Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Ю. А. Черняев, Обобщение метода Ньютона на класс невыпуклых задач мате- матического программирования, Изв. вузов. Матем., 2008, номер 1, 78–82
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 11:01:46
2008 ò 1 (548)
519.853
..
ï à ¡®â ¯à®¤®«¦ ¥â ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¨â¥à 樮ëå ¯à®æ¥¤ãà 宦¤¥¨ï áâ 樮 à-
ëå â®ç¥ª £« ¤ª¨å äãªæ¨© ª« áᥠ¥¢ë¯ãª«ëå ¬®¦¥áâ¢, ç âë¥ ¢ [1] ¨ [2]. áᬠâਢ ¥â- áï ®¡®¡é¥¨¥ ¬¥â®¤ ìîâ® , ¯à¨¬¥ï¥¬®£® ¤«ï à¥è¥¨ï § ¤ ç ¢ë¯ãª«®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ¨ï,
á«ãç © ®£à ¨ç¥¨©, ¯à¥¤áâ ¢«¥ëå ¢ ¢¨¤¥ ⥮à¥â¨ª®-¬®¦¥á⢥®© à §®á⨠¢ë¯ãª«®£®
¬®¦¥á⢠¨ ®¡ê¥¤¨¥¨ï ¥áª®«ìª¨å ¢ë¯ãª«ëå ¬®¦¥áâ¢. ä®à¬ã«¨à®¢ ® ¨ ¤®ª § ® ¯à¥¤-
«®¦¥¨¥ ® á室¨¬®á⨠«£®à¨â¬ .
1. ®áâ ®¢ª § ¤ ç¨ ¨ «£®à¨â¬
áᬠâਢ ¥âáï § ¤ ç 宦¤¥¨ï â®çª¨, 㤮¢«¥â¢®àïî饩 ¥®¡å®¤¨¬®¬ã ãá«®¢¨î «®- ª «ì®£® ¬¨¨¬ã¬ äãªæ¨¨
'
(x
) ¬®¦¥á⢥ X ¢n
-¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥E
n,£¤¥
X
ï¥âáï ⥮à¥â¨ª®-¬®¦¥á⢥®© à §®áâìî ¥ª®â®àëå ¬®¦¥áâ¢F
¨ Sli=1
int
G
i, ¯à¨í⮬
F
¨G
i,i
= 1;l
, ¢ë¯ãª«ë ¨ § ¬ªãâë, ¬®¦¥á⢠¢ãâ२å â®ç¥ª X ¨G
i,i
= 1;l
, ¥¯ã- áâë,'
(x
) ï¥âáï á¨«ì® ¢ë¯ãª«®© ¥ª®â®à®¬ ¢ë¯ãª«®¬ ¬®¦¥á⢥Y
, ᮤ¥à¦ 饬 X,¨ ¯à¨ ¤«¥¦¨â ª« ááã
C
2(Y
). ãáâì ª ¦¤®¥ ¨§ ¬®¦¥áâ¢G
i,i
= 1;l
, ¢ «î¡®© ᢮¥© £à ¨ç®©â®çª¥
x
¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥ãî ®¯®àãî £¨¯¥à¯«®áª®áâì, ®à¬ «ì ª®â®à®© áç¨â ¥âáï ¢¥è¥©, â.¥.¤«ï ¢á¥å
y
2G
i ®àân
i(x
) ®à¬ «¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î hn
i(x
);y
;x
i 0. 㤥¬ ¯®« £ âì, çâ® ¯à¨ ª ¦¤®¬i
®àân
i(x
) ï¥âáï ¥¯à¥à뢮© ¢¥ªâ®à-äãªæ¨¥© £à ¨æ¥@G
i ¬®¦¥áâ¢G
i. ®á«¥¤¥¥ ®§ ç ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨x
2@G
i¨ ¯à®¨§¢®«ì®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨fx
kg,«¥¦ 饩 ¢
@G
i ¨ á室ï饩áï ªx
, ¯à¨ ª ¦¤®¬" >
0 áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ®¬¥àk
("
)2N
, çâ® ¤«ï«î¡®£®
k
k
("
) á¯à ¢¥¤«¨¢® ¥à ¢¥á⢮ kn
i(x
k);n
i(x
)k< "
.¨¦¥ ¡ã¤ã⠨ᯮ«ì§®¢ âìáï á«¥¤ãî騥 ®¡®§ 票ï:
s
i(x
) | ¯à®¥ªæ¨ï â®çª¨x
¬®¦¥- á⢮G
i,n
i(x
) | ®à⠮ଠ«¨ ®¯®à®© £¨¯¥à¯«®áª®á⨠ªG
i¢ â®çª¥s
i(x
), ;i(x
) =fe
2E
n :hn
i(x
),e
;s
i(x
)i0g,P
(x
) =F
T;1(x
)T;2(x
)TT;l(x
). ஥ªæ¨¨s
i(x
) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ®¤®§ ç®, â.ª.G
i,i
= 1;l
, ïîâáï ¢ë¯ãª«ë¬¨ ¬®¦¥á⢠¬¨ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà áâ¢E
n. ®áª®«ìªã ª ¦¤®¥ ¨§G
i,i
= 1;l
, ¢ «î¡®© ᢮¥© £à ¨ç®© â®çª¥x
¨¬¥¥â ⮫쪮 ®¤ã ®¯®àãî £¨¯¥à-¯«®áª®áâì, â® ¢¥ªâ®àë
n
i(x
), § ç¨â, ¨ ¯®«ã¯à®áâà á⢠;i(x
),i
= 1;
2;::: ;l
, ®¯à¥¤¥«ïîâá磻¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¤«ï «î¡®£®
x
2 X. ᫨ ¯à¨ ¥ª®â®à®¬i
â®çª¨x
¨s
i(x
) ¥ ᮢ¯ ¤ - îâ, â® ¢¥ªâ®àën
i(x
) ¨x
;s
i(x
) ¨¬¥îâ ®¤® ¯à ¢«¥¨¥, § ç¨â, hn
i(x
);x
;s
i(x
)i>
0, â.¥.x
2int;i(x
). ᫨ ¦¥x
¨s
i(x
) ᮢ¯ ¤ îâ, â®x
«¥¦¨â £à ¨æ¥ ;i(x
). ®áª®«ìªãx
2XF
¨ ¯à¨ ª ¦¤®¬
i
= 1;
2;::: ;l
¨¬¥¥â ¬¥áâ®x
2;i(x
), â® ¢á¥£¤x
2P
(x
).«ï à¥è¥¨ï ¯®áâ ¢«¥®© § ¤ ç¨ ¯à¥¤« £ ¥âáï á«¥¤ãî騩 «£®à¨â¬ ¯®áâ஥¨ï ¯®á«¥¤®-
¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¦¥¨©.
£ 0.®«®¦¨¬
k
= 0. £ 1.ãáâì
x
k 2X ¥áâìk
-¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥. £ 2.¯à¥¤¥«ïîâáï â®çª¨
s
i(x
k);i
= 1;l
. £ 3.âà®ïâáï ¯®«ã¯à®áâà á⢠;i(
x
k),i
= 1;l
. £ 4.âநâáï ¬®¦¥á⢮
P
(x
k). £ 5.ãáâì
x
k | à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨'
k(x
) =h'
0(x
k);x
;x
ki+ (1=
2)h'
00(x
k)(x
;x
k);x
;x
ki!min; x
2P
(x
k):
£ 6. ᫨
'
k(x
k) = 0, â® ¢ëç¨á«¥¨ï § ª 稢 îâáï, ¨ ç¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯¥à¥å®¤ ª è £ã 7. £ 7. ¤ ¥âáï ¢¥«¨ç¨
k 2(0;
1]. £ 8.ãáâì
x
k +1=x
k+k(x
k;x
k). £ 9.®« £ ¥âáï
k
:=k
+ 1 ¨ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯¥à¥å®¤ ª è £ã 1.®¦¥áâ¢
P
(x
k),k
= 0;
1;
2;:::
, ¢ë¯ãª«ë ¨ § ¬ªãâë, â.ª. ïîâáï ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ ¢ë¯ãª«®£®§ ¬ªã⮣® ¬®¦¥áâ¢
F
á § ¬ªãâ묨 ¯®«ã¯à®áâà á⢠¬¨ ;i(x
k),i
= 1;l
, ¨ ¥¯ãáâë, â.ª. ¯®¯®áâ஥¨î
x
k 2P
(x
k),k
= 0;
1;
2;:::
ᨫ㠯®ª § ®£® ¢ ([3], á.189) ᨫì ï ¢ë¯ãª«®áâì'
(x
) Y
à ¢®á¨«ì áãé¥á⢮¢ ¨î ª®áâ âë>
0, ¤«ï ª®â®à®© ¯à¨ «î¡ëåx
2Y
¨ 2E
n á¯à ¢¥¤«¨¢® ¥à ¢¥á⢮ h'
00(x
);
i kk2. ¬ ¦¥ ¯®ª § ®, çâ® = 2, £¤¥ | ª®áâ â ᨫ쮩 ¢ë¯ãª«®áâ¨'
(x
) Y
. ®í⮬㠨§ à ¢¥áâ¢'
0 0k(x
) ='
0 0(x
k),k
= 0;
1;
2;:::
, ¨¢ª«î票©
P
(x
k)XY
á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ ª ¦¤®¬k
äãªæ¨ï'
k(x
) á¨«ì® ¢ë¯ãª« P
(x
k) á ª®áâ ⮩. ᨫ㠢ë¯ãª«®á⨠¨ § ¬ªãâ®áâ¨P
(x
k) íâ® ®§ ç ¥â, çâ® § ¤ ç ¬¨¨¬¨§ 樨 è £¥ 5 ¯à¨ «î¡®¬
k
¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥.á«®¢¨¥
'
k(x
k) = 0 ¬®¦¥â ¥ ¢ë¯®«ïâìáï ¨ ¯à¨ ª ª®¬k
, ⮣¤ ¯à®æ¥áá ¢ëç¨á«¥¨© áâ ®-¢¨âáï ¡¥áª®¥çë¬. «ï ¥ª®â®àëå ᯮᮡ®¢ ¢ë¡®à ç¨á¥«
k,k
= 0;
1;
2;:::
, ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ®«î¡ ï ¯à¥¤¥«ì ï â®çª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠f
x
kg ï¥âáï áâ 樮 ன, â. ¥. 㤮¢«¥â¢®àï¥â¥®¡å®¤¨¬®¬ã ãá«®¢¨î «®ª «ì®£® ¬¨¨¬ã¬
'
(x
) X. «¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ©¤¥ ï ᯮ¬®éìî «£®à¨â¬ áâ 樮 à ï â®çª , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ¡ã¤¥â ïâìáï â®çª®© £«®¡ «ì®£®
¬¨¨¬ã¬
'
(x
) X.2. 室¨¬®áâì «£®à¨â¬
í⮬ à §¤¥«¥ ¯à¨¢®¤¨âáï «¥¬¬ ® ¥®¡å®¤¨¬®¬ ãá«®¢¨¨ «®ª «ì®£® ¬¨¨¬ã¬ ¢ë¯ãª«®©
äãªæ¨¨
'
(x
) ¬®¦¥á⢥ X 㪠§ ®£® ¢¨¤ , ¯à¥¤« £ îâáï ¤¢ ᯮᮡ ¢ë¡®à ç¨á¥« k,k
= 0;
1;
2;:::
, ¨ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ® á室¨¬®á⨠«£®à¨â¬ .¥¬¬ . ãáâì äãªæ¨ï
'
(x
) ï¥âáï ¢ë¯ãª«®© ¥ª®â®à®¬ ¢ë¯ãª«®¬ ¬®¦¥á⢥Y
,ᮤ¥à¦ 饬 X, â®çª
x
¤®áâ ¢«ï¥â «®ª «ìë© ¬¨¨¬ã¬'
(x
) X. ®£¤x
ï¥âáïâ®çª®© £«®¡ «ì®£® ¬¨¨¬ã¬
'
(x
) P
(x
).¥¬¬ á¯à ¢¥¤«¨¢ , ¯®áª®«ìªã
x
2P
(x
) XY
, ¢ ᨫ㠢ë¯ãª«®á⨠äãªæ¨¨'
(x
) ¨¬®¦¥áâ¢
P
(x
) «î¡ ï â®çª «®ª «ì®£® ¬¨¨¬ã¬'
(x
) P
(x
) ¡ã¤¥â ¨ â®çª®© £«®¡ «ì®£®¬¨¨¬ã¬ .
[2] ¯à¨¢¥¤¥ ¯à¨¬¥à, ¯®ª §ë¢ î騩, çâ® ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª
x
, ¤®áâ ¢«ïîé ï £«®¡ «ì-ë© ¬¨¨¬ã¬ ¢ë¯ãª«®© äãªæ¨¨
'
(x
) P
(x
), ¬®¦¥â ¥ ïâìáï â®çª®© «®ª «ì®£® ( ⥬¡®«¥¥, £«®¡ «ì®£®) ¬¨¨¬ã¬
'
(x
) ¬®¦¥á⢥ X 㪠§ ®£® ¢¨¤ . ᨫ㠢ë¯ãª«®á⨠äãª- 樨'
(x
) ¨ ¬®¦¥áâ¢P
(x
) áâ 樮 à®áâì â®çª¨x
¢ á¬ëá«¥ ã⢥ত¥¨ï «¥¬¬ë à ¢®á¨«ì¢ë¯®«¥¨î ãá«®¢¨ï
8
x
2P
(x
) :h'
0(x
);x
;x
i0:
(1)®áª®«ìªã ¯à¨ ª ¦¤®¬
k
â®çªx
k ¤®áâ ¢«ï¥â ¬¨¨¬ã¬ äãªæ¨¨'
k(x
) ¢ë¯ãª«®¬ ¬®-¦¥á⢥
P
(x
k), ¤«ï ¢á¥åx
2P
(x
k) á¯à ¢¥¤«¨¢® ¥à ¢¥á⢮ h'
0k(x
k);x
;x
ki 0. ¬¥â¨¬, çâ®'
k(x
k)'
k(x
k) = 0, ¯à¨ ᨫ쮩 ¢ë¯ãª«®áâ¨'
k(x
) P
(x
k) à ¢¥á⢮'
k(x
k) = 0 ¢®§¬®¦®â®«ìª® ¯à¨
x
k =x
k. ª ª ª'
0k(x
) ='
0(x
k)+'
0 0(x
k)(x
;x
k), â® à ¢¥á⢮'
k(x
k) = 0 à ¢®á¨«ì®¥à ¢¥áâ¢ã h
'
0(x
k);x
;x
ki 0 ¤«ï ¢á¥åx
2P
(x
k). âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨ ¯à¨ ¥ª®â®à®¬k
¨¬¥¥â ¬¥áâ®'
k(x
k) = 0, â® ¢ ᨫ㠢ë¯ãª«®áâ¨'
(x
) ¨P
(x
k) â®çªx
k ¤®áâ ¢«ï¥â £«®¡ «ì멬¨¨¬ã¬
'
(x
) P
(x
k), § ç¨â, 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¥®¡å®¤¨¬®¬ã ãá«®¢¨î «®ª «ì®£® ¬¨¨¬ã¬ , áä®à¬ã«¨à®¢ ®¬ã ¢ «¥¬¬¥.।« £ îâáï á«¥¤ãî騥 ¤¢ ᯮᮡ ¢ë¡®à ç¨á¥«
k,k
= 0;
1;
2;:::
ਠ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨á¯®á®¡ 1 § ¤ îâáï ª®áâ âë
"
¨ ¨§ ¨â¥à¢ « (0;
1) ¨ ¢¥«¨ç¨ k ¯®« £ ¥âáï à ¢®© ik,£¤¥
i
k | ¯¥à¢ë© ¨§ ®¬¥à®¢i
= 0;
1;
2;:::
, ¤«ï ª®â®à®£® ¢ë¯®«ï¥âáï ãá«®¢¨¥'
(x
k);'
(x
k +i(x
k;x
k))"
ij'
k(x
k)j:
(2) ᨫ㠢ë¯ãª«®áâ¨
P
(x
k), ᨫ쮩 ¢ë¯ãª«®áâ¨'
(x
) ¨ १ã«ìâ â ¨§ ([3], á.322{323) ¯à¨ áã- é¥á⢮¢ ¨¨ ª®áâ âëM >
0, ¤«ï ª®â®à®© ¯à¨ «î¡ëåx
2P
(x
k) ¨ 2E
n á¯à ¢¥¤«¨¢®¥à ¢¥á⢮ h
'
0 0(x
);
iM
kk2, ãá«®¢¨¥ (2) ¡ã¤¥â ¢ë¯®«ïâìáï ¯®á«¥ ª®¥ç®£® ç¨á« ¯à®¡.¯®á®¡ 2 á®á⮨⠢ ¢ë¡®à¥
k ¨§ ãá«®¢¨ï k = arg min01
'
(x
k+(x
k;x
k)):
(3)®áª®«ìªã [
x
k;x
k]P
(x
k),'
(x
) á¨«ì® ¢ë¯ãª« P
(x
k), â® ¬¨¨¬ã¬ ¤®á⨣ ¥âáï ¯à¨ ¥¤¨- á⢥®¬ . ë¡®à k ¨§ ãá«®¢¨ï (3) âॡã¥â à¥è¥¨ï ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 § ¤ ç¨ ®¤®¬¥à®©¬¨¨¬¨§ 樨.
।«®¦¥¨¥. ᫨áãé¥áâ¢ã¥âª®áâ â
M >
0,¤«ïª®â®à®©¯à¨«î¡®¬x
2X¨«î¡®¬ 2E
n á¯à ¢¥¤«¨¢® ¥à ¢¥á⢮ h'
0 0(x
);
iM
kk2, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fx
kg ¯®áâ஥ ¯®¨§«®¦¥®¬ã «£®à¨â¬ã ¨ ç¨á«
k,k
= 0;
1;
2;:::
, ¢ë¡¨à îâáï ᮣ« á® ®¤®¬ã ¨§ ᯮᮡ®¢1 ¨ 2, â® «î¡ ï ¯à¥¤¥«ì ï â®çª
x
¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠fx
kg, ¤«ï ª®â®à®© intP
(x
) 6= ;,㤮¢«¥â¢®àï¥â ¥®¡å®¤¨¬®¬ã ãá«®¢¨î «®ª «ì®£® ¬¨¨¬ã¬ , áä®à¬ã«¨à®¢ ®¬ã ¢«¥¬¬¥.
®ª § ⥫ìá⢮. ਠᨫ쮩 ¢ë¯ãª«®áâ¨
'
(x
) Y
¨ ¢ª«î票¨ XY
¬®¦¥á⢮M
(x
0) = fx
2X :'
(x
)'
(x
0)g ®£à ¨ç¥®, äãªæ¨ï'
(x
) ®£à ¨ç¥ ᨧã X. ®á«¥-¤®¢ ⥫ì®áâì f
'
(x
k)g ¯à¨ 㪠§ ëå ᯮᮡ å ¢ë¡®à ç¨á¥« k,k
= 0;
1;
2;:::
, ¥ ¢®§à áâ ¥â, § ç¨â, fx
kg «¥¦¨â ¢M
(x
0) ¨ ¨¬¥¥â å®âï ¡ë ®¤ã ¯à¥¤¥«ìãî â®çªã. ®áª®«ìªã f'
(x
k)g®£à ¨ç¥ ᨧã, ¨¬¥¥¬
lim
k !1
[
'
(x
k);'
(x
k +1)] = 0:
(4)®ª ¦¥¬, çâ® ¯à¨ 㪠§ ëå ᯮᮡ å ¢ë¡®à ç¨á¥«
k,k
= 0;
1;
2;:::
, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìfx
kg 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨îlim
k !1
k
x
k;x
kk= 0:
(5)®áª®«ìªã
x
k | â®çª ¬¨¨¬ã¬'
k(x
) P
(x
k) ¨ ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¢ª«î票ïP
(x
k)XY
,'
k(x
) á¨«ì® ¢ë¯ãª« P
(x
k) á ª®áâ ⮩ , â® ¢ ᨫã ([3], á.186) ¯à¨ ª ¦¤®¬k
¡ã¤¥â¢ë¯®«ïâìáï ãá«®¢¨¥
kx
k;x
kk2'
k(x
k);'
k(x
k) =j'
k(x
k)j;
(6)¯à¨ í⮬
==
2. ᫨ ç¨á« k,k
= 0;
1;
2;:::
, ¢ë¡¨à îâáï ᮣ« ᮠᯮᮡã 1, â® ¢ ᨫã¢ë¯ãª«®áâ¨
P
(x
k) ¨ ([3], á.322{323) ¯à¨ ª ¦¤®¬k
á¯à ¢¥¤«¨¢® ¥à ¢¥á⢮'
(x
k);'
(x
k +1)""
0j'
k(x
k)j;
(7)£¤¥
"
0 =(1;"
)=M >
0,"
,, ¨M
| ª®áâ âë, 㯮¬ïãâë¥ ¢ëè¥. § (4) ¨ (7) á«¥¤ã¥â, çâ® limk !1
'
k(x
k) = 0, ⮣¤ ¢ ᨫã (6) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ãá«®¢¨¥ (5). áᬮâਬ á«ãç ©, ª®£¤
k,k
= 0;
1;
2;:::
, ¢ë¡¨à îâáï ᮣ« ᮠᯮᮡã 2. ãáâì"
¨|¯à®¨§¢®«ìë¥ ª®áâ âë ¨§ ¨â¥à¢ « (0
;
1). ਠª ¦¤®¬k
â®çªx
k +1㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î'
(x
k +1) = min01
'
(x
k+(x
k;x
k));
¯®íâ®¬ã ¥à ¢¥á⢮ (7) ¯à¨
"
0=(1;"
)=M >
0 ®áâ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬. âáî¤ ¢ ᨫã (4) ¨ (6) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® (5).ãáâì ⥯¥àì
x
| ¯à®¨§¢®«ì ï ¯à¥¤¥«ì ï â®çª fx
kg, ¤«ï ª®â®à®© intP
(x
)6=;, fx
kmg| ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì. ®ª ¦¥¬, çâ®
x
㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (1). ।-¯®«®¦¨¬, çâ® ¨¬¥¥âáï â®çª
x
e2P
(x
), ¤«ï ª®â®à®©h
'
0(x
); x
e;x
i=h'
0(x
) +'
00(x
)(x
;x
); x
e;x
i<
0:
®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ®ªà¥áâ®áâ¨
U
"(x
) ¨U
(x
e), çâ® ¯à¨ «î¡ëåx;y
2U
"(x
) ¨ «î¡®¬z
2U
(x
e) á¯à ¢¥¤«¨¢® ¥à ¢¥á⢮h
'
0(x
) +'
0 0(x
)(y
;x
);z
;y
i<
0:
ãáâì
h
| ¥ª®â®à ï â®çª ¨§ intP
(x
), ⮣¤ [h
;x
e)intP
(x
). ®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªãh
0 2[h
;x
e)TU
(x
e). ᨫã (5) ¨ á室¨¬®áâ¨fx
kmg ªx
áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥m
1 2N
, çâ® ¤«ï ¢á¥åm
m
1 ¨¬¥¥â ¬¥áâ®h
'
0(x
km) +'
00(x
km)(x
km;x
km);h
0;x
kmi<
0:
(8)®
h
0 2 intP
(x
) int;i(x
), â. ¥. hn
i(x
);h
0;s
i(x
)i>
0,i
= 1;l
. ®£¤ ¢ ᨫã ᦨ¬ î- 饣® ᢮©á⢠®¯¥à â®à ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï ¢ë¯ãª«®¥ ¬®¦¥á⢮G
i ¨ ¥¯à¥à뢮áâ¨n
i(x
)
@G
i,i
= 1;l
, áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥m
2 2N
, çâ® ¤«ï ¢á¥åm
m
2 ¢ë¯®«ïîâáï ¥à ¢¥áâ¢h
n
i(x
km);h
0;s
i(x
km)i>
0,i
= 1;l
, § ç¨â,h
0 2;i(x
km),i
= 1;l
. ®áª®«ìªãh
02P
(x
)XF
, â® ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨m
m
2 â®çªh
0 «¥¦¨â ¢P
(x
km).ëè¥ ¡ë«® ¯®ª § ®, çâ® ¯à¨ ª ¦¤®¬
k
¤«ï ¢á¥åx
2P
(x
k) á¯à ¢¥¤«¨¢® ¥à ¢¥á⢮h
'
0k(x
k);x
;x
ki0, ®âªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ «î¡®¬m
m
2 ¨¬¥¥â ¬¥áâ®h
'
0km(x
km);h
0;x
kmi=h'
0(x
km) +'
0 0(x
km)(x
km ;x
km);h
0;x
kmi0:
(9)®«ã祮, çâ® ¯à¨
m
maxfm
1;m
2gãá«®¢¨ï (8) ¨ (9) ¡ã¤ã⠢믮«ïâìáï ®¤®¢à¥¬¥®, çâ® ¥-¢®§¬®¦®. ᨫ㠯ந§¢®«ì®á⨠à áᬮâ८© ¯à¥¤¥«ì®© â®çª¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨f
x
kg¯®-«ã祮¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® «î¡ ï ¯à¥¤¥«ì ï â®çª
x
, ¤«ï ª®â®à®© intP
(x
)6=;, 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (1), ª®â®à®¥ ¢ ᨫ㠢ë¯ãª«®áâ¨'
(x
) à ¢®á¨«ì® ¥®¡å®¤¨¬®¬ã ãá«®-¢¨î «®ª «ì®£® ¬¨¨¬ã¬ , áä®à¬ã«¨à®¢ ®¬ã ¢ «¥¬¬¥.
[2] à áᬮâॠ¢®¯à®á ® ¢®§¬®¦®á⨠§ ¤ ¨ï ¬®¦¥á⢠X á ¯®¬®éìî äãªæ¨® «ìëå
®£à ¨ç¥¨© ¢ ¢¨¤¥ X = f
x
2E
n jf
i(x
) 0,i
= 1;
2;::: ;p
g, £¤¥f
i(x
) 2C
1(E
n),i
= 1;p
, ¨¯®ª § ®, çâ® «î¡ ï â®çª
x
2 X, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î (1) ¨«¨ ãá«®¢¨î intP
(x
) = ;, áâ 樮 à ¢ á¬ëá«¥ £à ¦ . âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨ ¬®¦¥á⢮ X à áᬠâਢ ¥¬®£®¢¨¤ § ¤ ® á ¯®¬®éìî ®£à ¨ç¥¨© ⨯ ¥à ¢¥á⢠¨ ¢ë¯®«¥ë âॡ®¢ ¨ï ¯à¨¢¥¤¥®£®
¯à¥¤«®¦¥¨ï, â® «î¡ ï ¯à¥¤¥«ì ï â®çª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠f
x
kg ï¥âáï áâ 樮 ன ¢ á¬ëá«¥ £à ¦ .3. ëç¨á«¨â¥«ìë¥ á¯¥ªâë
à ¡®â¥ ¯à¥¤«®¦¥ «£®à¨â¬, ®¡®¡é î騩 ¬¥â®¤ ìîâ® , ¯à¨¬¥ï¥¬ë© ¤«ï à¥è¥¨ï
§ ¤ ç ¢ë¯ãª«®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ¨ï, ®¤¨ ª« áá ¥¢ë¯ãª«ëå ¤®¯ãá⨬ëå ¬®¦¥áâ¢. ¤¥ï
®¡®¡é¥¨ï á®á⮨⠢ ⮬, çâ® § ¤ ç ¬¨¨¬¨§ 樨 ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 ª¢ ¤à â¨ç®© äãªæ¨¨
'
k(x
) ª ¦¤®© ¨â¥à 樨 à¥è ¥âáï ¥ ¤«ï á ¬®£® ¥¢ë¯ãª«®£® ¬®¦¥á⢠, ¤«ï ¥£® ¢ë¯ãª«®-£® ¯®¤¬®¦¥á⢠. ⨠¯®¤¬®¦¥á⢠ïîâáï ⥮à¥â¨ª®-¬®¦¥áâ¢¥ë¬ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ ¢ë¯ã- ª«®£® ¬®¦¥áâ¢
F
¨ ¥áª®«ìª¨å ¯®«ã¯à®áâà á⢠;i(x
k). ¤ ç ¬¨¨¬¨§ 樨 ª¢ ¤à â¨ç®©äãªæ¨¨ ¬®¦¥á⢥ â ª®£® ⨯ à¥è ¥âáï, ª ª ¯à ¢¨«®, ¥¯à®áâ®. ஬¥ í⮣®, ¯®áâ஥¨î ª ¦¤®£® ¨§ ¯®«ã¯à®áâà á⢠¯à¥¤è¥áâ¢ã¥â à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï â®çª¨ ®¤® ¨§
¢ë¯ãª«ëå ¬®¦¥áâ¢
G
i, ª®â®à ï ⮦¥ ¥ ¢á¥£¤ ¯à®áâ . ®í⮬㠤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª®£® ¯à¨¬¥¥-¨ï ¯à¥¤« £ ¥¬®£® ¬¥â®¤ , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, âॡã¥âáï à §à ¡®âª ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå «£®à¨â¬®¢
¤«ï à §«¨çëå ¥¢ë¯ãª«ëå ¬®¦¥á⢠à áᬠâਢ ¥¬®£® ¢¨¤ .
ਠ®¯â¨¬¨§ 樨 ¬®¦¥áâ¢ å ®â®á¨â¥«ì® ¯à®á⮩ áâàãªâãàë à §à ¡®â ë© ¬¥â®¤
¬®¦¥â, ®¤ ª®, à ¡®â âì íä䥪⨢®. ᫨, ¯à¨¬¥à, ¤®¯ãá⨬®¥ ¬®¦¥á⢮ § ¤ ® ¢ ¢¨-
¤¥ ⥮à¥â¨ª®-¬®¦¥á⢥®© à §®á⨠¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® ¬®¦¥á⢠, ¯à¥¤áâ ¢«¥®£®
«¨¥©ë¬¨ ¥à ¢¥á⢠¬¨, ¨ ®¡ê¥¤¨¥¨ï ¥áª®«ìª¨å è ஢, â® ¢á¯®¬®£ ⥫ìë¥ § ¤ ç¨ ª ¦¤®© ¨â¥à 樨 ᢮¤ïâáï ª § ¤ ç ¬ ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï è à®¢ë¥ ¬®¦¥á⢠, à¥è ¥¬ë¬ í«¥-
¬¥â à®, ¨ ª § ¤ ç¥ ª¢ ¤à â¨ç®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ¨ï, ª®â®à ï ¢á¥£¤ ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥
áãé¥áâ¢ãî騬¨ ¬¥â®¤ ¬¨. ᫨ ¦¥ à¥è¥¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫ìëå § ¤ ç ¨â¥à æ¨ïå âॡã¥â ¯à¨-
¢«¥ç¥¨ï âà㤮¥¬ª¨å ¨â¥à 樮ëå ¯à®æ¥¤ãà, â® íä䥪⨢®áâì ¬¥â®¤ áãé¥á⢥® ᨦ -
¥âáï. ®áª®«ìªã ¬¥â®¤ ìîâ® ¨á¯®«ì§ã¥â ª¢ ¤à â¨çãî ç áâì à §«®¦¥¨ï äãªæ¨¨
'
(x
) ¢ àï¤ ¥©«®à , ®â ¥£® á«¥¤ã¥â ®¦¨¤ âì ¡®«¥¥ ¡ëáâன á室¨¬®á⨠¯® áà ¢¥¨î á ¬¥â®¤ ¬¨, à áᬮâà¥ë¬¨ ¢ [1] ¨ [2].¨â¥à âãà
1. ¥à異 ..室¨¬®áâì ¬¥â®¤ ¯à®¥ªæ¨¨ £à ¤¨¥â ¤«ï®¤®£®ª« áá ¥¢ë¯ãª«ëå§ ¤ ç
¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ¨ï // §¢. ¢ã§®¢. ⥬ ⨪ . { 2005. { ò12. { .76{79.
2. ¥à異 .. ¡®¡é¥¨¥ ¬¥â®¤ ãá«®¢®£® £à ¤¨¥â ®¤¨ ª« áá ¥¢ë¯ãª«ëå íªáâà¥-
¬ «ìëå § ¤ ç// ãà. ¢ëç¨á«. ¬ ⥬. ¨ ¬ ⥬. 䨧. { 2006. { .46. { ò4. { .576{582.
3. ᨫ쥢 ..¨á«¥ë¥¬¥â®¤ëà¥è¥¨ïíªáâ६ «ìëå§ ¤ ç. { .: 㪠, 1980. { 520 á.
§ ᪨© £®á㤠àáâ¢¥ë© ®áâ㯨«
â¥å¨ç¥áª¨© 㨢¥àá¨â¥â 08.12.2006