А. Н. Дилигенская, Метод минимаксной оптимизации в двумерной граничной обратной задаче теплопроводности, ТВТ , 2019, том 57, выпуск 2, 226–233

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. Н. Дилигенская, Метод минимаксной оптимизации в двумерной граничной обратной задаче теплопроводности, ТВТ , 2019, том 57, выпуск 2, 226–233

DOI: https://doi.org/10.1134/S0018151X19020020

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

3 ноября 2022 г., 16:11:32

(2)

МЕТОД МИНИМАКСНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ДВУМЕРНОЙ ГРАНИЧНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Самарский государственный технический университет, г. Самара, Россия

*E-mail: adiligenskaya@mail.ru Поступила в редакцию 31.01.2018 г.

После доработки 10.07.2018 г.

Принята к печати 10.10.2018 г.

Предложен метод решения двумерной обратной задачи теплопроводности по восстановлению про- странственно-временнóй плотности граничного теплового потока, основанный на теории опти- мального управления объектами с распределенными параметрами. Метод предусматривает ограни- чение множества искомых решений классом физически реализуемых функций, что позволяет уста- новить структуру искомого воздействия в виде произведения двух функций одной переменной. На основе параметризации искомой характеристики, рассматриваемой в качестве управляющего воз- действия, формулируется задача полубесконечной оптимизации, обеспечивающая минимизацию температурных невязок в равномерной метрике оценивания. Решение задачи аналитическим мето- дом, использующим альтернансные свойства искомых оптимальных температурных отклонений, позволяет получить оптимальные значения вектора параметров.

DOI: 10.1134/S0040364419020029 ВВЕДЕНИЕ

Исследование нестационарных процессов теп- лообмена, решение задач идентификации и диа- гностики тепловых процессов часто основываются на решении граничных обратных задач теплопро- водности (ОЗТ). На сегодняшний день существует большое число подходов к решению этой пробле- мы [1–4]. В литературе наиболее полно освещены подходы к решению одномерных граничных ОЗТ, методы решения двумерных и трехмерных обратных задач представлены в меньшем объеме.

Базовые постановки двумерных и трехмерных ОЗТ приведены в [1], где на примере некоторых частных обратных задач, сформулированных в экстремальной постановке, предложен метод итерационной регуляризации, который в даль- нейшем получил развитие в работах [5, 6]. Чис- ленные методы с применением регуляризирую- щих алгоритмов использованы для решения двумерных граничных ОЗТ в линейной [7] и не- линейной постановках [8]. Регуляризирующий алгоритм, позволяющий проводить параметриче- скую идентификацию тепловых потоков к грани- цам анизотропной пластины, приведен в [9].

В работе [10] предложены методика и алгоритм решения двумерной ОЗТ по восстановлению пространственно-временнóй плотности теплово- го потока, приложенного к внешней поверхности полого кругового цилиндра, по измерениям на его внутренней поверхности. Для решения задачи построен итерационный регуляризирующий ал-

горитм, использующий для минимизации функ- ционала невязки метод сопряженных градиентов.

Другой подход к решению ОЗТ основывается на сужении множества искомых решений до мно- жества физически реализуемых функций, пред- ставляющего собой класс корректности [1], что позволяет получить параметрическое представле- ние искомой характеристики, вектор параметров которого определяется на последующем этапе па- раметрической оптимизации.

В настоящей работе для решения двумерной граничной ОЗТ применяется разработанный и успешно апробированный при решении одно- мерных граничных обратных задач метод мини- максной оптимизации [11, 12], базирующийся на теории оптимального управления объектами с распределенными параметрами. Этот метод ис- пользует равномерную метрику оценивания [13, 14]

температурных невязок, реализует сужение мно- жества искомых характеристик, рассматривае- мых в качестве оптимального управляющего воз- действия, до класса корректности и тем самым обеспечивает редукцию исходной некорректно поставленной задачи к задаче полубесконечной оптимизации, соответствующей условно-кор- ректной постановке и сохраняющей качествен- ные особенности процессов с распределенными параметрами. Нахождение оптимальных значе- ний конечномерного вектора параметров, опре- деляемого выбранной структурой управляющего воздействия, осуществляется на последующем

УДК 681.5.015,517.977.56

ТЕПЛОМАССООБМЕН И ФИЗИЧЕСКАЯ ГАЗОДИНАМИКА

(3)

ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР том 57 № 2 2019

МЕТОД МИНИМАКСНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ 227

этапе минимизации на основе метода, учитываю- щего альтернансные свойства оптимальных ре- шений [14, 15].

Предложенный метод минимаксной оптими- зации достаточно универсален по отношению к виду математической модели и может быть при- менен к задачам, использующим как аналити- ческие, так и численные модели процесса тепло- обмена. В работе на его основе решена задача определения граничного теплового потока, зави- сящего от времени и пространственной коорди- наты для двумерного тела канонической формы.

ПОСТАНОВКА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Подобно [1, 8] формулируется двумерная об- ратная задача нестационарной теплопроводности в случае одностороннего нагрева плоского тела прямоугольной формы, с пространственными ко- ординатами x и y, когда на ограничивающих плос- костях x = 0, y = 0 и 1 теплообмен отсутствует, а вектор теплового потока q(y, ϕ) параллелен плос- кости xy.

Рассматривается уравнение теплопроводности для температурного поля θ(x, y, ϕ), заданное в от- носительных единицах изменения временнóй ϕ и пространственных координат:

(1) дополненное начальным условием

(2) и граничными условиями второго рода

(3) (4) Здесь функция q(y, ϕ) неизвестна и является искомой величиной. Задана дополнительная ин- формация о температуре на некоторой линии (5) Полагается, что пространственно-временнáя функция q(y, ϕ) двух переменных может быть представлена в виде произведения двух функций одной переменной

(6) что соответствует большинству физически обос- нованных ситуаций.

Идентифицируемая функция q(y, ϕ) рассмат- ривается в качестве управляющего воздействия

( ) ( )

2 2

( , , ) ( , , ) ( , , ) , , 0,1 , 0, * ,

x y x y x y

x y

x y

∂θ ϕ =∂ θ ϕ +∂ θ ϕ

∂ϕ ∂ ∂

∈ ϕ ∈ ϕ

( , , 0)x y 0, x y, [0,1]

θ = ∈

(0, , ) ( , 0, ) ( ,1, )

0, [0, *],

y x x

x y y

∂θ ϕ =∂θ ϕ =∂θ ϕ = ϕ ∈ ϕ

∂ ∂ ∂

(1, , )

( , ), [0, *].

y q y

x

∂θ ϕ = ϕ ϕ ∈ ϕ

∂

* const,

x = x = 0≤ x*≤1:

[ ]

( *, , )x y f y( , ), 0, * . θ ϕ = ϕ ϕ ∈ ϕ

(1) (2)

( , ) ( ) ( ), q y ϕ =q y q ϕ

u(y, ϕ) = q(y, ϕ), структура которого соответствует виду (6):

(7) где функции и выступают как про- странственно-распределенное и сосредоточен- ное управляющие воздействия, подчиненные ти- повым ограничениям

(8) (9) принадлежности заданным множествам V₁ и V₂ функций. Таким образом, искомое управление u(y, ϕ) представляет собой произведение (7) про- странственно-распределенной и сосредоточен- ной составляющих.

Формулируется ОЗТ в экстремальной поста- новке, предусматривающей минимизацию по- грешности равномерного приближения мо- дельного значения соответствующего искомой функции u(y, ϕ), к измеряемому темпе- ратурному состоянию f(y, ϕ) на заданной области изменения про- странственной переменной и временнóм интер- вале идентификации.

Для объекта (1)–(4) требуется определить управляющее воздействие u(y, ϕ), подчиненное согласно (7) ограничениям (8) и (9), обеспечива- ющее на заданной области изменения простран- ственной и временнóй переменной выполнение минимаксного соотношения

(10) Для решения задачи производится сужение множества допустимых решений до класса кор- ректности – физически реализуемых на заданных областях изменения соответствующих перемен- ных функций, – осуществляемое на основе тре- бований их достаточной гладкости [1]. Здесь в ка- честве класса корректности (компакта) рассмат- ривается множество функций, непрерывных вместе со своими производными, – полиноми- альных функций соответствующих переменных:

(11)

(12) Значения N и M определяют порядки полино- мов (11) и (12) и тем самым задают точную струк- туру искомых функций, что позволяет перейти к параметризованной форме искомых управлений.

(1) (2)

( , ) ( ) ( ), u y ϕ =u y u ϕ

(1)( )

u y u⁽²⁾( )ϕ

(1)

( ) 1, 0 1, u y ∈V < <y

(2)

( ) 2, 0 *

u ϕ ∈V < ϕ < ϕ

( *, , ),x y

θ ϕ

( )

{

^y^, ^;^y ^[0,1]; ^{[0, *]}

}

Ω = ϕ ∈ ϕ ∈ ϕ

[ ] ⁽¹⁾ 1

(2) 2

(1) (2) (1) (2) 0, *

[0,1]

( ) ( , )

max ( *, , , , ) ( , ) min .

u V

y u V

I u I u u

x y u u f y

ϕ∈ ϕ ∈

∈ ∈

= =

= θ ϕ − ϕ →

(1)

0

( ) ,

N y n n n

u y y

=



Δ

(2)

0

( ) .

M m m m

u ^ϕ

=

ϕ =



Δ ϕ

(4)

Таким образом, при фиксированных значениях N и M идентифицируемое воздействие u(y, ϕ) одно- значно задается значениями полиномиальных коэффициентов в (11) и (12), образующих соответ- ствующие векторы параметров и В результате на основе (7), (11) и (12) параметрическое представление управляю- щего воздействия имеет вид

(13)

где

и, следовательно, вектор Δ =

= искомого управления со-

держит N + M + 1 параметр.

При этом температурное поле =

= также является функцией рассмат- риваемого вектора Δ параметров и вычисляется как реакция на управляющее воздействие (13) при заданных значениях N и M и векторе Δ. Ис- пользование параметрического представления температурного поля позволяет пе- рейти от исходной некорректно поставленной обратной задачи к эквивалентной задаче пара- метрической оптимизации относительно век- тора Δ, минимизирующей абсолютное отклоне- ние расчетного температурного состояния от из- меряемого в равномерной метрике оценивания

(14)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Решение полученной задачи математического программирования (14), подобно [14–16], может основываться на известных качественных свой- ствах оптимальных температурных распределе- ний, обладающих при Δ = Δ⁰ наилучшим равно- мерным приближением к требуемому состоянию f(y, ϕ). Данные свойства фиксируют в отдельных точках на всей пространственно-вре- меннóй области идентификации достижение предельных отклонений расчетной температуры от заданной f(y, ϕ), равных ±I⁰, и тем самым устанавливают конфигурацию погрешно-

сти аппроксимации темпе-

ратурного распределения f(y, ϕ). Число точек, где достигаются предельно допустимые макси- мальные по абсолютной величине значения по-

(

⁰^, ¹^,...

)

y y y y

Δ = Δ Δ ΔN

(

⁰^, ¹^,... ^M

)

^.

ϕ ϕ ϕ ϕ

Δ = Δ Δ Δ

( )

( )( )

(1) (2)

0 1

0 1 1

( , ) ( ) ( ) ...

...

1 ... 1 ... ,

y y y N

N M

M

y y N M

N M

u y u y u y y

y y

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ = ϕ = Δ + Δ + + Δ ×

× Δ + Δ ϕ + + Δ ϕ =

= Δ + Δ + + Δ  + Δ ϕ + + Δ ϕ 

0 0^y 0^ϕ;

Δ = Δ Δ Δ = Δ Δ =

0, 1, ;

y y y

i i i N Δ = Δ Δ^ϕ_j ^ϕ_j ₀^ϕ, 1, ,

j = M

(

^{Δ Δ}^{ }⁰^, ¹^y^,...^{Δ Δ}^^y^N^,^¹^ϕ^,...^Δ^^M^ϕ

)

(1) (2)

( *, , ,x y u ,u )

θ ϕ

( *, , , )x y θ ϕ Δ

[ ]

0

0, * [0,1]

( ) max ( *, , , ) ( , ) min .

y

I x y f y

Δ ϕ∈ ϕ∈

Δ = θ ϕ Δ − ϕ →

0 0 0

( , ) z = y ϕ

( *, , ,x y 0) θ ϕ Δ

( *, , ,x y 0) f y( , )

θ ϕ Δ − ϕ

грешности характеризуе-

мые разными знаками, должно быть не меньше числа неизвестных оптимального процесса [14], в роли которых выступают вектор Δ параметров ис- комого управления и сама величина погрешности I⁰. Таким образом, при поиске аппроксимирую- щей функции u(y, ϕ), заданной, согласно (13), фиксированными значениями N и M, на наблю- даемой пространственно-временнóй области Ω всегда найдутся такие R = N + M + 2 точек для которых выполняют- ся равенства

(15) В силу замкнутости системы равенств (15) относительно всех параметров оптимального управления, ее возможно перевести в систему расчетных уравнений относительно этих пара- метров. Последующее решение полученной си- стемы и окажется решением задачи полубеско- нечной оптимизации (14).

Специфика данной задачи по сравнению с од- номерными случаями, где минимизация ошиб- ки равномерного приближения осуществляется по одной (временнóй или пространственной) переменной, заключается в требовании дости- жения минимаксной погрешности = аппроксимации f(y, ϕ) на всей пространственно-временнóй области Ω. В связи со сложным многоэкстремальным ха- рактером зависимости от ис- комого вектора параметров, пространственной координаты и времени в общем случае может возникать множество вариантов комбинаций расположения точек с предельно до- пустимыми отклонениями I⁰, соответствующих ра- венствам (15). Эти варианты различаются формой поверхности распределения

по переменным y и ϕ и координатами то- чек Процедура опознавания точек z⁰ на плос- кости (y,ϕ) и знаков предельных отклонений I⁰ в этих точках на множестве возможных вариантов представляет основную сложность при решении двумерной задачи. Тем не менее в большинстве ситуаций, представляющих практический инте- рес, на основе физических закономерностей про- цесса теплопроводности возможно существенно уменьшить число претендентов на роль точек z⁰ альтернанса и среди оставшихся вариантов (если их количество больше одного), отвечающих си- стеме равенств (15), выделить единственный ва-

риант распределения обес-

( *, , ,x y 0) f y( , ),

θ ϕ Δ − ϕ

0 0 0

( , ),

k k k

z = z = y ϕ k =1, ,R

( )

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 1 1

( *, , , ) ( , ) ( ), 1, ; , ,... , ,... .

k k

y y

N M

x y f y I

k R ^ϕ ^ϕ

θ ϕ Δ − ϕ = Δ

= Δ = Δ Δ  Δ Δ  Δ

0 0

( ) I Δ

0

max_ϕ,_y ( *, , ,x y ) f y( , )

= θ ϕ Δ − ϕ

( *, , ,x y 0) f y( , )

θ ϕ Δ − ϕ

0 0 0

( , ) z = y ϕ

( *, , ,x y 0) f y( , )

θ ϕ Δ − ϕ

0 0

(y ,ϕ )

0. z

( *, , ,x y 0) f y( , ),

θ ϕ Δ − ϕ

(5)

печивающий выполнение минимаксного соотно- шения (14).

С целью распространения результатов реше- ния одномерных ОЗТ по идентификации сосре- доточенного граничного воздействия q(ϕ) на дву- мерную область будем далее рассматривать конфигурацию поверхности температурной не- вязки как совокупность температурных кривых

харак-

теризуемых предельно допустимыми отклонени- ями, достигаемыми на различных сечениях y_k =

= const по объему тела . При этом число точек альтернанса на совокупности зависимостей во времени соот- носится с количеством искомых параметров оп- тимального управления, но достигаются они в точках с разными координатами y_k.

Методика решения двумерных граничных ОЗТ, основанная на минимаксной оптимизации по- грешности аппроксимации наблюдаемого темпе- ратурного поля, может быть сведена к следующей последовательности действий.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА Решается последовательность задач полубес- конечной оптимизации (14), ориентированных на выявление формы кривой

для различных значений N и M, поочередно воз- растающих, начиная с N = M = 0. На каждом эта- пе система равенств (15) трансформируется в си- стему R расчетных соотношений

(16) с R неизвестными: N + M + 1 параметрами опти- мального управления и величиной мини- макса Эта система фиксирует достиже- ние предельно допустимых отклонений ±I⁰ в R точках. Для определения дополнительных неиз-

( *,x y_k, , 0) f y( _k, ),

θ ϕ Δ − ϕ k =1, ,R ^{ϕ ∈}

[

^{0, * ,}^ϕ

] [ ]

^0,1

yk ∈ ( *, , ,x y 0) f y( , )

θ ϕ Δ − ϕ ^{ϕ ∈}

[

^{0, *}^ϕ

]

( *, , ,x y 0) f y( , )

θ ϕ Δ − ϕ

0 0 0 0 0 0 0

( *,x y_k, _k, ) f y( _k, _k) I ( ), k 1, ,R

θ ϕ Δ − ϕ = ± Δ =

0( , ) u yϕ

0 0

( ).

INM Δ

вестных – координат внутренних, отличных от границ заданной области Ω, точек минимума или

максимума поверхности –

используются соотношения – условия существо- вания экстремумов в этих точках по соответству- ющему временнóму

(17) или пространственному аргументу

(18) Для каждого конкретного случая, заданного значениями N и M, проблема сводится к выбору соответствующей системы (16)–(18) и вычисле- нию ее корней. При этом на первых этапах вы- числительной процедуры могут использоваться аналогии с одномерными ситуациями, позволяю- щими конкретизировать расположение точек альтернанса и соответствующую расчетную си- стему уравнений. Например, результаты решения одномерных задач [11, 17] показывают, что пер- выми претендентами на роль точек альтернанса являются точки на границах рассмат- риваемой пространственно-временнóй области.

В двумерном случае, для демонстрируемого ниже примера, простейший случай N = M = 0, соответ- ствующий постоянному управлению

приводит к очевидному варианту формы разно- сти с двумя точками экстре- мума на сечениях и в моменты вре- мени и (рис. 1). При этом в точках и достигаются соответ- ственно максимальное и минимальное значения температурной невязки, что согласуется с зако- ном знакочередования предельных отклонений [14].

При увеличении значений N или M в расчет-

ной конфигурации появля-

ются дополнительные точки с предельно допу- стимыми отклонениями ±I⁰. По-прежнему, варианты y⁰ = 1 или y⁰ = 0, в том числе соответ- ствующие расположению в “угловых” точках

или остаются

первоочередными, но при этом предельно допу- стимые отклонения достигаются также во внут- ренних точках 0 < y⁰ < 1, число которых возрастает с увеличением порядков N и M. Ситуация услож- няется тем, что для двумерной модели темпера- турного поля в общем случае не выполняется правило знакочередования предельных темпе- ратурных отклонений, которое существенно ограничивает число вариантов конфигурации

( *, , ,x y 0) f y( , ),

θ ϕ Δ − ϕ

(

^{( *,}^x ^y^{ex ex}⁰ ⁱ^, ⁰ ^j^, ⁰⁾ ^{f y}⁽ ^{ex ex}⁰ ⁱ^, ⁰ ^j⁾

)

⁰

∂ θ ϕ Δ − ϕ =

∂ϕ 

(

^{( *,}^x ^y^{ex ex}⁰ ⁱ^, ⁰ ^j^, ⁰⁾ ^{f y}⁽ ^{ex ex}⁰ ⁱ^, ⁰ ^j⁾

)

^0.

∂ θy ϕ Δ − ϕ =

∂ 

0 1, *

1,0 *

y y≤ ≤ ϕ=ϕ

= ≤ϕ≤ϕ

∂Ω

( , ) 0, u y ϕ = Δ ( *, , ,x y 0) f y( , )

θ ϕ Δ − ϕ

0

1 1

y = y2⁰ =0

0

1 *

ϕ = ϕ ϕ = ϕ⁰2 ⁰ex

0 0 0

1 ( 1, 1)

z = y ϕ z2⁰ =(y2⁰,ϕ⁰2)

( *, , ,x y 0) f y( , )

θ ϕ Δ − ϕ

0 0

(y = ϕ = ϕ1, *) (y⁰ = ϕ = ϕ0, ⁰ *),

( *, , ,x y 0) f y( , ).

θ ϕ Δ − ϕ

Рис. 1. Конфигурация погрешности аппроксимации температурного поля

(а); 1 – , 2 – (б) при N = M = 0.

0.4 0.3

I ⁰00

–I ⁰₀₀ 0

–0.3 –0.4

(а) (б)

0.2

–0.2 –0.4 1.0

1.0 1.5 2.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5 0 0.5

ϕ ϕ

y 0

2 1

( *, , ,x y 0) f y( , ),

θ ϕ Δ − ϕ

[ ]^{0,1 ,} [^{0, *}]

y∈ ϕ ∈ ϕ y1⁰ =1 y2⁰=0,ϕ ∈[^{0, *}ϕ]

(6)

Таким образом, число претендентов на роль точек z⁰ может оказаться больше их минимально необходимого количества, равного R, и заранее выявить конкретный, зависящий от исходных данных, вариант расположения точек альтернан- са из всех возможных уже не удается.

В этом случае возможно применить специаль- ным образом организованную вычислительную процедуру, подобную [14, 18], основанную на ре- шении ряда задач оптимизации для возрастаю- щих с достаточно малым шагом значений очеред- ного N + 1-го или M + 1-го параметра относительно решенной на предыдущем шаге задачи, заданной N и M параметрами.

Пусть на очередном этапе найдено решение минимаксной зада- чи (14) в классе полиномиальных функций при N =

= N*, M = M*. Конфигурация

характеризуется наличием N* + M* + 2 точек аль- тернанса. Пусть на следующем этапе увеличива- ется порядок аппроксимирующей функции u⁽²⁾(ϕ), т.е. N = N*, M = M* + 1, и искомый вектор парамет- ров имеет вид

Решается задача оптимизации, заданная соответ- ствующей системой расчетных уравнений (16)–(18), для ряда увеличивающихся с достаточно малым шагом значений до тех пор, пока абсолют- ное значение невязки температуры в какой-либо из вновь появляющихся точек экстремумов не сравняется со значениями невязки в других точ- ках z⁰ и не станет равным Такая си- туация соответствует наличию в форме

точек альтер-

нанса. Начальные приближения для решения очередной задачи могут основываться на резуль- татах решения расчетной системы на предыду- щем шаге.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ

Решение прямой задачи теплопроводности производилось на основе двумерной модели, найденной в результате последовательного при- менения двух конечных интегральных преобра- зований [19] по пространственным аргументам x и y с ядрами, равными собственным функци-

ям и где

и –

собственные числа, полученные на основе реше- ния уравнений sinμ = 0 и sinλ = 0 соответственно.

Расчетное температурное поле задается в виде двумерного бесконечного ряда относительно ко- эффициентов (временных мод) разло- жения θ(x, y, ϕ) по и [19]

( )

0 0 0 0 0 0

0, 1^y,... ^y_N*, 1^ϕ,... _M^ϕ*

Δ = Δ Δ  Δ Δ  Δ

( *, , ,x y 0) f y( , )

θ ϕ Δ − ϕ

( )

0 0 0 0 0 0 0

0, 1^y ,... ^y_N*, 1^ϕ,... _M^ϕ*, _M^ϕ* 1₊ . Δ = Δ Δ  Δ Δ  Δ Δ

0

* 1 M ϕ +

Δ

0 0

* * 1( ).

IN M ₊ Δ ( *, , ,x y 0) f y( , ),

θ ϕ Δ − ϕ N*+M*+3

( _m ) cos _m

K μ x = μ x K*(λ_ny)=cosλ_ny,

2 2 2

m m,

μ = π m=0,1, 2... λ = π²_n ^{2 2}n , n =0,1, 2...

( _m, _n, ) θ μ λ ϕ ( _m )

K μ x K*(λ_ny)

(19)

где

(20) – изображение функции

(21) Искомая функция согласно (6), пред- ставлена в виде

(22) Соотношения (19)–(21) с учетом (22) приводят к выражению для температурного поля при

(23)

где

На основе выражения (23) в результате прове- дения вычислительного эксперимента на интер- вале в точках на линии

были получены двумерные температурные рас- пределения используемые как входная информация при решении обратной за- дачи.

Серия ОЗТ была решена для случая возрастаю- щих значений N и M в классе

В общем случае при N = M = 3 искомое управле- ние имеет вид

( ) ( )

2

2 2

00 0

( )

0

1 0

( )

0

1 0

( )( )

1 1 0

( , , ) ( )

2 cos ( )

4 cos cos ( ) ,

m

n

m n

m m

m

n n

n

m n mn

m n

x y q d

x q e d

y q e d

x y q e d

ϕ

∞ ϕ

−μ ϕ−τ

=

∞ ϕ

−λ ϕ−τ

=

∞ ∞ ϕ

− μ +λ ϕ−τ

= =

θ ϕ = τ τ +

+ μ τ τ +

+ λ τ τ +

+ μ λ τ τ



 

 

( ) ( ) cos , , 0,1, 2...

mn n

q ϕ =q ϕ πm m n= ( , ), q y ϕ

1

0

( ) ( , ) cos( ) , 0,1, 2...

qn ϕ =



q yϕ πny dy n=

*( , ), q y ϕ

*( , ) sin( )( 1).

q y ϕ = απy e^βϕ−

1,2,...

α ≠

( )

( ) ( )

( )

βϕ

∞

∞ =

∞ ∞ =

= =

− βϕ −

θ ϕ = − πα +

πα β

+ − πα − π Ψ ϕ +

πα

+ π Ψ α Ψ ϕ +

+ − π π Ψ α Ψ ϕ





1 1

2 1

1

2 1

1 1

( , , ) 1 cos

2 1 cos 1 cos( ) ( , , 0)

2 cos( ) ( , ) ( , 0, )

4 1 cos( ) cos( ) ( , ) ( , , ),

m m

n m m n

x y e

mx m

ny n n

mx ny n m n

( )

2 2 2 2 2 2

( ) ( )

1 2 2 2 2 2 2

2 2 2

( , , ) 1 ,

( ) ( )

1 1 cos

( , ) .

m n m n

n

e e e

m n

m n m n

n

βϕ− −π + ϕ − −π + ϕ

Ψ ϕ = −

β + π + π +

− − πα Ψ α =α

π α −

[

^{0, *}

]

ϕ ∈ ϕ

(

^x ⁼ ^x^*;^y^∈

[ ]

^0,1

)

( , ) ( *, , ), f y ϕ = θx y ϕ

0,3,

N = M =0,3.

(7)

(24) и определяется вектором параметров Δ =

= Ситуации N < 3 или

( )

2 3

0 1 2 3

2 3

1 2 3

( , ) 1 1

y y y

u y y y y

ϕ ϕ ϕ

ϕ = Δ + Δ + Δ + Δ ×

× + Δ ϕ + Δ ϕ + Δ ϕ

   

  

(

Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ    ⁰^, ¹^y^, ²^y^, ³^y^, ¹^ϕ^,²^ϕ^,³^ϕ

)

^.

M < 3 можно рассматривать как “частные случаи”

управления (24) при равных нулю соответствую-

щих коэффициентах или

Параметризованная форма расчетного темпе- ратурного поля имеет вид

(25)

где

0, 1,3

y

i i N

Δ = = + Δ =^ϕ_j 0, 1,3.

j =M +

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

3

1 2

0

2 3 3 4

1 2

3

1 2

0 1

3 4 3

1

1 1

4 3

( , , ) 1

2 3 4

2 1 cos 1

2 3 4

, , 0 2 cos ( , ) , 0,

4 1 cos cos

( , ) , , ,

y

y y

y

y y

m m

n m m n

x y

mx

m ny n n

mx ny

n m n

ϕ ϕ ϕ

∞

=

∞

∞ ∞ =

= =

 Δ Δ Δ 

θ ϕ = Δ  + + + ×

 

 Δ Δ Δ 

× ϕ + ϕ + ϕ + ϕ +

 

 Δ Δ Δ 

+ − π Δ  + + + ×

 

× Ψ ϕ + π Ψ α Ψ ϕ +

+ − π π ×

× Ψ α Ψ ϕ







 



 



 



( ) ( ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 ( ) 2 2 2 ( )

3 2 2 2 2 1

2 2 2 2 ( )

2 2 2 2

( )

2 2 2 3 2

3 2 2 2 2 2 2

4

( , , ) 1 ( ) 1 ( ) 1

( )

( ) 2 2 1

( )

6 1

( ) 3 ,

( ) ( )

m n m n

m n

m n m n e m n e

m n

m n e

m n

m n e

m n m n

−π + ϕ ϕ −π + ϕ

ϕ −π + ϕ

−π + ϕ ϕ

Ψ ϕ = π + − + Δ π + ϕ − + +

π +

 

+ Δ π + ϕ − ϕ +π + − +

  − 

+ Δ π + ϕ − ϕ + ϕ − 

π + π +

  

Ψ



( ( ) ) ( ) ^{( )} ( ^{( )} )

0 3

1 2 3

2 2 2 2

( , ) 1 1 2 3 1 6 1 1 .

y

n n n

y y y

n

n n

 

Δ Δ

α = π Δ − − + Δ + Δ − −π − − 

    

Некоторые результаты решения соответствую- щих ОЗТ при приведены в таб- лице 1 и на рис. 1–4.

0,3,

N = M =0,3

Как видно из представленных результатов, увеличение значений N и M приводит к уменьше- нию погрешности аппроксимации температур- Точность решения задачи в зависимости от значений

N и M

N M

Погрешность аппроксимации температурного

распределения %

искомой характеристики %

0 0 27.83 74.94

0 1 16.52 68.87

1 1 3.96 15.74

1 2 1.72 15.94

2 2 0.43 4.39

2 3 0.16 2.44

3 3 0.031 0.32

0( ),

I Δ max,

(

, , ⁰

)

*( , ) ,

y u y q y

ϕ ϕ Δ − ϕ

Рис. 2. Конфигурация

(а); 1 – , 2 – , 3 – (б) при N = M = 2.

5

×10^–3 0.005

I ⁰₂₂

–I ⁰₂₂ 0

–0.005

(а) (б)

–5

1.5

1 1

0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5 0.5

0 2 0

ϕ y

ϕ 0

2

3 1

( *, , ,x y 0) f y( , ),

θ ϕ Δ − ϕ ^y∈[ ]^{0,1 ,} [^{0, *}]

ϕ ∈ ϕ y1⁰=1 y2⁰ =0 y3⁰ = yex1⁰

Рис. 3. Конфигурация

(а); 1 – , 2 – 3 – , 4– (б) при N = M = 3.

4 2

×10^–4 0.0004

I ⁰33

–I ⁰33

0

–0.005

(а) (б)

–4

0 0.5 1.0 1.5 2.0

ϕ 0

0 1 0

ϕ

1

0.5 2 0.5

1.0 y

–2 4

2 1 3

( *, , ,x y 0) f y( , ),

θ ϕ Δ − ϕ ^y∈[ ]^{0,1 ,} [^{0, *}]

ϕ ∈ ϕ y1⁰ =1 y2⁰ =yex1⁰ , y3⁰= y⁰ex2

0 0

4 ex3

y = y

А. Н. Дилигенская, Метод минимаксной оптимизации в двумерной граничной обратной задаче теплопроводности, ТВТ , 2019, том 57, выпуск 2, 226–233

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал