk)

QQQ. %Q. Qtft 44 44

i f mi

kj (PI) • • • ° v °

i)

У

• • • °v

* • •

п., 1 .

%U (л) •

< > * > •

• • ^ ^ < < . > > •

• • v ° ^w O * • ^{' * ^чч}

^{^}

^{^ '}

• dUlwh fa)

•. dwh (pk)

.пь » 1

fe

;

ы • • • «#;

° (PO < l (p*) • • • <%? (^)

1 to)... d

*w

(

)

где для краткости введено обозначение

«*«0

V

0)^. М- ( п) = - dp1 dq*{,

в частности,

( 0J : O ( P )= = -d(*QQn(p)

Д л я проверки свойств ядра (2.5) обозначим через Z) определитель, стоя­

щий в знаменателе формулы (2.5). Видно, что D не зависит от р. Хотя фор­

мально переменная q входит в первые то столбцов определителя D, но на самом деле D не зависит и от q. Последнее вытекает из тождества (1.5), если его продифференцировать по переменным р и до. Из равенства i [A] = О следует, что D Ф 0. Так как D является алгебраическим дополнением эле­

мента —dco^qq (p), находящегося в левом верхнем углу числителя, то ядро (2.5) представимо в виде

(2.6) А (/?, q) dp = duq% (P)+

где точками обозначено выражение, аналитическое при р = q. Отсюда сле­

дует, что ядро (2.5) обладает свойством (2.2). Покажем, что ядро (2.5) не имеет линий разрыва по переменной q. Так как dcdqqo (p) имеет линии разрыва ai, а2, . . ., а/г, то и (2.5) может иметь разрывы только вдоль этих линий.

Но на кривых afe справедливы равенства (1.9), которые в силу (1.7) можно