Н. Т. Левашова, Н. Н. Нефедов, О. А. Николаева, Ре- шение с внутренним переходным слоем двумерной кра- евой задачи реакция-диффузия-адвекция с разрывны- ми реактивным и адвективным слагаемыми, ТМФ , 2021, том 207, номер 2, 293–309

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Н. Т. Левашова, Н. Н. Нефедов, О. А. Николаева, Ре- шение с внутренним переходным слоем двумерной кра- евой задачи реакция-диффузия-адвекция с разрывны- ми реактивным и адвективным слагаемыми, ТМФ , 2021, том 207, номер 2, 293–309

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10032

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

4 ноября 2022 г., 20:57:08

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Том 207, № 2 май, 2021

⃝c 2021 г. Н. Т. Левашова^∗, Н. Н. Нефедов^∗, О. А. Николаева^∗

РЕШЕНИЕ С ВНУТРЕННИМ ПЕРЕХОДНЫМ СЛОЕМ ДВУМЕРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ-АДВЕКЦИЯ С РАЗРЫВНЫМИ РЕАКТИВНЫМ И АДВЕКТИВНЫМ СЛАГАЕМЫМИ

Исследован вопрос о существовании и асимптотической устойчивости ста- ционарного решения начально-краевой задачи для уравнения реакция-диффу- зия-адвекция при условии, что реактивное и адвективное слагаемые сопостави- мы по величине и претерпевают скачок вдоль некоторой гладкой кривой, рас- положенной внутри области рассмотрения. В окрестности этой кривой решение задачи обладает большим градиентом. Доказаны теоремы существования, ло- кальной единственности и асимптотической устойчивости по Ляпунову таких решений. Для доказательства использован метод верхних и нижних решений.

Для получения верхнего и нижнего решений применен асимптотический метод дифференциальных неравенств, суть которого заключается в построении их как модификаций асимптотических приближений по малому параметру решений этих задач. Асимптотическое приближение решения построено на основании модификации метода Васильевой.

Ключевые слова: уравнение реакция-диффузия-адвекция, разрывные слагаемые, ме- тод дифференциальных неравенств, верхнее и нижнее решения, внутренний переходный слой, малый параметр.

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10032

1. ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа является обобщением работы [1] на двумерный случай. Здесь мы исследуем стационарное решение начально-краевой задачи для сингулярно воз- мущенного уравнения реакция-диффузия-адвекция при условии, что реактивное Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 18-11-00042).

∗Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоно- сова, Москва, Россия.

E-mail: natasha@wanaku.net, nefedov@phys.msu.ru, o.a.nikolaewa@gmail.com 293

и адвективное слагаемые претерпевают скачок вдоль некоторой гладкой кривой, расположенной внутри области рассмотрения.

Решения задач реакция-диффузия-адвекция с внутренними переходными слоями возникают при математическом моделировании распределения плотности или тем- пературы жидкостей и газов при наличии пространственных неоднородностей [2], [3]

или в задачах нелинейной акустики и гидродинамики [4]–[10]. Скачки реактивных и адвективных слагаемых в этих моделях обусловлены границами разделов сред.

Определение условий существования и устойчивости стационарных решений с боль- шими градиентами является важным аспектом для создания адекватных моделей, описывающих распределение полей физических величин. Аналитические исследо- вания позволяют создавать эффективные численные методы решения уравнений с переходными слоями [11]–[14].

В работе получены условия существования и асимптотической устойчивости ста- ционарного решения с внутренним переходным слоем начально-краевой задачи ти- па реакция-диффузия-адвекция с сопоставимыми по величине разрывными реак- тивным и адвективным слагаемыми. Доказаны теоремы существования, локаль- ной единственности и асимптотической устойчивости по Ляпунову таких решений.

Для доказательства используется метод верхних и нижних решений, обоснование которого для данного класса задач можно найти, например, в работах [15]–[18].

Для получения верхнего и нижнего решений с большими градиентами применяет- ся асимптотический метод дифференциальных неравенств [19]–[21], суть которого заключается в построении их как модификаций асимптотических приближений по малому параметру решений этих задач. Асимптотическое приближение решения строится на основании метода Васильевой [22].

Ранее вопросы существования решений с переходными слоями начально-краевых задач для нелинейных сингулярно возмущенных двумерных уравнений типа реак- ция-диффузия-адвекция с сопоставимыми по величине реактивным и адвективным слагаемыми были рассмотрены авторами в работах [23], [24]. В первой из этих статей рассматривалось движение двумерного фронта в случае непрерывных параметров среды, а во второй – стационарное решение с большим градиентом в окрестности одной из границ рассматриваемой области.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу в области(x, y, t)∈R×[0, a]× [0,∞):

ε∆xyv−∂v

∂t = (A(v, x, y),∇)v+B(v, x, y), x∈R, y∈(0, a), t∈(0,∞), v(x,0, t) =u⁰(x), v(x, a, t) =u^a(x), x∈R, t∈[0,∞),

v(x, y, t) =v(x+L, y, t), x∈R, y∈[0, a], t∈[0,∞), v(x, y,0) =v_init(x, y, ε), x∈R, y∈[0, a],

(1)

где

A(v, x, y) ={A₁(v, x, y), A₂(v, x, y)},

ε ∈(0, ε0] – малый параметр,L > 0 – некоторое число, u⁰(x)и u^a(x)– достаточно гладкие L-периодические функции, vinit(x, y) – непрерывная функция, L-периоди- ческая по переменнойxи удовлетворяющая условиям согласования

vinit(x,0, ε) =u⁰(x), vinit(x, a, ε) =u^a(x), x∈R.

Будем считать, что функции Ai(v, x, y), i = 1,2, и B(v, x, y) определены всюду в области I_v×D×[0, ε₀), гдеI_v – допустимый интервал измененияv, D={(x, y)| R×[0, a]}, являются L-периодическими по переменной x и претерпевают разрыв первого рода вдоль заданной L-периодической кривой y = h(x), лежащей внутри области D, т. е. выполняются следующие условия.

Условие A1. Пусть функцииAi(v, x, y),i= 1,2,и B(v, x, y)имеют вид Ai(v, x, y) =

(A⁽⁻⁾_i (v, x, y), (v, x, y)∈I_v×R×[0, h(x)], A⁽⁺⁾_i (v, x, y), (v, x, y)∈Iv×R×(h(x), a], B(v, x, y) =

(B⁽⁻⁾(v, x, y), (v, x, y)∈Iv×R×[0, h(x)], B⁽⁺⁾(v, x, y), (v, x, y)∈I_v×R×(h(x), a]

и при v∈I_v,x∈Rвыполняются неравенства

A⁽⁻⁾_i (v, x, h(x))̸=A⁽⁺⁾_i (v, x, h(x)), B⁽⁻⁾(v, x, h(x))̸=B⁽⁺⁾(v, x, h(x)).

Пусть функции A^(∓)_i ,B^(∓) и h(x)принадлежат классу гладкости C⁴ в своих об- ластях определения.

Введем обозначения

D⁽⁻⁾={(x, y)|R×[0, h(x)]}, D⁽⁺⁾={(x, y)|R×[h(x), a]}, A^(∓)(v, x, y, ε) ={A^(∓)₁ (v, x, y, ε), A^(∓)₂ (v, x, y, ε)}.

Условие A2. Пусть дифференциальное уравнение в частных производных пер- вого порядка

(A⁽⁻⁾(u, x, y),∇)u+B⁽⁻⁾(u, x, y) = 0

с дополнительным условием u(x,0) = u⁰(x) имеет L-периодическое по перемен- нойxрешениеϕ⁽⁻⁾(x, y)в областиD⁽⁻⁾,а дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка

(A⁽⁺⁾(u, x, y),∇)u+B⁽⁺⁾(u, x, y) = 0

с дополнительным условием u(x, a) = u^a(x) имеет L-периодическое по перемен- ной xрешениеϕ⁽⁺⁾(x, y)в области D⁽⁺⁾.

Пусть функцииϕ^(∓)(x, y)∈C⁴(D^(∓))и выполняется неравенствоϕ⁽⁻⁾(x, h(x))<

ϕ⁽⁺⁾(x, h(x)),x∈R.

Условие A3. Пусть выполняются неравенства

A⁽⁻⁾₂ (ϕ⁽⁻⁾(x, y), x, y)>0, (x, y)∈D⁽⁻⁾, A⁽⁺⁾₂ (ϕ⁽⁺⁾(x, y), x, y)<0, (x, y)∈D⁽⁺⁾.

Определение 1. Решением задачи (1) будем называтьL-периодическую по пе- ременной x функциюvε(x, y, t)из класса C(R×[0, a]×[0,∞))∩C^2,1,1(R×(0, a)× (0,∞))∩C^2,2,1(R×((0, h(x))∪(h(x), a))×(0,∞)), удовлетворяющую уравнению (1) в каждой из областей {(x, y, t)|D^(∓)×(0,+∞)}, а также граничным и начальным условиям задачи (1).

Будем исследовать вопрос о существовании и асимптотической устойчивости ста- ционарного решения u_ε(x, y) задачи (1), близкого при 0 6 y < h(x) к функции ϕ⁽⁻⁾(x, y), а при h(x) < y 6 a – к функции ϕ⁽⁺⁾(x, y) и резко изменяющегося от значенийϕ⁽⁻⁾доϕ⁽⁺⁾в достаточно малой окрестности кривойh(x).

Стационарное решение начально-краевой задачи (1) по определению является решением краевой задачи

ε∆_xyu= (A(u, x, y),∇)u+B(u, x, y), x∈R, y∈(0, a), u(x, y) =u(x+L, y), x∈R, y∈[0, a],

u(x,0) =u⁰(x), u(x, a) =u^a(x), x∈R.

(2)

Определение 2. Решением задачи (2) будем называтьL-периодическую по пе- ременнойxфункциюu_ε(x, y)из класса

C(R×[0, a])∩C^2,1(R×(0, a))∩C^2,2(R×((0, h(x))∪(h(x), a))),

удовлетворяющую уравнению (2) в каждой из областейD^(∓)и граничным условиям задачи (2).

В настоящей работе для доказательства существования и устойчивости стацио- нарного решения задачи (1) как решения задачи (2) мы будем использовать метод верхних и нижних решений, модификацию которого для задач с разрывными коэф- фициентами можно найти в статьях [15]–[18]. Для построения верхнего и нижнего решений задач с внутренним переходным слоем будем применять асимптотический метод дифференциальных неравенств [19]–[21]. Этот метод заключается в констру- ировании верхнего и нижнего решений как модификаций формальных асимптоти- ческих приближений решений задач. Поэтому ниже мы дадим алгоритм построения асимптотического приближения решения задачи (2).

2.1. Локальные координаты. Криваяy=h(x)делит областьDна две подоб- ласти: D⁽⁻⁾и D⁽⁺⁾. Для детального описания переходного слоя на стыке областей перейдем в окрестности этой кривой к локальным координатам (l, r) с помощью соотношений

x=l−rsinα, y=h(l) +rcosα, где

sinα= h_x

p1 +h²_x, cosα= 1

p1 +h²_x, (3) α– отложенный против часовой стрелки угол между осьюy и нормалью к кривой y =h(x), проведенной в область y > h(x), l – x-координата точки на этой кривой, из которой проводится нормаль, r – расстояние от точки, лежащей в окрестности кривой h(x), до этой кривой вдоль нормали к ней. Будем считать, что r >0 в об- ласти D⁽⁺⁾, r <0 в области D⁽⁻⁾, r= 0 при y =h(x), производные функций h(x) в (3) берутся приx=l.

В окрестности кривойy=h(x)перейдем к растянутой переменной ξ=r

ε. (4)

Перепишем выражения для операторов∇ иε∆в переменных ξ,l

∇ξ,l=

−1 ε

h_x p1 +h²_x

∂

∂ξ −

p1 +h²_x εξhxx−(1 +h²_x)^3/2

∂

∂l; 1

ε 1 p1 +h²_x

∂

∂ξ − h_xp

1 +h²_x εξh_xx−(1 +h²_x)^3/2

∂

∂l

, (5)

ε∆ξ,l=1 ε

∂²

∂ξ² + hxx

εξh_xx−(1 +h²_x)^3/2

∂

∂ξ + +ε 1 +h²_x

(εξhxx−(1 +h²_x)^3/2)³(2εξh_xh²_xx+h_xh_xx(1 +h²_x)^3/2−

−εξhxxx(1 +h²_x)) ∂

∂l +ε (1 +h²_x)² (εξh_xx−(1 +h²_x)^3/2)²

∂²

∂l².

С использованием этих выражений дифференциальный оператор в уравнении (2) можно переписать в виде следующего разложения по степенямε:

ε∆ξ,l−(A(u, x, y),∇ξ,l) =1 ε

∂²

∂ξ² − 1

p1 +h²_x[−hxA1(u, l, h(l)) +A2(u, l, h(l))] ∂

∂ξ

−

− h_xx (1 +h²_x)^3/2

∂

∂ξ − 1

1 +h²_x[A₁(u, l, h(l)) +h_xA₂(u, l, h(l))] ∂

∂l+

∞

X

i=1

εⁱL_i, (6) где L_i – дифференциальные операторы первого или второго порядка по перемен- ным ξиl, а производные функцииh(x)берутся приx=l.

2.2. Присоединенные системы. Введем обозначения P^(∓)(u, x) = 1

p1 +h²_x(x)

−h_x(x)A^(∓)₁ (u, x, h(x)) +A^(∓)₂ (u, x, h(x))

. (7)

При ξ ∈ R рассмотрим так называемые присоединенные уравнения относительно функцииu(ξ, x):˜

∂²u˜

∂ξ² −P^(∓)(˜u, x)∂u˜

∂ξ = 0, (8)

где переменнаяxиграет роль параметра.

Перейдем от присоединенных уравнений к эквивалентным присоединенным сис- темам

∂u˜

∂ξ = Φ, ∂Φ

∂ξ =P^(∓)(˜u, x)Φ, (9)

а от них – к равенствам ∂Φ/∂u˜ = P^(∓)(˜u, x), определяющим для каждого x фа- зовые траектории на плоскости (˜u,Φ). Фазовые траектории, выходящие из точек (ϕ^(∓)(x, h(x)),0), имеют вид

Φ^(∓)(˜u, x) = Z u˜

ϕ^(∓)(x,h(x))

P^(∓)(s, x)ds, ϕ⁽⁻⁾(x, h(x))<u < ϕ˜ ⁽⁺⁾(x, h(x)).

Потребуем выполнения следующего условия.

Условие A4. Пусть выполняются неравенства

Z u˜

ϕ⁽⁻⁾(x,h(x))

P⁽⁻⁾(s, x)ds >0, ϕ⁽⁻⁾(x, h(x))<u˜6ϕ⁽⁺⁾(x, h(x)), Z u˜

ϕ⁽⁺⁾(x,h(x))

P⁽⁺⁾(s, x)ds >0, ϕ⁽⁻⁾(x, h(x))6u < ϕ˜ ⁽⁺⁾(x, h(x)).

Условие A4 означает, что фазовые траектории Φ^(∓)(˜u, x) не пересекают ось Φ = 0 на фазовой плоскости (˜u,Φ) ни в одной из внутренних точек интервала

˜

u∈(ϕ⁽⁻⁾;ϕ⁽⁺⁾).

При u˜∈[ϕ⁽⁻⁾(x, h(x));ϕ⁽⁺⁾(x, h(x))]для каждогоx∈Rопределим функцию H₀(˜u, x) = Φ⁽⁻⁾(˜u, x)−Φ⁽⁺⁾(˜u, x). (10) В силу условийA1,A2иA4функцияH0(˜u, x)является непрерывной и выполня- ются неравенства

H0(ϕ⁽⁻⁾(x, h(x)), x)<0, H0(ϕ⁽⁺⁾(x, h(x)), x)>0.

Отсюда следует, что для каждого x существует хотя бы одно значение p₀(x) ∈ (ϕ⁽⁻⁾(x, h(x));ϕ⁽⁺⁾(x, h(x)))такое, чтоH0(p0(x), x) = 0.

Условие A5. Пусть при x ∈ R существует единственная L-периодическая функция p0(x),принимающая для каждого xзначения внутри интервала

(ϕ⁽⁻⁾(x, h(x));ϕ⁽⁺⁾(x, h(x)))

и являющаяся решением уравнения H0(˜u, x) = 0,и пусть выполнено неравенство

∂H0

∂u˜ (p₀(x), x)>0, x∈R.

3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ Асимптотическое приближение U(x, y, ε) решения задачи (2) будем строить со- гласно методу Васильевой [22] по отдельности в каждой из подобластейD⁽⁻⁾иD⁽⁺⁾:

U(x, y, ε) =

(U⁽⁻⁾(x, y, ε), (x, y)∈D⁽⁻⁾,

U⁽⁺⁾(x, y, ε), (x, y)∈D⁽⁺⁾. (11) Потребуем выполнения условия непрерывности функцииU(x, y, ε)на кривойh(x):

U⁽⁻⁾(l, h(l), ε) =U⁽⁺⁾(l, h(l), ε) =pε(l), (12) где pε(x)– неизвестная функция.

Каждую из функцийU^(∓)(x, y, ε)будем искать в виде суммы двух слагаемых:

U^(∓)(x, y, ε) = ¯u^(∓)(x, y, ε) +Q^(∓)(ξ, l, pε(l), ε), (13) гдеu¯^(∓)(x, y, ε)– регулярная часть разложения,Q^(∓)(ξ, l, pε(l), ε)– функции, описы- вающие переходный слой, ξ – растянутая переменная вблизи кривой локализации

переходного слоя, определенная равенством (4),l– параметр кривойy=h(x), опре- деленный в п.2.1.

Каждое из слагаемых в (13) будем искать в виде разложения по степеням малого параметра εдо третьего порядка:

¯

u^(∓)(x, y, ε) =

3

X

i=0

εⁱu¯^(∓)_i (x, y), Q^(∓)(ξ, l, pε(l), ε) =

3

X

i=0

εⁱQ^(∓)_i (ξ, l, pε(l)). (14) Функциюp_ε(x)также представим в виде разложения по степеням малого параметра

pε(x) =

2

X

i=0

εⁱpi(x), (15)

коэффициенты которого определим из следующего условия сшивания производных по направлению нормали к кривой y=h(x):

∂U⁽⁻⁾

∂n (l, h(l), ε)−∂U⁽⁺⁾

∂n (l, h(l), ε) =O(ε²). (16) 3.1. Регулярные члены асимптотики. Задачи для функций u¯^(∓)_i (x, y), i = 0,1,2,3, получаются из равенств

ε

∂²u¯^(∓)

∂x² +∂²u¯^(∓)

∂y²

=A^(∓)₁ (¯u^(∓), x, y)∂u¯^(∓)

∂x +A^(∓)₂ (¯u^(∓), x, y)∂u¯^(∓)

∂y +

+B^(∓)(¯u^(∓), x, y),

¯

u^(∓)(x, y, ε) = ¯u^(∓)(x+L, y, ε),

¯

u⁽⁻⁾(x,0, ε) =u⁰(x), u¯⁽⁺⁾(x, a, ε) =u^a(x),

в областиD⁽⁻⁾для функций с верхним индексом(−)и в областиD⁽⁺⁾для функций с верхним индексом(+)в полной аналогии с тем, как это было сделано в работе [24].

С учетом условия A2регулярные функции нулевого порядка определяются как

¯

u^(∓)₀ (x, y) = ϕ^(∓)(x, y), а функции u¯^(∓)_i (x, y) порядков i = 1,2,3 определяются из задач Коши для квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка

A^(∓)₁ (x, y)∂u¯^(∓)_i

∂x +A^(∓)₂ (x, y)∂u¯^(∓)_i

∂y + ¯u^(∓)_i ·W^(∓)(x, y) =f_i^(∓)(x, y),

¯

u^(∓)_i (x, y) = ¯u^(∓)_i (x+L, y), u¯⁽⁻⁾_i (x,0) = ¯u⁽⁺⁾_i (x, a) = 0,

(17)

где введены обозначения

A^(∓)(x, y) =A^(∓)(ϕ^(∓)(x, y), x, y), B^(∓)(x, y) =B^(∓)(ϕ^(∓)(x, y), x, y), W^(∓)(x, y) =A^(∓)_1u (x, y)∂ϕ^(∓)

∂x (x, y) +A^(∓)_2u (x, y)∂ϕ^(∓)

∂y (x, y) +B^(∓)_u (x, y),

(18)

аf_i^(∓)(x, y)– известные функции. Явный вид решений этих уравнений можно найти, например, в [24].

3.2. Функции переходного слоя. Уравнения для функций переходного слоя определяются из равенств

(ε∆ξ,l−(Ae^(∓)(ξ, l, ε),∇ξ,l))Q^(∓)=

= (QA^(∓)(ξ, l, ε),∇ξ,l)¯u^(∓)(l−εξsinα, h(l) +εξcosα) +QB^(∓)(ξ, l, ε), (19) где для краткости введены обозначения

Ae^(∓)(ξ, l, ε) =A^(∓) u¯^(∓)(l−εξsinα, h(l) +εξcosα) +Q^(∓), l−εξsinα, h(l) +εξcosα

, QA^(∓)(ξ, l, ε) =A^(∓) u¯^(∓)(l−εξsinα, h(l) +εξcosα) +Q^(∓),

l−εξsinα, h(l) +εξcosα

−

−A^(∓) u¯^(∓)(l−εξsinα, h(l) +εξcosα), l−εξsinα, h(l) +εξcosα , QB^(∓)(ξ, l, ε) =B^(∓) u¯^(∓)(l−εξsinα, h(l) +εξcosα) +Q^(∓),

l−εξsinα, h(l) +εξcosα

−

−B^(∓) u¯^(∓)(l−εξsinα, h(l) +εξcosα), l−εξsinα, h(l) +εξcosα . Функции sinαи cosαопределяются выражениями (3), оператор ε∆_ξ,l−(A(ξ, l, ε),e

∇ξ,l)имеет вид (6), а оператор∇ξ,l – вид (5).

Подставляя в равенства (19) суммы (14), разлагая входящие в них функции по формуле Тейлора по степеням малого параметра и приравнивая коэффициен- ты при одинаковых степенях ε, получаем уравнения для функций Q^(∓)_i (ξ, l, pε(l)), i= 0,1,2,3.

В качестве дополнительных условий потребуем убывания функций переходного слоя на бесконечности, а также выполнения условий при ξ = 0, вытекающих из равенств (12).

Для функций переходного слоя нулевого порядкаQ^(∓)₀ (ξ, l, p_ε(l)), таким образом, получаем задачи

∂²Q^(∓)₀

∂ξ² −P^(∓)(ϕ^(∓)(l, h(l)) +Q^(∓)₀ , l)∂Q^(∓)₀

∂ξ = 0,

Q^(∓)₀ (0, l, pε(l)) =pε(l)−ϕ^(∓)(l, h(l)), Q^(∓)₀ (∓∞, l, pε(l)) = 0.

(20)

Задачи для функций с верхним индексом (−) определены приξ 6 0, а с верхним индексом (+)– при ξ>0.

Введем обозначения

˜

u^(∓)(ξ, l, pε(l)) =ϕ^(∓)(l, h(l)) +Q^(∓)₀ (ξ, l, pε(l)), Φ^(∓)(ξ, l, pε(l)) = ∂u˜^(∓)

∂ξ (ξ, l, pε(l)).

С учетом первого из этих обозначений уравнения (20) принимают вид (8). Как следует из рассуждений п.2.2, они разрешимы. Известно (см., например, [22]), что для них справедливы оценки

|˜u^(∓)(ξ, l, pε(l))−ϕ^(∓)(l, h(l))|< Ce^−κ|ξ|, где κиC – положительные константы, не зависящие от ε.

Учитывая введенные обозначения, запишем оценки дляQ^(∓)₀ (ξ, l, pε(l)):

|Q^(∓)₀ (ξ, l, p_ε(l))|< Ce^−κ|ξ|, (21) аналогичные оценки справедливы для функцийΦ^(∓)(ξ, l, pε(l)).

Для функций переходного слоя порядкаi >0 получаем линейные задачи

∂²Q^(∓)_i

∂ξ² =Pe^(∓)(ξ, l)∂Q^(∓)_i

∂ξ +Pe_u^(∓)(ξ, l)Φ^(∓)(ξ, l, p_ε(l))Q^(∓)_i + ˜h^(∓)_i (ξ, l), Q^(∓)_i (0, l, pε(l)) =−¯u^(∓)_i (l, h(l)), Q^(∓)_i (∓∞, l, pε(l)) = 0,

где использованы обозначения Pe^(∓)(ξ, l) :=P^(∓)(˜u(ξ, l, pε(l)), l), а˜h^(∓)₁ (ξ, l)– извест- ные функции, имеющие экспоненциальные оценки типа (21). Решения этих задач можно выписать в явном виде:

Q^(∓)_i (ξ, l, pε(l)) = −u¯^(∓)_i (l, h(l))Φ^(∓)(ξ, l, pε(l)) Φ^(∓)(0, l, p_ε(l))+ + Φ^(∓)(ξ, l, pε(l))

Z ξ 0

ds Φ^(∓)(s, l, pε(l))

Z s

∓∞

˜h^(∓)_i (t, l)dt.

Для функцийQ^(∓)_i (ξ, l, pε(l))справедливы экспоненциальные оценки типа (21).

3.3. Сшивание производных. Выпишем оператор производной по направле- нию нормали к кривой h(x)через различные наборы переменных:

∂

∂n= (n,∇) =−sinα ∂

∂x + cosα ∂

∂y = ∂

∂r = 1 ε

∂

∂ξ. Здесь sinαиcosαопределяются выражениями (3).

Введем функцию

H(pε, l, ε) :=ε∂U⁽⁻⁾

∂n (l, h(l), ε)−ε∂U⁽⁺⁾

∂n (l, h(l), ε).

С учетом равенств (13) и (14) представим эту функцию в виде разложения по сте- пеням малого параметра:

H(pε, l, ε) =H0(pε, l) +εH1(pε, l) +· · ·, где

H₀(p_ε, l) = ∂Q⁽⁻⁾₀

∂ξ (0, l, p_ε(l))−∂Q⁽⁺⁾₀

∂ξ (0, l, p_ε(l)) = Φ⁽⁻⁾(ξ, l, p_ε(l))−Φ⁽⁺⁾(ξ, l, p_ε(l)), H₁(p_ε, l) =−sinα∂ϕ⁽⁻⁾

∂x (l, h₀(l)) + cosα∂ϕ⁽⁻⁾

∂y (l, h₀(l)) +∂Q⁽⁻⁾₁

∂ξ (0, l, p_ε(l)) + + sinα∂ϕ⁽⁺⁾

∂x (l, h0(l))−cosα∂ϕ⁽⁺⁾

∂y (l, h0(l))−

−∂Q⁽⁺⁾₁

∂ξ (0, l, pε(l)), . . . .

Выполнение условия (16) эквивалентно выполнению равенства H0(pε(l), l) +εH1(pε(l), l) +ε²H2(pε(l), l) =O(ε³).

С учетом разложения (15) из этого равенства в нулевом порядке получаем равенство H₀(p₀(l), l) = 0 (см. обозначение (10)), которое выполняется в силу условияA5.

Для определения коэффициентовpi(l),i= 1,2, получаем уравнения

∂H₀

∂˜u (p0(l), l)·pi(l) =Gi(l),

где Gi(l)– известные функции. Эти уравнения разрешимы в силу условияA5.

3.4. Асимптотическое представление решения. В п.3.1–3.3определены все слагаемые сумм (14) и (15), тем самым асимптотическое приближение U(x, y, ε) (см. (11)–(15)) полностью определено. Функция U(x, y, ε) по своему построению удовлетворяет уравнению (2) с точностью O(ε³)всюду в областиD, за исключени- ем кривой h(x), и с точностью до любой степени ε граничным условиям в точках y = 0и y =a, поскольку функции переходного слоя вносят бесконечно малые, но все же отличные от нуля невязки в краевые условия задачи (2). Для того чтобы граничные условия выполнялись точно, применим стандартную процедуру умноже- ния функций переходного слоя на срезающую функцию, сохранив для них прежние обозначения.

4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ Введем обозначение

U2(x, y, ε) =















2

X

i=0

εⁱ

¯

u⁽⁻⁾_i (x, y) +Q⁽⁻⁾_i (ξ, l, pε(l))

, (x, y)∈D⁽⁻⁾, l∈R, ξ60,

2

X

i=0

εⁱ

¯

u⁽⁺⁾_i (x, y) +Q⁽⁺⁾_i (ξ, l, pε(l))

, (x, y)∈D⁽⁺⁾, l∈R, ξ>0.

Теорема 1. При выполнении условий A1–A5 при достаточно малом ε >0 су- ществует гладкая функцияu_ε(x, y),являющаяся в смысле определения2решением задачи (2),для которого функция U2(x, y, ε) является равномерным вD асимпто- тическим приближением с точностью порядка O(ε³),т.е.выполняется неравен- ство

|uε(x, y)−U2(x, y, ε)|< Cε³, (22) где C – положительная постоянная,не зависящая отε.

Доказательство теоремы1будем проводить на основании метода верхних и ниж- них решений [16], [18]. Приведем здесь соответствующие определения.

Определение 3. Верхним β(x, y, ε) и нижним α(x, y, ε) решениями задачи (2) называются непрерывныеL-периодические по переменнойxфункции, для которых при достаточно малых εвыполняются следующие неравенства:

1) упорядоченность: α(x, y, ε)6β(x, y, ε)при(x, y)∈D;

2) действие оператора в уравнении (2):

L[β] :=ε∆β−(A(β, x, y, ε),∇)β−B(β, x, y, ε)606L[α], (x, y)∈D⁽⁻⁾∪D⁽⁺⁾; 3) условия на границе: α(x,0, ε) 6 u⁰(x) 6 β(x,0, ε), α(x, a, ε) 6 u^a(x) 6

β(x, a, ε),x∈R;

4) условия на производные по направлению внешней нормали к кривойy=h(x):

∂β

∂n(x, h(x)−0, ε)−∂β

∂n(x, h(x) + 0, ε)>0,

∂α

∂n(x, h(x)−0, ε)−∂α

∂n(x, h(x) + 0, ε)60, x∈R.

Согласно теоремам сравнения, доказанным в работах [16], [18], из существования верхнего и нижнего решений следует существование решения задачи (2), заключен- ного между этими верхним и нижним решениями:

α(x, y, ε)6u_ε(x, y)6β(x, y, ε), (x, y)∈D. (23) Доказательство неравенства (23) в работах [16], [18] проведено в предположении гладкости верхнего и нижнего решений. Этот результат можно обобщить, исполь- зуя верхние и нижние решения, удовлетворяющие неравенствам п. 4 определения3, аналогично тому, как это было сделано в работе [25].

Верхнее и нижнее решения задачи (2) будем строить согласно асимптотическому методу дифференциальных неравенств [19]–[21] как модификации асимптотического приближения решения задачи.

Функции β(x, y, ε) и α(x, y, ε) строятся по отдельности в каждой из подоблас- тей D⁽⁻⁾, D⁽⁺⁾:

β(x, y, ε) =

(β⁽⁻⁾(x, y, ε), (x, y)∈D⁽⁻⁾, β⁽⁺⁾(x, y, ε), (x, y)∈D⁽⁺⁾, α(x, y, ε) =

(α⁽⁻⁾(x, y, ε), (x, y)∈D⁽⁻⁾, α⁽⁺⁾(x, y, ε), (x, y)∈D⁽⁺⁾, где

β^(∓)(x, y, ε) =U^(∓)(x, y, ε) +ε²(µ^(∓)(x, y) +q^(∓)₀ (ξ, l, p_ε(l)) +εq^(∓)₁ (ξ, l, p_ε(l))), α^(∓)(x, y, ε) =U^(∓)(x, y, ε)−ε²(µ^(∓)(x, y) +q^(∓)₀ (ξ, l, p_ε(l)) +εq^(∓)₁ (ξ, l, p_ε(l))).

Функции U^(∓)(x, y, ε) те же, что в (11)–(14); µ^(∓)(x, y) определяются таким об- разом, чтобы во всей области D выполнялось неравенство п. 1 определения3, а не- равенства п. 2 этого определения выполнялись вдали от переходного слоя; функ- ции q₀^(∓)(ξ, l, pε(l)) и q₁^(∓)(ξ, l, pε(l))вводятся для устранения невязок в выражени- яхL[β],L[α], возникающих в окрестности кривойy=h(x)в результате добавления к асимптотическому приближению функцийµ^(∓)(x, y).

Определим функции µ^(∓)(x, y)как решения задач вида (17) A^(∓)₁ (x, y)∂µ^(∓)

∂x +A^(∓)₂ (x, y)∂µ^(∓)

∂y +W^(∓)(x, y)µ^(∓)(x, y) =R^(∓), µ⁽⁻⁾(x,0) =R⁽⁻⁾₀ , µ⁽⁺⁾(x, a) =R⁽⁺⁾₀ , µ^(∓)(x, y) =µ^(∓)(x+L, y),

(24)

в областях D^(∓). Здесь использованы обозначения (18) соответственно.

При выполнении условияA3и при положительных значенияхR^(∓),R₀^(∓)функции µ^(∓)(x, y)принимают положительные значения (см. [24]).

Определим функции q₀^(∓)(ξ, l, pε(l))как решения задач

∂²q^(∓)₀

∂ξ² −Pe^(∓)(ξ, l)∂q^(∓)₀

∂ξ −Φ^(∓)(ξ, l, pε(l))Pe_u^(∓)(ξ, l)q₀^(∓)=

= Φ^(∓)(ξ, l, p_ε(l))Pe_u^(∓)(ξ, l)µ^(∓)(l, h(l))−d·e^−κ|ξ|, q₀^(∓)(0, l, pε(l)) +µ^(∓)(l, h(l)) =δ, q^(∓)₀ (∓∞, l, pε(l)) = 0,

(25)

на полупрямых ξ60иξ>0 соответственно. Здесьδ,dиκ– положительные вели- чины, которые подбираются таким образом, чтобы для функцииβ(x, y, ε)выполня- лись дифференциальные неравенства из п. 1, 4 определения3. Решения задач (25) можно выписать в явном виде:

q₀^(∓)(ξ, l, pε(l)) =

= (δ−µ^(∓)(l, h(l)))Φ^(∓)(ξ, h(l), p_ε(l)) Φ^(∓)(0, h(l), pε(l))+ + Φ^(∓)(ξ, h(l), pε(l))

Z ξ 0

ds

Φ^(∓)(s, h(l), p_ε(l))×

× Z s

∓∞

(Φ^(∓)(t, h(l), pε(l))Pe_u^(∓)(t, l)µ^(∓)(l, h(l))−d·e^−κ|t|)dt. (26) Выберем положительную величину δдостаточно большой, чтобы при l ∈ Rвы- полнялись неравенстваδ−µ^(∓)(l, h(l))>0, а постоянныеdиκтаким образом, чтобы выполнялись неравенства

Φ⁽⁻⁾(ξ, h(l), p_ε(l))Pe_u⁽⁻⁾(ξ, l)µ⁽⁻⁾(l, h(l), p_ε(l))−d·e^−κ|ξ|<0, ξ60, l∈R, Φ⁽⁺⁾(ξ, h(l), p_ε(l))Pe_u⁽⁺⁾(ξ, l)µ⁽⁺⁾(l, h(l), p_ε(l))−d·e^−κ|ξ|<0, ξ>0, l∈R. При указанном выборе констант функцииq^(∓)₀ (ξ, l, pε(l))принимают строго положи- тельные значения при l∈R,ξ60иξ>0соответственно.

Функции q^(∓)₁ (ξ, l, pε(l)) устраняют невязки порядка ε² в выражениях L[β], L[α]

и определяются как решения задач

∂²q^(∓)₁

∂ξ² −Pe^(∓)(ξ, l)∂q₁^(∓)

∂ξ −Pe_u^(∓)(ξ, l)Φ^(∓)(ξ, l, pε(l))q₁^(∓)=q^(∓)₁ F(ξ, l), q^(∓)₁ (0, l, p_ε(l)) = 0, q^(∓)₁ (∓∞, l, pε(l)) = 0.

Здесь

q^(∓)₁ F(ξ, l) :=q₁^(∓)f(ξ, l)−

A^(∓)₁ (l, h(l))∂µ^(∓)

∂x (l, h(l)) +A^(∓)₂ (l, h(l))∂µ

∂y(l, h(l)) + +W^(∓)(l, h(l))µ^(∓)(l, h(l))

=q₁^(∓)f(ξ, l)−R^(∓),

q₁^(∓)f(ξ, l)– слагаемые порядкаε² в разложении Тейлора функций, входящих в вы- ражение для L[β], L[α], содержащие q₀^(∓)(ξ, l, pε(l)) и µ^(∓)(l, h(l)). Для функций q₁^(∓)F(ξ, l)справедливы оценки типа (21), как и для функций в правых частях урав- нений (25), поэтому такие же оценки справедливы и для функций q₀^(∓)(ξ, l, pε(l)), q₁^(∓)(ξ, l, pε(l)).

Лемма 1. Функции β(x, y, ε) и α(x, y, ε) являются соответственно верхним и нижним решениями задачи (2).

Для доказательства леммы необходимо показать, что для функций β(x, y, ε) и α(x, y, ε)выполняются неравенства из п. 1–4 определения3.

Для разности верхнего и нижнего решений имеем равенство

β^(∓)(x, y, ε)−α^(∓)(x, y, ε) =ε²(2µ^(∓)(x, y) + 2q₀^(∓)(ξ, l, p_ε(l)) + 2εq^(∓)₁ (ξ, l, p_ε(l))).

Выражения справа строго положительны при достаточно малом εза счет положи- тельности функций µ^(∓)(x, y)и q₀^(∓)(ξ, l, pε(l)). Таким образом, неравенство из п. 1 определения 3выполнено.

Выполнение неравенств из п. 2 определения3следует из способа построения верх- него и нижнего решений:

L[β^(∓)] =−εd·e^−κξ−ε²R^(∓)+O(ε³)<0, L[α^(∓)] =εd·e^−κξ+ε²R^(∓)+O(ε³)>0.

Условия п. 3 определения3 оказываются выполненными за счет выбора положи- тельных величин R^(∓)₀ в начальных условиях задач (24).

Проверим выполнение неравенства из п. 4 определения 3для верхнего решения

∂β

∂x(x, h(x)−0, ε)−∂β

∂x(x, h(x) + 0, ε) = ∂β⁽⁻⁾

∂x (x, h(x), ε)−∂β⁽⁺⁾

∂x (x, h(x), ε) =

=ε ∂q₀⁽⁻⁾

∂ξ (0, l, p₀(l))−∂q₀⁽⁺⁾

∂ξ (0, l, p₀(l))

+O(ε²). (27)

Используя явный вид функций q^(∓)₀ (ξ, l, p_ε(l)) (26), запишем выражения для их производных приξ= 0:

∂q^(∓)₀

∂ξ (0, l, p_ε(l)) = δ−µ^(∓)(l, h(l))

Φ(0, h(l), p0(l)) ·∂Φ^(∓)

∂ξ (0, l, p₀(l)) + +

Z 0

∓∞

(Φ^(∓)(ξ, l, p0(l))Pe_u^(∓)(ξ, l)µ^(∓)(l, h(l))−de^−κ|ξ|)dξ=

=δP^(∓)(p0(l), l)−µ^(∓)(l, h(l))P^(∓)(ϕ^(∓)(l, h(l)), l)∓d k. При получении последнего равенства использованы уравнения (9).

Подставляя полученные выражения в (27), приходим к равенству

∂q⁽⁻⁾₀

∂ξ (0, l, p₀(l))−∂q⁽⁺⁾₀

∂ξ (0, l, p₀(l)) =δ·∂H₀

∂u˜ (p₀(l), l)−

−µ⁽⁻⁾(l, h(l))P⁽⁻⁾(ϕ⁽⁻⁾(l, h(l)), l) +µ⁽⁺⁾(l, h(l))P⁽⁺⁾(ϕ⁽⁺⁾(l, h(l)), l)−2d k. Поскольку ∂H0(p0(l), l)/∂u >˜ 0 в силу условияA5, то, выбирая положительную величину δ достаточно большой, можно добиться того, чтобы выражение в правой части (27) оказалось положительным, еслиεдостаточно мало. Неравенство из п. 4 определения 3для нижнего решения проверяется аналогично.

Лемма доказана.

Оценку (22) можно получить из двойного неравенства (23), если построить асимп- тотическое приближение четвертого порядка, а модификацию верхнего и нижнего решений произвести в порядкеO(ε³).

Теорема доказана.

5. ЛОКАЛЬНАЯ ЕДИНСТВЕННОСТЬ И АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ

Теорема 2. Пусть выполнены условия A1–A5. Тогда при достаточно малых ε решение uε(x, y) задачи (2) локально единственно и, как стационарное решение задачи (1),асимптотически устойчиво по Ляпунову с областью устойчивости по крайней мере [α;β].

Доказательство теоремы проводится стандартным образом [24]–[28] на основании теорем сравнения для параболических уравнений [17], [18].

Аналогично тому, как это было сделано в [24], можно доказать, что функции βˆ(x, y, t, ε)иα(x, y, t, ε), которые определяются выражениямиˆ

β(x, y, t, ε) =ˆ uε(x, y) + (β(x, y, ε)−uε(x, y))e^−λt, ˆ

α(x, y, t, ε) =uε(x, y) + (α(x, y, ε)−uε(x, y))e^−λt, (28) гдеλ– достаточно малое положительное число, являются верхним и нижним реше- ниями задачи (1). Тогда согласно [17], [18] решение задачи (1) существует и выпол- няются неравенства

ˆ

α(x, y, t, ε)6vε(x, y, t)6βˆ(x, y, t, ε), (x, y)∈D, t >0, (29) если начальная функция vinit(x, y, ε)заключена между верхним и нижним решени- ями при t= 0:

ˆ

α(x, y,0, ε)6vinit(x, y, ε)6β(x, y,ˆ 0, ε). (30) Тогда из двойного неравенства (30) и вида функций β(x, y, t, ε)ˆ и α(x, y, t, ε)ˆ (28) следует предельное равенство

t→∞lim |v_ε(x, y, t)−u_ε(x, y)|= 0,

означающее асимптотическую устойчивость по Ляпунову стационарного решения u_ε(x, y)задачи (1).

Из этого предельного равенства и единственности решения параболической зада- чи (см., например, [29]) вытекает единственность решенияuε(x, y)задачи (2).

Положив t = 0 в выражениях (28) и принимая во внимание неравенства (29), получим, что областью устойчивости стационарного решения является по крайней мере сегмент

α(x, y, ε)6vinit(x, y, ε)6β(x, y, ε). (31) Теорема2 доказана.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены условия существования устойчивого стационарного решения сингулярно возмущенного уравнения реакция-диффузия-адвекция с разрывными реактивным и адвективным слагаемыми, обладающего большим градиентом в ок- рестности границы разрыва. В данной работе мы предлагаем метод исследова- ния и общие достаточные условия, гарантирующие существование, асимптотическое описание и асимптотическую устойчивость по Ляпунову стационарного решения.

Проведенные исследования могут быть использованы для создания адекватных мо- делей распределения плотности веществ или температуры в средах с разрывными характеристиками, а также эффективных численных методов решения задач такого класса. Важный для приложений вопрос о начальных условиях требует отдельного обсуждения и будет рассмотрен в другой публикации. Очевидным продолжением исследований в этом направлении является распространение полученных результа- тов на системы уравнений.

Конфликт интересов. Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

Список литературы

[1] Н. Т. Левашова, Н. Н. Нефедов, О. А. Николаева, “Асимптотически устойчивые стаци- онарные решения уравнения реакция-диффузия-адвекция с разрывными реактивным и адвективным слагаемыми”,Диффер.уравнения,56:5 (2020), 615–631.

[2] A. Sogachev, O. Panferov, “Modification of two-equation models to account for plant drag”, Boundary-Layer Meteorol.,121:2 (2006), 229–266.

[3] A. Olchev, K. Radler, A. Sogachev, O. Panferov, G. Gravenhorst, “Application of a three-di- mensional model for assessing effects of small clear-cuttings on radiation and soil temper- ature”,Ecological Modelling,220:21 (2009), 3046–3056.

[4] О. В. Руденко, “Неоднородное уравнение Бюргерса с модульной нелинейностью: воз- буждение и эволюция интенсивных волн”,Докл.РАН,474:6 (2017), 671–674.

[5] О. В. Руденко, С. Н. Гурбатов, К. М. Хедберг,Нелинейная акустика в задачах и при- мерах, Физматлит, М., 2007.

[6] A. I. Volpert, V. A. Volpert, Vl. A. Volpert,Traveling Wave Solutions of Parabolic Systems, Translations of Mathematical Monographs,140, AMS, Providence, RI, 1994.

[7] А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов, Режимы c обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений, Наука, М., 1987.

[8] О. В. Руденко, “Линеаризуемое уравнение для волн в диссипативных средах с мо- дульной, квадратичной и квадратично-кубичной нелинейностями”,Докл.РАН,471:1 (2016), 23–27.

[9] О. В. Руденко, “Модульные солитоны”,Докл.РАН,471:6 (2016), 451–454.

[10] Н. Н. Нефедов, О. В. Руденко, “О движении, усилении и разрушении фронтов в урав- нениях типа Бюргерса с квадратичной модульной нелинейностью”,Докл.РАН,493:1 (2020), 26–31.

[11] N. Kopteva, M. Stynes, “Stabilised approximation of interior-layer solutions of a singularly perturbed semilinear reaction-diffusion problem”,Numer.Math.,119:4 (2011), 787–810.

[12] E. O’Riordan, J. Quinn, “Numerical method for a nonlinear singularly perturbed inte- rior layer problem”, BAIL 2010 – Boundary and Interior Layers, Computational and Asymptotic Methods, Lectures Notes in Computational Science and Engineering, 81, eds. C. Clavero, J. L. Gracia, F. J. Lisbona, Springer, Heidelberg, 2011, 187–195.

[13] J. Quinn, “A numerical method for a nonlinear singularly perturbed interior layer problem using an approximate layer location”, J.Comput.Appl.Math.,290(2015), 500–515.

[14] D. V. Lukyanenko, M. A. Shishlenin, V. T. Volkov, “Solving of the coefficient inverse prob- lems for a nonlinear singularly perturbed reaction-diffusion-advection equation with the final time data”,Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simul.,54(2018), 233–247.

[15] С. И. Похожаев, “Об уравнениях вида ∆u = (x, u, Du)”,Матем.сб., 113(155):2(10) (1980), 324–338.

[16] В. Н. Павленко, О. В. Ульянова, “Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями”,Изв.вузов.Матем., 1998, № 11, 69–76.

[17] В. Н. Павленко, О. В. Ульянова, “Метод верхних и нижних решений для уравнений па- раболического типа с разрывными нелинейностями”, Диффер.уравнения,38:4 (2002), 499–504.

[18] C. De Coster, F. Obersnel, P. A. Omari, “A qualitative analysis via lower and upper solu- tions of first order periodic evolutionary equations with lack of uniqueness”,Handbook of Differential Equations:Ordinary Differential Equations, v. 3, eds. A. Ca˜nada, R. Dr´abek, A. Fonda, B. V. Elsevier, North-Holland, Amsterdam, 2006, 203–339.

[19] Н. Н. Нефедов, “Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нели- нейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями”, Диффер.уравнения, 31:7 (1995), 1142–1149.

[20] А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов, “Сингулярно возмущенные задачи с по- граничными и внутренними слоями”,Тр.МИАН,268(2010), 268–283.

[21] N. Nefedov, “Comparison principle for reaction-diffusion-advection problems with boundary and internal layers”, Numerical Analysis and its Applications (Lozenetz, Bulgaria, June 15–20, 2012), Lecture Notes in Computer Science,8236, eds. I. Dimov, I. Farago, L. Vulkov, Springer, Berlin, 2013, 62–72.

[22] А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов,Асимптотические методы в теории сингулярных воз- мущений, Высшая школа, М., 1990.

[23] Е. А. Антипов, Н. Т. Левашова, Н. Н. Нефедов, “Асимптотическое приближение реше- ния уравнения реакция-диффузия-адвекция с нелинейным адвективным слагаемым”, Модел.и анализ информ.систем,25:1 (2018), 18–32.

[24] Н. Т. Левашова, Н. Н. Нефедов, О. А. Николаева, “Существование и асимптоти- ческая устойчивость стационарного погранслойного решения двумерной задачи реакция-диффузия-адвекция”,Диффер.уравнения,56:2 (2020), 204–216.

[25] N. T. Levashova, N. N. Nefedov, O. A. Nikolaeva, A. O. Orlov, A. A. Panin, “The solution with internal transition layer of the reaction-diffusion equation in case of discontinuous reactive and diffusive terms”,Math.Methods Appl.Sci.,41:18 (2018), 9203–9217.

[26] Н. Н. Нефедов, Е. И. Никулин, “Cуществование и устойчивость периодических кон- трастных структур в задаче реакция-адвекция-диффузия в случае сбалансированной нелинейности”,Диффер.уравнения,53:4 (2017), 524–537.