А. А. Абрамов, В. И. Ульянова, Л. Ф. Юхно, Метод решения многопараметри- ческой спектральной задачи для некоторых систем дифференциальных урав- нений, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2000, том 40, номер 1, 21–29

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. А. Абрамов, В. И. Ульянова, Л. Ф. Юхно, Метод решения многопараметри- ческой спектральной задачи для некоторых систем дифференциальных урав- нений, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2000, том 40, номер 1, 21–29

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 01:36:46

УДК 519.624.2

МЕТОД РЕШЕНИЯ М Н О Г О П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К О Й СПЕКТРАЛЬНОЙ З А Д А Ч И ДЛЯ Н Е К О Т О Р Ы Х СИСТЕМ

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й

)

© 2000 г» А» А, Абрамов*, В. И, Ульянова*, Л. Ф. Юхно**

(*117967 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН;

**125047 Москва, Миусская пл., 4а, ИММ РАН) Поступила в редакцию 19.05.99 г. ^х

Предлагается и исследуется метод решения многопараметрической спектральной задачи для некоторых слабо связанных систем векторных обыкновенных дифференциальных уравне­

ний со связанными граничными условиями для каждого из этих уравнений. Метод основан на движении по параметру, вводимому в задачу. Для рассматриваемого в работе случая при ис­

пользуемом способе введения параметра дается полное обоснование этого метода для произ­

вольного числа спектральных параметров (СП), произвольных размерностей пространств, в которых рассматриваются самосопряженные векторные уравнения, для наиболее общих са­

мосопряженных связанных граничных условий для каждого из этих уравнений.

1. С Л У Ч А Й Н Е С В Я З А Н Н Ы Х Г Р А Н И Ч Н Ы Х У С Л О В И Й 1. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

(Pi(t

)y

-r

(t

)y

y + rf(t

)y

+

7=1

y

ос, < t^{ < i = 1, 2, п. Здесь y^t: [a^h (3J—^ С™¹; заданные ф у н к ц и ир^ь rⁱ⁹ q^b a^tj определены на [a^h p j и п р и н и м а ю т значения в (Ь , м ы считаем их н е п р е р ы в н ы м и ; / ц , Кп - числа; т ъ ...

т^п - фиксированные п о л о ж и т е л ь н ы е целые числа. Предполагаем, ч т оp^t= р* , q^t = q* , a^tj =

= a* ,p^t > 0. Уравнения (1.1) дополняются г р а н и ч н ы м и условиями: для / = 1, 2,-..., и и м е ю т место

^пУ/(а^г) + ^ ^ = 0,

(1.2) с ^п у т ^ с ^{1 2} [ ^{Р 1} ( Ш Ф д - г т у т ] = о.

Здесь F^il9 F^il9 G^il9 Gⁱ² из С ™ , r a n k | | F^a, F^{i 2}|| = r a n k | | G^a, Gⁱ²\\ = mⁱ⁹

FnF& = Fⁱ²Ff^l9 G^l{G^ = G^l2G^ (1.3)

Зададим целые п о л о ж и т е л ь н ы е числа k^b kⁿ. Возьмем какие-либо вещественные Х^х, Х^п. Рассмотрим дифференциальный оператор, стоящий в левой части /-го уравнения (1.1), с учетом соответствующих ему г р а н и ч н ы х условий (1.2). Известно, ч т о этот самосопряженный оператор имеет д и с к р е т н ы й спектр, о г р а н и ч е н н ы й сверху. П у с т ь - 6 , есть k^re собственное значение ( С З ) э т о г о оператора. Ставится задача: найти Х^ь ... Д „ т а к , ч т о б ы имело место

е^г = 0, i= l, 2 , л. (1.4)

Это так называемая многопараметрическая спектральная задача (искомых С П

п

Х

...,\)

для слабо связанной системы в е к т о р н ы х дифференциальных уравнений (уравнения связаны

! ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов

*99-01-00331 и **99-01-00958).

22 АБРАМОВ и др.

л и ш ь параметрами Х^ь Х^п). К настоящему времени создана обширная теория, относящаяся к т а к и м задачам (см., например, [1]).

П р и исследовании свойств э т о й задачи существенную роль играет D(t^b tⁿ\ £^l5 =

= det||c^f atjit^tll где ^ e С™¹ для / = 1, 2, ..., п. В частности, известно (см. [1]), ч т о если D Ф О для л ю б ы х r^{l 5} tⁿn л ю б ы х ненулевых ^ , т о задача (1.1) л (1.2) л (1.4) имеет решение и это решение единственно. Сразу ж е отметим, ч т о значение D вещественно для л ю б ы х значений ар­

гументов.

Н а л о ж и м более слабые ограничения:

D(t^l9 ...⁹tⁿ\^^l9 > 0 для всех t^l9 tⁿ⁹ %^l9 £^л; (1.5) существуют такие t°^l9 ..., t°ⁿ, ч т о для л ю б ы х ненулевых ^ , имеет место

Ц . . . , и > 0 . (1.6)

(Для определенности берем / ) > 0 в ( 1 . 5 ) и / ) > 0 в (1.6); если D < О (соответственно, D < 0), т о , поменяв знак у к а к о г о - л и б о из X^h придем к рассматриваемому случаю.)

П р и ограничениях (1.5) л (1.6) у ж е невозможно гарантировать существование решения зада­

ч и (1.1) л (1.2) л (1.4); соответствующий пример л е г к о привести для п = т^х = 1. Будем предпола­

гать, ч т о рассматриваемая к о н к р е т н а я задача, удовлетворяющая л и ш ь (1.5) л (1.6), имеет реше­

ние; его единственность м ы д о к а ж е м .

В настоящей работе, опираясь на общие результаты из [1] и применяя м е т о д ы , предложенные в [ 2 ] - [ 4 ] , м ы даем метод решения сформулированной в ы ш е задачи с несвязанными г р а н и ч н ы м и условиями, а т а к ж е более общей задачи со связанными для к а ж д о г о из уравнений г р а н и ч н ы м и условиями, к о т о р у ю м ы сведем к сформулированной в ы ш е .

2. Основной вычислительной частью предлагаемого метода является реализация способа в ы ­ числения С З с заданным номером, предложенного в [2] для нелинейной спектральной задачи для г а м и л ь т о н о в ы х систем с несвязанными г р а н и ч н ы м и условиями. П о с к о л ь к у в [2] понятие номера С З не совпадает с о б щ е п р и н я т ы м (использованным п р и формулировке задачи в п. 1), а т а к ж е для т о г о , ч т о б ы детализировать, к а к именно спрсоб [2] применяется к рассматриваемой сейчас задаче, приведем н у ж н ы е определения и результаты из [2].

Рассмотрим одно из уравнений (1.1) вместе с с о о т в е т с т в у ю щ и м и ему г р а н и ч н ы м и условиями, индекс /, о т в е ч а ю щ и й этому уравнению, далее опустим.

Обозначив

п

s(t) =q(t) + ^aj(t)Xj9

I 7=1

рассмотрим п р и ф и к с и р о в а н н ы х вещественныхрц, ...⁹Х^п с п е к т р а л ь н у ю задачу: уравнение

(p(t)y-r(t)yy + r*(t)y + s(t)y + Qy = 0 (1.7) с с о о т в е т с т в у ю щ и м и г р а н и ч н ы м и условиями из числа (1.2), 9 является С П .

Это уравнение, к а к известно, заменой z\ -у,1²- РУ - ГУ приводится п р и сделанных предполо­

жениях к г а м и л ь т о н о в о й системе

(здесь и далее / - единичная матрица к а к о г о - л и б о размера), а г р а н и ч н ы е условия - к виду

F\z^x(a) + F²z²(a) = 0, G ^ ( p ) + G²z²( p ) = 0. (1.9) В о з н и к ш а я спектральная задача (1.8) л (1.9) удовлетворяет всем требованиям, п р и н я т ы м в

[2]: г р а н и ч н ы е условия самосопряженные, п р а в ы й н и ж н и й б л о к м а т р и ц ы правой части п о л о ж и ­ тельно определен, матрица правой части не убывает по С П 0, все С З задачи изолированные. Далее формулируем н у ж н ы е нам результаты из [2] применительно к спектральной задаче (1.7) л (1.2) и л и , ч т о т о ж е самое, к задаче (1.8) л (1.9).

Определение 1. Т о ч к а а < < Р, для в з я т ы х Д ь Х^п, 0 называется т о ч к о й , сопряженной левому к о н ц у ( Т С Л К ) , если существует нетривиальное решение y(t) уравнения (1.7), удовлетво­

ряющее левому граничному условию и условию y(t*) - 0.

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 40 № 1 2000

А н а л о г и ч н о определяется т о ч к а , сопряженная правому к о н ц у ( Т С П К ) .

П у с т ь для взятого 0, не являющегося С З задачи (1.7) д (1.2), т о ч к а t* не является н и Т С Л К , н и Т С П К . Тогда левое граничное условие, перенесенное с п о м о щ ь ю уравнения (1.7) в м о ж е т б ы т ь записано в виде

z²(t*) = M^lz^l(t*)⁹ где M^l - М* , а правое - в виде

z²(^) = Af^rz¹(r^3|s), •

где М^г - М * ; эрмитова матрица М^г - М^{ не вырождена. Обозначим через. К^х число Т С Л К на ( a , t%)⁹ К^г - число Т С П К на (^, р), К⁰ - положительный индекс инерции матрицы М^г - М^ь N(Q) = K^t + K^r + К⁰.

Тогда УУ(0) не зависит от выбора t*\ если 0' < 0", то yV(0") - N(&) равно числу СЗ задачи (1.7) л (1.2) с учетом их к р а т н о с т и , лежащих в (0', 0"). К р а т н о с т ь ю С З называется число линейно независи­

м ы х решений задачи.

Ошределешше 2» Н о м е р о м С З 0 * задачи (1.7) л (1.2) называется любое число К⁹ удовлетворя­

ю щ е е условию * ' .

/ V ( 0 * - O ) + 1 < £ < / V ( 0 * + O). (1.10) Т е м самым кратное С З имеет н е с к о л ь к о номеров.

В [2] предложен способ вычисления К^{ и К^г без вычисления самих Т С Л К и Т С П К . П о с к о л ь к у yV(0) является н е у б ы в а ю щ е й ф у н к ц и е й 0, т о , задав номер и с к о м о г о С З , л е г к о организовать стрельбу по параметру 0 так, ч т о б ы выполнялось (1.10).

В совокупности приведенные результаты и дают метод вычисления С З с заданным номером, п р е д л о ж е н н ы й в [2].

Теорема L При сделанных предположениях номер СЗ задачи (1.7) л (1.2) - это его место при перечислении СЗ (с учетом их кратности) слева направо.

Доказательство» К а к у ж е б ы л о сказано, задача (1.7) л (1.2) имеет дискретный спектр, ограни­

ч е н н ы й слева. Т а к к а к п р и переходе 0 через С З слева направо N(Q) увеличивается на кратность э т о г о С З , т о достаточно доказать, ч т о yV(0) = 0 для отрицательных достаточно больших по абсо­

л ю т н о й величине значений 0.

Возьмем такое положительное число /г, что на [ а , р] имеет место соотношение hl> r*p ^Xr + s г*р ¹

р~\г р~^Х

К а к следует из [2], ф у н к ц и я N(Q) п р и переходе о т исходной системы (1.8) к системе с матрицей (й + 0 ) / 0

что yV(0) = 0 п р и т а к и х 0 для системы

п р и тех ж е г р а н и ч н ы х условиях не уменьшится. Т е м с а м и м достаточно доказать,

\ - z² = (h + Q)z^u z\ = hz²> (1.11)

при тех ж е г р а н и ч н ы х условиях (1.9). Ф и к с и р у е м какое-либо t%,'a < < Р; далее рассматриваем т о л ь к о ( а , для [г*, р) рассуждения совершенно аналогичны. Система (1.11) решается в явном виде:

Z\ = h{c^xsh[Q(t-a)] + c²ch[Q(t-a)]}, z² = в{с^хсЬ[д^-а)] + c²sh[Q(t-а)]}, 0 = J-h(h + 0 ) , с^х и с² - произвольные в е к т о р н ы е постоянные. Первое из условий (1.9) превра­

щается в систему линейных алгебраических уравнений относительно сги с²: hF^xc²+~QF²c^x = 0 .

Т а к к а к F^XF² - F²Ff = 0 и г а п к | | ^ , F²\\ = m, т о о б щ и м решением э т о й системы является ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 40 № 1 2000

24 АБРАМОВ и др.

сх = -hFf^ \с2 = QFft,

£ - произвольный m-вектор. Т е м самым

z^x(t) = Z^x{t% z²(t) = Z²(t)^

где

Z^x(t) = /z|-/zF*sh[e(^-oc)] + eF*ch[e(r-a)]|,

Z²( 0 = e|-/iF*ch[e(^-oc)] + eF*sh[e(^-a)]|.

П о к а ж е м , ч т о для достаточно больших 0 имеет место detZjO) Ф 0 на ( a , t%] (а отсюда сразу следует, ч т о ( a , t*] не содержит Т С Л К ) и ч т о эрмитова матрица Z²(t*)Z\^l (t*) п о л о ж и т е л ь н о о п ­ ределена.

Для удобства в ы к л а д о к сделаем следующее преобразование матриц F^x и F². Э т и две м а т р и ц ы м о ж н о у м н о ж и т ь слева на л ю б у ю н е в ы р о ж д е н н у ю квадратную матрицу, и смысл левого гранич­

ного условия и условие самосопряженности э т о г о граничного условия сохраняются. Э т и две ма­

т р и ц ы м о ж н о у м н о ж и т ь справа на л ю б у ю у н и т а р н у ю матрицу, ч т о соответствует н е к о т о р о й за­

мене zi'H z² и приводит к т о й ж е системе (1.11) и сохраняет условие самосопряженности гранич­

ного условия. Ясно, ч т о указанные два м н о ж и т е л я (левый и правый) м о ж н о выбрать т а к , ч т о F^x а Ъ

с d IOab''

примет вид I О (неотрицательные размеры блоков не указываем). Тогда F² = О О

венство F^x F f = F²Ff дает а = а*\ с = 0. Т а к к а к г а п к Ц ^ , F2|| = rank размер d ненулевой. П о л у ч а е м i

и ра-

0 0 0 d

= га, т о dttd Ф 0, если

Zx(t) = h

Z2(t) = 0

-hIsh[Q(t-a)] + 0 a c h [ Q ( r - a ) ] 0

0 f e * c h [ 0 ( f - a ) ] ' 0 d * c h [ 0 ( * - a ) ] -hIch[Q(t-a)] + 0 a s h [ 0 ( / - a ) ]

0 Z ? * s h [ 0 ( r - a ) ]

0

0 d * s h [ 0 ( ; - a ) ]

(1.12)

Т а к к а к detd Ф 0, достаточно показать, ч т о если размер а ненулевой, то det{—/г/th [Q(t - a ) ] / 0 + + а} Ф 0 для достаточно большого 0 на всем ( a , t%]. Н о это действительно т а к , в чем м о ж н о убе­

диться, взяв 0 больше, нежели h, деленное на минимальное положительное С З м а т р и ц ы а.

Д л я завершения доказательства теоремы осталось показать, ч т о для достаточно большого п о л о ж и т е л ь н о г о 0 эрмитова матрица М^х = Z²{t*)Z~^x (t%) является положительно-определенной.

Используя (1.12), л е г к о вычисляем, ч т о

^ t h t e^ - a ) ] - /

a - b t h [ e ( ^ - a ) ]

0

0

j j / t h ^ - a ) ]

Эрмитова матрица а фиксирована, она определяется г р а н и ч н ы м и условиями, - a - выбранное нами положительное число, h - фиксированное положительное число. Приведя матрицу а к ди-

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 40 № 1 2000

атональному виду, л е г к о убедиться, ч т о и те диагональные элементы получающейся диагональ­

ной м а т р и ц ы М^ь для к о т о р ы х соответствующие С З м а т р и ц ы а о т л и ч н ы о т нуля, и те, к о т о р ы е соответствуют нулевым С З , после умножения на /г/0 стремятся к 1 п р и 0 — • <*>. П о э т о м у

lim = / .

А поэтому М^г п о л о ж и т е л ь н о определена для достаточно больших 0 .

Т а к ж е доказывается, ч т о на (5) для достаточно больших 0 решение, аналогичное Z^x(i), не вырождено и матрица М^п аналогичная М^ь отрицательно определена. П о э т о м у п о л о ж и т е л ь н ы й индекс инерции м а т р и ц ы М^г - М^{ равен н у л ю и для т а к и х 0 имеем yV(0) = 0.

Замечайте. Ясно, что утверждение теоремы 1 остается верным, если вместо задачи для гамильтоновой системы частного вида (1.8) рассмотреть задачу для более общей гамильтоновой системы

~Z² = (Pll(O

+

где p^u = pf^x, pⁿ = p*i, P22 ⁼ P22 ^> 0» Prs непрерывны;;на [a, ($], вместе с условиями (1.9), удовлетворяю­

щими (1.3). В доказательстве теоремы ничего не изменится.

3. К а к и в [3], рассматриваемую задачу будем решать методом движения по параметру (см., например, [5]), вводя этот параметр определенным образом. О б щ и й ход метода будет т а к и м .

Возьмем к а к и е - л и б о значения t\, t°ⁿ, удовлетворяющие условию (1.6). Используя э т и зна­

чения, построим и р е ш и м н е к о т о р у ю вспомогательную задачу вида (1.1) л (1.2), в к о т о р о й a^tj(t) = ctfjl, где a°^tj - числа. Введем параметр а , 0 < а < 1, и рассмотрим семейство задач вида (1.1) л (1.2), в к о т о р ы х ciyit, a ) = (1 - a ) a^i} I + ca^t) ( м ы сохраняем обозначение a^tj для к о э ф ф и ц и ­ ентов системы вида (1.1): хотя они теперь зависят|и от а , н и к а к и х недоразумений не возникнет).

Обозначим X = \\Х^Ь Х^п\\^т, ф = ||01 ? 0 J |T, где 0г есть к^ге С З /-го уравнения (1.7) п р и соответст­

в у ю щ и х г р а н и ч н ы х условиях, / = 1, 2, п\ ф = ф(Я, CJ), Эф/ЭХ = ||Э0,-/ЭА,у||. Ясно, что задача (1.1) л . л (1.2) л (1.4) эквивалентна задаче нахождения т а к о г о X, ч т о

•<р(£,1) = 0.

Значения 0^{1 ?} 0„ п р и взятых Х^ъ Х^ю а и заданных к^ъ к^п будем вычислять, используя метод из [2]. i

В ы б е р е м к а к у ю - л и б о сетку п о а: 0 = а0 < ... <Ь^Т= 1. В ы ч и с л и в , к а к было сказано, Х⁽⁰⁾ - зна­

чение X п р и a = 0, вычисляем последовательно А,^{( т )} - п р и б л и ж е н н ы е значения к о р н е й уравнений ф(Х, а) = 0 п р и а = а^г, ..., а^т, пользуясь формулой (см. [5]) .

= l

- ( ^

^

) " V

U

) ,

ниях detdy(X, а)/дХфО п р и 0 < a < 1 и произвольном X, а следовательно, процесс (1.13) реализуем.

Д о к а ж е м единственность решения X исходной задачи (1.1) л (1.2) л (1.4) и что

\Х^{Т)-Х\ = 0 ( o™ x j ^ + 1 - c j 2 ) , (1.14)

где | • | - какая-либо норма в Ш^п.

4. Вспомогательная задана при а - 0. П у с т ь набор t\, t°ⁿ удовлетворяет условию (1.6).

Возьмем к а к и е - л и б о ненулевые ^ , . . . , ^ H f l J = a^t*})^. Составим уравнение вида (1.1), где

в качестве а^) примем a^tjL Обозначив \ ' '

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 40 № 1 2000

26 АБРАМОВ и др.

& = Х^Ая ⁱ = 1 , 2 , . . . , л , - (1.15)

7=1

п о л у ч и м п несвязанных к р а е в ы х задач: уравнения

= 0 (1.16) и г р а н и ч н ы е условия (1.2), / = 1, 2, ..., п. Н у ж н о цайти \i^t из т а к о г о условия: к^ге С З 9,- э т о й задачи

равно н у л ю . Ясно, ч т о это э к в и в а л е н т н о с л е д у ю щ е м у : в (1.1.6) п о л о ж и м 6^г = 0, найти k^rt С З [i^t задачи.

Эту задачу для i = 1, 2, ..., п решаем методом из [2].

В ы ч и с л и в [1^Ю найдем Xf\ А^^{0 )} из системы л и н е й н ы х алгебраических уравнений (1.Г5). Т а к к а к взятые t°^l9 t°ⁿ, , ^ удовлетворяют у с л о в и ю (1.6), т о определитель э т о й системы отличен от 0. П о л у ч а е м (единственное) значение Х⁽⁰\

5. Вычисление и исследование Эф(А,, а)/дХ. К а к и в [3], покажем прежде всего, что для 0 < о < 1

имеет место D(t^l4..., tⁿ; ^ , . . . , а ) > 0 для л ю б ы х t^b ..., tⁿ и л ю б ы х ненулевых £^ь ..., Обозна­

ч и м ,. .

А,- = kfa^il(tⁱ)%ⁱⁱ...,%raⁱⁿ(tⁱ)^l

А° = y^U?^n(/?)S?,...^

4.('?)^|.

Тогда

D = det

оА^{ + (1-с)А¹

сА^п + (1-о)А°^п

Отсюда

D = J^aⁿ\l-a)ⁿ-ⁿ'dtt

А:

(1-17)

где значок + соответствует значку 0 или его о т с у т с т в и ю . К а ж д о е из 2^п слагаемых в правой части (1.17) неотрицательно в силу (1.5), хотя б ы одно из них (а именно, (1 - a)"det ) п о л о ж и т е л ь н о ; следовательно, D > 0. Т е м самым п р и 0 < a < 1 задача вида (1.1) л (1.2) л (1.4) имеет, и п р и т о м единственное, решение.

Д Л Я вычисления Эф(^, а)/дХ используем стандартную схему теории возмущений. Д л я одного уравнения (1.7), о т в е ч а ю щ е г о индексу /, имеем, к а к о б ы ч н о ,

; = -]y*(t)a,j(t,a)y(tjdt ]y*(t)y(t)dt (1.18)

где y(t^t) - соответствующая собственная ф у н к ц и я ( С Ф ) задачи (1.7) л (1.2). Е с л и 9; попадает в г р у п п у к р а т н ы х С З , т о н у ж н о в ы ч и с л и т ь для э т о й г р у п п ы числа

Р, Р,

. S,^r = -\yf{t)^aij{t,<5)y^r{t)dt и T^ir = jyf(t)y,.(t)dt,

* a, of, где набор у^г (^) образует базис в пространстве С Ф , о т в е ч а ю щ и х Э^г. З а т е м составляется вспомо­

гательная алгебраическая задача на С З со С П | i :

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Й МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 40 № 1 2000

d e t | | 5^{r r}- | n r^{r r}| | . = О

(S^er - элементы эрмитовой м а т р и ц ы , Т^гг - элементы эрмитовой положительно-определенной матрицы). Берется то значение р, к о т о р о е с учетом С З , меньших 9 „ дает для возмущенного зна­

чения к^ге С З рассматриваемого /-го уравнения. Полагаем, наконец, dQJdXj = [i.

Т е м самым вычисление Эф/ЭА, требует не т о л ь к о вычисления СЗ рассматриваемых задач, но и вычисления соответствующих С Ф ; в [2] приведены н е к о т о р ы е рекомендации по т а к и м вычис­

лениям.

Теорема 2. Справедливо detЭф(A, а)/дХ Ф 0 для 0 < а < 1 и любого X. •

Доказательство. Т а к к а к в случае, когда 9^г попадает в группу к р а т н ы х С З , значение [Л (т.е. зна­

чение dQJdXp см. в ы ш е ) м о ж е т б ы т ь вычислено ц по формуле (1.18) для н е к о т о р о й С Ф , отвеча­

ю щ е й этому 9/, то достаточно доказать, ч т о для л^обых в е к т о р н ы х ф у н к ц и й y^x(t^x),..., yⁿ(tⁿ), обра­

щ а ю щ и х с я в 0 т о л ь к о в к о н е ч н о м числе точек, ийеет место

\|/ = det \у*Ша^и(Ь, bbtitddt. * 0 . (1.19)

Н о , очевидно,

\|/ = LAdet yf(tⁱ)a^ij(tⁱ,a)yⁱ(t^dt^x...dtⁿ к \...\D{t^x,...,tⁿ\ y^l9 yⁿ;o)dt^x...dtⁿ;

здесь Q = [a^b (3J x ... x [aⁿ, P J . П р и 0 < a < 1, к а к было доказано, D > 0 для ненулевых значений у^х, у^п\ п р и о = 1 последнее выражение, стоящее под знаком интеграла, по предположению (1.5) неотрицательно, а для н е к о т о р ы х t °^x, t °ⁿ (и, следовательно, в н е к о т о р о й окрестности этих t°^x, ...⁹ t°ⁿ) для у^ФОв силу предположения (1.6) пфложительно, Следовательно, под з н а к о м инте­

грала стоит непрерывная неотрицательная ф у н к ц и я , принимающая в н е к о т о р ы х т о ч к а х поло­

жительное значение. П о э т о м у \|/ > 0.

6. Использование доказанных в п. 5 свойств |)ф(А, а)/дХ для доказательства единственности решения исходной задачи, для доказательства сходимости метода (1.13) и для получения о ц е н к и (1.14) ничем не отличается от т о г о , к а к это сделано в [3] (см. п.п. 4, 5 цитированной р а б о т ы , там ж е приведены дополнительные замечания к этим результатам).

2. С Л У Ч А И С В Я З А Н Н Ы Х ^ Г Р А Н И Ч Н Ы Х У С Л О В И И

1. Рассмотрим теперь случай, когда для к а ж д о г о отдельного уравнения из числа (1.1) гранич­

ные условия м о г у т б ы т ь связанными. В этом случае вместо условий (1.2) в о з н и к а ю т п р и i = 1,

2, П УСЛОВИЯ : • •

+ Fi2

Pi(ady'i(Wi) - r,(oc,)y,(a,)

= 0, (2.1)

N2 m , x 2 m

i ± _ , rank I \ Fi U Fi2\I ='2ml-. М ы Предполагаем, что

(2.2) Граничные условия (2.1) п р и соблюдении (2.2) являются самыми о б щ и м и самосопряженными м н о г о т о ч е ч н ы м и условиями для самосопряженного дифференциального уравнения (1.7). К а к и в [4], используем метод сведения задачи для системы со связанными г р а н и ч н ы м и условиями к за­

даче с разделенными г р а н и ч н ы м и условиями, предложенный в [6]. Далее, для определенности, считаем, что каждое из условий (2.1) не приводится к виду (1.2). Разумеется, если какое-либо из условий (2.1) приводится к виду (1.2), то оно и соответствующее ему уравнение не подлежат об­

работке, описываемой н и ж е .

Введем для осг < t^t < yⁱ⁹ yt = (a^t + pf)/2, ф у н к ц и и p^t (t^t) = рДу⁽ - t^t)⁹ q^t ft) = ^qi(2y^t - t^t); rt ft) = гДу,- - - t^t)⁹ a^tj ft) = aifbfi - t^t)⁹ y^t ft) = yi(2ji - t^t). Если объединить y^t и y^t в единый 2 т^гс т о л б е ц Y^t, т о по-

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 40 № 1 2000

28 АБРАМОВ и др.

л у ч и м систему уравнений

(р,.(г,.)к;-л,.(г,.)у,.у+лг(г,.)к;

7=1

Y: = О, (2.3)

•J

ос, <tⁱ<yⁱ,i= 1,2, ..., п. Здесь

Pi о

Л =

О -г.,

, 6/ =

О 9,-

fly О О 5;, Е с л и учесть, ч т о у(ф , ) = j , (а,-) и у ) ф,) = -у\ (а,), т б условия (2.1) перейдут в

FaFi( a ) + Fi 2[ P1( a) n( a ) - / ?i( a ) Fi( « ) ] = О, а равенства

у (у,)

= (у,)

(у,) =

(у,)

[ Л - ( У ) Ш - В Д ) Ш ) ] = о.

(2.4)

(2.5) Получилась система уравнений вида (1.1) с разделенными г р а н и ч н ы м и условиями вида (1.2).

Далее остановимся на предположениях (1.5) и (1.6). Все остальные предположения, к о т о р ы е б ы ­ ли сделаны для задачи (1.1) л (1.2), к а к л е г к о убедиться непосредственной п р о в е р к о й , в ы п о л н я ­ ю т с я для задачи (2.3) л (2.4) л (2.5). В частности, каждое из г р а н и ч н ы х условий (2.4) и (2.5) явля­

ется самосопряженным: (2.4) - в силу предположения (2.2), соответствующее равенство для (2.5) проверяется непосредственно. Уравнение (1.7) перейдет в уравнение

Yi(y) + о a 0 0

(P(t)r-R(t)Yy + R*(t)r + [S(t) + QI]Y •= 0, (2.6) где

S(t) = Q(t)^Aj(t)X^j9

обладающее теми ж е свойствами, ч т о и уравнение (1.7).

П о к а ж е м , ч т о для системы (2.3) выполняется свойство, соответствующее п р е д п о л о ж е н и ю (1.5). П у с т ь

D = det ^{, И ^ ИЗ} С

1 2 /

(2.7)

Тогда = di&i + • К а к и в п. 5 разд. 1, получаем

1 1 2 2 , 1

D = ^ф*аиР1

где pt - это ^- и л и , а значок + соответствует значку ~ или отсутствию его. П о предположе-

2 1

н и ю (1.5), каждое слагаемое в э т о й сумме неотрицательно; тем самым вся сумма неотрицательна

ДЛЯ Л Ю б ы Х tl9 tn, ^ , , ^ , £>п , ЧТО И Н у Ж Н О б ы Л О . 1 1 2 2

Свойство, соответствующее п р е д п о л о ж е н и ю (1.6), для системы (2.3) м о ж е т не выполняться (пример: все а^и = 0, ^ = ... = Ь>^п = 0). Т е м не менее те места в доказательствах, проведенных в

1 1 :

разд. 1, к о т о р ы е и с п о л ь з у ю т (1.6), м о г у т б ы т ь изменены т а к , ч т о н у ж н ы е результаты для систе­

м ы (2.3) м о г у т б ы т ь п о л у ч е н ы в предположении (1.6) для исходной системы (1.1). П о к а ж е м это.

Для решения вспомогательной задачи при a = 0 для (2.3) л (2.4) л (2.5) берем ?^, ^ ^ следующим образом: если < y^h т о берем = и ^ Ф 0; если "i\ > y^h т о берем ?" = 2y

-о

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 40 № 1 2000

Ф 0. Тогда значение D (см. (2.7)) для этих t^x, . . tⁿ, ^ , . . . , £п будет, к а к следует из рассужде-

2

ний п. 4 разд. 1, п о л о ж и т е л ь н о . Т е м самым все к о н с т р у к ц и и п. 4 разд. 1, использованные для за­

дачи (1.1) д (1.2), переносятся и дают соответствующие результаты для задачи (2.3) л (2.4) л (2.5).

Т а к ж е к а к и в п; 5 разд. 1, доказывается, что для взятых £ ° , . . £ ° значение Ь п о л о ж и т е л ь н о п р и 0 < а < 1, л ю б ы х t^u tⁿ и л ю б ы х н е н у л е в ы х ! ^ ,

\ I

Для доказательства того, что для задачи (2.3) л (2.4) л (2.5) будет det3cp(?i, G)/dX Ф 0 при 0 < с < 1 и л ю б о м X, отметим следующее. В выражении (1.19) в; качестве уД-) берутся С Ф задачи (1.7) л (1.2). Те­

перь появятся С Ф задачи (2.6) л (2.4) л (2.5). Н о для этих С Ф ф у н к ц и и у ( 0 и y.(t), очевидно, могут обращаться в 0 л и ш ь в к о н е ч н о м числе точек. П о э т о м у все рассуждения, проведенные в п. 5 разд. 1 для доказательства т о г о , что detd^iX, с)/дХ Ф 0 для задачи (1.1) л (1.2), остаются действи­

т е л ь н ы м и и для задачи (2.3) л (2.4) л (2.5).

Т е м самым все в ы в о д ы , сделанные в п п . 4 - 6 разд. 1 для задачи (1.1) л (1.2), остаются справед­

л и в ы м и и для задачи (2.3) А (2.4) л (2.5). }

2. Е С Л И m^t = 1 для к а к о г о - л и б о /, т о п р и обработке /-го уравнения и з л о ж е н н ы й в ы ш е общий метод допускает детализацию, в л е к у щ у ю некотфрые упрощения метода; в частности, н е к о т о ­ р ы е э т а п ы д о п у с к а ю т п о л н о с т ь ю аналитическое исследование без дополнительных вычисле­

ний. I

Эта детализация проводится т а к ж е , к а к это сделано в [4]. О с н о в н ы м здесь является упроще­

ние вычисления ф у н к ц и и N(Q). И вычисление С Ф | необходимой для вычисления Эф/ЭХ, после то­

го к а к н у ж н о е значение 9, найдено, т о ж е упрощается п о сравнению со случаем m^t> I.

• Р •

3. З А К Л Ю Ч Е Н И Е

М ы постарались рассмотреть задачу, взятую для изучения, в ее наиболее общем виде. М ы от­

даем себе отчет в т о м , что в самом общем случае рекомендуемая вычислительная схема в п о л ­ н о м объеме является достаточно г р о м о з д к о й . Разумеется, если к о н к р е т н о рассматриваемая за­

дача обладает к а к и м и - л и б о свойствами, у п р о щ а ф щ и м и ее, т о и излагаемый общий метод допу­

скает соответствующие упрощения. Обсуждение [результатов применения излагаемого метода в т а к и х у п р о щ е н н ы х ситуациях см. в [7]. :

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы ^Х

1. Volkmer Н. Multiparameter eigenvalue problems and expansion theorems. Berlin-Heidelberg: Springer, 1988.

2. Абрамов А.А. Об отыскании собственных значении и собственных функций самосопряженной диффе­

ренциальной задачи // Ж. вычисл, матем. и матем.||физ. 1991. Т. 31. № 6. С. 819-831.

3. Абрамов А.А., Ульянова В.И. Один метод решения самосопряженных многопараметрических спект­

ральных задач для слабо связанных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вы­

числ. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. № 5. С. 566f571.

4'. Абрамов А.А., Юхно Л.Ф. Нелинейная спектральная задача для уравнения типа Штурма-Лиувилля со связанными граничными условиями, зависящими от спектрального параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 7. С. 1121-1135.

5. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многи­

ми неизвестными. М.: Мир, 1975.

6. Moszynski К. A method of solving the boundary value (problem for a system of linear ordinary differential equa­

tions // Algorytmy. 1964. V. 11. № 3. P. 25-^3.

7. Абрамов A.A., Ульянова В.И. Метод решения некоторых многопараметрических спектральных за­

дач // Сообщ. по прикл. матем. М.: ВЦ РАН, 1999J